Autocorrelação em Econometria

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TRABAJO DE ECONOMETRÍA (autocorrelación) 
 
EJERCICIOS 
 
12.1 Establézcase si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta brevemente. 
 
 a) Cuando hay presencia de autocorrelación, los estimadores MCO son sesgados lo mismo que ineficientes. 
(F) 
Es falso porque en presencia de autocorrelación los estimadores de MCO siguen siendo insesgados pero ya no 
tienen varianza mínima, es decir ya no son MELI y por lo tanto ya no son eficientes. 
 
 b) La prueba d de Durbin-Watson supone que la varianza del término de error ut es homoscedàstica. (V) 
Es verdadero porque uno de los supuestos de la prueba d de Durbin –Watson es que las X son fijas o no 
estocásticas en muestreos repetidos, por lo tanto la varianza es constante a lo largo de la recta regresión. 
 
 c) La transformación de primera diferencia para eliminar la autocorrelación supone que el coeficiente de 
autocorrelación ρ es -1. (F) 
Es falso porque para la transformación de primera diferencia para eliminar la autocorrelaciòn supone que el 
coeficiente de autocorrelación ρ es +1, es decir que las perturbaciones están correlacionadas positivamente. 
 
d) Los valores R2 de dos modelos, de los cuales uno corresponde a una regresión en forma de primera 
diferencian y el otro a una regresión en formas de nivel, no son directamente comparables. (V) 
Es verdadero porque para que los 2R sean comparables las variables dependientes deben ser las mismas y en este 
caso no lo son, debido a que al tomar las primeras diferencias estamos estudiando esencialmente el comportamiento 
de variables alrededor de sus valores de tendencia (lineal). 
 
 e) Una d de Durbin-Watson significativa no necesariamente significa que hay autocorrelación de primer 
orden. (F) 
Es falso porque uno de los supuestos de la prueba d de Durbin-Watson es que es solamente válida para detectar 
autocorrelación que hubiese sido generada por esquemas AR(1). 
 
 f) En presencia de autocorrelación las varianzas calculadas convencionalmente y los errores estándar de los 
valores pronosticados son ineficientes. (V) 
Es verdadero porque como dijimos anteriormente las varianzas ya no son mínimas es decir los estimadores dejan de 
ser MELI y por lo tanto ya no son eficientes. 
 
 g) La exclusión de una o varias variables importantes de un modelo de regresión pueden producir un valor 
d significativo. (V) 
Es verdadero porque cuando se excluyen variables que son relevantes en el modelo estas pasan a formar parte del 
término de perturbación, y como el estadístico d nos mide la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de 
residuos sucesivos sobre la suma residual al cuadrado, y por lo tanto d no permitiría la ausencia de tales 
observaciones. 
 
 h) En el esquema AR (1), una prueba de hipótesis de ρ =1 puede hacerse mediante el estadístico g de 
Berenblutt-Webb, lo mismo que por medio del estadístico d de Durbin-Watson. (F) 
Es falso porque en la prueba d de Durbin-Watson la hipótesis nula es que ρ =0 en cambio en la prueba g de 
Berenblutt-Webb se considera la hipótesis nula de que ρ =1, sin embargo para probar la significancia del 
estadístico g se puede utilizar las tablas de Durbin-Watson. 
 
 i) En la regresión de primera diferencia de Y sobre primeras diferencias de X, si hay un término constante y 
un término de tendencia lineal, significa que en el modelo original hay un término de tendencia lineal y uno 
de tendencia cuadrática. (F) 
Es falso porque se supone que si en la primera diferencia de Y sobre primeras diferencias de X existe un término 
constante y un término de tendencia lineal el modelo original no tendrá un término de tendencia cuadrática. 
 
12.2. Dada una muestra de 50 observaciones y de 4 variables explicativas, ¿Qué se puede decir sobre 
autocorrelación si a) d =1.05, b) d =1.40, c) d =2.50 y d) d =3.97? 
 
a) n= 50 
 K=4 
 K ′=3 
 d = 1.05 
 α = 0.05 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.421 
=ud 1.674 
 
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0 1.421 1.674 2 4-du 4-dl 4 
 
 1.05 
 
 
 
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula 
de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este 
caso es positiva. 
 
b) n= 50 
 K=4 
 K ′=3 
 d = 1.40 
 α = 0.05 
 
 
 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.421 
=ud 1.674 
 
0 1.421 1.674 2 4-du 4-dl 4 
 
 
 1.40 
 
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula 
de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este 
caso es positiva. 
 
c) n= 50 
 K=4 
 K ′=3 
 d = 2.50 
 α = 0.05 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.421 4- ld = 2.579 
=ud 1.674 4- ud = 2.326 
 
0 1.421 1.674 2 2.326 2.579 4 
 2.50 
 
Como el estadístico d de Durbin-Watson cae en la zona de indesición podemos decir que con un 95% de confianza 
no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se acepta la 
hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es negativa. 
 
d) n= 50 
 K=4 
 K ′=3 
 d = 3.97 
 α = 0.05 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.421 4- ld = 2.579 
=ud 1.674 4- ud = 2.326 
 
 
0 1.421 1.674 2 2.326 2.579 4 
 
 3.97 
 
Como el estadístico d de Durbin-Watson cae en la zona de autocorrelación negativa podemos decir que con un 95% 
de confianza no hay evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación es decir se 
acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este caso es negativa. 
 
 
12.4. Detección de la autocorrelación: prueba de la razón de von Neumann. Suponiendo que los residuos tû 
se obtienen aleatoriamente de una distribución normal, von Neumann demostró que para n grande, la razón 
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∑
∑
−
−
=
−
2
2
1
2
2
)ˆˆ(
)ˆˆ(
uu
uu
s
i
iiδ Nota: 0ˆ =u en MCO 
 
Llamada razón de von Neumann, tiene una distribución aproximadamente normal con media 
 
 E
1
2
2
2
−
=
n
n
s
δ
 
 
Y varianza 
 
 var
)1)(1(
2
2
2
−+
−
=
nn
n
s
δ
 
 
a) Si n es suficientemente grande, ¿Cómo se utilizará la razón von Neumann para probar la autocorrelación? 
Si n es grande la razón von Neumann se utiliza de la siguiente manera: 
Se contrasta la independencia entre la Zt cuando se trabaja con muestras grandes, en este caso con un n>60 y se 
calcula el estadístico v, donde: 
 
( ) ( )
( )∑
∑
=
=
−
−
−−
==
T
t
t
T
t
tt
t
nZZ
nZZ
S
v
1
2
2
2
1
2
/
1/
δ
; → ∑
=
=
T
t
t
n
Z
Z
1
 
 
Una vez que se ha obtenido la variable tipificada comparamos este valor con el nivel crítico que sigue una 
distribución normal con media cero y varianza unitaria, escogiendo un nivel de significancia del 5% ( 05.0=α ) se 
aplica el siguiente contraste: 
 
vs
Evv
t
−
= 
Como el “t” dado es iguala 1.96, por lo tanto si en valores absolutos el “t” calculado es menor se acepta la hipótesis 
de que no existe autocorrelación, es decir se rechaza la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación. 
Y si el “t” calculado es mayor que 1.96 se rechaza la hipótesis nula, es decir existe autocorrelación. 
 
b) ¿Cuál es la relación entre el d de Durbin-Watson y la razón de von Neumann? 
Como la razón d de Durbin-Watson es igual a: 
( )
∑
∑
=
=
=
=
−−
=
nt
t
t
nt
t
tt
u
uu
d
1
2
2
2
1
ˆ
ˆˆ
 
 
y von Neumann es igual a: 
 
( )
( )∑
∑
=
=
−
−
−
=
T
t
t
T
t
tt
nu
nuu
v
1
2
2
2
1
1ˆ
ˆˆ
 Entonces v va a ser igual a: 
( )1−n
n
d ya que 
( )
d
u
uu
nt
t
t
nt
t
tt
=
−
∑
∑
=
=
=
=
−
1
2
2
2
1
ˆ
ˆˆ
 
 
por la tanto la razón entre el d de Durbin-Watson y la razón de von Neumann va a ser igual a: 
 
( )
n
n
dn
d
r
1
1
1
−=
−
= 
 
c) El estadístico d se encuentra entre 0 y 4. ¿Cuáles son los límites correspondientes para la razón de von 
Neumann? 
 Los limites correspondientes para la razón de von Neumann también estarían entre 0 y 4 siempre y cuando n sea 
grande debido a que si el 00 =→= vd , 22 ≈→= vd y si 44 ≈→= vd . 
 
d) Puesto que la razón depende del supuesto de que los û se obtienen aleatoriamente de una distribución 
normal, ¿Qué tan válido es este supuesto para los residuos MCO? 
Debido a que las perturbaciones aleatorias no son observables y en su sustitución se utilizan los residuos de la 
estimación de MCO se presenta un problema debido a que los residuos de estos sólo pueden considerarse 
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representativos en muestras grandes y por lo tanto en el caso de muestras pequeñas los resultados de este contraste 
sólo pueden ser considerados como una aproximación. 
 
e) Suponiendo que en una aplicación se encontró que la razón era de 2.88 con 100 observaciones; evalúese la 
hipótesis de que no hay correlación serial en la información. 
Nota: B.I.Hart tabuló los valores críticos de la razón von Neumann para tamaños de muestras de hasta de 60 
observaciones. 
 
( ) ( )
( )∑
∑
=
=
−
−
−−
==
T
t
t
T
t
tt
t
nZZ
nZZ
S
v
1
2
2
2
1
2
/
1/
δ
=2.88 n=100 
 
E
1
2
2
2
−
=
n
n
s
δ
=
( )
020.2
99
1002
= 
 
Var=
( )( )
( ) 04.0
99*101
98
1004
11
2
4
)1)(1(
2
3
2
3
2
2
2
=



=
−+
−
=
−+
−
=
nn
n
n
nn
n
s
δ
 entonces 
 
 s= 0.1999. 
 
 
A partir de estos resultados se puede encontrar lo siguiente: 
v
Evv
t
σ
−
= 
por lo tanto: 
 
3.4
04.0
020.288.2
=
−
=t 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
Como el “t” calculado es mayor que el “t” dado de 1.96 se dice que no hay suficiente evidencia estadística para 
aceptar la hipótesis nula de que no existe autocorrelación. 
 
12.6. Estimación del ρ de Theil-Nagar basado en el estadístico d . Theil y Nagar sugirieron que en muestras 
pequeñas, en lugar de estimar ρ como (1- d /2), se estimará como 
 
 
22
22 )2/1(
ˆ
kn
kdn
−
+−
=ρ 
 
Donde n=número total de observaciones, d de Durbin-Watson y k=nùmero de coeficientes que van a ser 
estimados (incluyendo la intersección). 
Muéstrese que para un n grande, esta estimación de ρ es igual a la obtenida por la formula más simple (1-
d/2). 
 
Suponiendo que tenemos un d de Durbin-Watson igual a 1.5 entonces para muestras pequeñas aplicamos la 
siguiente fórmula y obtenemos: 
 
ρ̂ = (1- d /2) 
 
por lo tanto: 
 
25.0
2
5.1
1ˆ =





−=ρ 
 
Aplicando la fórmula para muestras pequeñas se obtuvo un ρ̂ =0.25, ahora procedemos a aplicar la fórmula 
propuesta para muestras grandes. 
 
22
22 )2/1(
ˆ
kn
kdn
−
+−
=ρ 
 
Suponiendo una muestra de 80 observaciones y suponiendo un modelo con 2 variables tenemos: 
 
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25.0
280
2)2/5.11(80
ˆ
22
22
=
−
+−
=ρ 
 
Como podemos darnos cuenta con los resultados obtenidos aplicando diferentes fórmulas obtenemos el mismo 
resultado de p̂ ya que se tiene el mismo d de Durbin-Watson. 
 
12.8 Estimación de ρ : el procedimiento iterativo Cochrane-Orcutt (C-O). 
Como una ilustración de este método, considérese el modelo de dos variables: 
 
ttt uXY ++= 21 ββ (1) 
 
y el esquema AR(1) 
 
+= −1tt uu ρ εt ,-1< ρ <1 (2) 
 
Cochrane y Orcutt recomendaron lo siguiente para estimar ρ . 
1. Calcúlese (1) mediante la rutina usual de MCO y obténgase los residuos tû . 
A propósito, obsérvese que puede tenerse más de una variable X en el modelo. 
 
2. Utilícense los residuos calculados en el paso 1, hágase la siguiente regresión: 
 
 ttt vuu += −1ˆρ̂ (3) 
 
 Que es la parte empírica de (2). 
 
3. Utilícese ρ̂ obtenida en (3), calcúlese la ecuación de diferencia generalizada (12.9.6). 
4. Puesto que a priori no se sabe si la ρ̂ obtenida de (3) es el mejor estimador de ρ , sustitúyanse los valores 
de ,ˆˆ *2
*
1 ββ y obtenidos en el paso (3) para la regresión original (1), y obténganselos nuevos residuos, digamos 
tu
*ˆ , como 
 
 ttt XYu
*
2
*
1
* ˆˆˆ ββ −−= (4) 
 
Que se pueden calcular con facilidad, ya que se conocen tY , tX , ,ˆˆ
*
2
*
1 ββ y 
5. Ahora calcúlese la siguiente regresión: 
 
 ttt wuu += −1
*** ˆˆˆ ρ (5) 
 
Que es estimar a (3), y por tanto proporciona el estimado de ρ de la segunda ronda. 
 
Ya que se desconoce si dicho estimado de ρ es el mejor estimado de la verdadera ρ , se calcula el estimado 
de la tercera ronda, etc. Por esta razón el procedimiento C-O se llama método iteractivo. Pero, ¿hasta dónde 
se continúa esta iteración? 
La recomendación general es que se detengan las iteraciones cuando los estimados sucesivos de ρ difieren 
por una pequeña cantidad, por ejemplo sean menores que 0.01 o 0.005. En el ejemplo de la regresión de los 
salarios sobre la productividad, se requirieron siete iteraciones antes de detenerse. 
 
a) Usando el software que se elija, verifíquese que el valor de la ρ estimada de 0.8919 para la ecuación 
(12.9.16), y 0.9610 para la ecuación (12.9.17) sean aproximadamente correctas. 
 
** 5503.0105.45ˆ tt XY += 
 ee = (6.190) (0.0652) (12.9.16) 
 t = (7.287) (8.433) 
 =2r 0.9959 
 
Utilizando el SPSS obtenemos los siguientes resultados: 
 
 Variables introducidas/eliminadas(b,c) 
 
Modelo 
Variables 
introducidas 
Variables 
eliminadas Método 
1 U_L(a) . Introducir 
a Todas las variables solicitadas introducidas 
b Variable dependiente: Unstandardized Residual 
c Regresión lineal a través del origen 
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 Coeficientes(a,b) 
 
Coeficientes no 
estandarizados 
Coeficientes 
estandarizado
s 
Modelo B Error típ. Beta t Sig. 
1 U_L ,882 ,067 ,905 13,151 ,000 
a Variable dependiente: Unstandardized Residual 
b Regresión lineal a través del origen 
 
Como podemos darnos cuenta con los datos de la tabla 12.4 primero encontramos los residuos y luego estos 
residuos lo rezagamos un período y corremos la regresión para encontrar el primer p̂ . 
p̂ = 0.882 
 
Luego se obtiene la siguiente regresión: 
 
( ) ( ) ( ) ( )11211 1 −−− −+−+−=− tttt PuuPXXPPYY ββ 
 Y* = 1B * + 2B *X* +u 
Luego de corrida la regresión se obtuvo los siguientes resultados 
 
tXY ε++= *526.0563.5* 
 
 Variables introducidas/eliminadas(b) 
 
Modelo 
Variables 
introducidas 
Variables 
eliminadas Método 
1 XAST(a) . Introducir 
a Todas las variables solicitadas introducidas 
b Variable dependiente:YAST 
 
 
 Coeficientes(a) 
 
Coeficientes no 
estandarizados 
Coeficientes 
estandarizado
s 
Modelo B Error típ. Beta t Sig. 
(Constante
) 
5,563 ,781 7,121 ,000 
1 
XAST ,526 ,071 ,774 7,431 ,000 
a Variable dependiente: YAST 
 
 
Para obtener el valor de 1B̂ se aplica la formula siguiente: 
 
14.47
882.01
563.5
1
*ˆ 1
1 =
−
=
−
=
ρ
β
β 
 
Por lo tanto la regresión anterior nos quedaría: 
 
 
 
Ahora para encontrar el segundo p̂ de esta regresión sacamos los residuos y luego le rezagamos un período para 
correr la regresión entre estos. 
 
Despejando de la regresión anterior se obtiene los residuos: 
 
XYU 526.0* 1 −−= β 
 
De donde nos quedaría: 
 
XYU 526.014.47* −−= 
 
 
 
 
 
 
uXY ++= *526.014.47*
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 Variables introducidas/eliminadas(b,c) 
Modelo 
Variables 
introducidas 
Variables 
eliminadas Método 
1 UU_L(a) . Introducir 
a Todas las variables solicitadas introducidas 
b Variable dependiente: UU 
c Regresión lineal a través del origen 
 
 Coeficientes(a,b) 
 
Coeficientes no 
estandarizados 
Coeficientes 
estandarizado
s 
Modelo B Error típ. Beta t Sig. 
1 UU_L ,886 ,031 ,977 28,346 ,000 
a Variable dependiente: UU 
b Regresión lineal a través del origen 
 
En donde 886.0ˆ =ρ 
 
 
Para obtener el tercer ρ̂ procedemos de la misma manera: 
 
( ) ( ) ( ) ( )11211 1 −−− −+−+−=− tttt PuuPXXPPYY ββ 
 Y* = 1B * + 2B *X* +u 
 
Luego de corrida la regresión se obtuvo los siguientes resultados 
 
Variables introducidas/eliminadas(b) 
 
Modelo 
Variables 
introducidas 
Variables 
eliminadas Método 
1 UU_L(a) . Introducir 
a Todas las variables solicitadas introducidas 
b Variable dependiente: UU 
 
 Coeficientes(a) 
 
Coeficientes no 
estandarizados 
Coeficientes 
estandarizado
s 
Modelo B Error típ. Beta t Sig. 
(Constante
) 
,013 ,197 ,066 ,948 
1 
UU_L ,887 ,039 ,967 23,024 ,000 
a Variable dependiente: UU 
 
*887.0013.0* XY += 
 
Para obtener el valor de 1β̂ aplicamos lo siguiente: 
1140.0
886.01
013.0ˆ
1 =
−
=β 
 
 Luego la regresión quedaría de la siguiente manera: 
 
uXY ++= *887.011.0* 
Ahora para encontrar el tercer p̂ de esta regresión sacamos los residuos y luego le rezagamos un período para 
correr la regresión entre estos. 
 
Despejando de la regresión anterior se obtiene los residuos: 
 
XYU 887.011.0* −−= 
 
 
Variables introducidas/eliminadas(b,c) 
 
Modelo 
Variables 
introducidas 
Variables 
eliminadas Método 
1 UUU_L(a) . Introducir 
a Todas las variables solicitadas introducidas 
b Variable dependiente: UUU 
c Regresión lineal a través del origen 
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 Coeficientes(a,b) 
 
Coeficientes no 
estandarizados 
Coeficientes 
estandarizado
s 
Modelo B Error típ. Beta t Sig. 
1 UUU_L ,987 ,012 ,997 85,584 ,000 
a Variable dependiente: UUU 
b Regresión lineal a través del origen 
 
987.0ˆ =p 
 
b) ¿El valor obtenido de ρ mediante el procedimiento C-O garantiza el mínimo global o sólo el mínimo 
local? 
 
 
 
12.14. Supóngase que en el modelo 
 
 ttt uXY ++= 21 ββ 
 
Los u son, en realidad, serialmente independientes. Que sucedería en esta situación si, suponiendo que 
+= −1tt uu ρ εt, se utiliza la regresión en diferencia generalizada 
 
 +−+−== −− 12211 )1( tttt XXYY ρββρβρ εt 
Analícense en particular las propiedades del término de perturbación εt. 
 
- Si las u son serialmente independientes entonces ρ = 0 y por lo tanto no existiría autocorrelación es decir la 
regresión nos quedaría de la siguiente manera: 
 
ttt XY εββ ++= 21 
- La variable de perturbación sigue una distribución normal con media cero y varianza constante. 
 
12.15 En un estudio de determinación de precios de la producción final a costo de factores en el Reino Unido, 
se obtuvieron los siguientes resultados con base en la información anual durante el período 1951-1969: 
 
 11 121.0028.0256.0521.0273.0033.2ˆ −− +++−+= tttttt PFMMXWFP 
 ee = (0.992) (0.127) (0.099) (0.024) (0.039) (0.119) 
 
 984.02 =R 54.2=d 
 
Donde PF= precios de la producción final a costo de factores, W= salarios por empleado, X= producto 
interno bruto por persona empleada, M= precios de importación, Mt-1= precios de importación rezagados 1 
año y PFt-1= precios de la producción final a costo de factores en el año anterior. 
“Puesto que para 18 observaciones y 5 variables explicativas, al 5% los valores d inferiores y superiores son 
0.71 y 2.06, el valor d estimado de 2.54 indica que no hay autocorrelación positiva”. Coméntese. 
 
Como se puede ver los limites de la prueba d de Durbin-Watson no están muy definidos es decir no es posible 
determinar si existe o no autocorrelación y por lo tanto debería utilizarse otra prueba de detección de 
autocorrelación para corroborar esto resultados. 
 
 
 
12.20 Para la regresión (12.9.9), los residuos estimados tuvieron los siguientes signos: 
 
(++++)(-)(+++++++)(-)(++++)(--)(+)(--)(+)(--)(++)(-)(+)(---------)(+) 
 
Con base en la prueba de rachas, ¿se puede aceptar la hipótesis nula de que no hay autocorrelación en estos 
residuos? 
 
Como el número de rachas es grande (15 rachas) se dice entonces que existe una correlación negativa es decir no 
existe suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula de que no hay autocorrelación es decir se acepta 
la hipótesis alternativa. 
 
12.21 Prueba para correlación serial de orden superior. Supóngase que se tiene información de series de 
tiempo sobre una base trimestral. En los modelos de regresión que consideran información trimestral, en 
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lugar de utilizar el esquema AR (1) dado en (12.2.1), puede ser más apropiado suponer un esquema AR (4) 
como el siguiente. 
ttt uu ερ += −44 
es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el término para el mismo 
trimestre del año anterior, en lugar de estarlo con el del trimestre anterior. 
Para probar la hipótesis de que 04 =ρ , Wallis* sugiere la siguiente prueba d modificada de Durbin-Watson: 
( )
∑
∑
=
=
−−
=
n
t
t
n
t
tt
u
uu
d
1
2
5
2
4
4
ˆ
ˆˆ
 
 
 
El procedimiento de prueba sigue la rutina de la prueba d usual analizada en el texto. 
Wallis hizo las tablas 4d las cuales pueden encontrarse en su artículo original. 
Supóngase ahora que hay información mensual. ¿Podría la prueba Durbin-Watson ser generalizada para 
considerar tal información? De ser así, escríbase la fórmula 12d apropiada. 
 
Suponiendo un esquema AR(12) tenemos: 
ttt uu ερ += −1212 
es decir, suponer que el término de perturbación actual está correlacionado con el término para el mismo mes del 
año anterior, en lugar de estarlo con el del mes anterior, por lo tanto la fórmula apropiada d de Durbin-Watson es 
la siguiente: 
 
( )
∑
∑
=
=
−−
=
n
t
t
n
t
tt
u
uu
d
1
2
13
2
12
12
ˆ
ˆˆ
 
 
12.22 Supóngase que se estima la siguiente regresión: 
tttt uKLproducción +∆+∆+=∆ lnlnln 321 βββ 
donde Y es la producción, L es el insumo trabajo, K es el insumo capital y � es el operador de primera 
diferencia. 
 
¿Cómo se interpretaría 1β en este modelo? 
1β 
Este nos estaría midiendo el incremento porcentual de la producción ante incrementos unitarios en el tiempo 
(debido a que el tiempo no esta expresado en logaritmos) siempre y cuando 2β y 3β sean iguales a cero. 
 
¿Podría verse éste como una estimación del cambio tecnológico? Justifique la respuesta. 
Si se podría ver esto como una estimación del cambio tecnológico ya que la tecnología cambia a lo largo del tiempo 
y por lo tanto 1β es el coeficiente de la variable tendencia y este nos estaría midiendo el movimientosostenido ya 
sea de crecimiento o disminución en el comportamiento de la variable tecnología. 
 
12.25 Se hizo la regresión de los residuos de la regresión de los salarios sobre la productividad dados en 
(12.5.1), sobre los residuos rezagados de seis periodos anteriores [es decir, AR (6)], produciéndose los 
siguientes resultados: 
 
Variable dependiente: RES1 
Método: Mínimos cuadrados 
Muestra (ajustada) : 1965-1998 
Obsetvaciones incluidas: 34 después de ajustar los estremos 
Variable Coeficiente Error estd. Estadístico t Prob. 
C 5,590462 1,963603 2,847043 0,0085 
X -0,066605 0,023469 -2,838058 0,0087 
RES1(-1) 0,814971 0,216231 3,768978 0,0009 
RES1(-2) -0,268651 0,273887 -0,980882 0,3357 
RES1(-3) -0,106017 0,27278 -0,388652 0,7007 
RES1(-4) 0,30563 0,273258 1,118467 0,2736 
RES1(-5) -0,064375 0,280577 -0,229438 0,8203 
RES1(-6) 0,216156 0,22216 0,972976 0,3395 
 estd. De Durbin-Watson 1,7589 
 
8920.02 =R 
8629.02 =R 
 
 
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a) De los resultados anteriores, ¿qué se puede decir respecto a la naturaleza de la autocorrelación en los 
datos sobre salarios y productividad? 
Respecto a la naturaleza de la autocorrelación podemos decir que el término de perturbación del modelo 12.5.1 no 
sólo depende del año actual sino que también depende de los años anteriores, es decir esta tiene rezagos, y por tanto 
esto determinaría que existe autocorrelación. 
 
b) Si se piensa que un mecanismo AR (1) caracteriza la autocorrelación en los datos, ¿se utilizaría la 
transformación de la primera diferencia para eliminar la autocorrelación? Justifique su respuesta. 
Si. La transformación de la primera diferencia puede eliminar la autocorrelación AR(1), sin embargo este puede 
causar que una serie de tiempo sea estacionaria debido a que el término de error ( tu ) se vuelve estacionaria ya que 
es igual a tε , un método apropiado para esta transformación es que ρ sea alta o que d sea baja. 
 
12.26 Refiérase a la información sobre la industria del cobre dada en la tabla 12.7 
 
Tabla 12.7 
 
a) Con base en esta información, estímese el siguiente modelo de regresión: 
 
 
ttttt uInAInHInLtInIInC +++++= 54321 βββββ 
 
 
Dependent Variable: LNCT 
Method: Least Squares 
Date: 05/17/07 Time: 08:48 
Sample: 1951 1980 
Included observations: 30 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -1.500441 1.003020 -1.495923 0.1472 
LNI 0.467509 0.165987 2.816541 0.0093 
LNL 0.279443 0.114726 2.435745 0.0223 
LNH -0.005152 0.142947 -0.036038 0.9715 
LNA 0.441449 0.106508 4.144737 0.0003 
R-squared 0.936090 Mean dependent var 3.721145 
Adjusted R-squared 0.925864 S.D. dependent var 0.447149 
S.E. of regresión 0.121749 Akaike info criterion -1.222692 
Sum squared resid 0.370573 Schwarz criterion -0.989159 
Log likelihood 23.34039 F-statistic 91.54312 
Durbin-Watson stat 0.954940 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
 
Interprétese los resultados. 
 
Con los datos dados en la tabla 12.7 y aplicando el programa Eviews se obtuvo los siguientes resultados. 
 
tttt AInHIntLInIInCIn ˆ44.0ˆ005.0ˆ28.0ˆ47.050.1ˆ +−++−= 
 ee = (1.003) (0.166) (0.115) (0.143) (0.107) 
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 t = (-1.48) (2.82) (2.44) (-0.04) (4.14) 
 =2R 0.94 
 =2R 0.93 
 
INTERPRETACIÓN: 
 
1β̂ 
Este nos indica el cambio porcentual en el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU dados 
cambios unitarios en el tiempo siempre y cuando las demás variables sean igual a cero, es decir es decir Ct 
disminuirá en 1.5%. 
 
2β̂ 
Dado un incremento porcentual del 1% en el índice promedio de doce meses de la producción industrial se estima 
que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.47% manteniendo todo 
lo demás constante, es decir existe una relación directa entre Ct y Lt si aumenta la una, aumentará la otra y 
viceversa. 
 
3β̂ 
Dado un incremento porcentual del 1% en el precio promedio de doce meses del cobre en la bolsa de metales de 
Londres se estima que el promedio de doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.28% 
manteniendo todo lo demás constante, es decir existe una relación directa entre estas dos variables si aumenta la 
una, aumentará la otra y viceversa. 
 
4β̂ 
Dado un incremento porcentual del 1% en el número de construcción de casas por año se estima que el promedio de 
doce meses del precio interno del cobre en EEUU disminuirá en 0.005%, es decir existe una relación inversa entre 
estas dos variables si aumenta la una, disminuirá la otra y viceversa. 
 
5β̂ 
Dado un incremento porcentual del 1% precio promedio de doce meses del aluminio se estima que el promedio de 
doce meses del precio interno del cobre en EEUU se incrementará en 0.44%, es decir existe una relación directa 
entre estas dos variables si aumenta la una, aumentará la otra y viceversa. 
2R 
Con un coeficiente de determinación de 0.94 se dice que el 94% de las variaciones en el promedio de doce meses 
del precio interno del cobre en EEUU están explicadas por las variables del modelo en su conjunto. 
 
b) Obténgase los residuos y los residuos estandarizados de la regresión anterior y grafíquese. ¿Qué se puede 
opinar sobre la presencia de autocorrelación en estos residuales? 
 
 Residuos R. estand 
0.035893 0.294813 
-0.057574 -0.472895 
-0.236240 -1.940388 
-0.096418 -0.791938 
 0.152308 1.250998 
 0.224898 1.847225 
 0.058633 0.481588 
-0.068767 -0.564825 
 0.031474 0.258516 
 0.049220 0.404274 
 0.027520 0.226039 
 0.039864 0.327431 
 0.036860 0.302750 
-0.068150 -0.559762 
-0.128053 -1.051780 
-0.183400 -1.506375 
-0.069426 -0.570240 
-0.082290 -0.675898 
-0.049867 -0.409587 
 0.149403 1.227143 
 0.105069 0.862998 
 0.096646 0.793811 
 0.082802 0.680108 
 0.160864 1.321279 
 0.076581 0.629006 
-0.030374 -0.249477 
-0.147077 -1.208038 
-0.189339 -1.555163 
 0.050127 0.411722 
 0.028814 0.236664 
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Residuos 
-.3
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8
LNCT
R
E
S
ID
RESID vs. LNCT
 
 
 
Residuos estandarizados 
 
-2
-1
0
1
2
2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8
LNCT
R
E
S
ID
E
S
T
A
N
D
RESIDESTAND vs. LNCT
 
 
 
c) Estímese el estadístico d de Durban-Watson y coméntese sobre la naturaleza de la autocorrelación 
presente en los datos. 
 
d calculado= 0.954940 
 n= 30 
 K=5 
 K ′=4 
 d = 0.9549 
 α = 0.05 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.143 4- ld = 2.857 
=ud 1.739 4- ud = 2.261 
 
 
0 1.143 1.739 2 2.261 2.857 4 
 
 0.9545 
 
INTERPRETACIÓN 
 
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula 
de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este 
caso es positiva. 
 
d) Efectúese la prueba de rachas y vea si su respuesta difiere de la respuesta dada en c). 
Para explicar esta prueba se anotan simplemente los signos Como (+ o -) de los residuos de la regresión dados en la 
tabla 12.7 
 
 (+)(---)(+++)(-)(+++++)(------)(++++++)(---)(++) 
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Es así como hay 1 residuo positivo seguido de: 3 negativos, 3 positivos, 1 negativo, 5 positivos, 6 negativos, 6 
positivos, 3 negativos y 2 positivos. Un total de 30 observaciones, por lo tanto existen 9 rachas. 
 
Ho: los datos fueron generados por un proceso aleatorio.Ha: los datos no fueron generados por un proceso aleatorio. 
 
Media: 1
2
)( 21 +=
N
NN
RE 
 
 1
30
)13)(17(2
)( +=RE 
 
 
 73.15)( =RE 
 
Varianza: 
( )
( ) ( )1
22
2
21212
−
−
=
NN
NNNNN
Rσ 
 
 
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )2930
3013172)13(172
2
2 −=Rσ 
 
 =R2σ 6.98 
 
 =Rσ 2.64 
 
 
( ) ( )[ ] 95.096.196.1Pr =+≤≤− RR RERREob σσ 
 
( ) ( )[ ] 95.064.296.173.1564.296.173.15Pr =+≤≤− Rob 
 10.56 ≤≤ R 20.90 
 
Como R=9 cae fuera del intervalo anterior se dice entonces que con un 95% de confianza se rechaza la hipótesis 
nula de que los datos fueron generados por un proceso aleatorio es decir se acepta la alternativa. 
 
Como podemos darnos cuenta este literal con el literal c) la respuesta no difiere ya que aplicando las dos pruebas 
existe autocorrelación. 
 
e) ¿Cómo se encontraría si un proceso Ar(p) describe mejor la autocorrelación que un proceso Ar(1)? 
Como un esquema de primer orden no contiene datos rezagados se puede utilizar el h de Durbin-Watson entonces 
un esquema de orden p si se puede utilizar ya que este esquema si utiliza datos con rezagos y por lo tanto describe 
mejor la autocorrelación. 
 
12.27 Se le da la siguiente información: 
 
 
Y,Gasto de consumo 
personal 
(miles de millones de 
dólares) X, tiempo 
Y,estimado 
Y* u residuos 
281,4 1(=1956) 261,4208 19,9791 
288,1 2 276,6026 11,4973 
290 3 291,7844 -1,7844 
307,3 4 306,9661 0,3338 
316,1 5 322,1479 -6,0479 
322,5 6 337,3297 -14,8297 
338,4 7 352,5115 -14,1115 
353,3 8 367,6933 -14,3933 
373,7 9 382,8751 -9,1751 
397,7 10 398,0569 -0,3569 
418,1 11 413,2386 4,8613 
430,1 12 428,4206 1,6795 
452,7 13 443,6022 0,9977 
469,1 14 458,784 10,3159 
476,9 15(=1970) 473,9658 2,9341 
 
 
 
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a) Verifíquese que el d de Durbin-Watson es igual a 0.4148. 
 
Dependent Variable: Y 
Method: Least Squares 
Date: 05/17/07 Time: 12:37 
Sample: 1 15 
Included observations: 15 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 246.2390 5.848296 42.10441 0.0000 
X 15.18179 0.643227 23.60254 0.0000 
R-squared 0.977196 Mean dependent var 367.6933 
Adjusted R-squared 0.975442 S.D. dependent var 68.68264 
S.E. of regression 10.76324 Akaike info criterion 7.713717 
Sum squared resid 1506.016 Schwarz criterion 7.808124 
Log likelihood -55.85288 F-statistic 557.0798 
Durbin-Watson stat 0.414753 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Como podemos observar el d de Durbin-Watson es igual a 0.4148 lo cuál verifica la respuesta. 
 
b) ¿Hay correlación serial positiva en las perturbaciones? 
-20
-10
0
10
20
30
2 4 6 8 10 12 14
RESID
 
Como podemos observar en el gráfico anterior hay muchas series de tiempo que presentan autocorrelación positiva 
ya que la mayor parte de estos se mueven hacia arriba o hacia debajo durante períodos prolongados de tiempo 
Para comprobar lo anteriormente dicho se procede a realizar la prueba d de Durbin-Watson . 
 
 n= 15 
 K=2 
 K ′=1 
 d = 0.4148 
 α = 0.05 
Buscando en las tablas d de Durbin-Watson obtuvimos los siguientes resultados: 
=ld 1.077 
=ud 1.361 
 
0 1.077 1.361 2 4-du 4-dl 4 
 
 0.4148 
 
Con un 95% de confianza podemos decir que no hay suficiente evidencia estadística para aceptar la hipótesis nula 
de que no existe autocorrelación es decir se acepta la hipótesis alternativa de que existe autocorrelación y en este 
caso es positiva. 
 
c) De ser así, estímese p mediante el 
 
i) método de Theil-Nagar 
( )
22
22 2/1
ˆ
Kn
Kdn
−
+−
=ρ 
 
( )
8251.0
215
22/4147.0115
ˆ 22
22
=
−
+−
=ρ 
Como podemos observar ≈ρ̂ 1 y el d = 0.4148 que se aproxima a cero, por lo tanto concluimos diciendo que existe 
autocorrelación positiva. 
 
ii) Procedimiento de dos pasos de Durbin 
De la siguiente regresión: 
 
 
 
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iii) método de Cochrane-Orcutt 
 
d) Utilícese el método de Theil-Nagar para transformar la información y efectúese la regresión con los datos 
transformados. 
e) ¿La regresión estimada en d) presenta autocorrelación? De ser así, ¿Cómo deshacerse de ésta? 
 
12.36 El estadístico h de Durbin: considérese el siguiente modelo de la determinación de salarios: 
tttt uYXY +++= −1321 βββ 
Donde: 
Y= salarios=índice de compensación real por hora 
X=productividad=índice de producción por hora 
a) Utilizando los datos de la tabla 12.4, calcúlese el modelo anterior e interprétese los resultados. 
 
Dependent Variable: Y 
Method: Least Squares 
Date: 05/17/07 Time: 14:37 
Sample(adjusted): 1960 1998 
Included observations: 39 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 8.247920 1.754545 4.700890 0.0000 
X 0.124297 0.041018 3.030290 0.0045 
Y(-1) 0.801256 0.055810 14.35680 0.0000 
R-squared 0.993786 Mean dependent var 86.34103 
Adjusted R-squared 0.993441 S.D. dependent var 12.34486 
S.E. of regression 0.999782 Akaike info criterion 2.911244 
Sum squared resid 35.98430 Schwarz criterion 3.039211 
Log likelihood -53.76926 F-statistic 2878.781 
Durbin-Watson stat 1.521781 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Con los datos dados y corriendo el modelo en el programa Eviews se obtiene los siguientes resultados: 
 
1
ˆ801.0ˆ124.025.8ˆ −+−= ttt YXY 
ee = (1.75) (0.04) (0.06) 
 t = (4.7) (3.03) (14.36) 
=2R 0.99 
 
INTERPRETACION 
1β̂ 
Este nos indica un cambio en el índice de compensación real por hora dados cambios unitarios en el tiempo siempre 
y cuando las demás variables sean igual a cero, es decir tY se incrementará en 8.25 unidades, ya que estas dos 
variables tienen una relación directa. 
 
2β̂ 
Un 2β̂ = -0.124 nos indica que dado un cambio unitario en el índice de producción por hora se estima que el índice 
de compensación real por hora disminuirá en 0.124 unidades manteniendo todo lo demás constante, la relación que 
existe entre estas dos variables es inversa. 
 
3β̂ 
Un 3β̂ =0.801 nos indica que dado un cambio unitario en el índice de compensación real por hora del año anterior 
se estima que el índice de compensación real por hora del año actual se incrementará en 0.801 unidades 
manteniendo todo lo demás constante, la relación que existe entre estas dos variables es directa. 
 
=2R 0.99 
Un =2R 0.99 nos dice que el 99% de las variaciones en el índice de compensación real por hora están explicadas 
por el modelo en su conjunto. 
 
b) Puesto que el modelo tiene una regresada rezagada como una regresora, la d de Durbin-Watson no resulta 
apropiada para averiguar si existe correlación serial en los datos. Para tales modelos, llamados modelos auto 
regresivo, Durbin desarrollo el así llamado estadístico h para probar la autocorrelación de primer orden, el 
cuál se define como: 
( )[ ]3ˆvar1
ˆ
β
ρ
n
n
h
−
= 
 
Donde n tamaño de la muestra, var ( )=3β̂ varianza del coeficiente de la 1−tY rezagada y =ρ̂ el estimado de la 
correlación serial de primer orden. 
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Para un tamaño de muestra grande (técnicamente asintótica), Durbin mostró que, bajo la hipótesis nula de 
que p=0. 
h ~N(0,1) 
Es decir, el estadístico h sigue la distribución normal estándar. A partir de las propiedades de la distribución 
normal, se sabe que la probabilidad de que h >1.96 es de casi 5%. Por consiguiente, si en una aplicación 
h >1.96, se puede rechazar la hipótesis nula de que p=0; es decir existe evidencia de que existe 
autocorrelación de primer ordenen el modelo autorregresivo dado antes. 
Para aplicar la prueba, se procede así: primero se estima el modelo anterior mediante (MCO) (en este 
momento no hay que preocuparse por problemas de estimación). Segundo. Obsérvese la var ( )3β̂ en este 
modelo, así como el estadístico d que se calcula de manera rutinaria. Tercero, utilizando el valor d, obténgase 
p~(1-d/2). Resulta interesante notar que a pesar de que no se puede emplear el valor p para probar la 
correlación serial en este modelo, si se puede usar para obtener un estimado de p. Cuarto, ahora se calcula el 
estadistico h. Quinto, si el tamaño de la nuestra es razonablemente grande y si la h calculada excede a 1.96, 
se puede concluir que hay evidencia referente a una autocorrelación de primer orden. Por supuesto se puede 
usar cualquier nivel de significancia que se desee. 
 
Aplíquese la prueba h al modelo autorregresivo de determinación del salario dado antes y dedúzcase las 
conclusiones apropiadas. También compárense los resultados con los obtenidos mediante la regresión 
(12.5.1) 
 
Corriendo la regresión el en programa Eviews se obtuvo la d de Durbin-Watson igual a 1.521781 y con este 
resultado podemos obtener ρ̂ a partir de la siguiente fórmula: 
ρ̂ = (1- d /2) 
 
Entonces: 2391095.0
2
521781.1
1ˆ =−=ρ 
 
( )[ ]3ˆvar1
ˆ
β
ρ
n
n
h
−
= 
 
Por lo tanto: 
 
[ ]003114.0401
40
24.0
−
=h 
 
62.1
87544.0
40
24.0 ==h 
 
 
INTERPRETACIÓN 
 
Como el h calculada es menor que 1.96 se dice que con un 95% de confianza no hay evidencia referente a una 
autocorrelación de primer orden. 
 
i) Regresión 12.5.1 
tt XY ˆ7136.05192.29ˆ += 
 ee= (1.9423) (0.0241) 
 t = (15.1977) (29.6066) 
 2r = 0.9584 =d 0.1229 6755.2ˆ 2 =σ 
 
ii) Regresión con rezagos 
1
ˆ801.0ˆ124.025.8ˆ −+−= ttt YXY 
ee = (1.75) (0.04) (0.06) 
 t = (4.7) (3.03) (14.36) 
=2R 0.99 
 
Comparando los resultados de ambas regresiones podemos observar que el coeficiente de determinación de la 
regresión con rezagos es mayor que la regresión 12.5.1, por lo tanto podemos decir que el segundo modelo tiene un 
ajuste ligeramente mejor. 
 
12.38 Utilizando los datos para la regresión de los salarios sobre la productividad dados en la tabla 12.4, 
estímese el modelo (12.9.8) y compárese los resultados con los obtenidos mediante la regresión (12.9.9) ¿Qué 
conclusión (es) colige? 
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Con los datos proporcionados en la tabla 12.4 estimando el modelo (12.9.8) se obtienen los siguientes 
resultados, como se puede observar en el anexo N. 1 
 
 
ttt XY εββ +∆+=∆ 21 
 
tt XY
ˆ721.0103.29ˆ ∆+=∆ 
 ee = (1.965) (0.025) 
 t = (14.810) (29.198) 
 
=2R 0.96 
 
Con los datos proporcionados en la tabla 12.4 estimando el modelo (12.9.9) se obtienen los siguientes resultados, 
como se puede observar en el anexo N. 2 
 
tt XY ∆=∆
ˆ 
 
tt XY 678.0ˆ =∆ 
 ee = (0.083) 
 t = (8.175) 
 
=2R 0.637 
 
Como se puede ver el segundo modelo parece ajustarse de mejor manera ya que la característica principal de 
primeras diferencias es que no tiene rezagos ni la variable tendencial por la tanto parece ajustarse de mejor manera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ANEXO N.1 
 
Model Summary(b) 
 
Model R R Square 
Adjusted R 
Square 
Std. Error of 
the Estimate Durbin-Watson 
 
1 ,979(a) ,958 ,957 2,63126 ,141 
a Predictors: (Constant), xuno 
b Dependent Variable: yuno 
 
 
 
 
 
 
Coefficients(a) 
 
Model 
Unstandardized 
Coefficients 
Standardized 
Coefficients t Sig. 
 B Std. Error Beta 
1 (Constant
) 
29,103 1,965 14,810 ,000 
 xuno ,721 ,025 ,979 29,198 ,000 
a Dependent Variable: yuno 
 
ANEXO N.2 
 
Model Summary(c,d) 
 
Model R 
R 
Square(a) 
Adjusted R 
Square 
Std. Error of 
the Estimate Durbin-Watson 
 
1 ,798(b) ,637 ,628 1,01502 1,735 
 
a For regression through the origin (the no-intercept model), R Square measures the proportion of the variability in the dependent variable 
about the origin explained by regression. This CANNOT be compared to R Square for models which include an intercept. 
b Predictors: xd 
c Dependent Variable: yd 
d Linear Regression through the Origin 
 
 
 
Coeficientes(a,b) 
 
Model 
Unstandardized 
Coefficients 
Standardized 
Coefficients t Sig. 
 B Std. Error Beta 
1 xd ,678 ,083 ,798 8,175 ,000 
a Dependent Variable: yd 
b Linear Regression through the Origin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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