Introducción a los Circuitos Eléctricos

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1. INTRODUCCION 
 
 Un circuito eléctrico es un conjunto de elementos o dispositivos eléctricos 
que se utilizan para la transmisión, distribución y transformación mutua de 
energía. 
 El circuito eléctrico basicamente consta de fuentes de energía y de 
receptores o cargas que están unidos o conectados a través de alambres o 
conductores, ver figura 1. 
 En las fuentes de energía (elementos galvánicos, acumuladores, 
generadores, etc) la energía química, mecánica o térmica se transforma en 
energía eléctrica. 
 Así, los motores primarios ( turbinas de vapor, de gas o hidraúlicas, etc) y 
las generatrices transforman la energía mecánica, las pilas eléctricas y los 
acumuladores, la energía de procesos químicos; los termoelementos (termopilas) 
de pequeña potencia y los generadores magneto hidrodinámicos, el calor, y 
finalmente, los diferentes tipos de fotocélulas (utilizadas ampliamente en los 
satélites artificiales de la tierra y en las estaciones cósmicas interplanetarias), la 
energía radiante. 
 Pero la electricidad sirve sólo para transmisión de energía, ya que en 
diferentes receptores la energía eléctrica se transforma siempre en otros tipos de 
energía: la de los motores eléctricos en energía mecánica; la de instalaciones 
de alumbrado en luminosidad, la de hornos eléctricos en calor,etc. 
 
M Tv
Fuente conductores carga 
Figura 1 
 Circuito de Corriente Directa (cd) es un circuito el cual recibe energía 
eléctrica y tanto el voltaje como la corriente no varía en el tiempo 
 En el circuito eléctrico, la corriente se genera principalmente por el 
movimiento de electrones libres que llevan cargas negativas en dirección 
opuesta a la dirección convencional del campo eléctrico. Pero el movimiento de 
los electrones es equivalente al movimiento de cargas positivas en dirección del 
campo. 
 El hombre no puede observar directamente la corriente eléctrica, pero 
juzga de su presencia por los fenómenos que la acompañan. Estos fenómenos 
los podemos observar con la ayuda de diferentes receptores de energía eléctrica. 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Supongamos que conectamos en serie varios receptores elementales, 
como se muestra en la figura 2, de energía eléctrica con una fuente de energía, a 
través de ellos circula la misma corriente, pasados cierto tiempo después de 
cerrar el circuito, el filamento metálico empieza a ponerse incandescente y 
alargarse, a causa de lo cual se pandea. Por lo tanto, en el receptor dado, la 
energía eléctrica se transforma en calor y energía lumínica. 
 
 
 
 
figura 2 
 
 El baño electrolítico en el camino de la corriente es un recipiente de vidrio, 
en el cual a una distancia determinada una de la otra son colocadas dos placas 
de cobre, el recipiente está lleno de electrólito, que es una solución de vitriolo 
azul. En el mismo puede observarse la acción química de la corriente. 
 La corriente eléctrica circula a través de las placas y el electrólito, a 
consecuencia de lo cual tiene lugar la electrólisis donde una de las placas 
disminuye y la otra aumenta. 
 La corriente transporta el metal a través del electrólito. En virtud de las 
observaciones de tal transporte, en el siglo XIX los científicos consideraron que 
en el circuito eléctrico la corriente fluye en dirección del transporte de metal. 
 La terminal de la fuente energía eléctrica por la cual la corriente sale al 
circuito exterior fue llamado polo positivo y designado con el signo (+), la segunda 
terminal fue denominada polo negativo y designado con el signo (-). 
 
 Posteriormente fue establecido que en el electrólito los portadores de 
cargas -iones- cargados positiva y negativamente, se desplazan en dos sentido 
2 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
contrarios, mientras que en los metales, los portadores de cargas, electrones 
libres, se mueven en dirección contraria al sentido admitido de la corriente. 
 A causa de esa suposición errónea se tuvo que considerar negativa la 
carga de los electrones, o sea admitir que la deriva de electrones tiene un sentido 
contrario a la corriente eléctrica. 
 La dirección en la que se mueve las cargas positivas, opuesta a la del flujo 
de electrones, se considera como la dirección convencional de la corriente. 
 En ingeniería eléctrica, los circuitos se analizan considerando esta 
corriente convencional. La razón de esto se basa en el hecho de que, de 
acuerdo con las definiciones de fuerza y trabajo, un potencial positivo se 
encuentra por encima de otro negativo. De esta forma, la corriente convencional 
es un movimiento de cargas positivas "que va cuesta abajo por la colina" desde 
un potencial positivo a uno negativo. 
La corriente en la carga fluye del punto 
de mayor potencial al punto de menor 
potencial 
 
 Son diferentes las condiciones en el interior de la fuente de energía 
eléctrica. Aquí las cargas se desplazan desde el punto de potencial bajo, o sea, 
la terminal negativa de la fuente de energía al punto de potencial alto,es decir, la 
terminal positiva de la misma fuente, este desplazamiento de cargas a los puntos 
de potencial alto se efectúa bajo la acción de fuerzas externas (con relación al 
circuito cerrado), por ejemplo, la inducción electromagnética en los generadores, 
la energía lumínica en las células fotoeléctricas, el proceso químico en las pilas 
eléctricas. 
La corriente en una fuente de energía 
fluye del punto de menor potencial al 
punto de mayor potencial. 
 
 
 Las fuerzas externas producen en el 
interior de la fuente de energía eléctrica la 
fuerza electromotriz (f.e.m.), la que hace 
desplazarse en el circuito cargas positivas 
desde los puntos de menor potencial. E
r int
R+-
1
2
a
b
I
 
Figura 3 
 La f.e.m. parece como si elevase las 
cargas eléctricas al nivel eléctrico superior, 
ver figura 3. 
 Pero, el voltaje entre las terminales 
de la fuente de energía es menor que la 
3 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
fuerza electromotriz de la fuente debido a la caída de voltaje en la resistencia 
interna. 
 
2. FUENTES 
2.1 Fuentes de voltaje ideal 
 Las fuentes, así como, todos los elementos de los circuitos que se 
considerarán más adelante, son elementos ideales. Es decir, son modelos 
matemáticos que representan a los elementos reales o físicos en ciertas 
condiciones. 
 Las fuentes de energía puede ser representadas por dos esquemas 
básicos, como fuente de voltaje o fuente de corriente. 
 Analizaremos una fuente práctica que podemos representar mediante el 
modelo matemático de la figura 4, que consiste en una fuente ideal E en serie 
con una resistencia interna rint y un dispositivo de carga conectado entre sus 
terminales. 
 
E
r int
R+-
1
2
a
b
I
 
Figura 4 
IrEVEV intint12 −=−= (1) 
El voltaje en el resistor 
IRVab == − ba ϕϕ (2) 
 
Tomando en cuenta que la resistencia del 
conductor es aproximadamente cero, 
entonces: 
b2a1 y ϕϕ ϕϕ == 
Entonces 
IRIrE int =− 
Despejando: 
IRIrE int += (3) 
Despejando I tenemos 
 
 
 La ecuación (4) muestra que tanto 
la resistencia interna como la resistencia de carga limita la corriente. 
 Analizaremos el circuito de la figura 5: 
 
Rr
EI
int +
= (4) 
4 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
En este esquema el voltaje V12 depende de 
la corriente del receptor,y es igual a: 
 
int12 VEV −= 
 
 Si r Rint << entonces 
VV <<int , es decir que la fuente de energía 
está en régimen de circuito abierto y 
podemos despreciar la caída de voltaje interno y lo tomamos igual a cero 
(V r Iint int= ≈ 0). 
E
r int
R+-
1
2
a
b
I
 
Figura 5 
 Esta fuente de energía con resistencia igual a cero se llama fuente de 
voltaje ideal y tiene la propiedad de que un voltaje especificado aparece a través 
de sus terminales y el valor de este voltaje en cualquier instante de tiempo es 
independiente del valor o dirección de la corriente que fluye a través de ella.Su característica externa en un plano i-v es simplemente una línea 
horizontal, como se muestra en la figura 6. 
 
 Si la fuente de voltaje es variable en el 
tiempo, su característica variará para 
diferentes valores de tiempo. 
u
i
V
12
 
Figura 6 
 Cuando el voltaje entre sus terminales es 
cero la característica coincide con la abscisa. 
 En una fuente de voltaje práctica,como 
lo muestra la ecuación (5), la resistencia de 
carga ( Rcarga ) determina el flujo de corriente 
de las terminales (1-2). Además 
 
cargaint
carga
carga12 Rr
ER
IRV
+
== (5) 
 Por consiguiente, a medida que variamos Rcarga, tanto I como V12 varían. 
En la figura 7, se muestra la gráfica de V12 en función de Rcarga comparando 
con el caso ideal, el cual se ve en línea discontinua. 
 Para valores de Rcarga grandes en relación con rint, V12 tiene un valor 
muy próximo al valor ideal de E ( si Rcarga es infinita, lo que corresponde a un 
circuito abierto, entonces V12 es E). 
5 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
R carga
V12
E
0
fuente práctica
fuente ideal
 
figura 7 
2.2 Fuente de corriente ideal 
 Podemos reemplazar la fuente de voltaje práctica de la fig 5 por una fuente 
de corriente práctica. Para esto dividimos la parte izquierda y derecha de la 
ecuación (3) entre rint: 
int
intint
car
int
int
int
VGI
r
VI
r
IR
r
Ir
r
E
+=+=+= 
donde: Gint - conductancia interna de la fuente de energía 
Si representamos: 
 
E
rint
 como Is- corriente en corto circuito ( cuando Rcar = 0) 
intint IVG = - alguna corriente, que es igual a la relación entre el voltaje en las 
terminales de la fuente de energía y la resistencia interna. 
IVG = es la corriente en la carga. 
III ints += (6) 
 
La ecuación (6) equivale al esquema con la fuente de corriente, la resistencia 
interna está en paralelo con la resistencia de carga Rcarga, ver figura 8. 
 
 
Rrint
1
2
a
b
I s
IIint
carga
 
Figura 8 
 
Si RroGG >><< intint bajo el mismo voltaje 
en las terminales. La corriente , es 
decir la fuente de energía está en régimen de 
corto circuito y podemos tomar la corriente 
II <<int
I VGint int= ≈ 0 con lo cual obtenemos el 
esquema de la figura 9: 
6 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Esta fuente con conductancia 
)(0 intint ∞== rG se llama fuente corriente 
ideal, y tiene la propiedad de que una 
corriente especificada circula a través de ella 
y el valor y dirección de esta corriente en 
cualquier instante de tiempo es independiente 
del valor y dirección del voltaje que aparece 
entre las terminales de la fuente. 
 
R
1
2
a
b
I s carga
 
Figura 9 
 La corriente de salida puede ser 
constante o ser una función del tiempo. Su 
característica externa es una línea vertical. 
Ver figura 10. 
 Para el caso de una fuente variante en el tiempo la posición de esta línea 
vertical variará con el tiempo. Cuando la corriente de la fuente es cero , la 
característica coincide con la ordenada. 
u
i
I s
 
 
figura 10 
De esta manera, en dependencia de 
correlación (proporción) entre resistencia 
interna y resistencia del receptor la fuente 
de energía real puede ser remontado a la 
fuente de voltaje o de corriente. 
 También pueden remontarse a algún 
tipo de fuentes, si su resistencia es 
conmensurable con la resistencia del 
receptor, se necesita llevar fuera de la 
fuente de energía y juntar con la resistencia 
del receptor. 
 En la figura 11 se muestra la gráfica 
de una fuente práctica comparada con una 
fuente ideal. 
En la figura 8 encontramos I: 
 
cargaint
sint
cargaint
cargaint
s
cargacarga
12
Rr
Ir
Rr
Rr
I
R
1
R
VI
+
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
== 
 Por tanto, para una fuente de corriente dada, la corriente de carga 
depende de Rcarga. En la figura 11 se muestra la gráfica de I en función de Rcarga 
comparado con el caso ideal, el cual se ve en línea discontinua. 
 
7 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Recordemos que en las fuentes de energía independientes, sus 
características de salida no dependen de cualquier otra variable de la red, como 
la corriente o el voltaje. 
 
Rcarga
R carga
Is
I
fuente ideal
fuente práctica
 
figura 11 
 
 Otro tipo de fuentes son las fuentes dependientes, las cuales son muy 
importantes en la teoría de los circuitos, en particular en circuitos electrónicos. 
 
2.3 Fuentes dependientes. 
 
 Una fuente de voltaje dependiente o controlada es aquella cuyo voltaje 
entre terminales depende de, o la controlan, un voltaje o una corriente existentes 
en algún otro lugar del circuito. Una fuente de voltaje controlada por voltaje 
(FVCV) es una fuente de voltaje controlada por un voltaje y una fuente de voltaje 
controlada por corriente (FVCC) es una fuente controlada por una corriente. 
 
Su símbolo se muestra en la figura 12. 
 
+
- μv= v1
FVCV
+
- v= 1r i
1i
FVCC
v1
+
-
 
 
figura 12 
 
8 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Una fuente de corriente dependiente o controlada es aquella cuya 
corriente depende de un voltaje o una corriente existentes en un lugar cualquiera 
del circuito. Una fuente de corriente controlada por voltaje (FCCV) está 
controlada por un voltaje y una fuente corriente controlada por corriente (FCCC) 
está controlada por una corriente. 
Su símbolo se muestra en la figura 13. 
 
=v1 i
1i
v1
+
-
i= g
FCCV
β 1i
FCCC 
 
figura 13 
 Las cantidades μ y β son constantes adimensionales, llamadas 
generalmente ganancia en voltaje o corriente respectivamente. 
 
 Las constantes r y g tienen unidades de Ohm y Mho respectivamente. 
 
 Las fuentes dependientes son componentes esenciales de los circuitos 
amplificadores que estudiaremos más adelante. También desempeñan otras 
funciones, tales como aislar una porción determinada del circuito del resto de la 
red o proporcionar una resistencia negativa. 
 
 Como sabemos el resistor es un elemento pasivo con resistencia positiva. 
Sin embargo, por medio de las fuentes dependientes podemos fabricar 
resistencias negativas. 
 
3. LEY DE OHM 
3.1 Para un circuito sin derivación. 
 
 Para encontrar el potencial en cualquier punto de un circuito eléctrico es 
necesario tomar voluntariamente el potencial en un punto cualquiera. Esto se 
puede hacer ya que no nos interesa el potencial absoluto, sino la diferencia de los 
potenciales. 
 
 Por ejemplo para el circuito que se muestra en la figura 14 tenemos: 
9 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
2 = =const C ϕ
R
b
a
1
2
rint
+
-
E
1´ I
 
 
figura 14 
Por lo tanto 
 
ϕ ϕ
1 2′
= + = +E C E (7) 
 
 La corriente en cualquier elemento 
pasivo del circuito va dirigida del punto de 
donde hay mayor potencial (a) al punto de 
menor potencial (b), por eso: 
 
bay ϕϕϕϕϕϕ ==> 2121 ; 
IR+= 21 ϕϕ (8) 
Irint11' += ϕϕ (9) 
 
De la igualdad 7 y 9 obtenemos: 
 
IrE int12 +=+ ϕϕ 
 
Despejando la corriente I obtenemos: 
 
int
21
r
EI +−= ϕϕ (10) 
 
3.2 Para una rama con fuentes de voltaje 
 
 Analógicamente, tomando en cuenta la figura 15, podemos escribir la 
fórmula para la corriente de la rama con fuentes de voltaje de una rama. 
 
 R R R R1 2 3 4
+_ + + __
E E E1 2 3
a b
I 
 
figura 15 
 La corriente de 
rama puede tener 
dirección desde el punto 
(a) al punto (b), o al 
contrario. Si no sabemos 
con anticipación la 
dirección de la corriente, 
es necesario escoger su 
10 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
dirección voluntariamente y ésta la tomamos como positiva. 
 
 Si aceptamos como positiva la dirección desde el punto ( a ) al punto ( b ) 
podemos encontrar el potencial ϕb a través de ϕa , como muestra la ecuación 
(11). 
 
IREIREIREIRab 4332211 −−−+−+−= ϕϕ (11) 
 
Despejando la corriente I obtenemos: 
 
ab
b
a
ab
ab
b
a
ab
ba
ab GEVR
EV
RRRR
EEE
II ⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+
=
+++
−++−
== ∑
∑
4321
321ϕϕ (12) 
 
 Cada FEM la escribimos como positiva si coincide con la dirección positiva 
de la corriente y negativa si su dirección es contraria. 
 
 Si en el resultado del cálculo por la fórmula (12), la corriente es negativa 
esto significa que su dirección real es contraria a la dirección escogida. 
4. LEYES DE KIRCHOFF 
 
 Daremos alguna definición de nodo y de rama 
 
NODO es un punto en el circuito en el que tres o más elementos se 
encuentran conectados entre sí. 
 
RAMA es cualquier elemento de la red de dos terminales. 
 
 Algunos autores definen la rama como la unión de dos o más 
elementos, pero como podemos observar nuestra definición antes dada, cada 
nodo en el cual se encuentran conectadas dos ramas ( formando una conexión 
en serie ) siempre puede ser eliminado. Como resultado el nodo se define 
como la unión de tres o más elementos. 
 
 
 Como ejemplo, en la figura 15 tenemos un circuito que contiene cinco 
nodos y nueve ramas 
 
 
11 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
En algunos 
podemos 
encontrar una 
resistencia 
conectada en 
una rama, sin 
fuente de voltaje 
(rama 1-y ), y 
con resistencia 
igual a cero (2-
p). Así como, el 
voltaje en el 
nodo 2-p es 
igual a cero 
(resistencia igual 
a cero ), 
entonces los 
potenciales en los nodos 2 y p son iguales y pueden conectarse en un solo 
nodo. 
+
-
+
+
+
+
-
-
-
-
1
2
3
I21
E
E
E
E
E
I
31
R R
R
R
R
I 32
I
p
y
p1
I y1
y1
p1
p1
32
32
py py
31
31R
R3p
21
21
R2y
I2y
 
 
figura 15 
 
 El régimen de un circuito eléctrico de cualquier configuración puede 
encontrarse completamente utilizando la Primera y Segunda Ley de 
Kirchoff. 
 
4.1 Primera Ley de Kirchoff ( LCK ) 
 
La suma algebraica de la corrientes en un nodo es igual a cero. 
 
I =∑ 0 (13) 
 
 Una forma alternativa que define la ley anterior es: 
 
La suma de las corrientes de rama que entran a un nodo en cualquier instante 
de tiempo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo en ese 
instante de tiempo. 
 
Ientran salenI= ∑∑ (14) 
 
12 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Las corrientes que entran a un nodo condicionalmente las tomamos 
como negativas y las que salen como positivas. 
 
 La dirección positiva de la corriente se acepta de acuerdo con la 
expresión de la densidad de la corriente a través de una área transversal 
∫ = 0JdS . 
 Como la dirección positiva de la normal respecto a la unidad de área 
transversal S se escoge hacia afuera, entonces las corrientes que tienen la 
dirección hacia adentro del área se toman como negativas y las corrientes 
hacia afuera como positivas. 
 
4.2 Segunda Ley de Kirchoff (LVK) 
 
 La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria 
cerrada es igual a cero. 
 
V 0=∑ (15) 
 
Una forma alternativa de definir la segunda ley es: 
 
La suma algebraica de las caídas de voltaje en las resistencias es igual a la 
suma algebraica de las f.e.m. de las fuentes en cualquier trayectoria o 
contorno cerrado. 
 
IR E= ∑∑ (16) 
 
 
Para ilustrar lo anterior, analicemos el circuito de la figura 16, el cual está 
compuesto de cuatro nodos y seis ramas: 
 
13 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
E
5
+ -
R1 E1
-+
R
4
R
2
E
2
- +
R3E 3
- +
I
I
3
I
I
1
I 4
2
54
R
6
1
2 3
4
EI
+
-
6
I II
III
 
 
figura 16 
 
En base a la primera ley de Kirchoff tenemos: 
 
nodo 1 I I I1 2 3 0+ + = 
nodo 2 − − − =I I I3 4 6 0 
nodo 3 − + + =I I I1 5 6 0 
nodo 4 − + − =I I I2 4 5 0 
 
 
Como una de las ecuaciones pude ser recibida como consecuencia de las 
restantes ( n-1 ) ecuaciones ( n- es el número de nodos) . 
 
 La cantidad de ecuaciones mutuamente independientes en base a la 
LCK está dada por K1 = n-1. 
 
 Entonces según la Primera Ley de Kirchoff, para nuestro ejemplo, la 
cantidad de ecuaciones mutuamente independientes es igual a K1= 4-1= 3 
ecuaciones. 
14 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 La cantidad de ecuaciones mutuamente independientes que se derivan 
de la Segunda Ley de Kirchoff, está dada por K L n2 1= − + ( L- es el 
número de ramas). 
 
 Para nuestro ejemplo K2 = 6-4+1= 3 ecuaciones 
 
Trayectoria 1 R I R I R I E E E2 2 3 3 4 4 2 3 4− + = − + 
Trayectoria 2 R I R I R I E E1 1 2 2 5 5 1 2− + = − 
Trayectoria 3 − − = − −R I R I E E4 4 5 5 4 6 
 
 La solución simultánea de las tres ecuaciones formadas en base a la 
LCK y tres ecuaciones formadas en base a la LVK da como resultado los 
valores de las corrientes en cada rama. De esta manera la cantidad total de 
ecuaciones a resolver K= K1+K2 = L que es la cantidad de corrientes 
desconocidas. 
 
4.3 Ecuaciones de Kirchoff escritas en forma de matrices. 
 
 Si el circuito eléctrico contiene L ramas, en base a la primera y 
segunda leyes de Kirchoff podemos escribir sus ecuaciones. 
 
Caso general 
 
a I a I ... a I F
a I a I ... a I F
.....................................
a I a I ... a I F
11 1 12 2 1L L 1
21 1 22 2 2l L 2
L1 1 L2 2 LL L L
+ + + =
+ + + =
+ + + =
 (17) 
 
 Para la Primera Ley de Kirchoff los coeficientes a no tienen unidades 
y pueden tomar valores de ± ó 0. Cuando la corriente de la rama entra al 
nodo su coeficiente a es -1, cuando sale del nodo +1 y 0 cuando la corriente 
no tiene relación con el nodo que analizamos. 
ij
1
ij
 
15 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 La parte derecha de la ecuación F tiene unidades de corriente y es 
igual a 0, cuando en el punto correspondiente no hay fuentes de corriente 
conectadas. 
j
 
 Para la Segunda Ley de Kirchoff los coeficientes a tienen unidades de 
resistencia y en la parte derecha de la ecuación F
ij
EE = ∑ tiene unidades de 
potencial y es igual a 0 cuando no hay fuentes de voltaje conectadas en el 
trayectoria cerrada. 
 
 Si la trayectoria cerrada i contiene la rama j entonces a Rij ij= ± de lo 
contrario a . 0ij =
 
 La ecuación 17 puede escribirse en forma de matrices. 
 
FIa = (18) 
 
Donde: 
a- matriz cuadrada de los coeficientes. 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
L3L2L1
2L2221
1L1211
a...aa
............
a...aa
a...aa
 =a 
 
I-matriz columna de corrientes. 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
L
2
1
I
...
I
I
I 
 
F-matriz columna de fuentes de voltaje. 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
L
2
1
F
...
F
F
F 
16 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
 
4.4 Ejemplo 
 
Encontrar las corrientes en el circuito de la figura 17. 
 
 
El circuito consta de 5 ramas y 3 
nodos. 
R
rE
1
2
3
4
5R
R
R
R
 
En base a la primera ley de Kirchoff 
obtenemos dos ecuaciones y en base a 
la segunda, tres. 
 
 
nodo 1 − + − − =I I I I1 2 3 5 0
0
 
nodo 2 I I I1 3 4+ + = 
 
trayectoria I ( ) ( ) 31333111 EEIrRIrR +=+−+ 
trayectoria II ( ) 255222 EIRIrR =++ 
trayectoria III ( ) 35544333 EIRIRIrR −=−−+ 
 
Sustituyendo los datos del ejemplo en las ecuaciones anteriores, tenemos: 
 
nodo 1 − + − − =I I I I1 2 3 5 0
0
 
nodo 2 I I I1 3 4+ + = 
trayectoria I 6I 10I 201 3− = 
trayectoria II 5I 15I 702 5+ = 
trayectoria III 10I 2.5I 15I 53 4 5− − = − 
 
Resolviendo las ecuaciones obtenemos que: 
 
I 5 A1 = I I8 A2 = 1 A3 = I 6 A4 = − I 2 A5 = 
I
I
I
I
I
E
E
1 2
3
r
r
1
2
3
1
2
5
4
3
+- +
+
-
-
1
2
3I
II
III
 
figura 17 
17 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Las ecuaciones de Kirchoff antes descritas en forma de matrices. 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−−
=
150050
152.51000
001006
01101
10111
a 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
5
4
3
2
1
I
I
I
I
I
I
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
70
5
20
0
0
F
 
5 ANALISIS DE NODOS 
 Consideremos formas sistemáticas para elaborar y resolver las 
ecuaciones que aparecen en el análisis de circuitos más complicados. 
5.1 Con fuentes prácticas de voltaje 
Veremos el análisis de nodos que está basado principalmente en la LCK la 
cual conduce a ecuaciones en las cuales las incógnitas son los voltajes. 
 
Tomando en cuenta la figura 18: 
Seleccionamos el nodo de 
referencia, tomamos el 
potencial de un nodo 
cualquiera igual a cero, para 
nuestro caso tomamos 
ϕ3 0= . 
 
 Esta suposición no 
cambia la condición del 
problema, porque la 
corriente de cada rama 
depende no de los valores 
absolutos de los potenciales en los nodos a los cuales está conectada la 
rama, sino a la diferencia de potenciales en las terminales de la rama. 
R
R R
R
R1 23
4
5ϕ ϕ
ϕ3
21
E
EEE
1 3
2
5
+
--
-
-+ +
+
I
I
I
I
I
1
4
3
2
5
 
figura 18 
 
 En un circuito que contenga n nodos, habrá n-1 voltajes de nodos, 
algunos de los cuales pueden ser conocidos si se tienen fuentes de voltaje 
ideales. 
18 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 En base a la primera ley de Kirchoff en los nodos 1 y 2 del circuito 
tenemos: 
 
nodo I I I
nodo I I I
1 0
2 0
5 1 4
3 2 5
− − =
− − =
 
 
Expresando la corriente en las ramas en base a la ley de Ohm: 
 
5521125
41314
332233
222322
1111113311
)(
)(
)(
)(
)()(
GEII
GII
GEII
GEII
GEGEII
+−==
−==
+==
+−==
+−=+−==
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕϕ
 
 Luego reagrupando: 
0)()()( 411115521 =++−−+− GGEGE ϕϕϕϕ 
 
5111525411 )()( GEGEGGGG −=−++ ϕϕ (19) 
 
0)()()( 5521222332 =+−−+−−+ GEGEGE ϕϕϕϕ 
 
332255532251 )( GEGEGEGGGG −+=+++− ϕϕ (20) 
 
Las ecuaciones (19) y (20) podemos escribirlas de la siguiente manera: 
 
∑
∑
=+−
=−
2
222112
1
212111
EGGG
EGGG
ϕϕ
ϕϕ
 (21) 
 
Donde: 
 
 Conductancias propias del nodo 1 y 2. 
53222
54111
GGGG
GGGG
++=
++=
 Conductancia mutua entre los nodos 1 y 2 52112 GGG ==
5.2 Con fuentes prácticas de voltaje y fuentes ideales de corriente 
19 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Si en el circuito se encuentran conectadas tanto fuentes de voltaje 
como de corriente, ver figura 19, en base a la Primera Ley de Kirchoff, en 
las ecuaciones entran las corrientes de las fuentes de corriente. 
 
 La corriente de la fuente de corriente tiene el sentido positivo si ésta va 
dirigida al nodo y negativa si sale del nodo. 
 
 R
R
R
2
4 5ϕ ϕϕ3 21
E 2
-
R1
E
1-
+ +
R 3
E 3-
+
I
I
I
I
I
1
4
3
2
5
I
ϕ
4 
figura 19 
 
Formamos las ecuaciones en 
base al análisis de nodos: 
 
 
 
 
 
11GEI313212111 GGG +=ϕ
 
ϕ ϕ− −
22323222121 GEGGG =−+− ϕϕϕ 
33333232131 GEGGG =+−− ϕϕϕ (24) 
 
Donde: 
 
 Conductancias propias de los nodos 1, 2 y 3. 
54333
5222
4111
GGGG
GGG
GGG
++=
+=
+=
 
53223
43113
2112 0
GGG
GGG
GG
==
==
==
 Conductancias mutuas entre los nodos 1, 2 y 3. 
 
 Estas ecuaciones ofrecen una simetría que puede usarse para escribir 
las ecuaciones en la forma rearreglada mediante una simple inspección. En la 
ecuación (22) el coeficiente de ϕ1 es la suma de las conductancias de los 
elementos conectados al nodo 1, mientras el coeficiente de ϕ2 es el negativo 
de la conductancia mutua entre el nodo 1 y 2 y el coeficiente de ϕ3 es el 
negativo de la conductancia mutua entre los nodos 1 y 3. 
 
20 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 La misma afirmación es válida para las ecuaciones (23) y (24). Así el 
nodo 2 en (23) juega el papel en (22) del nodo 1, es decir, es el nodo al cual 
se aplica la LCK y así sucesivamente para las demás ecuaciones. 
 
 De esta manera podemos establecer la siguiente regla para escribir las 
ecuaciones en base al análisis de nodos: 
 
 En general, en redes que contienen sólo conductancias y fuentes de 
corriente, la LCK aplicada al k-ésimo nodo, con el potencial de nodo ϕk, 
puede escribirse como sigue. 
 
 En la parte izquierda de la ecuación el coeficiente de ϕk es la suma de 
las conductancias conectadas al nodo k ( conductancias propias del nodo k), y 
los coeficientes de los otros potenciales de los nodos son los negativos de las 
conductancias entre esos nodos y el nodo k (conductancias mutuas). 
 
 La parte derecha de la ecuación consiste en la corriente neta que fluye 
al nodo k debido a las fuentes de corriente y fuentes de voltaje prácticas (no 
ideales). 
 
 Encontrar V, en la figura 20, utilizando análisis de nodos. 
 
 
Procedemos a plantear la cantidad 
de ecuaciones independientes a 
resolver en base a n-1 y tomamos 
el potencial ϕ3=0. 
 
 
 
6
196
12
1
6
1
4
1
12
1
6
1
6
918
12
1
6
1
12
1
6
1
4
1
21
21
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
ϕϕ
ϕϕ
Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos: 
+ -
18 A
6
9
12
4 4
6
+ -V
A
Ω Ω
Ω
Ω
V
ϕ ϕ
ϕ
1 2
3
 
figura 20 
 
21 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
54
2
13936
2
139
5463
23436
22
2
21
21
21
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
+=
=+−
=−
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
tenemosendosustituyen
 
5838)5.0(39
381715.4
1
22
=+=
=⇒=
ϕ
ϕϕ
 
 
Por lo tanto 
 
VV 20385821 =−=−= ϕϕ 
5.3 Circuitos con fuentes de voltaje ideal 
 Queremos dejar asentado que la dificultad de aplicar el análisis de 
nodos en los circuitos que tienen fuentes de voltaje sólo se presenta en caso 
de fuente de voltaje ideal, ya que las fuentes de voltaje prácticas o sea una 
fuente de voltaje ideal que tiene conectada una resistencia en serie (que puede 
interpretarse como resistencia interna) puede transformarse a una fuente de 
corriente conectada con una resistencia en paralelo, y se aplica el análisis de 
nodos según la regla. 
 En los circuitos con fuentes de voltaje ideal no podemos escribir las 
ecuaciones utilizando el método anterior porque no conocemos la corriente a 
través de estas fuentes. 
 Para eliminar la necesidad de conocer las corrientes en las fuentes de 
voltaje podemos pensar en nodos generalizados o supernodos. 
 
 La Primera Ley de Kirchoff se mantiene para tal nodo como para un 
nodo ordinario. 
 
+ -
E
ϕ ϕa b
i
i1
2 3
4
5
6
i i
i
i
 
22 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
figura 21 
 
Aplicando la LCK al nodo a y al nodo b en la figura 21, tenemos: 
 
∑ =−−=
a
213 0iiii (25) 
 
∑ =−−−=
b
3654 0iiiii (26) 
 
 
Sumando las ecuaciones (25) y (26) obtenemos: 
 
∑ ∑ =−−+−−=+
a b
65421 0iiiiiii 
 
 De esta manera aplicando LCK simultáneamente al nodo a y b, que en 
adelante le llamaremos supernodo, eliminamos la necesidad de conocer la 
corriente a través de la fuente de voltaje ideal ( i3 ya no entra en la ecuación 
final). 
 
 De esta manera, la regla para aplicar en el supernodo, el análisis de 
nodos puede interpretarse de la siguiente forma: 
 
 Los coeficientes de los potenciales de los nodos que forman parte del 
supernodo o nodo generalizado son positivos de la conductancia propia y los 
demás potenciales de los nodos que tienen conectadas conductancias 
comunes con el supernodo tienen coeficientes negativos de las conductancias 
mutuas, y para los nodos que no entran en el supernodo se aplica la regla 
anterior. 
 
En el esquema de la figura 22 encontrar V: 
 
 
23 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Como podemos 
observar 
6
4
6-
V
A
Ω Ω
Ω
ϕ
2
+
-
2
1
20 V
+ -
ϕ ϕ
1
3 V
+
 
figura 22 
 
31 += ϕϕ 
 
 
Procedemos a 
plantear la 
ecuación: 
 
6
6
120
4
1
6
1
2
1
1 +=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ϕϕ 
Resolviendo la ecuación anterior tenemos 
 
 
VV 8
8811
1123)3(8
112724038 1
==
=
=++
=+=+
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
 
 Una forma de evitar considerar el supernodo es escoger una de la 
terminales donde esté conectada la fuente de voltaje ideal como nodo de 
referencia y la otra la tomamos como conocida, ver figura 23, esto se puede 
utilizar en caso que tengamos nada másuna fuente de voltaje ideal en 
circuito. 
 
6
6
120
)
4
1
2
1
6
1(
3
12
1
−−=
−++ )
6
1
2
1( =+
=
ϕϕ
ϕ v
6
4
6-
V
A
Ω Ω
Ω
 
 
ϕ
2
+
-
2
1
20 V
+ -
ϕ ϕ1
3 V
+
 
figura 23 
24 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
vV
v
tenemos
8)8(0
8
:oResolviend
2
2
=−−=−=
−=
ϕϕ
ϕ 
 
En el circuito de la figura 23a encontrar Vx e iy. 
 
ϕ
ϕ ϕ ϕ
1
4 1 3
2
4 1 1
2
1
2
1 9
=
+ − − = −
v
nodo ( ) ( ) ( )
para el supernodo en los nodos 2 
y 3, tenemos: 
 
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
2 3 1 4
2 3 3 2
1 1
2
1 1 1 2
3 5
2
( ) ( ) ( ) ( )+ + − − =
− = =
V
i
x
y
 
i Vy x= − = − = −
ϕ
ϕ ϕ ϕ2 1 42
2
ϕ
1 2
34
ϕ
ϕϕ
ϕ
5
2 V
+
-
+
+
-
- iyVx
9A Vx2
2
1
1
2
Ω
Ω
Ω
Ω
3 iy
 
figura 23a 
4 
Resolviendo tenemos: 
ϕ ϕ ϕ2 3 42 5 2= = =; ; 
Sustituyendo en Vx e iy, obtenemos: 
 
V v
i A
x
y
= − = − − =
= − = − = −
2 2 2
2
2
2
1
4
2
4ϕ
ϕ
( )
 
 
5.4 Análisis de nodos en forma matricial 
 
 En el caso general para circuitos con ( n-1 ) nodos tenemos n 
ecuaciones. 
 
Caso general 
 
25 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=+=+−−−
=+=−−+−
=+=−−−
∑
∑
∑
+
≠
=
+
≠
=
+
≠
=
1
1
2211
1
2
1
22222222121
1
1
2
11111212111
...
.......................................................................
...
...
N
NJ
J
SNNJNJSNNNNNN
N
J
J
SJJSNN
N
J
J
SJJSNN
IGEIGGG
IGEIGGG
IGEIGGG
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
 
Escribiendo el caso general en forma de matrices tenemos: 
 
G N SIϕ = (27) 
 
Donde: 
 Matriz cuadrada de las conductancias del esquema. GN
 Matriz columna de los potenciales. ϕ
 Matriz columna de corrientes de las fuentes de corriente y de 
voltaje. 
IS
 
G
G G G
G G G
G G G
N
N
N
N N N
=
− −
− −
− −
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
........ ............. ....... .........
... N
 
 
 
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
1
2
....
N
 I
I
I
I
S
S
S
SN
=
1
2
... 
 
 Multiplicamos la parte derecha e izquierda de la ecuación por GN
−1
 
obtenemos: 
 
Donde GN
−1
 es la matriz inversa de G N
 
ϕ = −G N S
1 I (28) 
26 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
5.4.1 Primer método 
 
Utilizando la regla de Cramer obtenemos: 
 
Δ
Δ
=
−
−
−−
= 1
2
2222
1121
1 det
...
............
...
...
N
NNNSN
NS
NS
G
GGI
GGI
GGI
ϕ 
 
Δ
Δ
=
Δ
Δ
=
N
Nϕ
ϕ 22
 
 
5.4.2 Segundo método 
 
 A continuación mostramos que la matriz de las conductancias en el 
nodo puede escribirse directamente del esquema. 
 
Utilizando la fórmula ϕ = −GN S1 I tenemos que: 
 
T
d
N AGAG = (29) 
 
Donde 
A matriz cuadrada de las conductancias conectadas en los nodos del 
esquema. 
Gd matriz diagonal de las conductancias conectadas en el nodo. 
AT matriz transpuesta de las conductancias conectadas en el esquema. 
 
La matriz A se forma de la siguiente manera: 
 
27 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
La cantidad de columnas de la matriz dependen de la cantidad de ramas 
conectadas en el circuito y las filas de la matriz dependen de la cantidad de 
nodos, en la intersección de la columna y la fila se escribe ± ó 0, 
dependiendo de si la rama se encuentra conectada en el nodo 
correspondiente o no. El signo positivo se escribe si la corriente de la rama 
sale del nodo sale del nodo y con signo negativo si la corriente de la rama se 
encuentra dirigida hacia el nodo. 
1
 
 
 Para ilustrar la aplicación de la fórmula 29 utilizamos el ejemplo que 
se muestra en la figura 24 en la cual tenemos que encontrar los valores de las 
seis corrientes. 
 
Datos: E1 = 6v, E2 = 12v, E3 = 18v, R1 = R2 = R3=2Ω y R4 = R5 = R6 = 6Ω 
 
3
R
5
+-
R1
E1
- +
4ER2
- +
R3
E 3I
I 1 I 4
I 2 I5
R4
6
R
I6
1
2
3
0
 
figura 24 
Como podemos observar 
nuestro esquema tiene 4 
nodos por lo tanto la 
cantidad de ecuaciones 
independientes a resolver 
son 4-1=3. 
 Inicialmente tomamos 
el potencial en el nodo 0 
igual a cero y escribimos las 
ecuaciones para los nodos 
con los potenciales 
ϕ ϕ ϕ1 2 3, y . 
La matriz diagonal de las conductancias 
 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
011100
110010
000111
A 
 
 
28 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
6
5
4
3
2
1
d
G00000
0G0000
00G000
000G00
0000G0
00000G
G 
 
 
Multiplicando 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
0GGG00
GG00G0
000GGG
AG
543
652
321
d
 
La matriz de las conductancias del circuito se obtiene después de multiplicar 
. AG por Gd
T
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−
−++−
−−++
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−
=
)GG(GGG
G)GG(GG
GG)GG(G
010
110
100
101
011
001
0GGG00
GG00G0
000GGG
AAG
54353
56522
32321
543
652
321
T
d
 
La matriz columna de los potenciales de los nodos 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
 
La matriz columna de las fuentes de corriente 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −−−
=
33
22
332211
s
GE
I
GE
GE
GEGE
 
 
 
29 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
6. AMPLIFICADORES OPERACIONALES 
 
 Los primeros amplificadores fueron fabricados para llevar a cabo 
electricamente las operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, 
derivación e integración, permitiendo de esta manera la solución de 
ecuaciones diferenciales en las computadoras analógicas. 
 
6.1 Introducción 
 
 Basicamente un amplificador operacional (amp. op) no es más que una 
fuente dependiente de voltaje, controlada por un voltaje. 
 
 La fuente dependiente de voltaje aparece en las terminales de salida del 
amp.op, y el voltaje que lo controla se aplica en las terminales de entrada. 
 
 El amp-op es un dispositivo multiterminal pero por simplicidad 
mostramos sólo tres terminales. 
 
 
 En la figura 25 se muestra el símbolo de un amplificador operacional. 
 
 
La terminal 1 ( - ) es la entrada inversora. 
La terminal 2 (+ ) es la entrada no inversora. 
+
-
1
2
3
 
figura 25 
 La terminal 3 es la salida. 
 
 
Un modelo ideal de amp-op tiene dos 
propiedades: 
 
• La corriente en ambas terminales de entrada es cero. 
• El voltaje entre las terminales de entrada es cero. 
 
 Debe advertirse que la corriente de salida en caso general es diferente 
de cero a causa de las terminales no mostradas, claro está, que la LCK no 
puede aplicarse a la terminal 3 porque no podemos conocer la corriente de 
salida 
30 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
Ejemplo: En la figura 26 encuentre el potencial V2. 
 
Utilizando análisis de nodos tenemos: 
 
 
+
-
V
g
V
i
g
1
2
Ω
Ω
Ω9
+
-
+
-
2
V2
V1
 
figura 26 
V1 = Vg 
 
Porque el voltaje 
entre las 
terminales de 
entrada es igual a 
cero. 
 
 
VgVV
VV
33
0
2
1
2
11
12
21
==
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
 
 Como resultado, observemos que ig = 0 y V2 = 3Vg por lo tanto 
mostraremos un diagrama equivalente que se muestra en la figura 27. 
 
Observemos que el amp. op. de la figura 26 
se opera en un modo de realimentación. Es 
decir, la salida V2 se realimenta por la 
terminal de entrada inversora a través del 
resistor de 2Ω . Un amp. op. práctico es un 
dispositivo de muy alta ganancia y casi nunca 
se usa sin realimentación. 
+
-
+
-
ig
gV gV3
+
-
V2 9 Ω
 
 
figura 27 
 
31 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 En casos cuando la realimentación es una terminal de entrada en lugar 
de las dos, esta es siempre la terminal inversora, por la sencilla razón que de 
otra manera el amp. op. no trabajará. 
 
 
Veremos el caso general del circuito de la figura 28. 
 
Aplicamos análisis de nodos en el 
nodo V1. 
+
-
 
0111 2
2
1
21
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ V
R
V
RR
 
 
 
 
Resolviendo para V2 . 
 
12 VV μ= 
Donde: 
 
1
2
R
R1+=μ se llama ganancia. 
 
 Observemos que puesto que R1 y R2 son no negativas, entonces 
. μ ≥ 1
 
 
 Un caso especial es cuandoR2 =0 ( corto circuito ) y R1 es ∞ (circuito 
abierto), entonces μ = 1 o V1 = V2 y el circuito se le denomina seguidor de 
voltaje, ver figura 29. También se le conoce como amplificador de 
acoplamiento porque puede usarse para aislar o acoplar un circuito a otro. 
Los voltajes en los dos pares de terminales son los mismos, pero no puede 
fluir corriente de un par a otro. 
 
V
V2
V1
+
-
V2
+
-
R
R1
2
1
 
 
figura 28 
32 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
+
-
 
 
 
 
 
 
Veremos otro tipo de amp. op. que se denomina inversor, como se muestra en 
la figura 30. 
 
Aplicando análisis de nodos en el nodo 0, 
obtenemos: 
 
1
1
2
2
2
2
1
1
V
R
RV
despejamosdondede
0
R
V
R
V0
−=
=−−
2V 
 
Al circuito de la figura 30 se le llama inversor porque la polaridad de V2 es 
contraria a la de V1 . 
 
6.2 Ejemplos 
 En el circuito de la figura 31 encontrar V. 
 
 Podemos observar que V=μV3 donde μ= 1
3
3
2+ = y V3 = V1 (voltaje 
entre las terminales es igual a cero). 
 
 Entonces procedemos a plantear las ecuaciones en base al análisis de 
nodos: 
 
V
+
-
1
V
2
+
- 
 
figura 29 
R
+
-
V
+
-
V
2
+
-
R1
2
1
0
 
 
figura 30 
33 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
+
-
8 2
5
3
V
1
Ω
V
V
2
2 3Ω
Ω
Ω
Ω
V3
V
4Ω
 
figura 31 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
4
8V
2
1V
5
1V
5
1
4
1
2
1
0V
2
1V
2
1
2
1
12
21
 
Resolviendo las dos 
ecuaciones anteriores 
obtenemos: 
 
2 01 2V V por lo tanto − =
V V1 22
= 
Sustituyendo el valor de V1 en la segunda ecuación, tenemos 
 
2V
4
1V
5
1V
20
19
22 =−− 
como 
 
2
2
13 V2
V2V22VV ==== 
Entonces 
V4vV
2V
2
1
2V
4
1
5
1
20
19
2V
4
1V
5
1V
20
19
2
2
2
222
==
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
=−−
 
 
En el problema de la figura 32 encontrar la corriente i. 
 
1
3
4
2g
1
2
1 VR
RVV
R
RV −=−= 
 
34 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
)30001230006(2
4
8V
t3000sen6t3000sen2
k 2
k 6V
12
1
tsentsenV =−−=−=
−=−=
 
 
 
+
-
2
1
V
V 2
Ω
Ω
Ω
Ω
4 Ω
+
-
2 sen 3000 t
+
-
R
R
R
R
1
2
3
4
k
6 k
k
8 k
6 k
i
 
 
figura 32 
 
 
(mA)t3000sen2
k6
t3000sen12
k6
Vi 2 === 
 
En la figura 33 encontrar R de modo que i sea igual a 0,5 A. 
 
 
+
-
V
1V V2Ω
Ω
4
4
12 R
i
 
figura 33 
 
 
Como podemos observar 
del circuito V1 sigue el 
voltaje de entrada por lo 
tanto V1 = 4V. 
 
 
 
2
R0.5RRiVR === 
35 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
Por divisor de voltaje tenemos: 
 
12
124
12
12
4
12
124
12
12
1
+
+
+=
+
+
+=
R
R
R
R
R
R
R
R
VVR 
 
Igualando: 
 
4816R2(48)
2
R
4816R
48R
+=
=
+
 
 
Por lo tanto R = 3 Ω 
 
7. ANALISIS DE MALLAS 
 
 Para calcular el régimen de un circuito eléctrico se puede limitar a la 
solución de K= (L-n+1) ecuaciones independientes formadas en base a la 
LVK, utilizando el análisis de mallas. 
 
 Para la aplicación de este método, veremos el esquema de la figura 34. 
 
36 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
Como podemos observar 
nuestro esquema consta de 
seis ramas y cuatro nodos. 
En base a la Primera Ley de 
Kirchoff tenemos: 
 
03
02
01
632
521
431
=++−
=++−
=−−
IIInodo
IIInodo
IIInodo
 
 
 Antes de formar las 
ecuaciones en base a la Segunda Ley de Kirchoff, es necesario tomar las 
mallas mutuamente independientes de tal forma que en cada malla debe 
entrar no menos que una nueva rama, que no pertenece a otra malla. 
3
R
E
5
+-
R1
E1
- +
R
4R
2
E
2
-+
R3
E 3
-+
I
I
I
I
I
1
4
2
5
4 6
R
I6
1
2
3
4
I I1 I2
I3
 
figura 34 
 
 En base a la Segunda Ley de Kirchoff tenemos: 
 
43664433
2665522
41554411
EEIRIRIR
EIRIRIR
EEIRIRIR
+=−−
−=+−
−=++
 
 
 Las corrientes de ramas I4, I5 e I6 son comunes para algunas mallas. 
 Utilizando las corrientes de rama para expresarlas a través de las 
corrientes de mallas, tenemos:e 
 
326
215
314
III
III
III
−=
−=
−=
 
 
 
4332631433
232621522
4121531411
)()(
)()(
)()(
EEIIRIIRIR
EIIRIIRIR
EEIIRIIRIR
+=−−−−
−=−+−−
−=−+−+
 
 
Reagrupando tenemos: 
37 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
4364336241
26352251
4143525411
)()()(
)()(
)()(
EERRRIRIRI
ERIRRIRI
EERIRIRRRI
+=+++−−
−=−++−
−=−−++
 
 
 Podemos decir que cada una de las corrientes I1, I2 e I3 se cierran a 
través de las corrientes I4, I5 e I6 en una de las mallas y se llaman corrientes 
de malla. 
 
 El voltaje en las resistencias de cualquier malla es igual a la suma 
algebraica de los voltajes, estipulando de su propia corriente y la corriente de 
la malla adyacente. 
 
 Si en el esquema se encuentran conectadas tanto fuentes de voltaje 
como de corriente, la caída de voltaje provocada por esta fuente de corriente, 
es necesario escribirla en la parte izquierda de la ecuación en base a la 
Segunda Ley de Kirchoff o en la parte derecha con signo contrario. 
 
7.1 Circuito con fuentes de corriente ideal 
 
 Para ilustrar este análisis consideremos el esquema de la figura 35. 
 
 Como podemos observar en 
nuestro esquema están conectadas 
dos fuentes de corriente ideal. 
 
 Está claro, que hay tres 
corrientes de malla i1, i2 e i3 por lo 
tanto son tres ecuaciones 
independientes a resolver, sim 
embargo, no todas tienen que ser 
ecuaciones de malla. La presencia 
de dos fuentes de corriente nos 
permite conocer, por simple 
inspección, dos corrientes de mallas: 
1 2
3+
-
R R
R
1
1
2E
I
I
1
2
3i
i
i
 
figura 35 
 
i2 = - I1 
38 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
i3 - i1 = I2 
 
 Por lo tanto necesitamos sólo una ecuación, puesto que debe de 
obtenerse a partir de la LVK, entonces, seleccionamos una trayectoria cerrada 
en la cual los voltajes se obtengan con mucha facilidad ( las fuentes de 
corriente no se toman en cuenta ya que sus voltajes no han sido obtenidos). 
 
 Imaginemos que las fuentes de corriente están abiertas por un 
momento, nos queda una lazo disponible, como se muestra en la figura 36. 
 
1 2
3
+
-
R R
R
1
2
1
E
I
2
1
3
I2
i
i
i
 
 
figura 36 
 
 
Aplicando la LVK al lazo, 
tenemos: 
 
133232211 EiR)i(R)ii(R =+−+− i 
 
 
 Otra manera de resolver el 
ejemplo de la figura 56 es la 
siguiente: 
 
 Imaginariamente "tapamos" las fuentes de corriente y seleccionamos 
las mallas restantes que analizaremos. Escogemos la dirección de las 
corrientes de malla de tal manera que coincidan con la dirección de las 
fuentes de corriente y aplicamos el análisis de mallas tomando en cuenta las 
caídas de voltaje provocados por las fuentes de corriente, ver figura 56a: 
 
 La solución de la malla i 
será: 
+
-
i38 v
4 Ω
Ω
Ω
1
3
5 A
5 A
2 A
2 A
i1
 
 
figura 36a 
 
6
481020388
38)14(2)4(5)314(
=
=−+=
=++−++
i
i
i
 
 
 Supongamos que buscamos 
la corriente de la rama i1, entonces 
la solución es: 
 
39 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Aii 336521 =−=−+= 
 
7.2 Ecuaciones matriciales en el análisis de malla 
 
 En el caso general las ecuaciones de las corrientes de la malla podemos 
escribir: 
 
KKKKKK
KK
KK
IIRIRIR
EIRIRIR
EIRIRIR
=+++
=+++
=+++
....
.............................................
.....
.....
2211
22222121
11212111
 
 
Donde: 
 
Rii Resistencia propia de la malla 
Rij Resistencia común para las mallas i e j 
 
O en forma de matrices: 
 
KKK EIR = (31) 
 
Donde: 
 
RK Matriz cuadrada de las resistencias de la malla. 
IK Matriz columna de las corrientes de mallas. 
EK Matriz columna de las fuentes de voltaje de malla ( Tomamos en cuenta 
las fuentes de voltaje y las fuentes equivalentes de voltaje Es de las fuentes de 
corriente). 
 
 Después de multiplicar la parte derecha e izquierda de la ecuación por 
RK
−1 tenemos: 
 
KKK ERI .
1−
= (32) 
 
 
7.2.1 Primer método 
 
40 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Las corrientes de malla las encontramos utilizando la regla de Cramer: 
 
Δ
Δ
= iiI 
 
 
 
7.2.2 Segundo métodoDemostraremos que RK se puede tomar directamente con ayuda de la 
matriz que une las resistencias de la malla B. 
 
T
d
K BBRR = (34) 
 
Donde: 
 Rd Matriz diagonal de las resistencias de la malla. 
 BT Matriz transpuesta de las resistencias de malla. 
 
 La matriz de las resistencias de malla B se encuentra de la siguiente 
manera: 
 
 Las filas corresponden a las mallas independientes y las columnas a 
las ramas. En la intersección de la fila con la columna se escribe ±1 o cero, 
dependiendo de si la rama entra o no a la malla respectiva. 
 
 Tendrá signo positivo si la dirección de la rama coincide con la 
dirección de la malla y signo negativo si no coincide. 
 
 La matriz de las corrientes de IB se encuentra a través de IK : 
 
KT
B IBI = (35) 
 
 Para ilustrar este método utilizamos el circuito que se muestra en la 
figura 37. 
 
41 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
3
R
E
5
+-
R1
E1
- +
R
4R
2
E
2
-+
R3
E 3
-+
I
I
I
I
I
1
4
2
5
4 6
R
I 6
1
2
3
4
 
 
figura 37 
 
En base al segundo método. 
planteamos las ecuaciones 
 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−=
101100
110010
011001
B 
 
 
 
 
Matriz Diagonal 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
6
5
0
0
00
00
00
00
R
R
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
4
3
2
1
0000
0000
000
000
000
000
R
R
R
R
Rd
 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−=
643
652
541
000
000
000
RRR
RRR
RRR
BxRd 
 
 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−=
110
011
101
100
010
001
R0RR00
RR00R0
0RR00R
xBBxRR
643
652
541
T
d
K 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++−−
−++−
−−++
=
)RR(RRR
R)RR(RR
RR)RR(R
64364
65425
45541
 
 
42 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
La matriz columna de corriente 
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
I
I
I
I K
 
La matriz columna de voltajes 
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
43
2
41
EE
E
EE
E K
La matriz de las corrientes de rama: 
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
6
5
4
3
2
1
110
011
101
100
010
001
I
I
I
I
I
I
I
I
I
 
 
 
 
 
 
 
De donde obtenemos que las corrientes de rama son: 
 
326
215
314
33
22
11
III
III
III
II
II
II
−=
−=
−=
=
=
=
 
 
 
 
8. PROPIEDADES DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS 
 
 Con frecuencia en nuestros análisis de redes resistivas no estamos 
interesados en la solución de la totalidad de variables desconocidas de la red, 
sino sólo en una variable desconocida. 
 Muchos problemas requieren el cálculo de las corrientes o voltajes en 
una sola rama. En tal caso, es deseable separar la rama del resto de la red, y 
43 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
aplicar algún tipo de solución para la parte restante. Esto es importante en 
especial cuando las redes resistivas incluyen fuentes independendientes se 
van a analizar. 
 En esta sección introduciremos los circuitos de Thévenin y Norton y 
mostraremos como estos proporcionan una solución para dichos problemas. 
 
8.1 Teorema de Thévenin 
 
Teorema de Thévenin.Cualquier red lineal de dos terminales se 
puede sustituir por un circuito equivalente que consiste en una 
fuente de voltaje y una resistencia conectada en serie. Como se 
muestra en la figura 38. 
 
 El valor del resistor Rth lo podemos 
encontrar como una resistencia equivalente 
respecto al par de terminales cuando todas las 
fuentes de la red se ajustan a cero conservando 
sus Rint. El valor de la fuente de voltaje Eth es 
el que se observa en las terminales en circuito 
abierto. 
Para entender lo anteriormente descrito, 
veremos la secuencia para la solución del 
ejemplo que se muestra en la figura 39 : 
R
E
+
-th
th
a
b
Figura 38 
 Supongamos que nos interesa encontrar el equivalente de Thévenin 
respecto a los nodos a y b: 
 
Se debe retirar la parte de la red, 
figura 40 a través de la cual se debe 
encontrar el circuito equivalente de 
Thevenin y luego se marcan las 
terminales de la red restante. 
 
 
Calculamos Rth reemplazando las 
fuentes de voltaje por un corto circuito y 
las fuentes de corriente por un circuito 
abierto como en la figura 41. 
 
 
E
R R
R
I
1 2
3
S
+
-
a
b
Figura 39 
E
R R
I
1 2
s
a
b
+
-
 
figura 40 
44 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
La fuente de voltaje ideal tiene una Rint=0 
por lo tanto reemplazamos fuente de voltaje 
como un corto circuito. 
R R
I
1 2
a
b s
 
figura 41 
 
 
Como podemos observar Rth = R1 
 
 
Calculamos Eth determinando el voltaje del 
circuito abierto en las terminales a y b, ver 
figura 42. 
 
EVE
IRV
th
s
+=
= 1
 
 
El esquema de la figura 43 es el equivalente de Thevenin : 
 
 
3th
th
RR
EI
+
= 
o 
 
V E R
R Rab th th
=
+
3
3
 
 
8.2 Teorema de Norton 
 Empleando la técnica de transformación de fuentes, el circuito 
equivalente de Thévenin puede ser reemplazado por una fuente de corriente 
con una resistencia conectada en paralelo, como se muestra en la figura 44. 
 La fuente de corriente tiene un valor que está determinado por la 
corriente que circula a través de un corto circuito conectado entre las 
terminales de la red original. 
 
Teorema de Norton. Cualquier red lineal de dos terminales puede 
sustituirse por un circuito equivalente que consiste en una fuente de 
corriente y una resistencia conectada en paralelo. 
 
 E
R R
I
1 2
s
a
b
Eth+
-
 
 
Figura 42 
 
E
R
R3+
-
a
b
th
th
 
figura 43 
45 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tenemos el circuito de la 
figura 45 que nos pide encontrar la 
corriente I3. 
I
R n
n
a
b 
 
Figura 44 
 
 
Retiramos el circuito con la rama R3 y 
marcamos la red restante de dos 
terminales, como en la figura 46. 
 
 
Luego de desconectada la rama, 
ajustamos todas las fuentes a cero y 
encontramos la resistencia de Norton, ver 
figura 47. 
 
 
La resistencia RN la calculamos vista 
desde la terminales a y b, ajustando todas 
las fuentes a cero. 
 
21
21
N RR
.RRR
+
= 
 
R
R R
1
2
3E +_
a
b
I3
 
 
figura 45 
R
R
1
2
E +_
a
b 
 
figura 46 
R
R
1
2
a
b 
 
figura 47 R
R
1
2
E +_
a
b
IN
 
 
figura 48 
 
El valor de la fuente de corriente es 
igual a la corriente que circula entre 
los nodos a y b,figura 48. 
 
 
1I
EI N = 
 
46 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
Luego encontramos el valor de la 
corriente que fluye por la resistencia 
R3, como en la figura 49. 
 
3N
N
N RR
RI
+3
I = 
 
 
 Tanto el circuito equivalente de 
Thévenin como el de Norton se pueden encontrar uno a partir del otro, como 
podemos observar en la figura 50. 
I R
a
b
R
N
N
3
I 3
 
figura 49 
 
 
 
 
 
 
figura 50 
 El 
método 
anterior lo 
utilizamos cuando en nuestro circuito se 
encuentran conectadas sólo fuentes independientes ya sean de voltaje y/o de 
corriente. 
a
b
RIN N=
Eth
thR
 
 
R
E+
- th
th
a
b
= IN RN
 
 
 Consideremos el caso cuando en nuestro circuito se encuentran 
conectadas resistencias , fuentes independientes y fuentes dependientes. 
 La presencia de fuentes dependientes impide calcular directamente Rth 
para la red inactiva por medio de la reducción de resistencias, para evitar 
estas dificultades desarrollaremos los siguientes métodos: 
 
8.3 Primer método 
 Utilizando la relación NTHTH IRV = se puede calcular: 
 
N
TH
TH I
VR = 36 
En el circuito que se muestra en la figura 51, encontrar Rth. 
 
47 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Como podemos observar el 
voltaje 1i6
10 A
- +
2i1
4 Ohm 6 Ohm
1i
3 Ohm
+
_
Vthi
1
 
figura 51 
THV = 
 
Aplicando análisis de mallas 
obtenemos: 
 
 02)4(10)46( 11 =−+ − ii
40210 11 =
 
 − ii
408 1 i =
despejando tenemos 
51 =i 
entonces 
vVTH 30)5(6 == 
 
 Utilizando la figura 52 aplicamos el análisis de nodos y conectamosun 
corto circuito entre las terminales del circuito y encontramos la corriente de 
Norton. 
 
 
112 2iVV =− 
10 A
- +
2i1
4 Ohm 6 Ohm
1i
3 Ohm
IN
V1 V2
 
figura 52 
 
i1 =
V2
6
 
 
3
V
6
V2VV 2212 ==− 
 
1
2
2 V3
VV =− 
despejando V1 obtenemos 
 
10V
6
1
3
1V
4
1
V
3
2V
21
21
=⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞++
=
 
 
10V
2
1V
4
1
3
2
22 =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
48 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞+ 10V
6
1
2
1
2 
15
2
310V
10V
3
2
2
2
==
=
 
 
A5
3
15
3
VI 2N === 
 
 
Ω=== 6
5
30
I
VR
N
TH
TH 
 
En la figura 53 se muestra el equivalente de Thévenin y el de Norton, 
del ejemplo anterior. 
 
 
+
_30 V 6 Ω
5 A
6 Ω
figura 53 
 
 
 
 
 
 
 
8.4 Segundo método 
 
 Para encontrar la resistencia equivalente el circuito se excita desde 
afuera por medio de una fuente de voltaje de 1 V (Vo) o una fuente de 
corriente de 1 A (Io). 
 La relación entre el voltaje de entrada de entrada Vo (1V) 
proporcionada por la fuente de voltaje y la corriente y se aplica análisis de 
mallas. 
i
VRth
1
= (37) 
 
 En caso que en el circuito se conecte una fuente de corriente hay que 
determinar el voltaje a través de ella y se aplica análisis de nodos. 
49 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
A
VRth 1
= (38) 
En el circuito de la figura 54 encontrar el valor de Rth. 
 
VVV
VV
1248
4
2
8)1(
2
84)2
1 =+=+=
==
V
V
V
TH
(
1 =
==
 
 
 Entre las terminales del 
circuito conectamos una fuente 
de corriente de 1A, eliminando 
las fuentes independientes de 
energía en general, para nuestro caso eliminamos la fuente de corriente y 
utilizamos el análisis de nodos, como se muestra en la figura 54a. 
V 24 A
+
_
+_
V
V
V
V1
TH
+
_
VTH
2
1Ω
Ω
 
figura 54 
 
 
V 2
+
_
V
V
1A
V
2
1Ω
Ω
a
 
figura 54a 
 
)
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=−
−=−+
2
111
2
)1(1
2
1(
VVV
VVV
a
a
 
 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−−
=−+
1
2
1
0
2
1
2
3
VVV
VVV
a
a
 
 
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
1
2
3
02
VV
VV
a
a
 
 
Utilizando la ecuación (38) obtenemos: 
 
50 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Ω==
=
4
1
4
a
TH
a
VR
V
 
 
En las terminales del circuito de la figura 55 conectamos una fuente de 
voltaje y aplicamos el análisis de mallas, de acuerdo a (37). 
Procedemos a plantear las ecuaciones: 
 
V2
+
_
V 2
1Ω
Ω +
- 1v
i
 
 
figura 55 
 
Ω===
=
=
=+
=
=++
4
4
1
1
i
1R
4
1i
1i4
1ii3
2iV
1
2
V(1))21(i
th
 
 
 
8.5 Tercer método 
 Hay otro método que tiene cierto atractivo porque puede aplicarse a 
cualquier tipo de redes. 
 Este método consiste simplemente en aplicar una fuente de prueba que 
tiene un valor literal, conservando todas las fuentes en el esquema y en caso 
de fuente de voltaje de prueba definir la corriente que sale de su terminal 
51 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
positiva luego analizar la red para obtener la corriente i y escribir una 
ecuación de la forma i
V
a
b= −0 . 
 Si aplicamos una corriente de prueba;figura 56; Io y dejamos este 
cantidad como una cantidad literal durante el procedimiento de análisis. La 
solución para el voltaje de salida V en las terminales donde se aplica Io tendrá 
entonces la forma: 
V R I V0 0 0= + (39) 
 
donde: 
Vo - Proporciona el voltaje de salida en circuito abierto (Io = 0) 
Ro -Brinda la dependencia del voltaje de salida con respecto a Io. 
 
 Si en estas condiciones aplicamos una corriente de i = Io al circuito 
equivalente de Thevenin obtenemos: 
V R I Vth th= +0 (40) 
 Comparando las ecuaciones (39) y (40) obtenemos: 
 
 R R y V Vth th0 = 0 = se determinan directamente las cantidades del 
circuito de Thévenin. 
 
 De manera similar si se aplica un voltaje de prueba v = V0 en las 
terminales de salida, figura 57, podemos determinar que la corriente i estará 
determinada por la expresión que tiene la forma: 
i V
R
I
Nor
Nor= −
0 (41) 
 
 
V
R
+
- V
+
-
TH
TH
I0
 
 
figura 56 
 
V R I VTh Th = +0
 
 
 
 
52 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
R +-V
I 0
i
Nor Th
 
figura 57 
 
i V
R
I
Nor
Nor= −
0 
 
Ejemplo: Encontrar la resistencia 
equivalente de Thévenin, tomando en 
cuenta la figura 58. 
 
 
Como el ejemplo nos pide encontrar el 
Vth y Rth conectamos una fuente de 
corriente I0 entre sus terminales. 
 
 
 Utilizando el análisis de nodos 
tenemos: 
( )
( ) ( )⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=−
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
21
12
2
11
11
2
1
VVV
VV −
0
2
4
I
V
 
 
Como podemos observar V V= 2 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−−
=+−
0
2
21
2
12
2
4
22
3
IVVV
VVV
 
2
2
42
4
2
1
2
3
1
2
12
12
+=
+=
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
VV
VV
VV
 
 
0
11
1 222
12
2
IVVV =⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−−− 
V 24 A
+
_
V V1
2 Ω V
2
1Ω
Ι0
 
 
figura 58 
53 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
Resolviendo obtenemos 
Del resultado anterior tenemos que: 
 
124IV 01
3
4
124
3
4
1
2
11
1
4
2
2
01
01
0
11
1
+=
+=
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
=−−−−
3IV
4
1
01
IV
IV
IVVV
 
 
VTh = 12 V y RTh = 4Ω 
 A continuación presentamos algunos ejemplos resueltos que nos 
permitirán analizar los métodos propuestos. 
 
Ejemplo: Encontrar el circuito equivalente de Thévenin para el esquema de la 
figura 59 : 
 
 
4 2
8
1
1
+
-
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
V
V
V
1
2
3
I0
a
b
c
7 V
 
 
figura 59 
En el circuito hemos conectado 
una fuente de corriente I0 y para 
su análisis utilizaremos el análisis 
de nodos. 
 
 
V V3 22 =
 
Planteamos las ecuaciones 
independientes a resolver: 
 
54 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++
=−
4
7V
8
1V
2
1V
8
1
4
1
2
1
IV
2
1V
2
1
321
012 
 
7
8
3
4
7
4
2 6
71 2 1 1
V V Despejando V V V− = = + 2 
Si el valor de V1 lo sustituimos obtenemos 
 
022 7
62
2
1
2
1 IVV =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+− 
 
V I2 014 14= + 
 
El circuito nos queda de la siguiente manera →
14 V +_
14 Ω
 
 
Ejemplo: En el circuito de la figura 60, encontrar el voltaje y la resistencia 
de Thevenin 
 
 
t +- I
i V
1
2Ω
02
Ω3
i
figura 60 
En nuestro circuito conectamos 
una fuente de corriente I0 y lo 
analizamos por nodos. 
 
 
 
t
2
1iIV
3
2
2
1
0 ++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 
(42) 
Recordemos que por Ley de Ohm, la corriente es igual a : 
 
55 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
22
0 VttVi −=+−= (43) 
Sustituyendo la ecuación (43) en (42) obtenemos: 
 
6
3
6
1
2
5
262
5
0
0
ttIV
tVtIV
+
+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
−
+=
 
tIV
tIV
tIV
)
3
2(
8
3
8
3
3
2
3
8
3
2
6
115
0
0
0
+=
+=
+=⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞+
 
De la expresión anterior obtenemos que 
Ω==
8
3
4
1
THTH RytV 
8.6 Teorema de Superposición 
 Analizando el circuito que se muestra en la figura (61) y aplicando el 
análisis de mallas, procedemos a plantear sus ecuaciones: 
 
E R 1
1
 
R I R I R I
R I R I R I
R I R I R I
11 1 12 2 13 3
21 1 22 2 23 3
31 1 32 2 33 3
E
E
1
2
0
− − =
− + −
− − +
=
=
 
 
 
 
 
Donde: 
 
- +
R
4
2
E
2
R3
E 3
- +
2
-+
R 4
R6
1
2
3
4
I
1
I2
I3
2
 
figura 61 
56 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
++=
++=
++=
64333
65222
54111
RRRR
RRRR
RRRR
 Resistencias propias de las mallas 
 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
==
==
==
63223
43113
52112
RRR
RRR
RRR
 Resistencias mutuas. 
E E E
E E E
1 12 4
2 23
2
42
= −
= +
 
 
Recordemos que I R EK K=
−1 K entonces: 
 
I E E E I IK K K1 1
11
2
12
3
13
1 1= + + = +
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
/ / / (44) 
 
ya que E K3
13 0Δ
Δ
= 
Donde: 
 
ΔK
R R R
R R R
R R R
=
− −
− −
− −
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 Δ11 22 23
32 33
= −
−
R R
R R
 
 
Δ21
1 2
12 13
32 33
1= −
− −
−
+( )
R R
R R
 
 
De forma análoga podemos encontrar las corrientes I2 e I3.Caso general I E E En nK
n
K k
nk
K= + + +1
1
2
2Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
... (45) 
 
 Si en la expresión (45) cambiamos las fuentes de las mallas por las 
fuentes de la rama, ya tomando en cuenta el esquema de la figura 61 tenemos: 
I E E E
K K1 12
11
42
11 12
23
12= −
K
−
+
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
Δ
 
57 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 Queda demostrado, de acuerdo a la ecuación (46), que la corriente de 
malla I1 es igual a la suma algebraica de las componentes de corriente que 
genera cada una de las fuentes de voltaje por separado. De tal forma que la 
corriente de malla I1 es igual a la corriente que fluye por la rama donde se 
encuentran conectada la resistencia R1 y la fuente voltaje E12. Así como por 
esta rama no fluye otra corriente de malla. 
 Entonces para encontrar la corriente de la rama podemos dejar 
consecutivamente en el esquema sólo una fuente de voltaje, las restantes las 
tomamos igual a cero, conservando sus resistencias internas en el esquema. 
 Si en el esquema se encuentran conectadas, no sólo fuentes de 
voltaje,sino también fuentes de corriente, es necesario encontrar las 
componentes de la corriente que producen tanto las fuentes de voltaje como 
las de corriente y luego las sumamos algebraicamente. 
 Como el Principio de Superposición se obtiene a partir de propiedades 
generales de las ecuaciones lineales, entonces se puede utilizar para 
determinar cualquier magnitud física, que tenga un enlace con independencia 
lineal. 
 Si en el circuito se encuentran conectadas tanto fuentes independientes 
y fuentes dependientes, para llevar a cabo este principio es necesario dejar 
trabajando sólo una independiente y dejarse conectadas todas las fuentes 
dependientes. 
 Cuando utilizamos este principio en los circuitos eléctricos se puede 
determinar no sólo las corrientes cuando hay conectadas fuentes de voltaje y 
resistencias sino también voltaje cuando hay conectadas fuentes de corriente 
y resistencias. 
 Este principio no debe utilizarse para determinar la potencia 
instantánea, ya que ésta es una función cuadrática de voltaje y corriente. 
 
Ejemplo: Encontrar v por el método de superposición para la figura 62. 
 
58 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
+
-
-
+
6 v
6
2
3
18
Ω
Ω
Ω + -V
v 2A
a
b
c
d 
figura 62 
 
 Encontrando V por el método de Superposición, podemos escribir: 
 
321 VVVV ++= 
Donde: 
V1- es la componente de voltaje que produce la fuente de 6v ( las fuentes 
de 2A y de 18 v no trabajan). 
V2- es la componente de voltaje que produce la fuente de 2A ( las fuentes 
de 6v y 18v no trabajan). 
V3- es la componente de voltaje que produce la fuente de 18v ( las fuentes 
de 6v y de 2A no trabajan). 
 
 Los circuitos qoe producen los voltajes V1, V2 y V3 se muestran en la 
figura 63a, 63b y 63c. 
 
 
-+
6
2
Ω
Ω
a
b
d
3
18
Ω
+ -V
v 2A
c
6 v
6
2
3Ω
Ω
Ω + -V
a
b
c
d 
figura 63a figura 63b 
59 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
+
-
6
2
3
18
Ω
Ω
Ω + -V
v 2A
a
b
c
d 
figura 63c 
 
 De la figura 63 es fácil obtener la respuesta para los diferentes 
componentes de los voltajes:V v V v V1 2 34 2 v3= = − = 
Donde V= 4-2+3 = 5v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Ejercicios correspondientes a la unidad 
 Los ejercicios que se proponen fueron tomados de la siguiente 
bibligrafía. 
1.- Johnson David, Hilburn John y Johnson Johnny. Análisis Básico de 
Circuitos Eléctricos. Editor. Prentice Hall. Edic. cuarta. 1991. México D.F. 
2.- Hayt William y Kemmerly Jack. Análisis de Circuitos en Ingeniería. 
Edit.McGraw Hill. Edic. cuarta. 1989. México D.F. 
3.- Huelsman Lawrence. Teoría de Circuitos. Edit. Prentice Hall. Edic. 
segunda. 1988. México D.F. 
 
 
 
61 
José Italo Cortez 
Liliana Cortez 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- +
2i1
6 Ohm
1i
3 Ohm
+
_
Vthi1
4 Ohm10 A
 
62