Prueba2_2007_1

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Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2007
Profesor: Bernardita Vial
Ayudantes: Carlos Argüello
Nicolás Barraza
Matías Letelier
Segunda Prueba
Tiempo Total: 90 minutos
Puntaje Total: 100 puntos
Importante:
• Se prohibe el uso de calculadoras alfanuméricas.
• Las respuestas deben ir en las hojas indicadas.
I. Bienestar social [20 puntos]
Los bienes disponibles para el consumo de los dos habitantes de una isla permiten alcanzar las
distribuciones de bienestar descritas por:
2uA + uB ≤ 10, y uA, uB ≥ 0
(1) [5 puntos] Encuentre el conjunto de distribuciones de bienestar óptimas en el sentido de
Pareto (eficientes). Explique con detalle.
(2) [10 puntos] Suponga que las preferencias de las personas A y B se pueden representar
mediante las siguientes funciones de utilidad:
uA
¡
xA1 , x
A
2
¢
=
1
2
min
©
xA1 , x
A
2
ª
y uB
¡
xB1 , x
B
2
¢
= min
©
xB1 , x
B
2
ª
Así, por ejemplo, si uA = 1 y uB = 8 es una asignación factible (porque satisface 2uA +
uB = 10), entonces existe una manera de distribuir la dotación agregada de bienes (x̄1, x̄2)
que resulta exactamente en esos niveles de bienestar. ¿Qué valores deben tener x̄1 y x̄2
para que el conjunto de distribuciones factibles de bienestar sea el del enunciado?
(3) [5 puntos] Suponga que la dotación inicial es
¡
x̄A1 , x̄
A
2
¢
= (1, 5) y
¡
x̄B1 , x̄
B
2
¢
= (9, 5).
Dibuje en una caja de Edgeworth el conjunto de asignaciones que son mejores en el
sentido de Pareto que la incial (mejoras paretianas). ¿A qué puntos en el plano (uA, uB)
corresponden esas asignaciones? Explique cuidadosamente su procedimiento.
II. Equilibrio general [30 puntos]
Considere un consumidor con preferencias representadas por u (x1, x2) = xα1x
1−α
2 y dotación
inicial de bienes (x1, x2) = (a, b) .
(1) [5 puntos] Encuentre las demandas por los bienes 1 y 2.
(2) [5 puntos] Muestre que ∂x
∗
1
∂p < 0 y
∂x∗2
∂p > 0, donde p =
p1
p2
. ¿Puede concluir entonces
que la curva oferta-demanda no puede tener pendiente positiva en ningún tramo? Sea
preciso y apoye su respuesta en un gráfico.
(3) [7 puntos] Muestre que, de hecho, la curva de oferta-demanda es de la forma:
x2 =
(1− α)x1b
(x1 − aα)
y que, por lo tanto, es decreciente y convexa.
(4) [8 puntos] Suponga que hay otro individuo que tiene exactamente la misma preferencia y
la misma dotación inicial. Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía haciendo
uso de la curva de oferta-demanda de (3).
(5) [5 puntos] ¿Debe ser siempre cierto que si dos individuos son idénticos en sus preferencias
y dotaciones iniciales, en equilibrio walrasiano van a consumir exactamente su dotación
inicial? Responda haciendo uso de la curva de contrato.
III. Efectos Externos [20 puntos]
Analicemos un mercado en competencia perfecta compuesto por n empresas idénticas que
pueden producir con una función de producción de la forma: q = min {az1, bz2}. Los precios
de los insumos están dados y son w1 y w2.
(1) [4 puntos] Encuentre la oferta de cada firma y la de la industria.
(2) [4 puntos] Supongamos ahora que existen efectos externos a la firma pero internos a la
industria. En particular, suponga que la oferta del insumo 1 está dada por la función
w1 = cZ1, donde Z1 es la cantidad demandada total (esto es, por el conjunto de todas
las empresas de esta industria). Encuentre la función de oferta de cada empresa y la
función de oferta de la industria considerando los efectos externos. Sea cuidadoso con
las variables de las cuales depende cada función.
