EXAMEN PARCIAL 2 - DESARROLLO

Vista previa del material en texto

EXAMEN PARCIAL DE MATEMATICA – FIC. 2021-II
1. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 – 8x – 2y + 12 = 0 trazadas desde el punto (7, 2) y los puntos de contacto.
Solución:
Sea la recta tangente: y = mx + k
Pasa por (7, 2) 2 = 7m + k k = 2 – 7m LT: y = mx – 7m + 2
Reemplazando en la circunferencia: x2 + (mx – 7m + 2)2 – 8x – 2(mx – 7m + 2) + 12 = 0
(m2 + 1)x2 – (14m2 – 2m + 8)x + (49m2 – 14m + 12) = 0
Haciendo la condición de tangencia: 4(7m2 – m + 4)2 – 4(m2 + 1) (49m2 – 14m + 12) = 0 
 (7m2 – m + 4)2 – (m2 + 1) (49m2 – 14m + 12) = 0 m = -1/2, m = 2
2. Halle todas las rotaciones de los ejes coordenados que transformen la ecuación 2x2 + 3xy + 2y2 = 4 en 7x’2 + y’2 = 8.
Solución:
Reemplazando en la ecuación inicial:
 
 
3. Una parábola cuyo vértice está en el Eje Y, y su eje focal está contenido en la recta y = 3x + 4, pasa por el punto P = (2, 20), halle el foco y la ecuación cartesiana de la recta directriz.
Solución:
Si V está en el eje Y y contenido en la recta y = 3x + 4 V = (0,4)
Si su eje focal está contenido en la recta y = 3x + 4 mfocal = 3 = (1, 3) 
 
Sea P’ = (x’, y’) 
 P’ = 
Sea la ecuación de la parábola en X’Y’: y’2 = 4px’, que pasa por P’ = 
Reemplazando P’ en la ecuación: 
4. Una elipse con centro en el origen tiene un vértice en (-4, 3). Halle una ecuación de la elipse si la longitud del lado recto es 15/2. Halle, además, el otro vértice y las ecuaciones cartesianas de las directrices.
Solución:
Por definición:
5. Halle la ecuación de la hipérbola y los demás elementos, si tiene como centro (-3, -1), vértice (1, -1) y foco (2, -1).
Solución: