Tarea primer problema fundamental de la geometría

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Primer problema fundamental de la geometría
Instrucciones generales:
Para los siguientes ejercicios considere F como el último dígito de su número de cuenta y G el penúltimo dígito. Por ejemplo, si su número de cuenta fuese 307310245, F sería igual a 5 y G=4.
Para cada una de las siguientes ecuaciones, determine de forma algebraica:
I. Intersecciones con los ejes (de no existir, argumentar porque).
II. Asíntotas (De no existir, argumentar porque).
III. Simetrías (De no existir, argumentar porque).
1. 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − (𝐹 + 6)𝑦 − (𝐺 + 6)𝑦 + 3 = 0
x2 - 2xy + y2 - 15y - 6y + 3 = 0 x2 – 2xy + y2 – 21y + 3 = 0
Primero le daremos a x el valor de cero para saber en qué puntos la curva toca el eje de las Y.
(0)2 – 2(0)y + y2 -21y + 3 = 0 y2 – 21y + 3 = 0
Utilizamos la formula general para solucionar esta ecuación de segundo grado y poder encontrar las coordenadas de los puntos Y.
 
Por lo tanto tendremos dos coordenadas (0, ) y (0,)
Repetimos el mismo proceso, pero ahora dándole valor de o a Y.
X2 + 3 = 0
Resolvemos la ecuación con formula general:
Como tiene una raiz negativa nos daria un numero imaginario, por lo que no toca la curva el eje de las X. 
Ahora para encontrar los ejes de simetría solo hay que cambiarles el signo a las dos ecuaciones donde solo hay una variable (X o Y) y si esta no cambia, entonces hay eje de simetría.
1) (-y)2 – (-21y) + 3 y2 + 21y +3 Esta ecuación si cambio respecto a la original, por lo que no hay ejes de simetría respecto al eje X. 
2) (-x)2 + 3 x2 + 3 = x2 + 3, aquí si hay eje de simetría por que la ecuación no cambio y esta respecto al eje de las Y.
No tiene asíntotas 
2. 𝑥3 + 𝑦2 − 4𝑦 + (𝐹 + 𝐺 + 4) = 0
𝑥3 + 𝑦2 − 4𝑦 + 13 = 0. Le damos a X el valor de 0 y la ecuación queda como:
y2 – 4y + 13 = 0 
Utilizamos formula general: 
Como nos dio raíz negativa podemos decir que esta curva no toca el eje de las Y.
Le daremos valor de 0 a Y por lo que la ecuación quedara como x3 + 13 = 0
X3 = -13. En este caso como la X esta elevada a la 3, extraeremos la raíz cubica en ambos lados de la ecuación y nos quedara como: x = -2.35133
Por lo que las coordenadas donde la curva toca el eje de las x es (-2.35133,0)
Para encontrar el eje de simetría solo cambiamos el valor de X y Y a –x y –y
(-y)2 –(-4y) + 13 y2+4y +13 y2+4y +13 y esto es diferente a la ecuación original, por lo que no hay eje de simetría respecto al eje x.
(-x)3 + 13 = 0 -x3 + 13 x3+13 no hay eje de simetría respecto al eje Y.
3. 𝑥2 − 𝑥𝑦 + (𝐹 + 𝐺 + 5)𝑦 = 0
x2 – xy + 14y = 0. Le damos valor de 0 a X: 14y = 0, como no es una ecuación cuadrática, la curva no toca el eje de las Y.
Le damos a Y el valor de 0: x2 = 0 x = 0, por lo que la curva toca el eje de las x en la coordenada (0,0)
Ahora buscaremos ejes de simetría, primero para la ecuación 14y = 0 (-14y) = 
-14y 14y
X2=0 (-x)2 = x2 por lo que si hay eje de simetría respecto al eje Y.
Tiene dos asíntotas ya que, si expresamos a Y en función de x, tendremos una asíntota en X = 14 y la otra es oblicua ya que tiene valor de y = x + 14.
4. 𝑥𝑦2 − (𝐹 + 𝐺 + 9)𝑥 − 𝑦 − (𝐹 + 1) = 0
xy2 – 18x – y – 10 = 0, si el damos valor de 0 a X la ecuación nos quedaría como:
(0)y2 – 18(0) – y -10 = 0 -y -10 = 0 -y = 10 y = -10
Por lo que un punto donde la ecuación toca el eje de las Y esta en (0,-10)
Ahora si a Y le damos el valor de 0 la ecuación nos queda como:
X(0)2 – 18x – 0 -10 = 0 -18x – 10 = 0 -18x = 10 x = 10/-18 x = -5/9
Por lo tanto, el punto que toca ele je de las X tiene coordenadas (-5/9, 0).
Para saber si tiene ejes de simetría solo hay que cambiar el símbolo de y por –y, lo mismo con x.
1) –(-y) -10=0 y - 10 lo cual es diferente de –y – 10 = 0
2) –(-18x) – 10 = 0 18x -10 = 0 es diferente de -18x -10 = 0
Para encontrar asíntotas primero resolveremos de usando formula general evaluándola en y.
Xy2 – 18x – y -10 = 0
Tiene dos asíntotas horizontales: