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Guia Econometria E-250 Multicolinealidad 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
 
 
 
 
 
ECONOMETRÍA 
 
 
EJERCICIOS 
MULTICOLINEALIDAD Y VIOLACIÓN 
DE SUPUESTOS CLASICOS. 
 
 
 
 
 
 
 
Profesores: 
Verónica Gil Aroztegui 
Aldo Lema Navarro 
 
 
 
 
Marzo 2004 
 
 
 
 
Esta guía está en permanente revisión por lo cual sugerencias o correcciones serán bienvenidas. 
E-mails: vgila@vtr.netl y alema@security.cl 
 
Guia Econometria E-250 Multicolinealidad 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
5. MULTICOLINEALIDAD 
 
 
Ejercicio 5.1 
 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son Verdaderas, Falsas o Inciertas. 
 
a) A mayor covarianza entre las variables explicativas de una regresión mayores serán los intervalos de 
confianza de los estimadores MICO. 
 
b) Dado que X2 es una función exacta de X, habrá multicolinealidad perfecta si se usan X y X2 como 
variables explicativas. Comente. 
 
c) La existencia de fuerte correlación entre las variables explicativas (multicolinealidad imperfecta seria) 
provoca que los estimadores MICO mantengan la propiedad de insesgadez. Sin embargo, no se mantiene la 
propiedad de insesgadez para los estimadores de sus varianzas. 
 
d) La presencia de alta multicolinealidad imperfecta implica que el estimador MICO sea muy impreciso, por 
lo que el modelo estimado no puede ser utilizado para obtener predicciones confiables. 
 
f) Los resultados de test t individuales de significancia de una regresión estimada por MICO señalan que 
ninguna variables es significativa. Esto implica que ninguna variable afecta el fenómeno estudiado. Comente. 
 
g) Cuando una restricción verdadera se impone a los datos el R2 de la regresión aumenta, mientras que si es 
falsa el R2 disminuye. Comente 
 
h) Tener R2 alto entre variables explicativas es un fenómeno muestral muy perjudicial, ya que siempre 
provoca que los test t individuales sean poco significativos. 
 
i) Cuando existe alta multicolinealidad, disminuye la probabilidad de cometer error de tipo I. Comente. 
 
j) Una de las posibles soluciones para corregir multicolinealidad imperfecta es incorporar información 
externa. Explique detalladamente como lo haría y los problemas que puede ocasionar. Utilice ejemplos. 
 
k) Si al estimar un modelo de regresión lineal las columnas de la matriz X presentan un alto grado de 
correlación entre sí la varianza de los estimadores MICO será muy grande, y por lo tanto, serán ineficientes. 
 
l) El error cuadrático medio del estimador de un parámetro de una ecuación que ha sido estimada 
incorporando una restricción incorrecta entre sus coeficientes será mayor que el obtenido si el modelo es 
estimado sin restricción. 
 
m) En el modelo de regresión general asumir que el rango(X) es igual a k asegura la inexistencia de 
multicolinealidad. 
 
n) La existencia de colinealidad en las variables explicativas del modelo de regresión lineal implica que los 
estimadores de las varianzas de los coeficientes subestiman sistemáticamente a las verdaderas varianzas de 
los coeficientes. 
 
o) Si al estimar un modelo de regresión lineal las columnas de la matriz X presentan un alto grado de 
correlación entre sí, las varianzas de los estimadores MICO serán muy grandes, y por lo tanto, estaremos en 
presencia de estimadores ineficientes. 
 
 
 
Ejercicio 5.2 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
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Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Dado el modelo de regresión: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 
 
Eu = 0 y Euu’= σ2 Y 
 
a) Demuestre que la varianza del estimador MICO de β2 es igual a: 
σ2
2
2 21x r( )−∑ 
 
donde x2 y x3 son las variables explicativas en desvíos; r es el coeficiente de correlación al cuadrado entre x2 y 
x3. 
 
b) Suponga que las variables explicativas tiene casi colinealidad perfecta: el r2 entre X2 y X3 es 0,99999. 
¿Cómo serían los test t individuales de significancia y los intervalos de confianza para β2 y β3 si el fenómeno 
no tuviera término estocástico? 
 
c) Suponga que en el modelo para la variable dependiente Y, el efecto de la multicolinealidad es bajar los test 
t de significancia en un 50%. En otro modelo para la variable dependiente Z, el efecto de la multicolinealidad 
es bajarlos en 10%. ¿En qué caso la colinealidad produce más daño? 
 
 
Ejercicio 5.3 
 
Un economista estima la siguiente regresión por MICO: 
 Yi = 0,6732 + 0,0053 Xi2 - 0,5842 Xi3 + ei 
 (1,123) (0,065) (-0,342) 
 
 R2 = 0,97 N=50 
donde los términos entre paréntesis corresponden a los estadísticos t-student. 
 
Determine: ¿Cuál es el problema econométrico que posee esta estimación? ¿Cuáles serían las propiedades de 
los estimadores MICO obtenidos de esta regresión? De acuerdo a estas propiedades, qué puede usted decir 
respecto a la utilidad de estos estimadores? 
 
Ejercicio 5.4 
 
Valores de indicadores que implican alta colinealidad entre variables explicativas de un modelo (por ejemplo 
coeficientes de correlación simple entre 2 variables, R2 de regresiones auxiliares, etc) en ciertas regresiones 
pueden ser menos problemáticos que indicadores que implican baja colinealidad en otras regresiones. 
Comente. 
 
 
Ejercicio 5.5 
 
 Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son Verdaderas, Falsas o Inciertas: 
 
a) Un R2 múltiple entre las variables explicativas de un modelo de 0,95 puede ser un gran problema en 
algunas regresiones y no serlo en otras. 
 
b) En el modelo 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 +β4 Xi4+β5 (Xi2 - Xi3) + ui 
 
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la información implícita en la última variable explicativa mejora la estimación de los otros βs, en 
comparación con el caso de la estimación sin dicha variable. 
 
c) Dado que ln(X) es una función exacta de X, habrá multicolinealidad perfecta si se usan X y ln(X) como 
variables explicativas. 
 
d) Si los coeficientes estimados en una ecuación tienen altas varianzas, esto es evidencia de multicolinealidad 
seria. 
 
e) Cuando existe alta multicolinealidad, la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa aumenta. 
 
f) Al introducir una restricción exacta con la finalidad de corregir la multicolinealidad, se solucionan los 
problemas que ella ocasiona, pero los estimadores resultantes son sesgados. 
 
g) En el siguiente modelo de regresión: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + µi 
si X2 y X3 están muy correlacionadas, podríamos proceder del siguiente modo: 
 
i) se estima una regresión de X3 en función de X2 obteniéndose los residuos ei. 
ii) se estima una regresión de Y en función de X2 y de ei. 
 
De esta forma se garantiza que no está correlacionada con ei , se reduce la multicolinealidad y se obtienen 
estimadores con menor varianza. 
 
h) La existencia de fuerte correlación entre las variables explicativas (multicolinealidad imperfecta seria) 
invalida el Teorema de Gauss Markov. 
 
 
i) En el siguiente modelo de regresión lineal: 
Yi = α + β Xi + φ Zi + µi 
surgen los mismos problemas de multicolinealidad si Xi +Zi =5 que si β + φ = 5. 
 
j) En el modelo de regresión general asumir el supuesto de que el rango(X) es igual a k asegura la 
inexistencia de multicolinealidad. 
 
 
Ejercicio 5.6 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
a) La existencia de colinealidad en las variables explicativas del modelo de regresión lineal implica que los 
estimadores de las varianzas de los coeficientes subestiman sistemáticamente a las verdaderas varianzas de 
los coeficientes. 
 
b) Cuando existe alta multicolinealidad, la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa aumenta. 
 
c) Si al estimar un modelo de regresión lineal la matriz de datos presenta un alto grado de colinealidad, la 
varianza de los estimadores MICO será muy grande y, por lo tanto, los estimadores serán ineficientes. 
 
d) Dado que ln(X) es una función exacta de X, habrá multicolinealidad perfecta si se usan X y ln(X) como 
variables explicativas.(Atención: ln significa logaritmo natural) 
 
e) Si se especificael siguiente modelo de regresión: 
Yt= β1+β2Xt+β3 (2Xt)+ui 
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no es posible estimar β2 y β3 en forma independiente; sin embargo, si es posible estimar una combinación de 
estos parámetros y ésto permite tener una buena predicción de E(Yi/Xi) 
 
i) Se desea estimar el siguiente modelo de regresión: 
Yt= β1+β2Xt2+β3 Xt3+ui 
donde Xt3= 10 Xt2 
¿Es posible estimar los parámetros β1, β2 y β3 ? ¿Es posible estimar una combinación de estos parámetros 
que permita predecir bien E(Yi/Xi)? 
 
j) Explique como entiende la siguiente afirmación: “la multicolinealidad es un fenómeno esencialmente 
muestral”. 
 
k) Cuando existe alta multicolinealidad, disminuye la probabilidad de cometer error de tipo I. Comente. 
 
 
 
Ejercicio 5.7 
Usted desea estimar el siguiente modelo por MICO: 
 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 
 
pero observa que las variables X están fuertemente correlacionadas, puesto que ambas varían en función del 
“tiempo”. 
Usted observa además que las primeras diferencias ∆Xi = Xi- Xi-1 no presentan correlaciones significativas, 
por lo tanto decide estimar la regresión entre ∆Yi y ∆X2 y ∆X3. 
¿Este método resuelve el problema de multicolinealidad? ¿Qué otros efectos puede tener el procedimiento 
escogido? 
 
 
Pregunta 5.8 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
 
Explique intuitivamente el significado de la multicolinealidad imperfecta. ¿Qué sucede con las propiedades 
de los estimadores MICO y sus varianzas en presencia de este problema? 
 
Pregunta 5.9 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Mencione y explique las posibles soluciones para corregir los problemas de multicolinealidad perfecta e 
imperfecta. 
 
 
Pregunta 5.10 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Mencione y explique las principales diferencias que existen entre la prediccion media y la individual. 
 
 
Pregunta 5.11 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Explique cuidadosamente cómo utilizar variables dicotómicas (variables dummies) para detectar cambio 
estructural. ¿Cuáles son sus ventajas respecto a la prueba de estabilidad estructural basada en las sumas de 
cuadrados residuales? 
 
 
Pregunta 5.12 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
 
Se plantea que la empresa Za-Sa tiene una función de costos totales (CT) de forma polinomial de 
grado 3 respecto al insumo utilizado (X). Es decir, 
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CTi = β1 + β2 Xi +β3 2
i
X + β4 3
i
X + ui 
¿Cuál es el rango de la matriz X en este caso? ¿Qué debemos hacer para obtener estimaciones 
únicas de los MICO? ¿Debe transformarse el modelo previamente? ¿qué problemas se podrían 
presentar? Justifique cuidadosamente su respuesta. 
 
 
 
Pregunta 5.13 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1998) 
 
a) (4 puntos) A mayor multicolinealidad mayor R2. Comente. 
 
b) (5 puntos) Cuando existe alta multicolinealidad, la probabilidad de aceptar una hipótesis falsa aumenta. 
Comente. 
 
c) (9 puntos) Mencione y explique las posibles soluciones para atenuar los problemas de multicolinealidad 
perfecta e imperfecta. 
 
 
Pregunta 5.14 (Examen, 1er. Semestre de 1999) 
 
 
Un economista ha escuchado que “el precio del cobre depende de la evolución de las principales 
paridades internacionales” por lo que decide testear la validez de esta frase modelando el logaritmo 
natural del precio del cobre (pcu) en función de la cotización del yen respecto al dólar (yen) y del 
marco frente al dólar (dm). Se ha comprobado históricamente que si las paridades principales se 
deprecian frente al dólar el precio del cobre disminuye y viceversa. 
 
Regresión 1 
LS // Dependent Variable is LOG(PCU) 
Included observations: 78 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 5.503141 0.524551 10.49115 0.0000 
LOG(YEN) 0.023003 0.124356 0.184973 0.8538 
LOG(DM) -0.982842 0.186986 -5.256225 0.0000 
 
Regresión 2 
LS // Dependent Variable is LOG(DM) 
Included observations: 78 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -2.289998 0.193670 -11.82423 0.0000 
LOG(YEN) 0.582516 0.038354 15.18799 0.0000 
 
Regresión 3 
LS // Dependent Variable is LOG(PCU) 
Included observations: 72 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 7.753846 0.355978 21.78181 0.0000 
LOG(YEN) -0.549518 0.070497 -7.794960 0.0000 
 
 
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Regresión 4 
LS // Dependent Variable is LOG(PCU) 
Included observations: 72 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 5.599501 0.061019 91.76638 0.0000 
LOG(DM) -0.952547 0.089597 -10.63147 0.0000 
 
 
a) (15 puntos) Interprete cuidadosamente los resultados obtenidos por el economista. Analice los 
coeficientes de las regresiones 1, 3 y 4. ¿Le parece lógico el proceso seguido? ¿cuáles son las 
propiedades de los estimadores MICO de las regresiones 1 y 4? ¿Qué regresión utilizaría si su 
objetivo es la predicción del precio del cobre? Justifique su elección. 
 
b) (15 puntos) Otro economista le sugiere utilizar el residuo de la regresión 2 
(RESDM= iii ŶYe −= ) como variable explicativa en lugar de la cotización del marco. 
Explique la intuición detrás de este método. ¿Le parece un método correcto? Justifique. Analice 
los coeficientes obtenidos comparándolos con la regresión 1. 
 
LS // Dependent Variable is LOG(PCU) 
Included observations: 78 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 7.753846 0.302985 25.59153 0.0000 
LOG(YEN) -0.549518 0.060002 -9.158327 0.0000 
RESDM -0.982842 0.186986 -5.256225 0.0000 
 
 
Guia Econometria E-250 Heterocedasticidad 
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6. HETEROCESDASTICIDAD 
 
Ejercicio 6.1 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
a) La existencia de heterocedasticidad sesga los estimadores MICO tradicionales, pero no así sus varianzas 
estimadas. 
b) Un investigador desea estimar la relación entre la cantidad de traspasos de afiliados que se producen en 
las AFP respecto a la cantidad de vendedores que tiene cada administradora y la rentabilidad obtenida 
por cada una de ellas en los últimos 12 meses. Analizando los datos descubre que tanto la varianza del 
término de error como la cantidad de vendedores aumentan con el tamaño del fondo administrado por la 
empresa administradora de fondos. Explique el procedimiento que utilizaría para estimar los parámetros 
del modelo. 
c) Si la varianza del error aleatorio es proporcional a la variable explicativa X, entonces se deberá estimar 
una regresión con todos los datos divididos por X. 
d) Una de las ventajas del test de White es que permite detectar la forma de la heterocedasticidad. 
e) Si la varianza del término de error es proporcional a la variable explicativa, debemos correr una regresión 
con los datos originales divididos por X. Comente. 
 
 
Ejercicio 6.2 
 
Considere el siguiente modelo: 
Vi = β1 + β2 Yi +β3 Gi + ui 
 
donde Vi son las ventas de una empresa multinacional en el país i: Yi es el PIB del país i; y Gi es el monto 
gastado en publicidad por la empresa en el país i. 
 
a) Suponga que usted sospecha que el error es heterocedástico con una desviación estándar σi que depende 
del tamaño de la población (Pi) del país i. Describa paso a paso como puede usted testear esta hipótesis. 
Establezca la hipótesis nula y alternativa; las regresiones que debe realizar, el test estadísitco que debe 
calcular, su distribución y sus grados de libertad; y el criterio de aceptación o rechazo de la hipótesis nula. 
 
b) Supoga que usted encuentra que existe heterocedasticidad pero la ignora y utiliza MICO para estimar el 
modelo. ¿Son sus estimadores insegados y eficientes? ¿Qué sucede con los test t y F obtenidos? Justifique su 
respuesta. 
 
c) Suponga que σi = σ Pi. Describa paso a paso cómo puede usted obtener estimadores que sean eficientes. 
 
Ejercicio 6.3 
 
Dados las siguientes observaciones: 
 
Período X Y 
1 1 12 
2 9 26 
3 10 234 8 21 
5 1 12 
6 2 13 
 
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a) Aplique el test de Park para probar si existen perturbaciones heterocedásticas en el modelo el modelo de 
regresión simple: Yi = β1 + β2 Xi2 + ui 
 
b) Aplique el test de Glejser para probar si existen perturbaciones heterocedásticas en el modelo el modelo de 
regresión simple: Yi = β1 + β2 Xi2 + ui 
Trabaje con las siguientes formas funcionales: 
ei
2 = f(X,v) 
ei
2 = f(X2,v) 
ei
2 = f(X0.5,v) 
donde v es una perturbación aleatoria bien comportada. 
 
c) Dado que usted encontró la forma de la heterocedasticidad, describa paso a paso cómo puede ustede 
obtener estimadores que sean eficientes. 
 
Ejercicio 6.4 
 
Dado el modelo de regresión simple Yi = β1 + β2 Xi2 + ui y asumiendo que existe heterocedasticidad, es decir 
E ui i( )
2 2= σ ; 
a) Demostrar que la varianza del estimador MICO de la pendiente es: 
( )
V
x
x
i i
i
( $ )β
σ
2
2 2
2 2
=
∑
∑
 
b) Suponga que σ σi ik
2 2= donde es una constante y ki son ponderaciones conocidas y no necesariamente 
todas iguales. 
Utilizando este supuesto, demuestre que la varianza anterior se puede expresar como: 
 
V
x
x k
xi
i i
i
( $ )β
σ
2
2
2
2
2= ∑
∑
∑ 
 
El primer término al lado derecho de la ecuación corresponde a la fórmula de la varianza del estimador MICO 
bajo el supuesto de homocedasticidad. ¿Qué puede decir acerca de la naturaleza de la relación entre ambas 
varianzas? (Sugerencia: examine el segundo término al lado derecho de la fórmula anterior). 
¿Puede obtener usted alguna conclusión general sobre la relación existente entre ambas? 
 
 
Ejercicio 6.5 (Examen, 1er. Semestre de 1996) 
 
Sea el modelo 
 
Yt = β Xt + ut 
con t = 1,2.....N 
ut ∼ N (0, σt
2 ) donde σt
2 = σ2 t 
 
a) (5 puntos) ¿Qué propiedades tiene el estimador MICO del parámetro β? 
b) (5 puntos) ¿Existe un estimador con mejores propiedades? En este caso, derívelo, demostrando cómo se 
comportan los errores (“los ut”)? 
c) (10 puntos) Calcule la varianza del estimador propuesto y la del estimador MICO bajo los supuestos del 
modelo planteado. Compare ambas expresiones con el siguiente resultado: 
σ2
2Xt∑
 
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¿Cuál es menor? ¿Significa esto que el estimador propuesto no es eficiente? 
 
d) (10 puntos) Calcule el sesgo del siguiente estimador de σ2 
$σ2 = 
e
N
t
2
1
∑
−
 
donde et son los errores que surjen de estimar el modelo propuesto por MICO. 
 
e) (5 puntos) Calcule el sesgo del siguiente estimador de la varianza de $βMICO 
V ( $βMICO) = 
$σ2
2Xt∑
 
 
 
 
 
Ejercicio 6.6 (3er control - 1er semestre 1997) 
 
Un investigador quiere testear que el consumo está determinado por el ingreso disponible en una economía. 
Para eso estimó la siguiente regresión para una muestra de 30 datos. 
 
$ , ,C = +1480 0 0 788Yd 
obteniendo un R2 de 0.97 . Sin embargo el cree que los residuos presentan heterocedasticidad. Por eso ha 
estimado una regresión para las primeras 12 observaciones y otra regresión para las últimas 12 observaciones. 
Los datos que obtuvo se reportan a continuación: 
 
 
 
 Coeficiente 
Constante 
Coeficiente 
Ingreso Disponible 
R2 Suma de Cuadrados Residuales 
Regresión 1 846.7 0.837 0.91 1069000 
Regresión 2 2306.7 0.747 0.71 3344000 
 
 
a) Desarrolle un test que (con los datos disponibles) le permita testear la presencia de heterocedasticidad. Su 
respuesta debe incluir una explicación intuitiva del test, hipótesis nula, estadísticos y su distribución. 
 
b) Realice el test sugerido en el punto anterior utilizando los datos que se reportan. 
 
c) Explique como procedería Ud. para estimar la regresión en cuestión. 
 