(3) [3 puntos] Explique intuitivamente por qué la oferta de la industria tiene pendiente posi-
tiva a pesar de que la tecnología subyacente es de retornos constantes a escala.
(4) [5 puntos] Suponga que a = b = c = 1 y w2 = 20. Suponga además que la demanda
agregada por el bien está dada por Q = 100−P , donde P es el precio del bien. Encuentre
el equilibrio, tanto del mercado del bien como del mercado del insumo 1.
(5) [4 puntos] ¿Cambiaría su respuesta si existiera libre entrada a la industria? ¿Por qué?
IV. Preguntas cortas [30 puntos]
(1) [12 puntos] Considere una empresa que utiliza dos factores, z1 y z2, y cuya función de
producción es homotética. Luego, la razón de productividades marginales (f1f2 ) depende
sólo de la razón de uso de factores (z2z1 ) y no del nivel de uso de cada uno por separado.
a. [4 puntos] Explique claramente, haciendo uso de un gráfico, cómo podemos concluir
entonces que ambos factores deben ser superiores. Esto es, que la cantidad contratada
de ambos factores debe aumentar al aumentar la producción.
b. [4 puntos] Haciendo uso del Teorema de la Envolvente, muestre entonces que si
aumenta w1, aumentará el costo marginal de producción en esta empresa.
c. [4 puntos] Suponga que aumenta w1. Por efecto sustitución, la empresa utilizará
menos del factor 1 y más del factor 2. ¿Cómo se verá afectado el uso de ambos
factores por efecto escala? Explique claramente.
(2) [8 puntos] Suponga que existe un comprador que está dispuesto a pagar como máximo
c1 por un bien y un vendedor que está dispuesto a vender el bien al menos a v1. Indique
las características del equilibrio en términos de cantidades transadas y precios. ¿Cuándo
habría apropiación completa?
Imagine, en cambio, que hay un segundo consumidor exactamente idéntico al primero (es
decir, c1 = c2). ¿Cómo cambia su respuesta previa?
(3) [10 puntos] Suponga que hay 2 individuos (A y B), cuyas demandas tienen elasticidad
ingreso unitaria y son de la forma:
x∗A =
αAmA
p
; x∗B =
αBmB
p
Construya un ejemplo en que el precio del bien no cambia, el ingreso total (M = mA+mB)
aumenta en un 5% y sin embargo la cantidad total demandada cae en vez de aumentar.
Microeconomía I
EAE 210 B
Primer Semestre de 2007
Profesor: Bernardita Vial
Ayudantes: Carlos Argüello
Nicolás Barraza
Matías Letelier
Segunda Prueba: Pauta
I. Bienestar social [20 puntos]
Los bienes disponibles para el consumo de los dos habitantes de una isla permiten alcanzar las
distribuciones de bienestar descritas por:
2uA + uB ≤ 10, y uA, uB ≥ 0
(1) [5 puntos] Encuentre el conjunto de distribuciones de bienestar óptimas en el sentido de
Pareto (eficientes). Explique con detalle.
Las distribuciones son óptimas si no admiten mejoras paretianas; ese conjunto
es la frontera superior del conjunto de posibilidades: 2uA + uB = 10.
(2) [10 puntos] Suponga que las preferencias de las personas A y B se pueden representar
mediante las siguientes funciones de utilidad:
uA
¡
xA1 , x
A
2
¢
=
1
2
min
©
xA1 , x
A
2
ª
y uB
¡
xB1 , x
B
2
¢
= min
©
xB1 , x
B
2
ª
Así, por ejemplo, si uA = 1 y uB = 8 es una asignación factible (porque satisface 2uA +
uB = 10), entonces existe una manera de distribuir la dotación agregada de bienes (x̄1, x̄2)
que resulta exactamente en esos niveles de bienestar. ¿Qué valores deben tener x̄1 y x̄2
para que el conjunto de distribuciones factibles de bienestar sea el del enunciado?
Observe que si xA1 6= xA2 , entonces la utilidad marginal del consumo de algún
bien es nula para A y por tanto se le podría quitar de ese bien sin disminuir
su bienestar. Lo mismo ocurre con B. De manera que, a menos que sobre
de alguno de los dos bienes, en cualquier asignación eficiente debe ocurrir que
xA1 = x
A
2 y que x
B
1 = x
B
2 . Se deduce que x
A
1 + x
B
1 = x
A
2 + x
B
2 = x̄1 = x̄2.
Ahora bien, si A recibe la canasta xA1 = x
A
2 , su utilidad es uA =
1
2x
A
1 , de lo que
se deduce que xA1 = 2uA; el mismo razonamiento implica que x
B
1 = uB Como
xA1 + x
A
B = x̄1, vemos que 2uA + uB = x̄1. Entonces, el enunciado es coherente
con un x̄1 = x̄2 = 10. De hecho, con cualquier dotación tal que haya 10 unidades
de un bien y más de diez del otro, porque en ese caso sobraría del bien del que
hay más de 10 unidades: se le pueden entregar a cualquiera sin que cambie su
utilidad.
(3) [5 puntos] Suponga que la dotación inicial es
¡
x̄A1 , x̄
A
2
¢
= (1, 5) y
¡
x̄B1 , x̄
B
2
¢
= (9, 5).
Dibuje en una caja de Edgeworth el conjunto de asignaciones que son mejores en el
sentido de Pareto que la incial(mejoras paretianas). ¿A qué puntos en el plano (uA, uB)
corresponden esas asignaciones? Explique cuidadosamente su procedimiento.
El conjunto de mejoras paretianas es©¡
xA1 , x
A
2 , x
B
1 , x
B
2
¢
: xA1 ≥ 1, xA2 ≥ 1, xB1 ≥ 5, xB2 ≥ 5, xA1 + xB1 = xA2 + xB2 = 10
ª
,
es decir, todas las asignaciones factibles que mejoran a ambos. En el plano
(uA, uB) eso corresponde al conjunto uA ≥ 2 y uB ≥ 5 y 2uA + uB ≤ 10.
II. Equilibrio general [30 puntos]
Considere un consumidor con preferencias representadas por u (x1, x2) = xα1x
1−α
2 y dotación
inicial de bienes (x1, x2) = (a, b) .
(1) [5 puntos] Encuentre las demandas por los bienes 1 y 2.
Las condiciones de primer orden implican:
u1
u2
=
α
1− α
x2
x1
=
p1
p2
≡ p
por lo que obtenemos:
x2 =
1− α
α
px1
reemplazando en la restricción presupuestaria, obtenemos a su vez:
ap+ b = x1p+ x2 = x1p+
1− α
α
px1 =
px1
α
⇒ x∗1 = α
ap+ b
p
; x∗2 = (1− α) (ap+ b)
Notar que las condiciones de segundo orden se satisfacen (basta verificar que las
curvas de indiferencia son convexas). También es correcto expresar las demandas
en términos de p1 y p2 por separado:
x∗1 = α
a p1p2 + b
p1
p2
= α
ap1 + bp2
p1
;
x∗2 = (1− α)
µ
a
p1
p2
+ b
¶
= (1− α)
µ
ap1 + bp2
p2
¶
(2) [5 puntos] Muestre que ∂x
∗
1
∂p < 0 y
∂x∗2
∂p > 0, donde p =
p1
p2
. ¿Puede concluir entonces
que la curva oferta-demanda no puede tener pendiente positiva en ningún tramo? Sea
preciso y apoye su respuesta en un gráfico.
Al derivar las demandas encontradas en 1) obtenemos:
∂x∗1
∂p
=
∂
³
αap+bp
´
∂p
= −p−2αb < 0
∂x∗2
∂p
=
∂ (1− α) (ap+ b)
∂p
= a (1− α) > 0
Notar que a ∈ (0, 1) (si, alguno de los dos artículos serían un “mal”, contradi-
ciendo el enunciado).
Los puntos que componen la curva de oferta-demanda son los niveles óptimos
de x1 y x2 que se van obteniendo al modificar p. Un aumento de p implica,
como vemos en las derivadas antes calculadas, que disminuye la cantidad óptima
a consumir del bien 1 y aumenta la cantidad óptima a consumir del bien 2.
Es decir, implica un movimiento hacia la izquierda y hacia arriba en el plano
(x1, x2). Luego, la pendiente de la curva de oferta-demanda debe ser negativa.
(3) [7 puntos] Muestre que, de hecho, la curva de oferta-demanda es de la forma:
x2 =
(1− α)x1b
(x1 − aα)
y que, por lo tanto, es decreciente y convexa.
Despejando p de x∗1 obtenemos:
p = α
b
(x∗1 − αa)
Luego, al reemplazar en x∗2 obtenemos:
x∗2 = (1− α)
µ
aα
b
(x∗1 − αa)
+ b
¶
=
(1− α)x∗1b
(x∗1 − αa)
La pendiente de esta curva es entonces:
∂ (1−α)x1b(x1−aα)
∂x1
= (x1 − aα)−2 (α− 1) abα < 0
Mientras que la segunda derivada es:
∂
³
(x1 − aα)−2 (α− 1) abα
´
∂x1
= (−2) (x1 − aα)−3 (α− 1) abα
Pero x∗1 − αa = α bp > 0, por lo que la segunda derivada es positiva. Luego,
se concluye que la función es decreciente (primera derivada negativa) y convexa
(segunda derivada positiva).
(4) [8 puntos] Suponga que hay otro individuo que tiene exactamente la misma preferencia y
la misma dotación inicial. Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía haciendo
uso de la curva de oferta-demanda de (3).
En equilibrio debe ser cierto que la suma de la cantidad demandada (u ofrecida)
de x2 debe ser igual a la disponibilidad total de dicho bien. Haciendo uso de
la curva de oferta-demanda de (3), lo anterior implica que encontramos el
equilibrio a partir de:
(1− α)x1b
(x1 − aα) +
(1− α)x1b
(x1 − aα) = 2b
Resolviendo para x1 encontramos entonces que x1 = a. A su vez, de la misma
curva de oferta-demanda obtenemos:
x2 =
(1− α) ab
(a− aα) = b
Por último, para encontrar el precio usamos alguna de las demandas encontradas
en 1):
a = α
ap+ b
p
⇒ p = b α
a− aα
(5) [5 puntos] ¿Debe ser siempre cierto que si dos individuos son idénticos en sus preferencias
y dotaciones iniciales, en equilibrio walrasiano van a consumir exactamente su dotación
inicial? Responda haciendo uso de la curva de contrato.
Si los individuos tienen la misma preferencia y la misma dotación: su TMSS
va a ser la misma. Luego, esa dotación, junto a precio p = TMSS ya es un
equilibrio walrasiano. Pueden existir otros equilibrios: por ejemplo, en el caso
de sustitución perfecta, cualquier asignación es de equilibrio (en la medida que
el precio sea igual a la TMSS común, que es constante en ese caso).
III. Efectos Externos [20 puntos]
Analicemos un mercado en competencia perfecta compuesto por n empresas idénticas que
pueden producir con una función de producción de la forma: q = min {az1, bz2}. Los precios
de los insumos están dados y son w1 y w2.
(1) [4 puntos] Encuentre la oferta de cada firma y la de la industria.
Cada firma contrata factores de modo que az1 = bz2 = q. Luego, el costo es:
C∗ =
w1q
a
+
w2q
b
⇒ CMg = w1
a
+
w2
b
La oferta de cada empresa es entonces completamente elástica, de la forma:
q∗
 =∞ si p >
w1
a +
w2
b∈ [0,∞) si p = w1a + w2b
= 0 si p < w1a +
w2
b
La oferta de la industria es exactamente la misma, ya que la suma horizontal de
la expresión anterior es ella misma.
(2) [4 puntos] Supongamos ahora que existen efectos externos a la firma pero internos a la
industria. En particular, suponga que la oferta del insumo 1 está dada por la función
w1 = cZ1, donde Z1 es la cantidad demandada total (esto es, por el conjunto de todas
las empresas de esta industria). Encuentre la función de oferta de cada empresa y la
función de oferta de la industria considerando los efectos externos. Sea cuidadoso con
las variables de las cuales depende cada función.
La oferta de la empresa sigue siendo igual. La podemos escribir alternativamente
como en 1) o en función de Z1 o Q.
La oferta de la industria, en cambio, sí se ve modificada. Para encontrarla
notamos que w1 = cZ1 = c
Q
a . Luego, tenemos:
cZ1
a
+
w2
b
=
cQa
a
+
w2
b
=
Q
a2
c+
1
b
w2
La expresión anterior muestra que el costo marginal (de cada empresa) depende
de Q, por lo que la oferta de la industria ya no es completamente elástica. De
hecho, la oferta de la industria se obtiene igualando la expresión anetrior a p:
Q
a2
c+
1
b
w2 = p
⇒ Q∗ = a
2
c
µ
p− 1
b
w2
¶
(3) [3 puntos] Explique intuitivamente por qué la oferta de la industria tiene pendiente posi-
tiva a pesar de que la tecnología subyacente es de retornos constantes a escala.
Porque mayores niveles de producción de la industria tienen asociado un mayor
costo marginal
(4) [5 puntos] Suponga que a = b = c = 1 y w2 = 20. Suponga además que la demanda
agregada por el bien está dada por Q = 100−P , donde P es el precio del bien. Encuentre
el equilibrio, tanto del mercado del bien como del mercado del insumo 1.
La oferta de la industria es entonces:
Q∗ = p− 20
Luego, igualando cantidad ofrecida a cantidad demandada encontramos:
p− 20 = 100− p⇒ p = 60
de modo que en equilibrio tenemos:
Q = 40 = Z1 = w1
(5) [4 puntos] ¿Cambiaría su respuesta si existiera libre entrada a la industria? ¿Por qué?
No afecta en nada, ya que cada empresa está obteniendo ganancias nulas en
el equilibrio, independientemente de si hay o no libre entrada (ya que hay
rendimientos constantes a escala). Luego, el hecho de que puedan entrar nuevas
empresas no cambia nada, ya que no hay incentivo para que entren nuevas em-
presas. Notar que no usamos el número de empresas para calcular en equilibrio
antes; de hecho, en el equilibrio la cantidad a producir por cada empresa no está
determinada.
IV. Preguntas cortas [30 puntos]
(1) [12 puntos] Considere una empresa que utiliza dos factores, z1 y z2, y cuya función de
producción es homotética. Luego, la razón de productividades marginales (f1f2 ) depende
sólo de la razón de uso de factores (z2z1 ) y no del nivel de uso de cada uno por separado.
a. [4 puntos] Explique claramente, haciendo uso de un gráfico, cómo podemos concluir
entonces que ambos factores deben ser superiores. Esto es, que la cantidad contratada
de ambos factores debe aumentar al aumentar la producción.
