PNLS EJERCICIO

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS 
Programación No Lineal Fraccional 
Integrantes: 
 Jaime Nicolás Castro Acuña - 20181020147 
Jorge Andrés Bohórquez Castellanos - 20181020016 
 Juan Sebastián González Forero - 20181020029 
 Samuel David Franco Cuenca - 20181020019 
Grupo #10. Mayo 14 de 2020 
 
 
 
 
 
PROGRAMACIÓN NO LINEAL SEPARABLE 
(PNLS) 
 
 
 
ENUNCIADO 
 
 
Maximizar 𝑍 = 𝑋1 + 4𝑋2
2 
Sujeto a: 
2𝑋1 + 6𝑋2
2 ≤ 11 
𝑋1, 𝑋2 ≥ 0 
 
 
SOLUCIÓN 
 
 
PASOS PROCEDIMIENTO 
Paso 0: Separar las 
funciones. 
𝑓1(𝑋1) = 𝑋1 ; 𝑓2(𝑋2) = 4𝑋2
2 
𝑔11(𝑋1) = 2𝑋1 ; 𝑔12(𝑋2) = 6𝑋2
2 
Paso 1: Hallar una 
aproximación inicial para 𝑋2 
que es la variable no lineal. 
2𝑋1 + 6𝑋2
2 = 11 
6𝑋2
2 = 11 
𝑋2
2 = 11/6 
𝑋2 = 1.35 
Paso 2: Encontrar 𝑓(𝑡) y 
𝑔(𝑡) 
 
𝑘 𝑡2𝑘 𝑓2(𝑡2𝑘) 𝑓12(𝑡2𝑘) 
1 0 0 0 
2 1 4 6 
3 2 16 24 
𝑓2(𝑋2) = 0𝑡21 + 4𝑡22 + 16𝑡23 
𝑔2(𝑋2) = 0𝑡21 + 6𝑡22 + 24𝑡23 
Paso 3: Se replantea el 
problema. 
 
↑𝑍 = 0𝑡21 + 4𝑡22 + 16𝑡23 + 𝑋1 
Sujeto a: 
0𝑡21 + 6𝑡22 + 24𝑡23 + 2𝑋1 + 𝑆1 = 11 
𝑡21 + 𝑡22 + 𝑡23 = 1 (𝐻𝑜𝑙𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟í𝑎) 
𝑡21, 𝑡22, 𝑡23, 𝑋1 ≥ 0 
Paso 4: Solucionar el 
sistema planteado en el paso 
3 utilizando el Método 
Simplex teniendo en cuenta 
las adyacencias entre las 
variables. 
 
𝑐𝑗 1 4 16 0 0 
V.B 𝑋1 𝑡22 𝑡23 𝑠1 𝑡21 b 
𝑆1 0 2 6 24 1 0 11 
𝑡21 0 0 1 1 0 1 1 
𝑧𝑗 0 0 0 0 0 0 
𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 1 4 16 0 0 
 
En la primera iteración el candidato a entrar es 𝑡23 y a 
salir 𝑠1, pero no se puede ya que 𝑡23 no es adyacente a 
𝑡21, así que la variable que entra es 𝑡22 y sale 𝑡21. 
 
𝑐𝑗 1 4 16 0 0 
V.B 𝑋1 𝑡22 𝑡23 𝑠1 𝑡21 b 
𝑆1 0 2 0 18 1 -6 5 
𝑡22 4 0 1 1 0 1 1 
𝑧𝑗 0 4 4 0 4 4 
𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 1 0 12 0 -4 
 
Para la segunda iteración el candidato a entrar es 𝑡23 y a 
salir es 𝑠1, como 𝑡23 es adyacente a 𝑡23, puede salir 𝑠1. 
 
𝑐𝑗 1 4 16 0 0 
V.B 𝑋1 𝑡22 𝑡23 𝑠1 𝑡21 B 
𝑆1 16 
1
9
 0 1 
1
18
 −
1
3
 
5
18
 
𝑡22 4 −
1
9
 1 0 
−1
18
 
4
3
 
13
18
 
𝑧𝑗 
20
9
 4 16 
2
3
 0 
22
3
 
𝑐𝑗 − 𝑧𝑗 
−11
9
 0 0 
−2
3
 0 
 
Entonces la solución para este problema es: 
 
𝑍 =
1
9
 ; 𝑋1 = 0 ; 𝑡21 = 0 ; 𝑡22 =
13
18
 ; 𝑡23 =
5
18
 
 
Paso 5: Deducir la solución 
del problema original. 
𝑋2 = 0𝑡21 + 1𝑡22 + 2𝑡23 
𝑋2 =
13
18
+ 2(
5
18
) 
𝑋2 = 1.28 
 
Para Z: 
𝑍 = 𝑋1 + 4𝑋2
2 
𝑍 = 0 + 1.282 
𝑍 = 1.63 
 
 
CONCLUSIÓN 
 
En este algoritmo la linealización del problema, es excelente ya que permite manipular 
métodos de programación lineal (en este caso en específico, el procedimiento simplex con 
criterio de adyacencia) los cuales tienen un sólido trabajo de investigación, facilitando la 
resolución final. Cabe realzar la facilidad y utilidad del método de Base Restringida, el cual 
en sencillos y cortos pasos entrega la solución posible del problema, resaltando que el análisis 
precedente resulta en un buen sitio de partida para ejecutar un acercamiento a la solución, y 
luego compararla con el resultado obtenido.