 
Ejercicio 6.8 
Sea el modelo 
 
Yi = β1 + ui 
con i = 1,2.....N 
 
E(ui ) = .0 ∀ i 
E ( u i2 ) = i σ
2 
E (ui uj ) = 0 ∀ i≠j 
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a) ¿Cuál es el estimador MICO de β1? Explique breve e intuitivamente. 
b) ¿Cuál es el sesgo y varianza del estimador MICO de β1? Compare la varianza obtenida con la varianza 
MICO sin reconocer la existencia del problema? 
c) ¿Existe un estimador con mejores propiedades? En este caso, derívelo, demostrando cómo se comportan 
los errores (“los ut”)? Explique intuitivamente la forma del estimador encontrado. 
d) Calcule la varianza de este nuevo estimador y comparela con las dos varianzas calculadas anteriormente. 
Explique intuitivamente los resultados obtenidos. 
 
 
Ejercicio 6.9 (Examen, 2do. Semestre de 1997) 
 
 Sea el modelo 
 
Yi = β Xi + ui 
con i = 1,2.....N 
ui ∼ N [0, c(βXi)2 ] donde c es una constante. 
 
a) (5 puntos) ¿Qué propiedades tiene el estimador MICO del parámetro β? 
b) (10 puntos) ¿Existe un estimador con mejores propiedades? En este caso, derívelo matricialmente 
mostrando que es igual al promedio muestral de Yi/Xi. Explicite las propiedades de los nuevos errores (“los ui 
transformados”). 
c) (7 puntos) Calcule la varianza del estimador propuesto. 
d) (3 puntos) ¿Qué problemas surgirían si el valor de Xi es cero para algún i? 
d) (10 puntos) ¿Surgirían los mismos problemas que en el punto d si el modelo es Yi = β1+β2 Xi + ui donde 
σ2i= cE(Yi)?. Aunque usted no haya resuelto d), igualmente puede entregar la solución a este literal. 
 
 
Ejercicio 6.10 (Examen, 1er. Semestre de 1998) 
 
Sea el modelo 
Yi = β + ui 
con i = 1,2.....N 
 
E(ui ) = .0 ∀ i 
E ( u i2 ) = σ
2/X2 
E (ui uj ) = 0 ∀ i≠j 
 
a) (2 puntos) ¿Cuál es el estimador MICO de β? Explique breve e intuitivamente. 
b) (5 puntos) ¿Qué propiedades tiene el estimador MICO del parámetro β? 
c) (12 puntos) ¿Cuál es varianza del estimador MICO de β? Compare la varianza obtenida con la varianza del 
estimador MICO de β cuando u es ruido blanco? 
d) (8 puntos) ¿Existe un estimador con mejores propiedades? Si su respuesta es afirmativa, derívelo, 
demostrando cómo se comportan los errores? 
e) (8 puntos) Calcule la varianza de este nuevo estimador y compárela con las dos varianzas calculadas 
anteriormente. Explique intuitivamente los resultados obtenidos. 
 
 
Ejercicio 6.11 (Examen, 2do. Semestre de 1998) 
 
¿Cuál es la transformación adecuada para solucionar el problema de heterocedasticidad si la varianza del 
término de error es proporcional al cuadrado del valor medio de Y (es decir que [ ]2i22i )Y(E)(E σ=µ )? 
 
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Ejercicio 6.12 (Examen, 2do. Semestre de 1999) 
 
Sea el modelo 
Yi = β1 + β2 Xi + ui ∀ i 
 
E(µi ) = .0 ∀ i 
2
i
22
i X)(E σ=µ 
E (µi µj ) = 0 ∀ i≠j 
 
a) (4 puntos) ¿Cuál es el estimador MICO de β2? Demostrar que es insesgado. 
a) (4 puntos) ¿Qué propiedades tiene el estimador MICO del parámetro β2? 
b) (8 puntos) ¿Cuál es la varianza del estimador MICO de β2? Compare la varianza obtenida con la varianza 
del estimador MICO de β2 cuando µ es ruido blanco? 
c) (7 puntos) ¿Existe un estimador con mejores propiedades? Si su respuesta es afirmativa, derívelo, 
demostrando cómo se comportan los errores? 
 
 
Se desean estimar los parámetros de una función de consumo 
 
ii21i YC µ+β+β= i=1,2.....5000 
 
Al investigador le parece excesivo utilizar 5000 observaciones para estimar solo dos parámetros, por lo que 
agrupa las familias con renta parecida en 50 clases, obtiene la media de consumo e ingreso de cada clase y 
esas son las nuevas observaciones que utiliza en vez de las originales (el nuevo n=50). 
 
a. ¿Qué propiedades tiene la nueva perturbación? ¿Qué propiedades tiene la estimación MICO de los 
parámetros? 
 
b. Indique un método alternativo con mejores propiedades. Explique los pasos necesarios para tener una 
estimación eficiente de los parámetros. 
 
 
Ejercicio 6.13 (Examen, 1er. Semestre de 2000) 
 
3.1) (30 puntos) 
 
Se cuenta con información del gasto mensual promedio hecho con tarjetasde crédito recogida de una muestra 
representativa de 72 individuos de un cierto país industrializado. La Tabla 1 muestra una regresión lineal del 
gasto mensual en compras hechas con tarjeta de crédito (US$) en función de una constante, la edad (años), 
una variable dummy que toma el valor de 1 si la persona es dueña del lugar donde reside y 0 de lo contrario, 
el nivel de ingreso (en US$10.000) y su cuadrado: 
 
Tabla 1 
 
Variable dependiente: Gasto Mensual en Compras con Tarjeta de Crédito 
Número de observaciones: 72 
Variable Coeficiente Error Estándar Test t Probabilidad 
Constante -237.147 199.352 -1.189 0.238 
Edad -3.082 5.515 -0.559 0.578 
Dueño/Arrienda 27.940 82.922 0.337 0.737 
Ingreso 234.347 80.366 2.916 0.005 
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Ingreso2 -14.997 7.469 -2.008 0.048 
R2 0.244 Media variable dependiente 262.532 
R2 ajustado 0.198 Desv. estándar variable dependiente 318.047 
Error estándar de la regresión 284.751 Estadígrafo F 5.394 
Suma de cuadrados residuales 5432562 Probabilidad (Estadígrafo F) 0.000 
Log función de verosimilitud -506.489 Estadígrafo de Durbin-Watson 1.640 
 
 
Se presenta, asimismo, el siguiente gráfico: 
 
-500
0
500
1000
1500
0 2 4 6 8 10 12
INGRESO
R
ES
ID
U
O
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(a) (3 puntos) Interprete en términos económicos los resultados de la regresión anterior. 
(b) (10 puntos) Basándose en la información gráfica, ¿qué problema econométrico estaría presente en este 
modelo de gasto? ¿Qué propiedades tendrían esos estimadores de mínimos cuadrados ordinarios? 
¿Serían válidos los tests estadísticos que se presentan en la Tabla 1? Explique. 
(c) (6 puntos) Al inspeccionar el gráfico anterior, usted decide realizar dos tests: White y Glejser. De los 
resultados mostrados más abajo, ¿qué concluye? ¿Llevan estos tests a la misma conclusión? Si no, ¿a 
qué podría deberse ello? 
 
• Test de White. Se consideran dos especificaciones alternativas: incluyendo y excluyendo términos 
cruzados de los regresores de la Tabla 1: 
 
Especificación Estadígrafo Probabilidad 
Con términos cruzados 14.329 0.280 
Sin términos cruzados 7.920 0.244 
 
 
• Test de Glesjer. Los resultados de una regresión lineal entre el valor absoluto de û (el residuo de la 
regresión de mínimos cuadrados ordinarios de la Tabla 1) y dos de las variables explicativas fueron: 
 
Número de observaciones: 72 
Variable Coeficiente c Test t Probabilidad 
Constante 2.067 0.558 3.706 0.000 
Ingreso 1.243 0.259 4.797 0.000 
Ingreso2 -0.122 0.025 -4.907 0.000 
R2 0.259 Media variable dependiente 4.545 
R2 ajustado 0.238 Desv. Estándar variable dependiente 1.119 
Error estándar de la regresión 0.977 Estadígrafo F 12.07 
Suma de cuadrados residuales 65.858 Probabilidad (Estadígrafo F) 0.000 
Log función de verosimilitud -98.953 Estadígrafo de Durbin-Watson 1.750 
 
(d) (8 puntos) En base a la información proporcionada por el test de Glejser, ¿cómo corregiría el modelo de 
la Tabla 1 para obtener estimadores supuestamente eficientes? 
(e) (3 puntos) ¿Son los estimadores obtenidos en (d) necesariamente eficientes? Explique. 
 
3.2) (10 puntos) Explique los siguientes conceptos: variable aleatoria, ruido blanco, proceso autorregresivo, 
proceso de medias móviles y caminata aleatoria (random walk). 
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7. AUTOCORRELACIÓN 
 
Ejercicio 7.1 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
a) Si un modelo tiene una variable endógena rezagada como un regresor, y el estadístico de Durbin-Watson 
usando MICO queda dentro del intervalo determinado por dH y 1-dL, entonces podemos rechazar la 
hipotesis nula de que no existe autocorrelación de orden 1. 
 
b) El estadístico Durbin Watson puede utilizarse para probar la hipótesis de mala especificación de un 
modelo. Comente esta afirmación discutiendo la generalidad de su validez. 
 
c) El test de Durbin Watson no es aplicable en el siguiente modelo: 
 
Yt=β1D1+ β2 D2+β3 D3+β4 D4+β5 Tie+ui 
 
Donde Di son variables dummies de estacionalidad y la variable Tie es una variable de tendencia. 
 
d) Dado el siguiente modelo 
Yi = β1 + β2 Xi2 + ui 
con ui= ρ ui-4 + vi E(v) = 0; E(vv’) = σ2I 
 
no es posible obtener estimaciones para β1 y β2 insegadas y eficientes. 
 
e) Suponga que Yt=β1+β2 Xt +ut , con ut= ρ ut-1+ vt 
donde vt es un ruido blanco. 
Si se estima la ecuación en primeras diferencias por MICO es posible obtener estimaciones más eficientes que 
con la regresión de Yt respecto a Xt . Comente. 
 
 
Ejercicio 7.2 
 
El modelo verdadero de un fenómeno es: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 
 
con ui= ρ ui-4 + vi 
Ev = 0 Evv’= σ2I 
 
a) ¿Qué propieades tienen los estimadores MICO? 
b) ¿Cómo es la matriz de varianza-covarianza de los errores u? 
c) Proponga un método para estimar la ecuación que sea mejor que MICO? 
 
 
Ejercicio 7.3 
 
Un investigador necesita estimar una demanda por importaciones. Buscando en alguna bibliografía 
encuentra que un investigador realizó las siguientes regresiones, obteniendo los siguientes 
resultados para una muestra de 20 datos. 
 
• Mt= -56.13+0.13 PNBt +ei R2= 0.98 d=0.65 
• Mt= -20.89 +0.72 Mt-1+0.15 PNBt -0.12 PNB t-1 +ei R2= 0.99 d=1.96 
 
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a) Realice un test que le permita detectar la presencia de autocorrelación. 
b) Explique detalladamente el método de estimación que emplearía Ud. para estimar la regresión en 
cuestión. Justifique el método sugerido. 
 
 
Ejercicio 7.4 
 
Dado el siguiente modelo 
Yi = β1 + β2 Xi2 + β3Xi3 + ui 
con ui= ρ1 ui-2 +ρ2 ui-2 + vi E(v) = 0; E(vv’) = σ2I 
 
no es posible obtener estimaciones insesgadas y eficientes para β1 ,β2 y β3. 
 
 
 
Ejercicio 7.5 
Un investigador desea estimar el siguiente modelo de regresión Y=Xβ +u, donde las X son variables no 
estocásticas (fijas), E(ut)=0 , E(utus)=σ2 para t=s , pero E(utus) ≠ 0 para t≠s 
 
a. (15 puntos) Si el investigador sabe que el residuo se comporta de la siguiente manera : 
ut= εt+ δ.εt-1 con -1<δ<1 y 
 E(εt)=0 
 E(εtεs)=σ2 para t=s 
 E(εtεs) = 0 para t≠s 
 
 
¿Cuáles serían las propiedades de los estimadores si se estiman por MICO? Proponga un método de 
estimación de los coeficientes con mejores propiedades. Entregue expresiones matriciales para estos 
estimadores y sus varianzas, bajo el supuesto de que δ es conocido. 
 
 
Ejercicio 7.6 (Examen, 2do. Semestre de 1998) 
 
Se desea estimar el siguiente modelo de regresión Y=Xβ+µ, donde las X son variables no 
estocásticas (fijas), E(µt)=0 , E(µtµs)=σ2 para t=s , pero E(µtµs) ≠ 0 para t≠s 
 
Si el investigador sabe que el residuo se comporta de la siguiente manera : 
µt= εt- δ εt-1 con -1<δ<1 y 
 E(εt)=0 
 E(εtεs)=σ2 para t=s 
 E(εtεs) = 0 para t≠s 
 
Calcule la matriz de varianzas y covarianzas de vector µ. ¿Cuáles serían las propiedades de los 
estimadores si se estiman por MICO? Explique los pasos que seguiría para estimar este modelo con 
un método alternativo que presente mejores propiedades, bajo el supuesto de que δ es conocido. 
 
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8. ESPECIFICACIÓN DE MODELOS 
 
Ejercicio 8.1 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
a) La inclusión de una variable irrelevante en un modelo es siempre menos dañina que la exclusión de una 
variable relevante. 
 
b) La exclusión de una variable explicativa que pertenece al modelo y que es colineal con las incluídas 
siempre aumenta el error cuadrático medio de los estimadores de los coeficientes de las variables 
incluídas. 
 
c) Si se excluye de una regresión una variable relevante que es ortogonal a las incluídas, los test t de 
significancia individuales no se verán afectados. 
 
d) Errores de medida en la variable dependiente generan sesgos en los estimadoresMICO y aumentan sus 
varianzas. 
 
e) Errores de medida en una variable explicativa invalidan el supuesto de no correlación entre dicha 
variable y el error aleatorio. 
 
f) La inclusión de una variable irrelevante invalida el Teorema de Gauss-Markov. 
 
g) El error cuadrático medio del estimador del coeficiente respecto a Xi de una regresión que no incluye una 
variable explicativa que es ortogonal a Xi, es igual al obtenido si esa variable omitida se incluye en el 
modelo. 
 
h) Si una variable explicativa relevante para el modelo es omitida, los restantes parámetros del modelo serán 
sesgados. 
 
i) En un modelo con dos variable explicativas, ¿qué consecuencias tiene la omisión de una de ellas (que es 
ortogonal a la variable incluida) sobre la propiedad de insesgamiento de los estimadores de los 
parámetros incluidos y sus varianzas estimadas?. 
 
j) En la selección de un modelo es conveniente ir de lo general a lo particular. 
 
 
Ejercicio 8.2 (Examen, 1er. Semestre de 1996) 
 
Suponga que el verdadero modelo de regresión es de la forma: 
 
Yi = β1 + β2 Xi2 + ui 
 
pero se estima el siguiente modelo: 
 
Yi = α1 + α2 Xi2 +α3 Xi3 + ui 
 
a) (5 puntos) ¿Es α2 = β2 y α3 = 0? 
b) (5 puntos) ¿ $ $α β2 = 2 y $α3= 0? Es conveniente que proponga cuáles son los estimadores MICO de los 
parámetros de ambos modelos. 
c) (5 puntos) Demuestre que E ( $α3) = 0. 
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Ejercicio 8.3 
 
El modelo teórico correcto a estimar por MICO está representado por: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 +β4 Xi4 + ui 
 
Las relaciones entre las variables explicativas están descritas por las siguientes covarianzas: 
σ23 > 0; σ24 > 0; σ34 < 0 
 
Los signos de los coeficientes según el modelo teórico pertinente son: 
β2 > 0 β3 <0 β4 > 0 
 
Se pide analizar las consecuencias que la exclusión de Xi4 tendría sobre los sesgos de los ceficientes restantes 
del modelo. 
 
 
Ejercicio 8.4 (Examen, 1er. Semestre de 1995) 
 
Considere el siguiente modelo para el salario individual (Wi) en Chile: 
Wi = β1 + β2 Ti +β3 Mi +β4 Si + β5 Ei + ui 
 donde Ti es la cantidad de años de trabajo, Mi la cantidad de años de estudio, Si una variable dummy que 
adopta el valor 1 si es hombre y 0 si es mujer, y Ei la edad de la persona. 
 
a) ¿Cuál es el valor esperado de la estimación de β2 si se corre la regresión omitiendo la variable Ei? Especule 
sobre la dirección del sesgo, justificando su respuesta. 
b) ¿Qué sucedería si en vez de omitir Ei, se omite la variable sexo? 
 
 
Ejercicio 8.5 (Examen, 2do. Semestre de 1995) 
 
Suponga que el verdadero modelo de regresión es de la forma: 
 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 X
i2
2 + ui 
pero se estima el siguiente modelo: 
Yi = β1 + β2 Xi2 + ui 
 
a) ¿Es insesgado el estimador MICO de β2? Demuéstrelo. 
b) ¿Cuándo el sesgo es positivo y cuándo negativo? 
c) ¿Hubiera tenido los mismos problemas si el modelo inicial hubiera sido 
 
Yi = β1 + β2 ln Xi2 +β3 lnX
i2
2 + ui ? 
 
d) Si debiendo estimar Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 X
i2
2 + ui usted estimó Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 X
i2
2 +β4
3
i2
X + µi 
¿cuáles serían las propiedades de los estimadores? Compare los costos asociados a cometer los dos errores 
planteados en esta pregunta (el error descrito en el encabezado versus éste último). De su evaluación, ¿se 
deriva alguna regla para la especificación de modelos? 
 
 
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9. PROBLEMAS GENERALES 
 
 
Ejercicio 9.1 
 
 
a) El estimador Mínimo Cuadrado Generalizado (MCG) se considera un estimador más adecuado que el 
estimador MICO en el modelo lineal general, dado que proporciona un ajuste mejor a los datos 
muestrales. Comente. 
b) En un modelo de regresión lineal general, el R2 no puede ser alto si todos los parámetros son 
individualmente no significativos, porque en este caso una gran porcentaje de la variación de la variable 
dependiente queda sin explicar y por lo tanto el grado de ajuste debe ser pequeño. Comente. 
c) La heterocedasticidad y autocorrelación en el residuo conducen a estimaciones mínimo cuadradas 
ordinarias sesgadas de los parámetros y los errores standard. Comente. 
d) Suponga que una simple inspección de los residuos de una regresión realizada con datos trimestrales, le 
sugiera que la varianza del error es mayor en el cuarto trimestre que en los tres restantes. Diseñe un test 
que permita testear esta evidencia. 
e) El gráfico siguiente muestra los residuos de una regresión entre el logaritmo natural de las ventas de una 
empresa y el logaritmo del PIB. Analice detalladamente el comportamiento del residuo en el tiempo 
concluyendo respecto a las propiedades de los estimadores utilizados. 
 
-0.12
-0.08
-0.04
0.00
0.04
0.08
90 91 92 93 94 95 96 97
 
 
f) Explique la importancia de la estabilidad como atributo de un buen modelo. 
 
 
Ejercicio 9.2 
 
A priori deberíamos esperar que la evolución del deflactor del PIB (P) se encuentre estrechamente vinculada 
a la trayectoria de un índice de precios de transables (PT) y otro de no transables (PNT). Ante tal expectativa 
un economista postula la siguiente relación en términos logarítmicos: 
LP = β1 + β2 LPT + β3 LPNT + ui 
Se utilizaron proxies de precios de transables y no transables, y se corrió la siguiente regresión: 
 
 LP = 1.552 + 0,711 LWN + 0,294 LMIPM + ei 
 (1.125) (18,361) (7,059) 
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 Rc
2 = 0,997 DW= 0,82 F= 5155,6 
 
donde LWN es el logaritmo natural del Indice de Salario Nominal y LMIPM es el logaritmo natural del 
Componente Importado del Indice de Precios al por Mayor. Entre paréntesis se indican los valores de los test 
t. 
 
a) Discuta la plausibilidad teórica y la bondad de ajuste del modelo estimado. 
b) ¿Existe evidencia de violación de alguno de los supuestos clásicos? 
c) ¿Convendría realizar alguna reformulación en el modelo estimado? ¿Como la haría? 
 
 
Ejercicio 9.3 
 
Un estudio de la seguridad aérea postula que el número de personas que pierden la vida en accidentes (N) es 
una función lineal de gasto en programas de control de la seguridad en los aeropuertos (radares, etc) que 
denotaremos CS y del gasto en control de una adecuada reparación y respición de los aviones (CR). En otras 
palabras, el modelo teórico es: 
 
Ni = β1 + β2 CS + β3 CR + ui 
donde ui es un error aleatorio que se supone bien comportado. 
 
Para estudiar este problema, se reunen datos para Ni (medido en número de personas) CS y CR (medidos en 
UF) para los últimos 30 años, que corresponden al período en el cual el departamento de seguridad aérea ha 
estado funcionando. 
 
Al estudiar la ecuación (1) por MICO se obtiene: 
 
Ni = 25 - 1,0 CS - 1,2 CR + ui 
 (5,0) (0,71) (0,81) 
 
donde los números entre paréntesis son los errores estandar de cada coeficiente. También se obtiene R2 = 0,9 
y el DW =1,9. 
 
El R2 de una regresión auxiliar entre ei como variable dependiente y ei-1 y ei-2. CS y CR como variables 
independientes es 0,15. 
El de una regresión auxiliar entre ei
2 (cuadrado de cada residuo) como variable dependiente y CSi
2 , CRi
2 y 
CRi CSi como variables independientes es 0,1. 
 
( )
. .
. .
.
X X′ = −










−1
10 0 9 11
0 2 017
0 26
 
 
 
a) Comente la bondad general de la regresión, señalando qué problemas econométricos cree que ésta puede 
tener y por qué. Haga los tests pertinentes cuando la información lo permita. 
 
b) Si usted reestimara el modelo exclyuendo CRi ¿qué sucedería en términos generales, con el valor y el test t 
del nuevo estimador del coeficiente CSi? 
 
c) El jefe del departamento de seguridad aérea sostiene que su presupuesto ha sido utilizado eficientemente 
desde que se inició el departamento, hace 30 años. Por lo tanto β2 debe ser igual a β3 . ¿Cree usted que la 
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evidencia lo contradice? Si él estuviera en lo correcto ¿Sería esta información muy valiosa en este caso? 
¿Cómo usaría usted esta información para mejorar la estimación del modelo original? 
 
 
Ejercicio 9.4 (Examen, 1er. Semestre de 1995) 
 
Un economista ha estimado una función de producción de la economía chilena para el período 1960-1994 (35 
observaciones), obteniendo los siguientes resultados:. 
 
ln Yi = 6,489 + 0,921 ln Ki + 0,306 ln Li + 0,196 Pi + ei 
 (2,365) (0,631) (3,092) (0,368) 
 R c
2 = 0,961 DW= 0,55 F= 265,2 
 
donde LnY es el logaritmo natural del producto, LnK es el logaritmo natural del stock de capital, LnL es el 
logaritmo natural del trabajo y P es una variable asociada al progreso técnico global de la economía. 
Los números entre paréntesis son los valores de los estadísticos t. 
Ademas se conocen los coeficientes de correlación simple (r) entre las variables explicativas: 
rK,L = 0,61 ; rK,P = 0,96 y rP,L = 0,55. 
 
El R2 de una regresión auxiliar entre ei como variable dependiente y ei-1 , ei-2 , lnK, lnL y P como variables 
independientes es 0,13. 
El R2 de una regresión auxiliar que tiene como variable dependiente a ei
2 (cuadrado de cada residuo) y como 
variables explicativas al cuadrado de cada variable independiente, más los 3 productos cruzados de las 
variables independientes es 0,17. 
 
a) Discuta la plausibilidad teórica y la bondad de ajuste del modelo estimado, realizando los tests 
correspondientes, cuando la información entregada se lo permita. 
b)¿Existe evidencia de violación de algunos de los supuestos clásicos? ¿Qué propiedades tienen los 
estimadores MICO? ¿Y sus varianzas? 
c) ¿Cómo es la forma de la matriz de varianza-covarianza de los errores u? 
d) Proponga un método para estimar la ecuación que sea mejor que MICO. ¿Qué información adicional 
requiere para aplicar dicho método? ¿Podría obtenerla a partir de los datos entregados? 
e) Antes de aplicar dicho método ¿qué recursos debería haber agotado para solucionar el problema? 
 
 
Ejercicio 9.5 (Examen, 2do. Semestre de 1995) 
 
Considere el siguiente modelo para el costo de arrendar una oficina en la comuna de Providencia (Ci): 
 
Ci = β1 + β2 Hi +β3 CALi + ui 
 donde Hi es el número de habitaciones de la oficina y CALi es una variable dummy que adpota el valor 1 si 
la oficina tiene calefacción y 0 en caso contrario. A partir de una muestra de 20 observaciones, se obtuvieron 
los siguientes resultados: 
Ci = 7,78 + 2,26 Hi + 1,51 CALi + ei 
 (8,33) (9,51) (2,17) 
 
R2 = 0,84 DW = 2,13 
Además se dispone de las siguiente regresiones auxiliares: 
 
ei  = 1,46 - 0,73 CALi 
 (6,74) (2,28) 
 
ei  = 1,43 + 0,38 Hi - 0,39 CALi 
 (0,49) (5,15) (1,80) 
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ei  = 0,31 - 0,07 CAL2 
 (1,97) (6,77) 
 
Los términos entre paréntesis corresponde a los valores de los estadísticos t de los parámetros. 
 
a) A partir de la información disponible, discuta si en el modelo planteado los errores cumplen todos los 
supuestos clásicos. 
 
b) ¿Qué propiedades tienen los estimadores que dan lugar a las estimaciones obtenidas? 
Si fuera necesario, proponga estimadores alternativos. 
 
 
Ejercicio 9.6 (Examen, 2do. Semestre de 1995) 
 
Usted está intentando explicar los determinantes del consumo privado en Chile y ha encontrado la siguiente 
regresión: 
ln CPi = β1 + 0,95 Yi - 0,1 ri + ui 
 (9,22) (2,12) 
 
donde Y es el ingreso nacional y r la tasa de interés real. 
Además se sabe que: 
ei = 0,5 ei-1 - 0,7 ei-2 + εi 
(0,49) (5,15) 
 
Los términos entre paréntesis corresponde a los valores de los estadísticos t de los parámetros. 
 
a) ¿Existe evidencia de violación de algunos de los supuestos clásicos? ¿Qué propiedades tienen los 
estimadores MICO? ¿Y sus varianzas? Presentada esta situación ¿qué es lo primero que debería hacer para 
corregirla? 
 
b) Si no fuera posible corregirla, ¿cómo es la forma de la matriz de varianza-covarianza de los errores u en el 
modelo planteado? Calcule las autocovarianzas hasta que sea posible inducir las restantes. 
 
c) Proponga un método para estimar la ecuación que sea mejor que MICO. ¿Qué información requiere para 
aplicar dicho método? Describa un procedimiento para obtenerla? ¿Podría obtenerla a partir de los datos 
entregados? 
 
 
 
Ejercicio 9.7 (Examen, 1er. Semestre de 1996) 
 
Varios economistas vinculan el ciclo económico chileno a la evolución de los términos de intercambio 
(cuociente entre el precio promedio de las exportaciones y el de las importaciones, TIT) y de la trayectoria de 
las tasas de interés (TIRC1). Los resultados que se anexan refieren a la estimación de una regresión que 
utiliza como variable dependiente el logaritmo natural del PIB (LY) y como variables independientes las dos 
mencionadas, además de variables dummies estacionales (D1 y D3) y una variable de tendencia (TIE). Se 
asume que los efectos de TIT y TIRC1 se maximizan con 6 meses (2 trimestres) de rezago. 
 
a) (30 puntos) Presente un informe detallado respecto a los resultados obtenidos a partir de la estimación de la 
mencionada regresión Esto comprende discutir los siguiente tópicos: 
 
- plausibilidad teórica y la bondad de ajuste del modelo estimado; 
- significación individual de los parámetros (al 1% y al 5%) y significación global de la regresión; 
- estabilidad global de la regresión e individual de los coeficientes estimados; 
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- potencial incumplimiento de algunos de los supuestos clásicos; 
- presencia de multicolinealidad; 
- forma funcional incorrecta. 
 
b) (5 puntos) ¿Qué propiedades tienen los estimadores MICO? ¿Y sus varianzas? 
 
c) (10 puntos) ¿Cómo procedería para solucionar los problemas detectados en a)? 
 
 
LS // Dependent Variable is LY 
Sample(adjusted): 1986:3 1995:4 
Included observations: 38 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 13.60596 0.031390 433.4503 0.0000 
TIRC1(-2) -0.008062 0.001510 -5.338046 0.0000 
TI(-2) 0.000498 0.000264 1.887763 0.0682 
TIE 0.019228 0.000269 71.60869 0.0000 
D1 0.048089 0.006792 7.080067 0.0000 
D3 -0.032464 0.006682 -4.858629 0.0000 
 
R-squared 0.994806 Mean dependent var 14.00830 
Adjusted R-squared 0.993995 S.D. dependent var 0.215215 
S.E. of regression 0.016678 Akaike info criterion -8.043380 
Sum squared resid 0.008901 Schwarz criterion -7.784814 
Log likelihood 104.9046 F-statistic 1225.811 
Durbin-Watson stat 1.221888 Prob(F-statistic) 0.000000 
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04 13.6
13.8
14.0
14.2
14.4
87 88 89 90 91 92 93 94 95
Residual Actual Fitted
 
 
 
 
 
 
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Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
F-statistic 1.756199 Probability 0.165822 
Obs*R-squared 7.621521 Probability 0.106469 
 
LS // Dependent Variable is RESID 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -0.005303 0.032277 -0.164305 0.8707 
TIRC1(-2) -0.000131 0.001583 -0.082493 0.9348 
TI(-2) 6.35E-05 0.000295 0.214748 0.8315 
TIE -3.23E-05 0.000258 -0.125063 0.9014 
D1 0.000659 0.006643 0.099152 0.9217 
D3 -0.001788 0.006612 -0.270502 0.7888 
RESID(-1) 0.502290 0.193748 2.592491 0.0150 
RESID(-2) -0.288596 0.215720 -1.337832 0.1917 
RESID(-3) 0.215011 0.217817 0.987119 0.3320 
RESID(-4) -0.098801 0.206039 -0.479527 0.6353 
R-squared 0.200566 Mean dependent var -6.39E-15 
Adjusted R-squared -0.056394 S.D. dependent var 0.015510S.E. of regression 0.015942 Akaike info criterion -8.056705 
Sum squared resid 0.007116 Schwarz criterion -7.625762 
Log likelihood 109.1577 F-statistic 0.780533 
Durbin-Watson stat 1.970641 Prob(F-statistic) 0.635679 
 
White Heteroskedasticity Test: 
F-statistic 0.393970 Probability 0.971346 
Obs*R-squared 9.532901 Probability 0.922048 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:3 1995:4 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.002822 0.015441 0.182770 0.8568 
TIRC1(-2) -0.000658 0.001639 -0.401389 0.6924 
TIRC1(-2)^2 -3.44E-05 2.03E-05 -1.690383 0.1065 
TIRC1(-2)*TI(-2) 1.30E-05 1.56E-05 0.833337 0.4145 
TIRC1(-2)*TIE -7.06E-06 1.40E-05 -0.505051 0.6190 
TIRC1(-2)*D1 -0.000141 0.000189 -0.748019 0.4632 
TIRC1(-2)*D3 0.000161 0.000205 0.785084 0.4416 
TI(-2) -3.07E-05 0.000193 -0.158770 0.8754 
TI(-2)^2 -2.11E-07 6.17E-07 -0.341963 0.7359 
TI(-2)*TIE -1.07E-06 1.32E-06 -0.814261 0.4251 
TI(-2)*D1 -4.12E-06 2.40E-05 -0.171248 0.8657 
TI(-2)*D3 -4.86E-06 1.70E-05 -0.286470 0.7775 
TIE 0.000111 0.000185 0.599657 0.5555 
TIE^2 1.38E-06 1.65E-06 0.832881 0.4147 
TIE*D1 1.00E-05 2.08E-05 0.482236 0.6349 
TIE*D3 -5.04E-06 1.93E-05 -0.261633 0.7963 
D1 0.001303 0.002508 0.519589 0.6091 
D3 -0.000561 0.002367 -0.236866 0.8152 
R-squared 0.250866 Mean dependent var 0.000234 
Adjusted R-squared -0.385898 S.D. dependent var 0.000326 
S.E. of regression 0.000384 Akaike info criterion -15.42266 
Sum squared resid 2.95E-06 Schwarz criterion -14.64696 
Log likelihood 257.1109 F-statistic 0.393970 
Durbin-Watson stat 2.351643 Prob(F-statistic) 0.971346 
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Ramsey RESET Test: 
F-statistic 0.104363 Probability 0.748824 
Log likelihood ratio 0.127714 Probability 0.720814 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is LY 
Sample: 1986:3 1995:4 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 9.447423 12.87266 0.733914 0.4685 
TIRC1(-2) -0.002833 0.016257 -0.174291 0.8628 
TI(-2) 0.000198 0.000967 0.204358 0.8394 
TIE 0.007115 0.037499 0.189728 0.8508 
D1 0.017846 0.093869 0.190118 0.8505 
D3 -0.012176 0.063166 -0.192761 0.8484 
Fitted^2 0.022464 0.069536 0.323053 0.7488 
R-squared 0.994824 Mean dependent var 14.00830 
Adjusted R-squared 0.993822 S.D. dependent var 0.215215 
S.E. of regression 0.016917 Akaike info criterion -7.994109 
Sum squared resid 0.008871 Schwarz criterion -7.692449 
Log likelihood 104.9684 F-statistic 992.9356 
Durbin-Watson stat 1.225979 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
LS // Dependent Variable is TIRC1 
Sample: 1986:1 1995:4 
Included observations: 40 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 7.848476 3.202584 2.450670 0.0194 
TI 0.003172 0.028676 0.110615 0.9126 
TIE 0.030258 0.028864 1.048284 0.3017 
D1 0.252476 0.752158 0.335668 0.7391 
D3 -0.069105 0.739314 -0.093472 0.9261 
R-squared 0.043235 Mean dependent var 8.887500 
Adjusted R-squared -0.066109 S.D. dependent var 1.830060 
S.E. of regression 1.889584 Akaike info criterion 1.389182 
Sum squared resid 124.9684 Schwarz criterion 1.600291 
Log likelihood -79.54117 F-statistic 0.395403 
Durbin-Watson stat 0.268513 Prob(F-statistic) 0.810527 
 
LS // Dependent Variable is TI 
Sample: 1986:1 1995:4 
Included observations: 40 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 108.1596 9.117795 11.86247 0.0000 
TIRC1 0.110174 0.996013 0.110615 0.9126 
TIE 0.436873 0.156184 2.797165 0.0083 
D1 -5.805384 4.330194 -1.340675 0.1887 
D3 3.664914 4.313453 0.849647 0.4013 
R-squared 0.267385 Mean dependent var 117.5595 
Adjusted R-squared 0.183657 S.D. dependent var 12.32551 
S.E. of regression 11.13631 Akaike info criterion 4.936890 
Sum squared resid 4340.606 Schwarz criterion 5.148000 
Log likelihood -150.4953 F-statistic 3.193514 
Durbin-Watson stat 0.707700 Prob(F-statistic) 0.024526 
 
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CORRELATION MATRIX 
 
 LY D1 D3 TI(-2) TIRC1(-2) TIE 
 
LY 1.000000 0.098373 -0.135791 0.381149 0.163983 0.984568 
D1 0.098373 1.000000 -0.332923 0.163590 -0.008002 -0.025401 
D3 -0.135791 -0.332923 1.000000 -0.250251 0.038700 -0.027249 
TI(-2) 0.381149 0.163590 -0.250251 1.000000 0.121740 0.332882 
TIRC1(-2) 0.163983 -0.008002 0.038700 0.121740 1.000000 0.235992 
TIE 0.984568 -0.025401 -0.027249 0.332882 0.235992 1.000000 
 
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
CUSUM of Squares 5% Significance
 
-20
-10
0
10
20
88 89 90 91 92 93 94 95
CUSUM 5% Significance
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13.2
13.3
13.4
13.5
13.6
13.7
13.8
13.9
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
-0.02
-0.01
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-0.006
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(5) Estimates ± 2 S.E.
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(6) Estimates ± 2 S.E.
 
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Ejercicio 9.8 
 
Los resultados que se anexan refieren a la estimación de un modelo que intenta explicar la demanda por 
importaciones totales a nivel trimestral en Chile. Se utiliza como variable dependiente el logaritmo natural de 
las importaciones (LMTR) y como variables independientes las el logaritmo natural del PIB (LY), variables 
dummies estacionales (D1, D2, D3 y D4) y una variable de tendencia (TIE). 
 
a) (10 puntos) Complete los espacios en blanco de la salida de E-Views presentada en el Cuadro 1. 
b) (7 puntos) Interprete cuidadosamente el significado económico de los 7 parámetros estimados del modelo. 
c) (8 puntos) Un economista le expresa que el DW no puede ser utilizado para probar autocorrelación porque 
el modelo carece de constante. Comente. 
d) (20 puntos) Presente un informe detallado respecto a los resultados obtenidos a partir de la estimación de la 
mencionada regresión Esto comprende discutir los siguiente tópicos: 
- bondad de ajuste del modelo estimado (significación individual de los parámetros y significación global de 
la regresión) 
- potencial incumplimiento de algunos de los supuestos clásicos; 
- estabilidad global de la regresión e individual de los coeficientes estimados; 
 
Si la información disponible para efectuar su informe es insuficiente, mencione qué otra requeriría. 
 
e) (8 puntos) Otro economista le sugiere que su modelo está mal especificado por cuando no recoge el efecto 
del tipo de cambio real en la demanda por importaciones. ¿Qué consecuencias ocasioría la omisión de esta 
variable explicativa? 
f) (7 puntos) ¿Qué propiedades tienen los estimadores MICO? ¿Y sus varianzas? 
 
Nota: Debe trabajar con 3 decimales. 
 
CUADRO 1 
 
LS // Dependent Variable is LMTR
Date: 11/03/96 Time: 11:11
Sample(adjusted): 1986:1 1995:4
Included observations: 40 after adjusting endpoints
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D1 ................................. 4.128046 -4.976690 .................................
D2 -20.52253 ................................. -4.983847 .................................D3 -20.35477 4.105172 -4.958324 0.000
D4 -20.50230 4.116547 ................................. .................................
TIE ................................ 0.005248 -1.892027 0.067
LY 2.405879 0.345035 ................................. 0.000
R-squared ................................ Mean dependent var 12.92348
Adjusted R-squared ................................ S.D. dependent var 0.374682
S.E. of regression 0.037026 Akaike info criterion -6.454807
Sum squared resid ................................ Schwarz criterion -6.201475
Log likelihood 78.3386 F-statistic ................................
Durbin-Watson stat 1.139564 Prob(F-statistic) 0.000000
 
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-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
Residual Actual Fitted
 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
 
F-statistic 3.394364 Probability 0.020977 
Obs*R-squared 12.46283 Probability 0.014222 
 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
D1 -4.033864 4.721593 -0.854344 0.3997 
D2 -4.028010 4.709404 -0.855312 0.3992 
D3 -4.011945 4.693020 -0.854875 0.3994 
D4 -4.020439 4.703055 -0.854857 0.3994 
TIE -0.005470 0.006587 -0.830450 0.4128 
LY 0.295684 0.346060 0.854429 0.3996 
RESID(-1) 0.603533 0.180527 3.343166 0.0022 
RESID(-2) -0.177641 0.215552 -0.824120 0.4164 
RESID(-3) 0.018329 0.215125 0.085200 0.9327 
RESID(-4) 0.228018 0.202135 1.128047 0.2682 
 
R-squared 0.311571 Mean dependent var -4.42E-15 
Adjusted R-squared 0.105042 S.D. dependent var 0.042653 
S.E. of regression 0.040351 Akaike info criterion -6.207961 
Sum squared resid 0.048846 Schwarz criterion -5.785741 
Log likelihood 77.40167 F-statistic 1.508606 
Durbin-Watson stat 2.093903 Prob(F-statistic) 0.190111 
 
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White Heteroskedasticity Test: 
 
F-statistic 1.807610 Probability 0.127992 
Obs*R-squared 9.894400 Probability 0.129170 
 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:1 1995:4 
Included observations: 40 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -0.255825 0.190560 -1.342493 0.1886 
D1 -0.000293 0.001108 -0.264071 0.7934 
D2 0.001322 0.000850 1.555332 0.1294 
D3 0.000815 0.000912 0.893893 0.3779 
TIE -0.000343 0.000267 -1.283859 0.2081 
TIE^2 -1.60E-06 2.46E-06 -0.647832 0.5216 
LY 0.018945 0.014013 1.352020 0.1856 
 
R-squared 0.247360 Mean dependent var 0.001774 
Adjusted R-squared 0.110516 S.D. dependent var 0.001926 
S.E. of regression 0.001816 Akaike info criterion -12.46420 
Sum squared resid 0.000109 Schwarz criterion -12.16864 
Log likelihood 199.5264 F-statistic 1.807610 
Durbin-Watson stat 1.711383 Prob(F-statistic) 0.127992 
 
 
 
-20
-10
0
10
20
88 89 90 91 92 93 94 95
CUSUM 5% Significance
 
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-60
-40
-20
0
20
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
-60
-40
-20
0
20
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-60
-40
-20
0
20
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
-60
-40
-20
0
20
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(5) Estimates ± 2 S.E.
-1
0
1
2
3
4
5
1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Recursive C(6) Estimates ± 2 S.E.
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Ejercicio 9.9 
 
Una importante empresa eléctrica desea realizar un estudio de demanda por energía eléctrica. Como modelo 
inicial se postula el siguiente: 
 
LEt= β1+β2 LYt +β3 TIE + β4 LPEt+ β5 LPGt+ ut 
 
LE = logarítmo del consumo de energía eléctrica 
LYt = logarítmo del PIB 
TIE = tiempo, de forma de reflejar el posible cambio técnico 
LPEt = logarítmo del precio de la energía electrica 
LPGt = logarítmo del precio del gas 
Sin embargo, por problemas en disponibilidad de los datos, el modelo finalmente estimado es: 
 
LEt= -1.246+ 0.168 LYt+0.002 TIE +et 
 (-3.4) (2.9) (13.9) 
 
R2 =0.9937 
DW =1.1 
 
Analice en detalle las propiedades de sesgo, eficiencia y consistencia de los estimadores MICO. 
 