Dado que la razón de productividades marginales (f1f2 ) depende sólo de la razón
de uso de factores ( z2z1 ) y no del nivel de uso de cadauno por separado, sabemos
que la pendiente de la isocuanta no cambia al pasar de una isocuanta a otra si
mantenemos la misma razón de uso z2z1 . Luego, si no cambia
w1
w2
, al buscar el
uso óptimo de factores en una isocuanta más alta (con mayor q), la igualdad
de la pendiente de la isocuanta con la pendiente de la isocosto se dará sobre la
misma razón de uso de antes. Es decir, aumentará el uso de ambos factores
en igual proporción. Luego, se verifica que la cantidad contratada de ambos
factores debe aumentar al aumentar la producción.
b. [4 puntos] Haciendo uso del Teorema de la Envolvente, muestre entonces que si
aumenta w1, aumentará el costo marginal de producción en esta empresa.
Por teorema de la envolvente sabemos que:
∂C∗
∂w1
= z1
Luego, podemos reescribir ∂CMg∂w1 como:
∂CMg
∂w1
=
∂2C∗
∂q∂w1
=
∂z1
∂q
> 0
c. [4 puntos] Suponga que aumenta w1. Por efecto sustitución, la empresa utilizará
menos del factor 1 y más del factor 2. ¿Cómo se verá afectado el uso de ambos
factores por efecto escala? Explique claramente.
Aumentará el costo marginal de producción. Luego, si p está fijo, disminuirá la
cantidad óptima a producir, por lo que disminuirá el uso de ambos factores.
(2) [8 puntos] Suponga que existe un comprador que está dispuesto a pagar como máximo
c1 por un bien y un vendedor que está dispuesto a vender el bien al menos a v1. Indique
las características del equilibrio en términos de cantidades transadas y precios. ¿Cuándo
habría apropiación completa?
Imagine, en cambio, que hay un segundo consumidor exactamente idéntico al primero (es
decir, c1 = c2). ¿Cómo cambia su respuesta previa?
Si c1 > v1, se transa una unidad a un precio p ∈ [v1, c1] . Si p ∈ (v1, c1), el
excedente de cada uno es menor que su aporte; si el precio iguala la valoración
de uno, entonces el otro tiene un excedente igual a su aporte. En cualquier caso
hay apropiación incompleta (al menos uno recibe menos que su aporte). Eso,
salvo en el caso trivial en que c1 = v1, en que si se transa, se hace al precio
p = c1 = v1, y tanto el excedente como el aporte de cada uno es 0. Si, en
cambio, hay dos compradores con la misma valoración, entonces la competencia
entre ellos llevaría al precio a p = c1 (donde ningún comprador está dispuesto
a hacer una contraoferta beneficiosa para él y el vendedor). El excedente del
comprador es 0, así como su aporte (tiene un sustituto perfecto). El vendedor
también recibe un excedente igual a su aporte: hay apropiación completa y
competencia perfecta.
(3) [10 puntos] Suponga que hay 2 individuos (A y B), cuyas demandas tienen elasticidad
ingreso unitaria y son de la forma:
x∗A =
αAmA
p
; x∗B =
αBmB
p
Construya un ejemplo en que el precio del bien no cambia, el ingreso total (M = mA+mB)
aumenta en un 5% y sin embargo la cantidad total demandada cae en vez de aumentar.
Necesitamos que el ingreso de uno haya aumentado y que el ingreso del otro haya
disminuido, porque si ambos aumentaran su ingreso, la cantidad total deman-
dada aumentaría. De hecho, necesitamnos que la caida en consumo producto
de la caida en el ingreso del segundo sea más fuerte. Ejemplo: p = 1, con los α
e ingresos en t = 0 y t = 1 que se muestran en la tabla a continuación:
αi m
0
i x
0
i m
1
i x
1
i
A 0.1 100 0.1∗1001 = 10 120
0.1∗120
1 = 12
B 0.9 100 0.9∗1001 = 90 90
0.9∗90
1 = 81
Total 2 ∗ 100 = 200 10 + 90 = 100 120 + 90 = 210 12 + 81 = 93
En el ejemplo, el ingreso total aumenta un 5% y la cantidad total consumida
cae de 100 a 93.