EjerciciosRiesgoMoral_Pauta

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Instituto de Economía EAE211B – Sección 3 
Pontificia Universidad Católica de Chile Clases L-W 10 hs – Sala 107 
Segundo semestre de 2010 Ayudantías V15hs–Sala 109 
 
Microeconomía II 
Profesora: Alejandra Traferri E-mail: atraferri@uc.cl 
Ayudantes: Juan Halcartegaray jshalcar@uc.cl 
 Catalina Loayza cploayza@uc.cl 
 Kenneth Ryan karyan@uc.cl 
Web del curso: http://cursos.puc.cl/eae211b-3 
Ejercicios Riesgo Moral 
1.- Considere el problema de una compañía de seguros, que debe diseñar un seguro contra 
accidentes para un automovilista, lo que comprende: (i) la prima o precio p, y (ii) la cobertura en 
caso de siniestro, Z, que se puede especificar como el monto de la pérdida L menos un copago o 
deducible D, de modo que Z = L - D. La compañía entiende, sin embargo, que al asegurarse, el 
automovilista puede perder incentivos a manejar cuidadosamente, pudiendo aumentar la 
probabilidad de accidente ∏. Suponga que hay dos niveles de esfuerzo (o cuidado al manejar), alto 
y bajo, y que hay dos resultados posibles, accidente y no accidente. 
 
a) Plantee formalmente el problema de decisión de la compañía de seguros, especificando las 
variables de decisión y las restricciones que enfrenta. 
La compañía maximiza utilidad esperada escogiendo D y p. 
Si se quiere inducir esfuerzo alto, el problema se escribiría como: 
 
donde W sería el valor de la riqueza del automovilista antes del accidente, c (e) denota el costo del 
esfuerzo y u es su utilidad de reserva. Además, denotamos por π e la probabilidad de accidente 
con esfuerzo e, de modo que π B > π A. RP y RCI se refieren a las restricciones de participación y de 
compatibilidad de incentivos respectivamente. 
Si quiere inducir esfuerzo bajo, en cambio, el problema se escribiría como: 
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Tengan en cuenta que en este caso el deducible será nulo y la restricción de participación será 
activa. 
El problema completo consiste en elegir entre los dos contratos que se obtienen de los problemas 
anteriores (es decir, entre inducir esfuerzo alto y bajo). 
 
b) Muestre que el contrato óptimo puede tener un deducible o copago. 
Si se quiere inducir esfuerzo alto, y el esfuerzo es costoso, es necesario que el automovilista quede 
con parte del riesgo (no darle cobertura completa), lo que es análogo a pagar un sueldo variable a 
un trabajador. En particular, la restricción de compatibilidad de incentivos se puede reescribir 
como: 
 
y dado que πB – πA > 0 y que c (A)- c (B) > 0; se desprende que u (W - p) debe ser mayor que u (W 
- p - D), o en otras palabras, que D debe ser positivo. 
 
3. Comentes: 
 
a) Un empresario neutral al riesgo encarga una tarea en un delegado neutral al riesgo, 
ofreciéndole un pago que depende de las ventas (x) de la siguiente forma: w = a + bx. 
Explique por qué si las ventas dependen linealmente del esfuerzo, con x = e + v (donde el esfuerzo 
e es una variable continua, y v un error aleatorio con media cero), lo óptimo para el empresario es 
fijar b = 1 (darle una franquicia al delegado). 
 
No hay que hacer un desarrollo formal, basta con explicar porque ‘b’ es 1 y en ese caso que pasa 
con ‘a’. Ver el cap. 17 sección de esfuerzo continuo o las notas de riesgo moral 2 que están en la 
web. 
 
 
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4. Un inversionista contrata a un administrador para que ejecute un proyecto. El proyecto retorna 
R si es exitoso, y 0 en caso contrario. La probabilidad de éxito del proyecto es igual al nivel de 
esfuerzo e Є [0, 1] que despliegue el administrador. El esfuerzo solamente es observable por el 
administrador, y para él tiene un costo de c (e) = . Tanto el administrador como el 
inversionista son neutrales al riesgo. Un contrato tiene la forma (wR ; w0), donde wR es el pago en 
caso de éxito, y w0 en caso de fracaso; ambos pagos deben ser no negativos. 
 