 
Ejercicio 9.10 
 
Los responsables de un programa de estudios de Postgrado de una Universidad desean conocer los factores 
que explican la nota promedio de sus egresados. 
Se dispone de información para una muestra de 92 egresados, con la cual pretende especificar un modelo en 
que se recojan los efectos de las siguientes variables: resultado prueba de admisión (PRUEBA), edad 
(EDAD), estado civil (DCASADO: variable dummy que toma valor 1 si la persona es casada), sexo 
(DMUJER: variable dummie que toma valor 1 si la persona es mujer), nacionalidad (zona i= variables 
dummie que toma valor 1 si la persona es nacional de la zona i) y conocimiento de inglés (DINGLES: 
variable dummie que toma valor 1 si la persona tiene conocimiento de ingles) 
 
En base a esto se ha estimado el siguiente modelo: 
LS // Dependent Variable is PFINAL 
Included observations: 92 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 6.464997 0.501502 12.89127 0.0000 
PRUEBA 0.010257 0.002750 3.729706 0.0003 
EDAD -0.071436 0.014451 -4.943508 0.0000 
DCASADO -0.256322 0.102116 -2.510112 0.0140 
DMUJER -0.104609 0.099425 -1.052134 0.2957 
DZONA1 -0.126157 0.108900 -1.158459 0.2499 
DINGLES 0.133424 0.094402 1.413352 0.0512 
 
R-squared 0.634886 Mean dependent var 4.873913 
Adjusted R-squared 0.609113 S.D. dependent var 0.651772 
S.E. of regression 0.407494 Akaike info criterion -1.722422 
Sum squared resid 14.11435 Schwarz criterion -1.530547 
Log likelihood -44.31091 F-statistic 24.63400 
Durbin-Watson stat 1.322585 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
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Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2
3
4
5
6
7
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Residual Actual Fitted
 
 
PARTE I. (25 puntos) 
a) (10 puntos) Presente un informe sobre los resultados obtenidos respecto a los siguiente tópicos: ánalisis 
de los coeficientes, su signo y significancia, bondad de ajuste del modelo estimado. 
b) (5 puntos) El Director del Programa de Postgrado tiene la hipótesis de que las únicas variables que 
explican significativamente la nota promedio del egresado son “el puntaje en la prueba de admisión” y la 
edad. ¿Cómo testearía esta hipótesis? 
c) (5 puntos) Especifique el modelo suponiendo que la variable sexo no sólo afecta el intercepto de la 
regresión, pero si el coeficiente asociado a la variable “puntaje en la prueba de admisión”. ¿Cómo 
testearía la hipótesis de que las mujeres tienen un mejor rendimiento que los hombres? 
d) (5 puntos) La persona encargada de seleccionar a los alumnos, cree que a partir de su ingreso al cargo los 
alumnos estuvieron mejor seleccionados y por eso mejoraron sus resultados académicos. ¿Cómo testearía 
esta hipótesis? 
 
PARTE II (25 puntos) 
 
A continuación se anexan los resultados de test adicionales realizados: 
F-statistic 1.220135 Probability 0.272311 
Obs*R-squared 1.230682 Probability 0.267274 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Included observations: 91 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 0.172758 0.032804 5.266343 0.0000 
RESID^2(-1) -0.142250 0.128780 -1.104597 0.2723R-squared 0.013524 Mean dependent var 0.153174 
Adjusted R-squared 0.002440 S.D. dependent var 0.263612 
S.E. of regression 0.263290 Akaike info criterion -2.647267 
Sum squared resid 6.169614 Schwarz criterion -2.592084 
Log likelihood -6.672744 F-statistic 1.220135 
Durbin-Watson stat 1.617635 Prob(F-statistic) 0.272311 
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White Heteroskedasticity Test: 
 
F-statistic 2.997776 Probability 0.005290 
Obs*R-squared 20.62364 Probability 0.008217 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Date: 07/09/97 Time: 13:41 
Sample: 1 92 
Included observations: 92 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -1.237255 1.644680 -0.752277 0.4540 
PRUEBA 0.003178 0.006465 0.491633 0.6243 
PRUEBA^2 1.10E-07 5.36E-05 0.002056 0.9984 
EDAD 0.070401 0.108291 0.650107 0.5174 
EDAD^2 -0.001016 0.001739 -0.584510 0.5605 
DCASADO 0.082624 0.060936 1.355914 0.1788 
DMUJER 0.147869 0.060521 2.443277 0.0167 
DZONA1 0.140648 0.064871 2.168117 0.0330 
DINGLES -0.138333 0.056232 -2.460022 0.0160 
 
R-squared 0.224170 Mean dependent var 0.153417 
Adjusted R-squared 0.149391 S.D. dependent var 0.262169 
S.E. of regression 0.241795 Akaike info criterion -2.746627 
Sum squared resid 4.852575 Schwarz criterion -2.499930 
Log likelihood 4.802498 F-statistic 2.997776 
Durbin-Watson stat 1.946403 Prob(F-statistic) 0.005290 
 
 
 
4
5
6
7
8
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
0.000
0.004
0.008
0.012
0.016
0.020
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(5) Estimates ± 2 S.E.
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(6) Estimates ± 2 S.E.
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
30 40 50 60 70 80 90
Recursive C(7) Estimates ± 2 S.E. 
 
 
a) (10 puntos) Analice potencial incumplimiento de algunos de los supuestos clásicos. 
b) (5 puntos) Analice estabilidad global de la regresión e individual de los coeficientes estimados. 
c) (5 puntos) En base a su análisis anterior, indique las propiedades de los estimadores obtenidos. 
d) (5 puntos) Un hombre soltero de la zona 2, de 25 años que obtuvo 60 puntos en la prueba de admisión y 
sabe inglés, desea ingresar al Programa. ¿Admitiría Ud. al alumno? 
 
 
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
20 30 40 50 60 70 80 90
CUSUM of Squares 5% Significance
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Ejercicio 9.11 (Examen, 2do. Semestre de 1997) 
 
Los resultados que se presentan a continuación se refieren a la estimación de un modelo que intenta explicar 
la evolución del logaritmo natural de la variable Y (LY) considerando datos trimestrales. Se utilizan como 
variables independientes el logaritmo natural de la variable X (LX), variables dummies estacionales para el 
primer y segundo trimestre (D1 y D2) y la variable Z en su nivel original. 
 
LS // Dependent Variable is LY 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -10.41558 0.514226 -20.25488 0.0000 
LX 1.657531 0.037022 44.77150 0.0000 
Z -0.021615 0.004426 -4.883468 0.0000 
D1 -0.169426 0.018983 -8.925102 0.0000 
D2 -0.088311 0.018924 -4.666597 0.0000 
 
R-squared 0.982086 Mean dependent var 12.50782 
Adjusted R-squared 0.980149 S.D. dependent var 0.357112 
S.E. of regression 0.050314 Akaike info criterion -5.867581 
Sum squared resid 0.093667 Schwarz criterion -5.660715 
Log likelihood 68.62378 F-statistic 507.1030 
Durbin-Watson stat 0.588222 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
0
2
4
6
8
-0.10 -0.05 0.00 0.05
Series: Residuals
Sample 1986:1 1996:2
Observations 42
Mean -1.19E-14
Median -7.20E-05
Maximum 0.082463
Minimum -0.104225
Std. Dev. 0.047797
Skewness -0.063403
Kurtosis 2.254106
Jarque-Bera 1.001766
Probability 0.605995
 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
F-statistic 17.25064 Probability 0.000006 
Obs*R-squared 20.84931 Probability 0.000030 
 
LS // Dependent Variable is RESID 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.043486 0.376557 0.115484 0.9087 
LX -0.001500 0.027056 -0.055432 0.9561 
Z -0.002553 0.003488 -0.731855 0.4691 
D1 -0.002355 0.014066 -0.167411 0.8680 
D2 0.000711 0.013820 0.051468 0.9592 
RESID(-1) 0.772165 0.169246 4.562384 0.0001 
RESID(-2) -0.076058 0.185464 -0.410096 0.6842 
 
R-squared 0.496412 Mean dependent var -1.19E-14 
Adjusted R-squared 0.410083 S.D. dependent var 0.047797 
S.E. of regression 0.036711 Akaike info criterion -6.458340 
Sum squared resid 0.047170 Schwarz criterion -6.168728 
Log likelihood 83.02971 F-statistic 5.750212 
Durbin-Watson stat 1.988116 Prob(F-statistic) 0.000303 
 
 
 
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96
Residual Actual Fitted 
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White Heteroskedasticity Test: 
 
F-statistic 1.025126 Probability 0.425448 
Obs*R-squared 6.277689 Probability 0.392813 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -0.412926 2.103938 -0.196263 0.8455 
LX 0.059417 0.300610 0.197655 0.8445 
LX^2 -0.002232 0.010753 -0.207520 0.8368 
Z 0.004013 0.002051 1.957055 0.0584 
Z^2 -0.000189 9.59E-05 -1.967531 0.0571 
D1 0.000643 0.001002 0.641239 0.5255 
D2 0.001406 0.000990 1.420790 0.1642 
 
