Análisis Cinemático de un Tren Planetario Pentaxial

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 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
 
 UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS CINEMÁTICO DE UN TREN 
PLANETARIO PENTAXIAL 
 
 
 
TESIS QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
 
INGENIERO MECÁNICO 
 
PRESENTA 
 
 
RODRIGO REYES SERRANO 
 
 
 
ASESORES 
M. en C. ANTONIO CAMARENA GALLARDO 
M. en C.© MARIO ANTONIO RAMÍREZ FLORES 
 
 
 
 
 
 ABRIL DEL 2010 
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DEDICATORIA 
 
 
La presente tesis se la dedico a mi familia, ya que gracias a sus consejos y palabras de 
aliento crecí como persona. A mis padres, tíos y hermanos por su apoyo, confianza y amor. 
Principalmente a mi esposa Noemí y a mi hija Zeltzin, que siempre han estado a mi lado 
brindándome su apoyo y cariño. Sin ustedes a mi lado no lo hubiera logrado, les agradezco 
a todos ustedes, con toda mi alma, el haber llegado a mi vida y el compartir momentos 
agradables y tristes, pero esos momentos son los que nos hacen crecer y valorar a las 
personas que nos rodean. Los quiero mucho a todos ustedes y gracias por estar a mi lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
PÁGINA 
 
INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………… 6 
OBJETIVO……..…………………………………………………………………….. 6 
JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………. 6 
ANTECEDENTES…………………………………………………………………… 7 
 
1.- MARCO TEÓRICO 
 1.1.- INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANES 
 1.1.1.- Historia y evolución…………………………………………...... 9 
 1.1.2.- Trenes de engranes…………………………………………....... 12 
 1.1.3.- Teoría de los engranes………………………………………….. 13 
 1.2.- TIPOS DE ENGRANES 
 1.2.1.- Rectos…………………………………………………………... 15 
 1.2.2.- Helicoidales…………………………………………………….. 19 
 1.2.3.- Cónicos…………………………………………………………. 22 
 1.2.4.- Cónicos en espiral………………………………………………. 23 
 1.2.5.- Hipoidales………………………………………………………. 23 
 1.2.6.- Corona con tornillo sinfín……………………………………… 24 
1.3.- TRENES DE ENGRANES 
 1.3.1.- Tren Ordinario Simple………………………………………….. 26 
1.3.2.- Tren Ordinario Compuesto……………………………………... 26 
 1.3.3.- Tren Epicicloidal………………………………………………... 27 
 
2.- TREN PLANETARIO HUMPAGE 
 2.1.- TIPO DE MECANISMO……………………………………………….. 30 
2.2.- TREN PLANETARIO PRIMARIO…………………………………… 33 
 2.3.- TREN PLANETARIO SECUNDARIO……………………………….. 34 
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 2.4.- FUNCIONAMIENTO DEL HUMPAGE……………………………… 35 
 
3.- PROPUESTA DEL TREN PLANETARIO PENTAXIAL 
3.1.- TREN PLANETARIO SIMPLE………………………………………. 37 
3.2.- TREN PLANETARIO DOBLE. EL HUMPAGE……………………. 38 
3.3.- TREN PLANETARIO TRIPLE. EL PENTAXIAL…………………. 40 
 3.3.1.- Descripción del tren propuesto………………………….……… 40 
 3.3.2.- Elementos que lo componen………………………………......... 42 
 3.3.3.- Propuesta del número de dientes……………………………….. 48 
 
4.- CÁLCULO CINEMÁTICO DEL TREN PENTAXIAL 
4.1.- POSIBLES COMBINACIONES DE ENGRANAJE………………… 50 
 4.2.- CÁLCULO DE LAS VELOCIDADES……………………………….. 51 
 4.3 CUADRO COMPARATIVO DE LAS VELOCIDADES…………….. 80 
 
RESULTADOS………………………...……………………………………………… 81 
CONCLUSIONES……..………………………………………………….…………… 83 
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………… 83 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUCCIÓN 
Esta tesis es un trabajo de investigación para presentar la propuesta del diseño cinemático 
de un mecanismo combinado de tres trenes de engranes planetarios, que contiene cinco ejes 
coaxiales de movimiento. 
 
Primero se establece el Marco Teórico, donde se exponen las consideraciones teóricas 
necesarias para el desarrollo de la tesis. Después se hace un análisis del ―Tren planetario 
Humpage‖, que es un mecanismo combinado de dos trenes planetarios. Posteriormente se 
presenta la propuesta del ―Tren planetario pentaxial‖. Y, finalmente, se establecen los 
cálculos cinemáticos del tren pentaxial, donde se comparan las velocidades obtenidas con 
este tren. 
 
Este mecanismo está diseñado de tal forma que tiene cinco ejes de movimiento coaxiales. 
De estos ejes, dos son de movimiento de entrada y tres son de salida. Dadas las magnitudes 
de las dos velocidades de entrada, se pueden combinar sus sentidos de rotación, lo cual nos 
da cuatro posibilidades. Por otro lado, se pueden tener ocho combinaciones de cuáles 
pueden ser los dos ejes de entrada; estas ocho combinaciones con las cuatro posibilidades 
de sentidos de rotación nos arroja un total de 32 opciones diferentes de la cinemática del 
mecanismo. Pero, además, en cada una de estas opciones hay tres ejes de salida, por lo cual 
tendremos en total 96 posibles velocidades diferentes, con este mecanismo. 
 
 
 
OBJETIVO 
Con este trabajo, el objetivo que se pretende lograr es hacer el diseño cinemático de un tren 
de engranes planetario combinado, que tenga cinco ejes de movimiento, con lo cual se 
podrán obtener hasta 96 velocidades diferentes de salida. 
 
 
 
JUSTIFICACIÓN 
El diseño de este tren planetario pentaxial obedece a la necesidad de tener un mecanismo de 
transmisión compacto, en el cual se puedan dar dos velocidades de entrada, y obtener una 
amplia gama de velocidades de salida. 
 
 
 
 
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ANTECEDENTES 
 
 
 
El diseño cinemático de este tren planetario pentaxial está basado en el tren planetario 
Humpage, el cual consta de dos ejes de entrada y uno de salida. Se pensó en realizar el 
diseño cinemático de este tren planetario para poder tener dos ejes de entrada y tres de 
salida, a diferencia del tren planetario Humpage que solo consta de un eje de salida, y así 
poder aprovechar dos ejes más de salida. Por esta razón es que se consideró conveniente 
realizar el análisis cinemático de este mecanismo, lo cual da origen a este trabajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
 
 
MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.- INTRODUCCIÓN A LOS TRENES DE ENGRANES. 
1.1.1.- Historia y evolución. 
 
 
 
Molde chino para fabricar engranajes de bronce (siglos II a. C. a III d. C.) 
Desde épocas muy remotas se han utilizado cuerdas y elementos fabricados en madera para 
solucionar los problemas de transporte, impulsión, elevación y movimiento. Nadie sabe a 
ciencia cierta dónde ni cuándo se inventaron los engranajes. La literatura de la antigua 
China, Grecia, Turquía y Damasco mencionan engranajes pero no aportan muchos detalles 
de los mismos. 
 
 
 
Mecanismo de Anticitera 
El mecanismo de engranajes más antiguo de cuyos restos disponemos es el mecanismo de 
Anticitera. Se trata de una calculadora astronómica datada entre el 150 y el 100 a. C. y 
compuesta por al menos 30 engranajes de bronce con dientes triangulares. Presenta 
características tecnológicas avanzadas como por ejemplo trenes de engranajes 
epicicloidales que, hasta el descubrimiento de este mecanismo, se creían inventados en el 
http://es.wikipedia.org/wiki/Dinast%C3%ADa_Han
http://es.wikipedia.org/wiki/Bronce
http://es.wikipedia.org/wiki/Transporte
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Impulsi%C3%B3n&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Elevaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento
http://es.wikipedia.org/wiki/China
http://es.wikipedia.org/wiki/Grecia
http://es.wikipedia.org/wiki/Turqu%C3%ADa
http://es.wikipedia.org/wiki/Damasco
http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_Anticitera
http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanismo_de_Anticitera
http://es.wikipedia.org/wiki/A._C.
http://es.wikipedia.org/wiki/Bronce
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje_planetario
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje_planetario
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Mold_for_bronze_gear_Han_dinasty.JPG
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:NAMA_Machine_d'Anticyth%C3%A8re_1.jpg
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siglo XIX. Por citas de Cicerón se sabe que el de Anticitera no fue un ejemplo aislado sino 
que existieron al menos otros dos mecanismos similares en esa época, construidos por 
Arquímedes y por Posidonio. Por otro lado, a Arquímedes se le suele considerar uno de los 
inventores de los engranajes porque diseñó un tornillo sin fin. 
En China también se han conservado ejemplos muy antiguos de máquinas con engranajes. 
Un ejemplo es el llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 d. C.), un ingenioso 
mecanismo que mantenía el brazo de una figura humana apuntando siempre hacia el Sur 
gracias al uso de engranajes diferenciales epicicloidales. Algo anteriores, de en torno a 
50 d. C., son los engranajes helicoidales tallados en madera y hallados en una tumba real 
en la ciudad china de Shensi. 
No está claro cómo se transmitió la tecnología de los engranajes en los siglos siguientes. Es 
posible que el conocimiento de la época del mecanismo de Anticitera sobreviviese y, con el 
florecimiento de la cultura del Islam los siglos XI-XIII y sus trabajos en astronomía, fuera 
la base que permitió que volvieran a fabricarse calculadoras astronómicas. En los inicios 
del Renacimiento esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados 
relojes, en la mayoría de los casos destinados a edificios públicos como catedrales. 
 
 
Engranaje helicoidal de Leonardo 
Leonardo da Vinci, muerto en Francia en 1519, dejó numerosos dibujos y esquemas de 
algunos de los mecanismos utilizados hoy diariamente, incluido varios tipos de engranajes 
de tipo helicoidal. 
Los primeros datos que existen sobre la transmisión de rotación con velocidad angular 
uniforme por medio de engranajes, corresponden al año 1674, cuando el famoso astrónomo 
danés Olaf Roemer (1644-1710) propuso la forma o perfil del diente en epicicloide. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Cicer%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Arqu%C3%ADmedes
http://es.wikipedia.org/wiki/Posidonio
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Shensi&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Islam
http://es.wikipedia.org/wiki/Renacimiento
http://es.wikipedia.org/wiki/Europa
http://es.wikipedia.org/wiki/Reloj
http://es.wikipedia.org/wiki/Catedral
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
http://es.wikipedia.org/wiki/Francia
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular
http://es.wikipedia.org/wiki/1674
http://es.wikipedia.org/wiki/Olaf_Roemer
http://es.wikipedia.org/wiki/Epicicloide
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Leonardo_Engranaje_helicoidal.jpg
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Robert Willis (1800-1875), considerado uno de los primeros ingenieros mecánicos, fue el 
que obtuvo la primera aplicación práctica de la epicicloide al emplearla en la construcción 
de una serie de engranajes intercambiables. De la misma manera, de los primeros 
matemáticos fue la idea del empleo de la evolvente de círculo en el perfil del diente, pero 
también se deben a Willis las realizaciones prácticas. A Willis se le debe la creación del 
odontógrafo, aparato que sirve para el trazado simplificado del perfil del diente de 
evolvente. 
Es muy posible que fuera el francés Phillipe de Lahire el primero en concebir el diente de 
perfil en evolvente en 1695, muy poco tiempo después de que Roemer concibiera el 
epicicloidal. La primera aplicación práctica del diente en evolvente fue debida al suizo 
Leonhard Euler (1707). En 1856, Christian Schiele descubrió el sistema de fresado de 
engranajes rectos por medio de la fresa madre, pero el procedimiento no se llevaría a la 
práctica hasta 1887, a base de la patente Grant. 
 
 
Transmisión antigua 
En 1874, el norteamericano William Gleason inventó la primera fresadora de engranajes 
cónicos y gracias a la acción de sus hijos, especialmente su hija Kate Gleason (1865-1933), 
convirtió a su empresa Gleason Works, radicada en Rochester (Nueva York, EEUU) en una 
de los fabricantes de máquinas herramientas más importantes del mundo. 
En 1897, el inventor alemán Robert Hermann Pfauter (1885-1914), inventó y patentó una 
máquina universal de dentar engranajes rectos y helicoidales por fresa madre. A raíz de este 
invento y otros muchos inventos y aplicaciones que realizó sobre el mecanizado de 
engranajes, fundó la empresa Pfauter Company que, con el paso del tiempo, se ha 
convertido en un multinacional fabricante de todo tipo de máquinas-herramientas. 
En 1906, el ingeniero y empresario alemán Friedrich Wilhelm Lorenz (1842-1924) se 
especializó en crear maquinaria y equipos de mecanizado de engranajes y en 1906 fabricó 
una talladora de engranajes capaz de mecanizar los dientes de una rueda de 6 m de 
diámetro, módulo 100 y una longitud del dentado de 1,5 m. 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_Willis&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_mec%C3%A1nica
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Odont%C3%B3grafo&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Phillipe_de_Lahire&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Christian_Schiele&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Fresa_(herramienta)
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=William_Gleason&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Kate_Gleason&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Gleason_Works&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Robert_Hermann_Pfauter&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Friedrich_Wilhelm_Lorenz&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kronrad2.jpg
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A finales del siglo XIX, coincidiendo con la época dorada del desarrollo de los engranajes, 
el inventor y fundador de la empresa Fellows Gear Shaper Company, Edwin R. Fellows 
(846-1945), inventó un método revolucionario para mecanizar tornillos sin fin glóbicos 
tales como los que se montaban en las cajas de dirección de los vehículos antes de que 
fuesen hidráulicas. 
En 1905, M. Chambón, de Lyon (Francia), fue el creador de la máquina para el dentado de 
engranajes cónicos por procedimiento de fresa madre. Aproximadamente por esas fechas 
André Citroën inventó los engranajes helicoidales dobles. 
1.1.2.- Trenes de engranes. 
La principal clasificación de los engranajes se efectúa según la disposición de sus ejes de 
rotación y según los tipos de dentado. Según estos criterios existen los siguientes tipos de 
engranajes: 
 
 
Piñón recto de 18 dientes 
Ejes paralelos: 
 
 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Edwin_R._Fellows&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Tornillo_sin_fin
http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Citro%C3%ABn
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Spur_Gear_12mm,_18t.svg
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Engranajes_de_museo.jpg
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Engranajes especiales. Parque de las Ciencias de Granada. 
 Cilíndricos de dientes rectos 
 Cilíndricos de dientes helicoidales 
 Doble helicoidales 
Ejes perpendiculares 
 Helicoidales cruzados 
 Cónicos de dientes rectos 
 Cónicos de dientes helicoidales 
 Cónicos hipoides 
 De rueda y tornillo sinfín 
Por aplicaciones especiales se pueden citar: 
 Planetarios 
 Interiores 
 De cremallera 
Por la forma de transmitir el movimiento se pueden citar: 
 Transmisión simple 
 Transmisión con engranaje loco 
 Transmisión compuesta. Tren de engranajes 
Transmisión mediante cadena o polea dentada 
 Mecanismo piñón cadena 
 Polea dentada 
 
1.1.3.- Teoría de los engranes. 
 
 Un tren de engranajes es un mecanismo formado por varios pares de engranajes 
acoplados de tal forma que el elemento conducido de uno de ellos es el conductor 
del siguiente. Suele denominarse como la cadena cinemática formada por varias 
ruedas que ruedan sin deslizar entre sí; o bien como cualquier sistema de ejes y 
ruedas dentadas que incluya más de dos ruedas o tándem de ejes y ruedas dentadas. 
En la Figura 1 se muestra un ejemplo genérico de un sistema de engranaje o tren de 
engranajes. Generalmente se recurre a ellos porque no es posible establecer una 
determinada relación de transmisión entre dos ejes mediante un solo par de ruedas 
http://es.wikipedia.org/wiki/Parque_de_las_Ciencias_de_Granada
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dentadas; o también porque se desea obtener un mecanismo con relación de 
transmisión variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas. 
 
 
 
Figura 1. Ejemplo de Tren de engranajes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.- TIPOS DE ENGRANES. 
1.2.1.- Rectos. 
 
 
 
Elementos de un engranaje. 
 
 
 
Representación del desplazamiento del punto de engrane en un engranaje recto. 
Los engranajes cilíndricos rectos son el tipo de engranaje más simple y corriente que existe. 
Se utilizan generalmente para velocidades pequeñas y medias; a grandes velocidades, si no 
son rectificados, o ha sido corregido su tallado, producen ruido cuyo nivel depende de la 
velocidad de giro que tengan. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Partes_engranaje.png
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Involute_wheel.gif
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 Diente de un engranaje: son los que realizan el esfuerzo de empuje y transmiten la 
potencia desde los ejes motrices a los ejes conducidos. El perfil del diente, o sea la 
forma de sus flancos, está constituido por dos curvas evolventes de círculo, 
simétricas respecto al eje que pasa por el centro del mismo. 
 Módulo: el módulo de un engranaje es una característica de magnitud que se define 
como la relación entre la medida del diámetro primitivo expresado en milímetros y 
el número de dientes. En los países anglosajones se emplea otra característica 
llamada Diametral Pitch, que es inversamente proporcional al módulo. El valor del 
módulo se fija mediante cálculo de resistencia de materiales en virtud de la potencia 
a transmitir y en función de la relación de transmisión que se establezca. El tamaño 
de los dientes está normalizado. El módulo está indicado por números. Dos 
engranajes que engranen tienen que tener el mismo módulo. 
 Circunferencia primitiva: es la circunferencia a lo largo de la cual engranan los 
dientes. Con relación a la circunferencia primitiva se determinan todas las 
características que definen los diferentes elementos de los dientes de los engranajes. 
 Paso circular: es la longitud de la circunferencia primitiva correspondiente a un 
diente y un vano consecutivos. 
 Espesor del diente: es el grosor del diente en la zona de contacto, o sea, del 
diámetro primitivo. 
 Número de dientes: es el número de dientes que tiene el engranaje. Se simboliza 
como (Z). Es fundamental para calcular la relación de transmisión. El número de 
dientes de un engranaje no debe estar por debajo de 18 dientes cuando el ángulo de 
presión es 20º ni por debajo de 12 dientes cuando el ángulo de presión es de 25º. 
 Diámetro exterior: es el diámetro de la circunferencia que limita la parte exterior 
del engranaje. 
 Diámetro interior: es el diámetro de la circunferencia que limita el pie del diente. 
 Pie del diente: también se conoce con el nombre de dedendum. Es la parte del 
diente comprendida entre la circunferencia interior y la circunferencia primitiva. 
 Cabeza del diente: también se conoce con el nombre de adendum. Es la parte del 
diente comprendida entre el diámetro exterior y el diámetro primitivo. 
 Flanco: es la cara interior del diente, es su zona de rozamiento. 
 Altura del diente: es la suma de la altura de la cabeza (adendum) más la altura del 
pie (dedendum). 
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo
http://es.wikipedia.org/wiki/Eje
http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Resistencia_de_materiales
http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
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 Angulo de presión: el que forma la línea de acción con la tangente a la 
circunferencia de paso, φ (20º ó 25º son los ángulos normalizados). 
 Largo del diente: es la longitud que tiene el diente del engranaje 
 Distancia entrecentro de dos engranajes: es la distancia que hay entre los centros 
de las circunferencias de los engranajes. 
 Relación de transmisión: es la relación de giro que existe entre el piñón conductor 
y la rueda conducida. La Rt puede ser reductora de velocidad o multiplicadora de 
velocidad. La relación de transmisión recomendada tanto en caso de reducción 
como de multiplicación depende de la velocidad que tenga la transmisión con los 
datos orientativos que se indican: 
Velocidad lenta: 
Velocidad normal: 
Velocidad elevada: 
Hay dos tipos de engranajes, los llamados de diente normal y los de diente corto cuya altura 
es más pequeña que el considerado como diente normal. En los engranajes de diente corto, 
la cabeza del diente vale (0,75M), y la altura del pie del diente vale (M) siendo el valor de 
la altura total del diente (1,75M) 
 
Fórmulas constructivas de los engranajes rectos 
 
Diámetro primitivo: 
Módulo: 
Paso circular: 
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Número de dientes: 
Diámetro exterior: 
Espesor del diente: 
Diámetro interior: 
Pie del diente: 
Cabeza del diente: M 
Altura del diente: 
Distancia entre centros: 
Ecuación general de transmisión: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2.2.- Helicoidales 
 
 
 
Engranaje helicoidal 
Los engranajes cilíndricos de dentado helicoidal están caracterizados por su dentado 
oblicuo con relación al eje de rotación. En estos engranajes el movimiento se transmite de 
modo igual que en los cilíndricos de dentado recto, pero con mayores ventajas. Los ejes de 
los engranajes helicoidales pueden ser paralelos o cruzarse, generalmente a 90º. Para 
eliminar el empuje axial el dentado puede hacerse doble helicoidal. 
Los engranajes helicoidales tienen la ventaja que transmiten más potencia que los rectos, y 
también pueden transmitir más velocidad, son más silenciosos y más duraderos; además, 
pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. De sus inconvenientes se puede 
decir que se desgastan más que los rectos, son más caros de fabricar y necesitan 
generalmente más engrase que los rectos. 
Lo más característico de un engranaje cilíndrico helicoidal es la hélice que forma, siendo 
considerada la hélice como el avance de una vuelta completa del diámetro primitivo del 
engranaje. De esta hélice deriva el ángulo β que forma el dentado con el eje axial. Este 
ángulo tiene que ser igual para las dos ruedas que engranan pero de orientación contraria, o 
sea: uno a derechas y el otro a izquierda. Su valor se establece a priori de acuerdo con la 
velocidad que tenga la transmisión, los datos orientativos de este ángulo son los siguientes: 
Velocidad lenta: β = (5º - 10º) 
Velocidad normal: β = (15º - 25º) 
Velocidad elevada: β = 30º 
 
Las relaciones de transmisión que se aconsejan son más o menos parecidas a las de los 
engranajes rectos. 
 
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Empuje_axial&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Anim_engrenages_helicoidaux.gif
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Fórmulas constructivas de los engranajes helicoidales cilíndricos 
Como consecuencia de la hélice que tienen los engranajes helicoidales su proceso de 
tallado es diferente al de un engranaje recto, porque se necesita de una transmisión 
cinemática que haga posible conseguir la hélice requerida. Algunos datos dimensionales de 
estos engranajes son diferentes de los rectos. 
 
 
Juego de engranajes helicoidales 
 
Diámetro exterior: 
Diámetro primitivo: 
Módulo normal o real: 
Paso normal o real: 
Ángulo de la hélice: 
Paso de la hélice: 
Módulo circular o aparente: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Helical_Gears.jpg
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Paso circular aparente: 
Paso axial: 
Número de dientes: 
Los demás datos tales como adendum, dedendum y distancia entre centros, son los mismos 
valores que los engranajes rectos. 
Engranajes helicoidales dobles 
Este tipo de engranajes fueron inventados por el fabricante de automóviles francés André 
Citroën, y el objetivo que consiguen es eliminar el empuje axial que tienen los engranajes 
helicoidales simples. Los dientes de los dos engranajes forman una especie de V. 
Los engranajes dobles son una combinación de hélice derecha e izquierda. El empuje axial 
que absorben los apoyos o cojinetes de los engranajes helicoidales es una desventaja de 
ellos y ésta se elimina por la reacción del empuje igual y opuesto de una rama simétrica de 
un engrane helicoidal doble. 
Un engrane de doble hélice sufre únicamente la mitad del error de deslizamiento que el de 
una sola hélice o del engranaje recto. Toda discusión relacionada a los engranes 
helicoidales sencillos (de ejes paralelos) es aplicable a los engranajes helicoidales dobles, 
exceptuando que el ángulo de la hélice es generalmente mayor para los helicoidales dobles, 
puesto que no hay empuje axial. 
Con el método inicial de fabricación, los engranajes dobles, conocidos como engranajes de 
espina, tenían un canal central para separar los dientes opuestos, lo que facilitaba su 
mecanizado. El desarrollo de las máquinas talladoras mortajadoras por generación, tipo 
Sykes, hace posible tener dientes continuos, sin el hueco central. Como curiosidad, la 
empresa Citroën ha adaptado en su logotipo la huella que produce la rodadura de los 
engranajes helicoidales dobles. 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Citro%C3%ABn
http://es.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Citro%C3%ABn
http://es.wikipedia.org/wiki/Citro%C3%ABn
http://es.wikipedia.org/wiki/Logotipo
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1.2.3.- Cónicos. 
 
 
 
Engranaje cónico 
Se fabrican a partir de un tronco de cono, formándose los dientes por fresado de su 
superficie exterior. Estos dientes pueden ser rectos, helicoidales o curvos. Esta familia de 
engranajes soluciona la transmisión entre ejes que se cortan y que se cruzan. Los datos de 
cálculos de estos engranajes están en prontuarios específicos de mecanizado. 
Engranajes cónicos de dientes rectos 
Efectúan la transmisión de movimiento de ejes que se cortan en un mismo plano, 
generalmente en ángulo recto, por medio de superficies cónicas dentadas. Los dientes 
convergen en el punto de intersección de los ejes. Son utilizados para efectuar reducción de 
velocidad con ejes en 90°. Estos engranajes generan más ruido que los engranajes cónicos 
helicoidales. Se utilizan en transmisiones antiguas y lentas. En la actualidad se usan muy 
Engranaje cónico helicoidal 
Se utilizan para reducir la velocidad en un eje de 90°. La diferencia con el cónico recto es 
que posee una mayor superficie de contacto. Es de un funcionamiento relativamente 
silencioso. Además pueden transmitir el movimiento de ejes que se corten. Los datos 
constructivos deestos engranajes se encuentran en prontuarios técnicos de mecanizado. Se 
mecanizan en fresadoras especiales. 
Engranaje cónico hipoide 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kegelradgetriebe.jpg
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:EngranajeConicoHelicoidal.JPG
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Un engranaje hipoide es un grupo de engranajes cónicos helicoidales formados por un 
piñón reductor de pocos dientes y una rueda de muchos dientes, que se instala 
principalmente en los vehículos industriales que tienen la tracción en los ejes traseros. 
Tiene la ventaja de ser muy adecuado para las carrocerías de tipo bajo, ganando así mucha 
estabilidad el vehículo. Por otra parte la disposición helicoidal del dentado permite un 
mayor contacto de los dientes del piñón con los de la corona, obteniéndose mayor robustez 
en la transmisión. Su mecanizado es muy complicado y se utilizan para ello máquinas 
talladoras especiales (Gleason) 
 
 
1.2.4.- Cónicos en espiral. 
El engranaje cónico espiral tiene dientes curvos oblicuos. Se da un ángulo espiral a los 
dientes de manera que el avance de la cara sea mayor que paso circular, lo que produce un 
contacto continuo de línea de paso en el plano de los ejes del engranaje. Con esto se 
consigue una operación suave para un menor número de dientes en el piñón en el caso de 
los engranajes cilíndricos rectos de Zerol que no tiene un contacto continuo de línea de 
paso. 
Además, en los engranajes cónicos espirales el contacto del diente se inicia en un extremo 
del diente y avanza en forma oblicua atravesando la cara del diente, lo que contrasta con la 
acción del diente en los engranajes cónico rectos o Zerol en los que el contacto se produce 
al mismo tiempo en todo lo ancho de la cara del diente. En consecuencia, los engranajes 
cónico espirales tienen una acción más suave que el engranaje cónico recto y Zerol y son 
especialmente indicados para el trabajo a altas velocidades. 
 
1.2.5.- Hipoidales. 
Durante cierto tiempo los engranajes espirales se utilizaron exclusivamente en las 
transmisiones de los ejes traseros de los automóviles. En 1925 Gleason introduzco el 
engranaje hiperbólico que lo reemplazo en esta aplicación. Estos son de apariencia 
semejante a los cónicos espirales excepto que el eje del piñón esta desplazado con respecto 
a la corona de manera que los ejes no se interceptan. Para poder tener este descentramiento 
a la vez que se mantiene el contacto de la línea, la superficie de contacto de un engranaje 
hipoidal se aproxima a un hiperboloide de revolución en vez de a un cono como en los 
engranajes cónicos. 
El descentramiento es una ventaja e las aplicaciones automotrices debido a que permite 
bajar la flecha de los cardan, lo que a su vez permite bajar la carrocería. Adicionalmente, 
los piñones hipoidales son más fuertes que los piñones cónicos espirales, debido a que se 
pueden diseñar de tal manera que el ángulo espiral del piñón sea mayor que el de la corona, 
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lo que a su vez produce un mayor diámetro del piñón y más fuerte como resultado, que en 
el piñón cónico correspondiente. 
Otra diferencia es que los engranajes hipoidales tienen efecto deslizante a lo largo de los 
dientes en tanto que los engranajes cónicos espirales no la tienen. Los engranajes hipoidales 
actúan más silenciosamente y se pueden emplear en relaciones mayores de velocidades que 
los engranajes cónicos espirales; aparte de que los engranajes hipoidales pueden ser 
esmerilados perfectamente. 
1.2.6.- Corona con tornillo sinfín. 
 
 
 
Tornillo sin fin de montacargas 
Es un mecanismo diseñado para transmitir grandes esfuerzos, y como reductores de 
velocidad aumentando la potencia de transmisión. Generalmente trabajan en ejes que se 
cruzan a 90º. Tiene la desventaja de no ser reversible el sentido de giro, sobre todo en 
grandes relaciones de transmisión y de consumir en rozamiento una parte importante de la 
potencia. En las construcciones de mayor calidad la corona está fabricada de bronce y el 
tornillo sin fin, de acero templado con el fin de reducir el rozamiento. Este mecanismo si 
transmite grandes esfuerzos es necesario que esté muy bien lubricado para matizar los 
desgastes por fricción. 
El número de entradas de un tornillo sin fin suele ser de una a ocho. Los datos de cálculo de 
estos engranajes están en prontuarios de mecanizado. 
Tornillo sin fin y corona glóbicos 
 
 
Con el fin de convertir el punto de contacto en una línea de contacto y así distribuir mejor 
la fuerza a transmitir, se suelen fabricar tornillos sin fin que engranan con una corona 
glóbica. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Acero
http://es.wikipedia.org/wiki/Mecanizado
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:TornillloSinFinMontacargas.JPG
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Schneckenrad_Schneckenwelle.jpg
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Otra forma de distribuir la fuerza a transmitir es utilizar como corona una rueda helicoidal y 
hacer el tornillo sin fin glóbico, de esta manera se consigue aumentar el número de dientes 
que están en contacto. Finalmente también se produce otra forma de acoplamiento donde 
tanto el tornillo sin fin como la corona tienen forma glóbica consiguiendo mejor contacto 
entre las superficies. 
Mecanizado de coronas y tornillos sin fin 
El mecanizado de las coronas de engranaje de tornillo sin fin se puede realizar por medio de 
fresas normales o por fresas madre. El diámetro de la fresa debe coincidir con el diámetro 
primitivo del tornillo sin fin con la que engrane si se desea que el contacto sea lineal. El 
mecanizado del tornillo sin fin se puede hacer por medio de fresas bicónicas o fresas 
frontales. También se pueden mecanizar en el torno de forma similar al roscado de un 
tornillo. Para el mecanizado de tornillos sin fin glóbicos se utiliza el procedimiento de 
generación que tienen las máquinas Fellows. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.- TRENES DE ENGRANES. 
 
 
1.3.1.- Tren Ordinario Simple. 
 
 
En un tren de engranajes ordinario simple, las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes 
entre los que ha de establecerse la relación de transmisión deseada. En el tren de engranajes, 
todos los ejes de las ruedas que lo componen (tanto extremas como intermedias) apoyan sobre 
un mismo soporte fijo, según se puede ver en la Figura 2 
 
Figura 2. Tren de engranajes ordinario simple 
El mecanismo consta de tres o más ruedas dentadas que engranan. La relación de 
transmisión viene dada por las características de las ruedas motriz y conducida, y no se ve 
afectada por la presencia de las ruedas intermedias (ruedas locas) 
La función de las ruedas intermedias suele limitarse a invertir el sentido de giro de la rueda 
conducida. 
 
 
1.3.2.- Tren Ordinario Compuesto. 
El tren de engranajes compuesto está formado, como mínimo, por una rueda dentada doble. 
La rueda dentada doble consta de dos ruedas dentadas de distinto tamaño que están unidasy, por tanto, giran a la misma velocidad. 
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La relación de transmisión global del tren se obtiene multiplicando las dos relaciones de 
transmisión simples. 
 
 
 
 
1.3.3.- Tren Epicicloidal. 
 
Un engranaje planetario o engranaje epicicloidal es un sistema de engranajes (o tren de 
engranajes) consistente en uno o más engranajes externos o satélites que rotan sobre un 
engranaje central o planeta. Típicamente, los satélites se montan sobre un brazo móvil o 
portasatélites que a su vez puede rotar en relación al planeta. Los sistemas de engranajes 
planetarios pueden incorporar también el uso de un engranaje anular externo o corona, que 
engrana con los satélites. El sistema, de esta manera, tiene dos grados de libertad que se 
restringen a uno haciendo girar al satélite alrededor de una rueda fija o central (2). En el 
caso de los trenes epicicloidales, también cabe hablar de trenes recurrentes o no recurrentes, 
según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales. 
 
 
 
Figura 3. Tren de engranajes epicicloidales 
 
 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje
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Figura 4. Tren de engranajes planetarios 
 
En la Figura 4 se muestra un tren de engranajes planetarios con la nomenclatura y 
distinción de los componentes. 
Para resolver el problema cinemático se procede de los engranajes planetarios: 
- Nos situamos sobre el brazo portasatélites, para estudiar el movimiento relativo respecto 
del mismo (es decir lo convertimos en el eslabón de referencia). Desde el punto de vista 
analítico, ello equivale a introducir una velocidad –ω
3 
(siendo ω
3 
la velocidad de giro del 
brazo portasatélites) al conjunto del sistema. 
- El brazo, de esta forma, se queda fijo, la rueda fija gira con velocidad –ω
3 
y la rueda 
satélite (4) con velocidad ω
4 
– ω
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 2 
 
 
TREN PLANETARIO HUMPAGE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Como ya se estableció en el Capítulo 2, un tren planetario es un mecanismo de 
engranaje que tiene dos ejes de entrada y uno de salida. Esta conformación nos da la 
posibilidad de que podamos estar variando las dos velocidades de entrada y así poder tener 
una amplia variación de valores para la velocidad de salida; efecto que no podemos obtener 
tan ampliamente con un tren de engranes ordinario. 
 
En los trenes planetarios, los tres ejes de movimiento corresponden a los ejes de 
rotación de los dos engranes centrales y del brazo. Los dos ejes de entrada pueden ser 
cualquiera de estos tres ejes de rotación, y el eje de salida será el restante. Incluso, a 
excepción del eje del brazo, cualquiera de los ejes de rotación de los engranes centrales 
puede ser un eje de entrada con velocidad cero, o sea sin movimiento; en estos casos sólo 
tendremos en realidad una velocidad de entrada. 
 
 
2.1.- TIPO DE MECANISMO. 
 
El tren planetario Humpage lo podemos clasificar como un mecanismo combinado 
en serie, con eslabones comunes. Este mecanismo está conformado por dos trenes 
planetarios que comparten un mismo brazo y un mismo engrane central de entrada; o sea, 
estos dos elementos son los eslabones comunes. 
 
Una característica del tren Humpage es que uno de sus engranes centrales está fijo, 
o sea, su velocidad es cero y, por lo tanto, en este mecanismo sólo habrá una velocidad de 
entrada. 
 Otra característica es que el eje de rotación del brazo no tiene salida hacia el 
exterior del mecanismo; esto es, su movimiento queda ―ahogado‖ dentro del mecanismo. 
 
En la figura N° 2.1 se muestra una fotografía de un tren Humpage, la figura N° 2.2 
contiene un esquema del tren Humpage y en la figura N° 2.3 se indica el diagrama de este 
mecanismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FIGURA N° 2.1 Fotografía de un tren Humpage. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FIGURA N° 2.2. Esquema del tren Humpage. 
 
 
 
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FIGURA N° 2.3. Diagrama del tren Humpage. 
 
 
 
 
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2.2.- TREN PLANETARIO PRIMARIO. 
 
El tren planetario Humpage está conformado, como ya se indicó, por dos trenes 
planetarios simples, donde el brazo es uno sólo y común a los dos trenes. A estos dos trenes 
simples les llamaremos tren planetario primario y tren planetario secundario. 
 
El tren planetario primario es el que recibe el movimiento de entrada al mecanismo. 
Está conformado por los siguientes eslabones: 
 
El engrane (o piñón) 2, que es donde se inicia el movimiento; éste es el primer 
engrane central del planetario. 
El engrane 3, que va montado sobre el brazo; éste es el engrane satélite del 
planetario. 
El eslabón 4, que es el brazo del planetario. 
El engrane 1, el cual está fijo, no se mueve; éste es el segundo engrane central del 
planetario. 
 
En la figura N° 2.4 se muestra el diagrama del tren primario. 
 
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FIGURA N° 2.4. Diagrama del tren planetario primario. 
 
 
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2.3.- TREN PLANETARIO SECUNDARIO. 
 
El tren planetario secundario es el que nos proporciona el movimiento de salida, en 
el mecanismo Humpage. Este tren está integrado por los siguientes eslabones: 
 
El engrane (o piñón) 2, que es donde se inicia el movimiento; éste es el primer 
engrane central del planetario. 
El tren ordinario compuesto, conformado por los engranes 3 y 5, que va montado 
sobre el brazo; estos son los engranes satélites del planetario. 
El eslabón 4, que es el brazo del planetario. 
El engrane 6, que es el segundo engrane central del planetario; este engrane es el 
que nos proporciona el movimiento de salida. Sobre el eje de este engrane es que gira el 
brazo. 
 
En la figura N° 2.5 se muestra el tren secundario. 
 
 
 
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FIGURA N° 2.5. Diagrama del tren planetario secundario.INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
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2.4.- FUNCIONAMIENTO DEL HUMPAGE. 
 
El funcionamiento del reductor Humpage es de la siguiente forma (ver Fig. N° 2.3). 
Al girar el eje de entrada adquiere rotación el engrane central 2, el cual le da movimiento al 
engrane satélite 3, que gira libremente sobre la rama del brazo 4. Sin embargo, el satélite 3 
está también conectado al engrane central 1, pero como este engrane está fijo entonces el 
satélite 4 empieza a ―rodar‖ sobre este engrane central, y el efecto que produce es que el eje 
del brazo empiece a girar alrededor del eje principal del mecanismo. Todo esto es lo que 
define el movimiento del primer tren planetario simple. 
Una vez que el brazo adquirió su movimiento, el funcionamiento del segundo tren 
planetario simple es el siguiente. Al girar el engrane central 2 le transmite movimiento al 
engrane satélite 3 y éste, a través de su eje hueco de rotación, le imprime la misma 
velocidad al engrane satélite 5, ya que estos dos engranes conforman un tren ordinario 
compuesto. Como el eje de rotación del engrane satélite 5 es la rama del brazo, el cual ya 
adquirió velocidad por medio del primer planetario, entonces este satélite 5 empieza a rodar 
sobre el engrane central 6. Pero debido a que la relación —o proporción— entre dientes 
(Valor del Tren) entre el satélite 4 y el central 1 no es la misma que entre el satélite 5 y el 
central 6, entonces se produce un efecto de ―arrastre‖ del satélite 5 sobre el central 6, con la 
consiguiente producción de movimiento de rotación en el engrane 6, lo cual nos 
proporciona la velocidad del eje de salida. 
Cabe aclarar que en cualquier tren planetario simple siempre se tienen tres ejes de 
rotación: el del primer engrane central, el del brazo, y el del segundo engrane central; 
independientemente del caso particular de que alguno de los engranes centrales no se 
mueva. 
 
En consecuencia, teóricamente, para dos trenes planetarios simples, como es el caso 
del Humpage, deberíamos tener seis ejes de rotación, pero sólo tenemos dos: el de entrada, 
que es el que le da movimiento al engrane central inicial (engrane 2) del primer tren 
planetario simple, y el de salida, que corresponde al movimiento del engrane central final 
(engrane 6) del segundo tren planetario simple. Entonces ¿qué pasa con los otros cuatro 
ejes? Pues como ya se indicó, el eje de rotación del engrane central 2, es el mismo tanto 
para el primero como para el segundo planetario. El brazo 4, y su eje de rotación, es el 
mismo tanto para el primer planetario como para el segundo y, además, este eje no sale del 
mecanismo. Y, por último, el eje de rotación del engrane central 1, del primer planetario, 
―no existe‖ porque este engrane está fijo. Así que, teóricamente, sí tenemos los 6 ejes: dos 
veces el eje del engrane central 2 (que es el eje de entrada), dos veces el eje del brazo 4 
(que no sale del mecanismo), el eje del engrane central 1 (que no se mueve), y el eje del 
engrane central 6 (que es el eje de salida). 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 3 
 
PROPUESTA DEL TREN PLANETARIO 
PENTAXIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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El tren planetario pentaxial que se propone en este trabajo consta de tres trenes 
planetarios simples, que están sobrepuestos, esto es, que tienen eslabones comunes. Para 
mayor claridad, a continuación se expone lo que sería un tren planetario simple. Después se 
explica lo que sería el tren planetario doble, que es el tren Humpage y, finalmente, se 
presenta el tren planetario triple, que es la propuesta, ya que este último sería un tren de 
engranes con cinco ejes, o sea el tren planetario pentaxial. 
 
 
3.1.- TREN PLANETARIO SIMPLE. 
 
Primero es necesario caracterizar a los trenes planetarios simples (Fig. N° 3.1) que 
componen tanto al reductor Humpage como al modelo que se propone. 
 
5
4
3
2
 
 
 
Fig. N° 3.1. Tren Planetario Simple. 
 
 
Este tren planetario simple consta de engranes cónicos, ejes de rotación y brazo. 
Tiene dos engranes centrales, uno grande (5) y uno pequeño (2), un engrane satélite (3) y 
un brazo (4). Además, como cualquier tren planetario, hay un eje principal del mecanismo 
que es la línea que pasa por los centros de los dos engranes centrales. 
 
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3.2.- TREN PLANETARIO DOBLE. EL HUMPAGE. 
 
Como ya se indicó, el modelo que aquí se presenta está basado en el tren reductor 
Humpage. Las características principales de este reductor son las siguientes (ver Fig. N° 
3.2): 
 
1
4
3
2
5
6
 
Fig. 3.2. Tren planetario Humpage. 
 
 
1).- Consta de dos trenes planetarios simples. 
2).- Los dos trenes planetarios comparten un mismo brazo común (4). 
3).- Los dos trenes tienen el mismo engrane central de entrada (2). 
4).- El eje de rotación del brazo (que generalmente en los trenes planetarios es de 
entrada o de salida) en este tren no sale del mecanismo. 
5).- El engrane central mayor está fijo (1). 
6).- Tiene dos engranes satélites (3 y 5) que conforman un tren ordinario compuesto; 
esto es, están unidos por un mismo eje, que en este caso es hueco, y que gira 
libremente sobre la rama del brazo. 
7).- El eje de salida es el eje de rotación del engrane central mediano (6). 
 
 
 
 
 
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En este tren planetario Humpage, tenemos: 
 
El primer tren planetario simple consta de los siguientes elementos (ver Fig. N° 
3.2): 
1).- Eje principal: la línea central entre el eje de entrada y el eje de salida. 
2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama). 
3).- Engrane satélite: eslabón 3. 
4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 1. 
 
El segundo tren planetario simple consta de los siguientes elementos (ver Fig. N° 
3.2): 
1).- Eje principal: la línea central entre el eje de entrada y el eje de salida. 
2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama). 
3).- Engranes satélites: eslabones 3 y 5. 
4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 6. 
 
El funcionamiento del reductor Humpage es de la siguiente forma (ver Fig. N° 2). 
Al girar el eje de entrada adquiere rotación el engrane central 2, el cual le da movimiento al 
engrane satélite 3, que gira libremente sobre la rama del brazo 4. Sin embargo, el satélite 3 
está también conectado al engrane central 1, pero como este engrane está fijo entonces el 
satélite 4 empieza a ―rodar‖ sobre este engrane central, y el efecto que produce es que el eje 
del brazo empiece a girar alrededor del eje principal del mecanismo. Todo esto es lo que 
define el movimiento del primer tren planetario simple. 
 
Una vez que el brazo adquirió su movimiento, el funcionamiento del segundo tren 
planetario simple es el siguiente. Al girar el engrane central 2 le transmite movimientoal 
engrane satélite 3 y éste, a través de su eje hueco de rotación, le imprime la misma 
velocidad al engrane satélite 5, ya que estos dos engranes conforman un tren ordinario 
compuesto. Como el eje de rotación del engrane satélite 5 es la rama del brazo, el cual ya 
adquirió velocidad por medio del primer planetario, entonces este satélite 5 empieza a rodar 
sobre el engrane central 6. Pero debido a que la relación —o proporción— entre dientes 
(Valor del Tren) entre el satélite 4 y el central 1 no es la misma que entre el satélite 5 y el 
central 6, entonces se produce un efecto de ―arrastre‖ del satélite 5 sobre el central 6, con la 
consiguiente producción de movimiento de rotación en el engrane 6, lo cual nos 
proporciona la velocidad del eje de salida. Cabe aclarar que en cualquier tren planetario 
simple siempre se tienen tres ejes de rotación: el del primer engrane central, el del brazo, y 
el del segundo engrane central; independientemente del caso particular de que alguno de los 
engranes centrales no se mueva. 
 
En consecuencia, teóricamente, para dos trenes planetarios simples, como es el caso 
del Humpage, deberíamos tener seis ejes de rotación, pero sólo tenemos dos: el de entrada, 
que es el que le da movimiento al engrane central inicial del primer tren planetario simple, 
y el de salida, que corresponde al movimiento del engrane central final del segundo tren 
planetario simple. Entonces ¿qué pasa con los otros cuatro ejes? Pues como ya se describió 
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en el funcionamiento del tren Humpage, el eje de rotación del engrane central 2, es el 
mismo tanto para el primero como para el segundo planetario. El brazo 4, y su eje de 
rotación, es el mismo tanto para el primer planetario como para el segundo y, además, este 
eje no sale del mecanismo. Y, por último, el eje de rotación del engrane central 1, del 
primer planetario, ―no existe‖ porque este engrane está fijo. Así que, teóricamente, sí 
tenemos los 6 ejes: dos veces el eje del central 2 (que es el eje de entrada), dos veces el eje 
del brazo 4 (que no sale del mecanismo), el eje del central 1 (que no se mueve), y el eje del 
central 6 (que es el eje de salida). 
 
 
3.3.- TREN PLANETARIO TRIPLE. EL PENTAXIAL. 
 
3.3.1.- Descripción del tren propuesto. 
 
Considerando lo anteriormente expuesto es que se pensó en la posibilidad de poder 
establecer ciertas características o modificaciones al tren planetario Humpage, de tal forma 
que se pudiera utilizar el movimiento del eje de rotación del brazo 4. Se rediseñó el tren 
Humpage con esta característica y así surgió la primera propuesta de diseño o modelo de un 
nuevo tren planetario basado en el Humpage. En la Fig. N° 3.3 se muestra esta propuesta. 
 
1
4
3
2
5
6
 
Fig. N° 3.3 Primera propuesta. 
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Como se puede ver en el diagrama de la figura referida, el eje de rotación del brazo 
4 ahora si tiene salida del mecanismo. Con esta modificación ahora el tren planetario tiene 
dos velocidades de salida: una en el eje del engrane central 6 (como ya se tenía) y otra en el 
eje de rotación del brazo. 
 
Sin embargo, como en esta primera propuesta el engrane central 1 sigue teniendo la 
característica de mantenerse fijo, entonces se pensó en darle movimiento. Por lo tanto, en la 
segunda propuesta se estableció que ahora se tuvieran dos velocidades de entrada, una en el 
eje del engrane central 2 y la otra en el eje del engrane central 7 (antes 1), ver Fig. N° 3.4. 
 
 
 
7
4
3
2
5
6
 
 
Fig. N° 3.4. Segunda propuesta. 
 
Cabe aquí señalar el siguiente cambio de nomenclatura: El engrane central que 
estaba fijo tenía la numeración ―1‖, porque todos los elementos que no se mueven, de un 
mecanismo, deben ser el eslabón ―1‖; pero como ahora se propone que este eslabón sí tenga 
movimiento, entonces su numeración debe ser diferente de ―1‖, por ejemplo ―7‖. En la Fig. 
N° 3.4 ya se utiliza este cambio. 
 
Después se estableció que así como se tiene una velocidad de entrada en el engrane 
central 2, el cual mueve directamente al engrane satélite 3, también sería posible mover 
directamente al engrane satélite 5 a través de otro engrane central, que no sea el 6. De esta 
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manera es que se llegó a la tercera propuesta de este trabajo, al agregar el engrane central 8. 
Ver Fig. N° 4.5. 
 
 
7
4
3
2
6
8
5
 
 
Fig. N° 3.5. Tercera propuesta. 
 
De esta manera, en el diseño final propuesto se tienen cinco ejes de movimiento. De 
éstos, dos ejes tendrán los movimientos de entrada y tres ejes serán los de movimiento de 
salida. 
 
 
3.3.2.- Elementos que componen el tren pentaxial. 
 
Al haber agregado este engrane central 8, el tren propuesto se convierte en un tren 
planetario compuesto, que contiene tres trenes planetarios simples, que son los siguientes 
(ver Fig. N° 3.5): 
 
El primer tren planetario simple consta de los siguientes elementos: 
1).- Eje principal: la línea central del eje del brazo. 
2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama). 
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3).- Engrane satélite: eslabón 3. 
4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 7. 
 
El segundo tren planetario simple consta de los siguientes elementos: 
1).- Eje principal: la línea central del eje del brazo. 
2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama). 
3).- Engranes satélites: eslabones 3 y 5. 
4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 6. 
 
El tercer tren planetario simple consta de los siguientes elementos: 
1).- Eje principal: la línea central del eje del brazo. 
2).- Brazo: La barra quebrada 4 (eje y rama). 
3).- Engranes satélites: eslabones 3 y 5. 
4).- Engranes centrales: eslabones 2 y 8. 
 
En todo el mecanismo completo, que es un tren planetario compuesto, se tiene que 
el brazo 4 es un eslabón común a los tres trenes planetarios simples; el engrane satélite 3 es 
un eslabón común a los tres trenes planetarios simples; y el engrane satélite 5 es un eslabón 
común al segundo y tercer trenes planetarios simples. 
 
Finalmente, aunque no se realizó un análisis dinámico del mecanismo como ya se 
había indicado, se propone que para una distribución más equilibrada de las fuerzas que se 
generen, el brazo debe ser de más de una rama, con su correspondiente multiplicidad de los 
engranes satélites. Dependiendo de un posterior análisis dinámico particular, para el diseño 
dinámico se podrían tener dos, tres o hasta cuatro ramas del brazo. Como ejemplificación 
de esto, el diseño final que se propone en este trabajo es con un brazo de dos ramas, como 
se muestra en la Fig. N° 7. 
 
 
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7
4
3
5
8
3
2
5
6
A E
D
C B
 
 
Fig. N° 3.6. Propuesta final del tren planetario pentaxial. 
 
Las figuras anteriores son diagramas de los diferentes trenes propuestos.En las 
figuras que se presentan a continuación se muestran varias vistas del tren pentaxial 
diseñado. 
 
 
 
 
 
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Fig. N° 3.7. Vista frontal. 
 
 
 
 
 
 
Fig. N° 3.8. Vista superior. 
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Fig. N° 3.9. Vista lateral izquierda. 
 
 
 
 
 
 
Fig. N° 3.10. Vista lateral derecha. 
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Fig. N° 3.11. Isométrico sudoeste. 
 
 
 
 
 
Fig. N° 3.12. Isometrico sudeste. 
 
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3.3.3.- Propuesta del número de dientes. 
 
Para poder aplicar calcular (en el siguiente capítulo) las velocidades del tren 
pentaxial, es necesario conocer el número de dientes (N) de cada engrane. 
 
La cantidad de dientes de cada engrane no puede ser arbitraria, ya que los engranes 
que estén en contacto, unos con otros, a través de los dientes, deben tener el mismo paso 
para que puedan engranar. La relación entre el número de dientes, en estos casos, resulta 
igual a la relación entre los diámetros de los engranes. 
 
Con base en lo anterior, habrá una relación entre dientes en los subconjuntos de 
engranes 2-3-7 y 8-5-6. Dicho de otra manera, dando el valor del número de dientes a los 
engranes 2 y 8, todos los demás engranes tendrán un número de dientes predeterminado. 
 
En el caso del subconjunto 2-3-7, y considerando que el engrane de entrada, el N° 2, 
es pequeño, se le asigna un valor de 20 dientes. De acuerdo a lo indicado y tomando en 
cuenta la relación de diámetros de los engranes, se proponen los siguientes valores: 
Para el engrane 3: 55 dientes; y para el engrane 7: 75 dientes. 
 
En el caso del subconjunto 8-5-6, se propone para el engrane 8 15 dientes. 
Considerando la proporción entre diámetros de los engranes de este subconjunto, tendremos 
los siguientes valores: 
Para el engrane 5: 25 dientes y para el engrane 6: 36 dientes. 
 
Resumiendo, el número de dientes será: 
 
 
N° de engrane N° de dientes Ni 
2 20 N2 
3 55 N3 
5 25 N5 
6 36 N6 
7 75 N7 
8 15 N8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 4 
 
CÁLCULO CINEMÁTICO DEL TREN 
PENTAXIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1.- POSIBLES COMBINACIONES DE ENGRANAJE. 
 
El tren planetario Humpage (ver Fig. N° 3.2) se utiliza como un reductor de 
velocidad, ya que al dar una velocidad de entrada al eje del engrane 2 se obtiene una 
velocidad de salida en el eje del engrane 6, con una proporción de reducción de alrededor 
de 100. Sin embargo, teóricamente es posible hacer una inversión del mecanismo, dando la 
velocidad de entrada en el eje del engrane 6 y obtener una velocidad de salida en el eje del 
engrane 2; con lo cual el mecanismo se convierte en un amplificador, con la misma 
proporción de 100. 
 
Considerando lo anterior, el modelo aquí propuesto puede funcionar como reductor 
de velocidad o como amplificador de velocidad, dependiendo esto de cuáles sean los ejes 
de entrada y cuáles los de salida. Como dos de los cinco ejes deber ser de velocidad de 
entrada y los otros tres serán los de salida, entonces se puede hacer una serie de 
combinaciones, lo cual nos arroja un total de 8 posibilidades de combinación del 
mecanismo. En la Fig. N° 4.1 se muestra una tabla con todas estas posibilidades, donde se 
hace referencia a los ejes por medio de las letras. La nomenclatura correspondiente de los 
ejes se indica en la Fig. N° 4.2. 
 
 
 
 
Combinación Ejes de 
entrada 
Ejes de salida 
1a C D E A B 
2a C E D A B 
3a C A E D B 
4a B E D A C 
5a B D A C E 
6a B A C D E 
7a A D B C E 
8a A E B C D 
 
 
Fig. N° 4.1. Posibles combinaciones de movimientos de los ejes. 
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 51 
 
7
4
3
5
8
3
2
5
6
A E
D
C B
 
 
Fig. N° 4.2. Nomenclatura de los ejes y eslabones. 
 
Además, dadas las magnitudes de las velocidades de rotación de los dos ejes que se 
hayan seleccionado, se puede tener para cada eje dos alternativas del sentido de rotación, y 
para el conjunto simultáneo de estos dos ejes, existirán cuatro posibilidades de combinación 
de estos sentidos de rotación, lo cual nos da un total de 32 posibles soluciones cinemáticas 
del mecanismo propuesto. 
 
Cabe aclarar que hay otras dos combinaciones que no pueden ser posibles. No se 
puede dar simultáneamente movimiento a los ejes C y B, ni a los ejes E y D; porque esto 
implicaría tener dos velocidades diferentes en el tren compuesto de los engranes satélites, 
condición imposible. 
 
 
4.2.- CÁLCULO DE LAS VELOCIDADES. 
 
 
Para el cálculo de las velocidades, hay que partir de la ecuación general de 
movimiento de un tren planetario, la cual es: 
 
 𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓− 𝜔𝑏
𝜔 𝑖− 𝜔𝑏
 
 
Donde 𝑣𝑡 es el Valor del Tren, 𝜔𝑓 es la velocidad final (del eje de salida), 𝜔𝑏 es la 
velocidad del brazo, y 𝜔𝑖 es la velocidad inicial (del eje de entrada). El Valor del tren, 𝑣𝑡, 
se calcula por separado para cada tren planetario, suponiendo que el brazo no se mueve y 
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que, por lo tanto, el tren planetario se convertiría en un tren ordinario, ya sea simple o 
compuesto. 
 
Además, para resolver esta ecuación habrá que determinar el Valor del Tren, 
suponiendo que el brazo no se mueve, por lo cual el tren planetario se comportaría como un 
tren ordinario. Si este tren ordinario es simple, el Valor del Tren será: 
 
𝑉𝑇 = 
𝑁𝑖
𝑁𝑓
 
 
Donde 𝑁𝑖 es el número de dientes del engrane inicial y 𝑁𝑓 es el número de dientes 
del engrane final. 
 
En el caso de que el tren ordinario sea compuesto, el Valor del Tren será: 
 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
 
 
Donde 𝑁𝑚 es el producto de los números de dientes de los engranes motrices, y 
 𝑁𝑐 es el producto de los números de dientes de los engranes conducidos. 
 
El Valor del Tren (𝑉𝑇) debe llevar un signo, para los dos casos del tren ordinario. 
Será positivo si el engrane inicial y el engrane final giran (o girarían) en el mismo sentido 
(el que sea). 𝑉𝑇 será negativosi estos engranes giran en sentidos contrarios. 
 
Como ya se indicó, el modelo propuesto en esta tesis tiene 32 posibles soluciones. A 
continuación se realiza el cálculo de las velocidades para cada una de las 4 posibilidades 
(por los sentidos de giro), de cada una de las 8 combinaciones, lo que nos da las 32 posibles 
soluciones. 
En cada uno de los cálculos que a continuación se realizan, se analizarán cada uno 
de los tres trenes planetarios que conforman el tren pentaxial. 
 
Se podrían establecer ecuaciones o fórmulas generales para cada combinación, pero 
mejor supondremos los valores de las velocidades de entrada para obtener valores 
numéricos de las velocidades de salida; esto es con el fin de posteriormente establecer una 
tabla comparativa de los resultados. 
 
Puesto que hay que dar el valor numérico de las dos velocidades de entrada, en 
general éstas serían diferentes; sin embargo, asignaremos el valor numérico de 1000 RPM a 
un eje y de 500 RPM al otro eje. 
 
Respecto a los sentidos de rotación, tomaremos la convención de que los giros en 
sentido antihorario, visto de izquierda a derecha, serán positivos; y los giros en sentido 
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horario, también vistos de izquierda a derecha, serán negativos (es la convención 
matemática tradicional). 
 
Por último, recordaremos el número de dientes de cada engrane: 
 
N° de engrane N° de dientes Ni 
2 20 N2 
3 55 N3 
5 25 N5 
6 36 N6 
7 75 N7 
8 15 N8 
 
 
 
 
a).- 1ª COMBINACIÓN 
 Ejes de entrada: C y D, ejes de salida: E, A y B. 
 
a.1).- Primera posibilidad: 
 
 𝜔𝐶 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 500 𝑅𝑃𝑀 
 
i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
simple, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
𝑁𝑖
𝑁𝑓
= 
𝑁2
𝑁7
= 
20
75
= −0.2666 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
−0.2666 = 
500 − 𝜔4
1000 − 𝜔4
 
 
Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔4 = 605.2423 o sea: 
𝜔𝐴 = 605.2423 
 
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ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 605.2423 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
compuesto, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
= 
𝑁2𝑁5
𝑁3𝑁6
= 
 20 (25)
 55 (36)
= −0.2525 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
−0.2525 = 
𝜔6 − 605.2423
1000 − 605.2423
 
 
 Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔6 = 505.5659 o sea: 
𝜔𝐸 = 505.5659 
 
iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 605.2423 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
compuesto, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
= 
𝑁2𝑁5
𝑁3𝑁8
= 
 20 (25)
 55 (15)
= 0.606 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
0.606 = 
𝜔8 − 605.2423
1000 − 605.2423
 
 
 Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 844.4654, o sea: 
𝜔𝐵 = 844.4654 
 
 
 
 
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a.2).- Segunda posibilidad: 
 
 𝜔𝐶 = 500 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐷 = 1000 𝑅𝑃𝑀 
 
i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 = 1000 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
simple, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
𝑁𝑖
𝑁𝑓
= 
𝑁2
𝑁7
= 
20
75
= −0.2666 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
−0.2666 = 
1000 − 𝜔4
500 − 𝜔4
 
Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔4 = 895.1816, o sea: 
𝜔𝐴 = 895.1816 
 
ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 895.1816 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
compuesto, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
= 
𝑁2𝑁5
𝑁3𝑁6
= 
 20 (25)
 55 (36)
= −0.2525 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
−0.2525 = 
𝜔6 − (895.1816)
500 − (895.1816)
 
 
 Despejando la variable 𝜔6 obtenemos: 𝜔6 = 994.9646, o sea: 
𝜔𝐸 = 994.9646 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
 
 
 
DISEÑO CINEMÁTICO DE UN TREN PLANETARIO PENTAXIAL. Ingeniería Mecánica 
Rodrigo Reyes Serrano 
 56 
 
iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 500 𝜔𝑓 = 𝜔8 = 𝜔𝐵 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 895.1816 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
compuesto, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
= 
𝑁2𝑁5
𝑁3𝑁8
= 
 20 (25)
 55 (15)
= 0.606 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
0.606 = 
𝜔8 − (895.1816)
500 − (895.1816)
 
 
 Despejando la variable 𝜔8 obtenemos: 𝜔8 = 655.7016, o sea: 
𝜔𝐵 = 655.7016 
 
 
a).- 2ª COMBINACIÓN 
 Ejes de entrada: C y E, ejes de salida: D, A y B. 
 
a.1).- Primera posibilidad: 
 
 𝜔𝐶 = 1000 𝑅𝑃𝑀 𝜔𝐸 = 500 𝑅𝑃𝑀 
 
i).- Para el primer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 6) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔6 = 𝜔𝐸 = 500 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
simple, y tendremos: 
 
𝑉𝑇 = 
 𝑁𝑚
 𝑁𝑐
= 
𝑁2𝑁5
𝑁3𝑁6
= 
 20 (25)
 55 (36)
= −0.2525 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL 
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA 
UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO 
 
 
 
 
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 57 
 
−0.2525 = 
500 − 𝜔4
1000 − 𝜔4
 
 
Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔4 = 600.7984 o sea: 
𝜔𝐴 = 600.7984 
 
 
ii).- Para el segundo tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4 y 7) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 = 𝜔7 = 𝜔𝐷 𝜔𝑏 = 𝜔4 = 𝜔𝐴 = 600.7984 
 
Suponiendo el brazo fijo, el tren planetario se convierte en tren ordinario 
compuesto, y tendremos: 
𝑉𝑇 = 
𝑁𝑖
𝑁𝑓
= 
𝑁2
𝑁7
= 
20
75
= −0.2666 
 
Sustituyendo estos valores en la ecuación general, tendremos: 
 
𝑣𝑡 = 
𝜔𝑓 − 𝜔𝑏
𝜔𝑖 − 𝜔𝑏
 
 
−0.2666 = 
𝜔7 − 600.7984
1000 − 600.7984
 
 
Despejando la variable 𝜔4 obtenemos: 𝜔7 = 494.3712 o sea: 
𝜔𝐷 = 494.3712 
 
iii).- Para el tercer tren planetario (eslabones 1, 2, 3, 4, 5 y 8) tendremos: 
 
𝜔𝑖 = 𝜔2 = 𝜔𝐶 = 1000 𝜔𝑓 =