a) Encuentre el contrato óptimo en función de R y de c. Explique 
Respuesta 
Es importante tener en cuenta que en este ejercicio el esfuerzo es continuo, pero el resultado es 
discreto, tenemos sólo 2 posibles resultados (R y 0). Además la probabilidad de éxito es igual a ‘e’. 
Entonces, como el esfuerzo es continuo lo primero que hay que hacer es maximizar la utilidad 
esperada del delegado con respecto a ‘e’: 
máx e wR + (1-e) w0 – c e
2
 /2 
 e 
Esto lleva a un esfuerzo de e* = (wR – w0)/c. 
El Principal elegirá ahora wR y w0, de manera tal de maximizar su utilidad, sujeto a la restricciones 
de participación y de compatibilidad de incentivos del Delegado, sumado a restricciones de 
responsabilidad limitada para el Delegado, esto es, restricciones de no negatividad de los salarios. 
La restricción de compatibilidad de incentivos en este caso continuo es simplemente e* = (wR – 
w0)/c. En otras palabras, para que el Delegado quiera implementar un esfuerzo dado e*, el 
Principal tiene que elegir una combinación de wR y w0 que satisfaga esta ecuación. 
Como el ejercicio no da información sobre la utilidad de reserva, supondremos que es igual a 0. 
Por lo tanto, la restricción de participación es 
e* wR + (1-e*) w0 – c e*
2
 /2 ≥ 0 
El problema del principal es: 
 máx e* (R-wR) - (1-e*) w0 
 wR, w0 
 s. a. e* = (wR – w0)/c 
e* wR + (1-e*) w0 – c e*
2
 /2 ≥ 0 
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wR ≥ 0, w0≥ 0 
Para resolver este problema de maximización, podríamos incluir multiplicadores de Khun-Tucker 
para cada una de las restricciones. De todas formas, es sencillo ver que en este ejemplo, la 
restricción de participación en el óptimo no será activa, y sí lo será la restricción de no negatividad 
de w0. En efecto, para que la restricción de participación sea activa, se tiene que dar que: 
e* wR + (1-e*) w0 – c e*
2
 /2 = 0 
(wR – w0) wR/c + (1 - (wR – w0)/c) w0 = c (wR – w0)
 2
 / (2 c
2
) 
Esto llevaría a la siguiente relación entre los salarios: 
w0 = – (wR – w0)
 2
/ (2c) 
Por lo que w0 debería ser negativo, violando la restricción de no negatividad. Por ende, en el 
óptimo, w0 = 0 y la restricción de participación se da con holgura. 
Entonces, el problema de maximización del principal se convierte simplemente en: 
 Máx e* (R-wR) 
 wR 
 s. a. e* = wR/c 
Reemplazando la restricción en la función objetivo y maximizando llegamos a que el salario y 
esfuerzo óptimos son: 
e* = R / (2 c) 
wR* = R / 2 
w0* = 0 
Es importante notar que este problema también se puede resolver utilizando multiplicadores de 
Khun-Tucker. 
 
b) Calcule el nivel de esfuerzo eficiente cuando el esfuerzo es observable, y compare con el 
encontrado en (a). Discuta. 
Respuesta 
Si el nivel de esfuerzo es observable y el delegado es neutral al riesgo sabemos que habrá distintas 
combinaciones entre wR y w0 que serán óptimas, pero sin pérdida de generalidad podemos elegir 
un wR = w0 = w. También sabemos que la RP es activa. Imponiendo w en la RP determinamos el 
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nivel de esfuerzo en términos de w para luego introducirlo en la utilidad esperada del principal 
para determinar el w óptimo. 
RP = 0 
w – ce
2
/2 = 0 
e = (2w/c)
1/2
 
Ahora la utilidad esperada del principales: 
Up
e
 = eR – w = (2w/c)
1/2
 R – w 
Max Up
e
 con respecto a w, obtenemos: 
w* = R
2
/2c 
e* = R/c 
 
 
7. Un trabajador y su empleador deben establecer un contrato que maximice la riqueza de la firma 
y garantice un determinado nivel de utilidad esperada al trabajador. 
Suponga que hay dos niveles de esfuerzo que puede de desplegar el trabajador, e=0 y e=2, los que 
no son directamente observables por el empleador. El nivel de producto que se obtiene depende 
del estado de la naturaleza que ocurre y del nivel de esfuerzo que elija el trabajador. En términos 
concretos, se tiene la tabla: 
 S1 S2 S3 
e = 0 100 100 350 
 e = 1 100 350 350 
 
La probabilidad de ocurrencia del estado 1 (s1) es de 1/5 y la probabilidad de ocurrencia del 
estado 2 es de 2/5. 
Considere además que el empleador es neutral al riesgo y que el trabajador es adverso al riesgo. 
La función de utilidad del empleador es u(Y) = Y, donde Y es el ingreso, y la función de utilidad del 
trabajador se describe por v(z,a) = √z – e, donde z es el pago que recibe el trabajador. 
Con todo esto, determine: 
a) El contrato de “primer mejor” en el caso de que el esfuerzo no fuera directamente 
observable. 
Respuesta: 
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La restricción de participación es activa. 
Para esfuerzo alto, entonces Z=9. Para esfuerzo bajo, entonces Z=1. 
 
b) El contrato óptimo cuando el esfuerzo no es observable. Precise también cuál es el nivel 
de utilidad esperada que alcanza el agente. 
Respuesta: 
Tanto la restricción de participación como la de compatibilidad de incentivos son activas. 
Z1=0, Z2= 25 y la utilidad para el agente es de 0.8(5) – 2 = 2.