R-squared 0.149469 Mean dependent var 0.002230 
Adjusted R-squared 0.003663 S.D. dependent var 0.002583 
S.E. of regression 0.002578 Akaike info criterion -11.77058 
Sum squared resid 0.000233 Schwarz criterion -11.48097 
Log likelihood 194.5869 F-statistic 1.025126 
Durbin-Watson stat 1.404719 Prob(F-statistic) 0.425448 
 
 
 
White Heteroskedasticity Test: 
 
F-statistic 1.762009 Probability 0.106966 
Obs*R-squared 16.48468 Probability 0.124070 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -2.372415 2.039280 -1.163359 0.2539 
LX 0.288052 0.289964 0.993406 0.3285 
LX^2 -0.008511 0.010388 -0.819381 0.4190 
LX*Z -0.006331 0.002612 -2.423910 0.0216 
LX*D1 0.008132 0.004201 1.935684 0.0624 
LX*D2 0.000550 0.004284 0.128321 0.8988 
Z 0.091397 0.035405 2.581457 0.0150 
Z^2 -0.000176 0.000117 -1.509402 0.1417 
Z*D1 0.000928 0.000592 1.568425 0.1273 
Z*D2 0.000917 0.000590 1.554216 0.1306 
D1 -0.121423 0.058737 -2.067223 0.0474 
D2 -0.014297 0.059551 -0.240073 0.8119 
 
R-squared 0.392492 Mean dependent var 0.002230 
Adjusted R-squared 0.169740 S.D. dependent var 0.002583 
S.E. of regression 0.002353 Akaike info criterion -11.86899 
Sum squared resid 0.000166 Schwarz criterion -11.37251 
Log likelihood 201.6533 F-statistic 1.762009 
Durbin-Watson stat 1.558349 Prob(F-statistic) 0.106966 
 
 
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Ramsey RESET Test: 
 
F-statistic 12.97813 Probability 0.000944 
Log likelihood ratio 12.92991 Probability 0.000323Test Equation: 
LS // Dependent Variable is LY 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -99.43353 24.71397 -4.023373 0.0003 
LX 10.51283 2.458296 4.276469 0.0001 
Z -0.138137 0.032573 -4.240891 0.0001 
D1 -1.067502 0.249836 -4.272801 0.0001 
D2 -0.556442 0.130982 -4.248221 0.0001 
Fitted^2 -0.213600 0.059292 -3.602517 0.0009 
 
 
R-squared 0.986833 Mean dependent var 12.50782 
Adjusted R-squared 0.985004 S.D. dependent var 0.357112 
S.E. of regression 0.043731 Akaike info criterion -6.127817 
Sum squared resid 0.068848 Schwarz criterion -5.879578 
Log likelihood 75.08873 F-statistic 539.6109 
Durbin-Watson stat 1.050784 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
88 89 90 91 92 93 94 95 96
CUSUM of Squares 5% Significance
 
 
-20
-10
0
10
20
88 89 90 91 92 93 94 95 96
CUSUM 5% Significance
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Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
-25
-20
-15
-10
-5
0
89 90 91 92 93 94 95 96
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
89 90 91 92 93 94 95 96
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
89 90 91 92 93 94 95 96
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
-0.24
-0.22
-0.20
-0.18
-0.16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
89 90 91 92 93 94 95 96
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.16
-0.14
-0.12
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
89 90 91 92 93 94 95 96
Recursive C(5) Estimates ± 2 S.E.
 
a) (9 puntos) Interprete cuidadosamente el significado económico de los parámetros estimados en el modelo 
(incluyendo el desvío estándar de la regresión). 
 
b) (20 puntos) Presente un informe detallado respecto a los resultados obtenidos a partir de la estimación de 
la mencionada regresión Esto comprende discutir los siguiente tópicos: 
- bondad de ajuste del modelo estimado (significación individual de los parámetros y significación global de 
la regresión) 
- potencial incumplimiento de algunos de los supuestos clásicos; 
- estabilidad global de la regresión e individual de los coeficientes estimados; 
 
c) (6 puntos) ¿Qué propiedades tienen los estimadores MICO? ¿Y sus varianzas? 
 
 
Ejercicio 9.12 (Examen, 1er. Semestre de 1998) 
 
Los resultados que se presentan a continuación se refieren a la estimación de un modelo que explica la 
evolución del logaritmo natural de las ventas de una empresa (LVTAS) considerando datos trimestrales. Se 
utilizan como variables independientes el logaritmo natural del PIB (LY), variables dummy estacionales (D2, 
D3 y D4) y la tasa de interés real. 
 
LS // Dependent Variable is LVTAS 
Sample(adjusted): 1986:1 1998:1 
Included observations: 49 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -2.785039 0.338516 -8.227209 0.0000 
D2 0.030357 0.015711 1.932197 0.0599 
D3 0.026547 0.015595 1.702234 0.0959 
D4 0.005221 0.016255 0.321194 0.7496 
LY 1.116253 0.023466 47.56888 0.0000 
R -0.064231 0.011179 -5.745900 0.0000 
 
R-squared 0.987667 Mean dependent var 12.84754 
Adjusted R-squared 0.986233 S.D. dependent var 0.327672 
S.E. of regression 0.038447 Akaike info criterion -6.402687 
Sum squared resid 0.063560 Schwarz criterion -6.171035 
Log likelihood 93.33783 F-statistic 688.7177 
Durbin-Watson stat 0.880905 Prob(F-statistic) 0.000000 
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
 
F-statistic 6.490140 Probability 0.000420 
Obs*R-squared 19.58215 Probability 0.000604 
est Equation: 
LS // Dependent Variable is RESID 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.298371 0.296540 1.006176 0.3205 
D2 0.004998 0.012888 0.387823 0.7003 
D3 0.003036 0.012747 0.238144 0.8130 
D4 0.008464 0.013587 0.622960 0.5369 
LY -0.019538 0.020401 -0.957726 0.3441 
R -0.018261 0.011369 -1.606231 0.1163 
RESID(-1) 0.782471 0.158253 4.944419 0.0000 
RESID(-2) -0.319577 0.191960 -1.664811 0.1040 
RESID(-3) 0.207210 0.189409 1.093978 0.2807 
RESID(-4) 0.028455 0.170681 0.166715 0.8685 
R-squared 0.399636 Mean dependent var -6.53E-15 
Adjusted R-squared 0.261090 S.D. dependent var 0.036389 
S.E. of regression 0.031280 Akaike info criterion -6.749640 
Sum squared resid 0.038159 Schwarz criterion -6.363554 
Log likelihood 105.8382 F-statistic 2.884506 
Durbin-Watson stat 2.131722 Prob(F-statistic) 0.010346 
 
White Heteroskedasticity Test: 
F-statistic 1.667412 Probability 0.144242 
Obs*R-squared 10.85821 Probability 0.144925 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:1 1998:1 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -0.638336 0.960453 -0.664620 0.5100 
D2 0.000891 0.000866 1.029485 0.3093 
D3 7.54E-05 0.000841 0.089677 0.9290 
D4 0.001211 0.000874 1.385513 0.1734 
LY 0.094980 0.136766 0.694470 0.4913 
LY^2 -0.003512 0.004865 -0.721882 0.4745 
R -0.001465 0.002891 -0.506922 0.6149 
R^2 0.000200 0.000763 0.262650 0.7941 
R-squared 0.221596 Mean dependent var 0.001297 
Adjusted R-squared 0.088698 S.D. dependent var 0.002131 
S.E. of regression 0.002034 Akaike info criterion -12.24676 
Sum squared resid 0.000170 Schwarz criterion -11.93789 
Log likelihood 238.5177 F-statistic 1.667412 
Durbin-Watson stat 1.685844 Prob(F-statistic) 0.144242 
 
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
12.0
12.5
13.0
13.5
86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
Residual Actual Fitted
0
2
4
6
8
10
12
-0.05 0.00 0.05 0.10
Series: Residuals
Sample 1986:1 1998:1
Observations 49
Mean -6.53E-15
Median -0.006869
Maximum 0.100159
Minimum -0.081467
Std. Dev. 0.036389
Skewness 0.713694
Kurtosis 3.569874
Jarque-Bera 4.822813
Probability 0.089689
Guia Econometria E-250 Problemas Generales 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
 
White Heteroskedasticity Test: 
 
F-statistic 1.135314 Prbability 0.365205 
Obs*R-squared 15.60947 Probability 0.337800 
 
LS // Dependent Variable is RESID^2 
Sample: 1986:1 1998:1 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -0.994495 1.481281 -0.671375 0.5065 
D2 0.043039 0.052579 0.818564 0.4187 
D2*LY -0.002771 0.003627 -0.763944 0.4502 
D2*R -0.002162 0.001932 -1.118812 0.2711 
D3 0.020697 0.052539 0.393945 0.6961 
D3*LY -0.001335 0.003636 -0.367164 0.7158 
D3*R -0.001304 0.001883 -0.692161 0.4935 
D4 0.040976 0.060204 0.680617 0.5007 
D4*LY -0.002914 0.004132 -0.705199 0.4855 
D4*R 0.000604 0.001915 0.315621 0.7542 
LY 0.143100 0.205479 0.696422 0.4909 
LY^2 -0.005141 0.007127 -0.721386 0.4756 
LY*R -0.000355 0.005396 -0.065712 0.9480 
R 0.005509 0.077137 0.071413 0.9435 
R^2 -0.000247 0.001003 -0.246455 0.8068 
 
R-squared 0.318561 Mean dependent var 0.001297 
Adjusted R-squared 0.037968 S.D. dependent var 0.002131 
S.E. of regression 0.002090 Akaike info criterion -12.09409 
Sum squared resid 0.000149 Schwarz criterion -11.51496 
Log likelihood 241.7771 F-statistic 1.135314 
Durbin-Watson stat 1.639777 Prob(F-statistic) 0.365205 
 
 
 
Ramsey RESET Test: 
 
F-statistic 2.282778 Probability 0.138305 
Log likelihood ratio 2.593385 Probability 0.107311 
 
 
Test Equation: 
LS // Dependent Variable is LVTAS 
Sample: 1986:1 1998:1 
Included observations: 49 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -26.51921 15.71231 -1.687798 0.0989 
D2 0.107870 0.053588 2.012941 0.0506 
D3 0.094241 0.047366 1.989615 0.0532 
D4 0.019353 0.018548 1.043359 0.3028 
LY 3.995912