P-XXVIRNAFM022

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Verónica L. Villegas Rueda1, Carlos López Lima2
1Departamento de Ciencias Básicas, UPIITA-IPN, CDMX, México
2Departamento de Física, ESFM-IPN, CDMX, México
Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 56860 correo: veyarle@gmail.com
RESUMEN
Se presenta una solución al problema 46 capítulo 4 Física I 4ta edición
CESCA, de los autores Resnick, Halliday y Krane [1], en el cual se pide
hacer una variable tan pequeña como sea posible, restringiendo la
velocidad a un valor máximo finito. Se analizan las condiciones iniciales
desde el punto de vista físico y matemático, se descarta la solución no
acotada, ya que no es posible. Por otra parte, no se puede minimizar la
variable si las condiciones iniciales varían continuamente.
Palabras Clave – tiro parabólico, condiciones iniciales, restricciones
Abstract –– A solution is presented to the problem 46 chapter 4 Physics I
4th edition CESCA, by the authors Resnick, Halliday and Krane [1], in
which it is asked to make a variable as small as possible, restricting the
speed to a finite maximum value. The initial conditions are analyzed from
the physical and mathematical point of view, the unbounded solution is
discarded, since it is not possible. On the other hand, the variable cannot
be minimized if the initial conditions vary continuously.
Keywords –– parabolic shot, initial conditions, restrictions
INTRODUCCIÓN
El análisis de movimiento de proyectiles es un tema obligatorio para
todos los estudiantes de ciencias e ingenierías en general, incluso el tema
es desarrollado y enseñado desde la secundaria o preparatoria. Es
importante enseñar a los estudiantes a resolver e interpretar las
trayectorias con el enfoque más sencillo posible y formal. Como parte de
estos cursos de mecánica se llevan los libros de texto como [1], que es un
clásico en los cursos de ciencias básicas, por lo que resulta interesante el
planteamiento y solución al problema 46 del capítulo 4 en [1], referente
a la sección de movimiento de proyectiles que dice: “Se lanzan
proyectiles a una distancia horizontal 𝑅 del borde de un acantilado de
altura ℎ de manera tal que aterrizan una distancia horizontal 𝜉 del fondo
del acantilado. Si queremos que 𝜉 sea tan pequeña como es posible,
¿cómo ajustaríamos 𝜙
0
y 𝑣0, suponiendo que 𝑣0 pueda ser variada desde
cero hasta una valor máximo finito 𝑣𝑚á𝑥 y que 𝜙0 puede ser variado
continuamente? Sólo se permite una colisión en el suelo, véase la Fig. 1.”
Fig. 1. Esquema del 
problema 46 del 
capítulo 4 del Resnick
4ta edición en 
español, página 86.
METODOLOGÍA
La ecuación de trayectoria para tiro parabólico está dada en términos de la
velocidad inicial 𝑣0 y ángulo inicial 𝜙0 mediante una ecuación de parábola
𝑦(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝜙0𝑥 −
𝑔
2𝑣0
2 𝑐𝑜𝑠2𝜙0
𝑥2 (1)
La ecuación (1) es válida para las posiciones iniciales de movimiento 𝑥0 =
0 y 𝑦
0
= 0 en el plano 𝑋𝑌 con origen en donde se lanza el proyectil, para
valores iniciales de rapidez 𝑣0 y ángulo de lanzamiento 𝜙0. El problema
pide alcanzar la posición horizontal total 𝑥 = 𝑅 + 𝜉 con posición vertical
𝑦 = −ℎ, en otras palabras sustituir en el punto 𝑥, 𝑦 = (𝑅 + 𝜉,−ℎ) como
se muestra en la Fig. 1. Entonces al evaluar en (1) en el punto(𝑅 + 𝜉, −ℎ)
𝜉 = −
1
2
𝑅 ±
1
2
𝑅2 +
4ℎ𝑅
𝑡𝑎𝑛𝜙0
(8)
La variable 𝜉 en (8) es la distancia horizontal en el fondo del acantilado y
está en términos de 𝑅,ℎ y el ángulo inicial 𝜙
0
. Para minimizar 𝜉, note que
𝑡𝑎𝑛𝜙
0
debe ser evaluado en un máximo, la función 𝑡𝑎𝑛𝜙
0
no tiene
máximo.
DISCUSIÓN
Ahora de 𝑣0
2 =
𝑅𝑔
𝑠𝑖𝑛 2𝜙0
(4), la velocidad es máxima cuando 𝜙
0
→ 𝜋/2−, ya
que 𝑣0
2 → ∞ y en (8) 𝜉 → 0⁺, lo que indica que no se puede acotar la
velocidad a un valor finito si varía el ángulo 𝜙
0
de forma continua.
Por otro lado, analizando el tiempo que se tarda el objeto en recorrer la 
trayectoria, para un tiro parabólico la posición horizontal está determinada 
𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝑡 del cual se despeja el tiempo. En el punto 𝑥 = 𝑅 + 𝜉, se 
denota el tiempo 𝑡|
𝑥=𝑅+𝜉
como el tiempo en que el proyectil le toma llegar 
al fondo del acantilado
𝑅 + 𝜉 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉 con 𝑡|𝑥=𝑅+𝜉 =
𝑅+𝜉
𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜙0
(9)
Cuando 𝜙
0
→ 𝜋/2⁻, para un valor finito 𝑣0 y sin importar el valor que tome
𝜉 > 0, el tiempo en (9) 𝑡|
𝑥=𝑅+𝜉
→ ∞, es decir, tarda un tiempo infinito y
esto no es posible, por lo cual se tiene que descartar el ángulo 𝜙
0
= 𝜋/2.
El comportamiento de la distancia 𝜉, que está definida para valores
positivos, en función del ángulo 𝜙
0
, el valor mínimo se da para 𝜙
0
= 𝜋/2
donde 𝜉 → 0 , pero este valor no es posible físicamente. Los
comportamientos mostrados en la Fig. 2. se calcularon para diferentes
valores del alcance 𝑅 = 1, 2, . . . , 20m y de altura del acantilado ℎ =
1, 2, . . . , 20 m.
Fig. 2. 
Comportamiento 
asintótico de la 
solución 𝜉. Sólo 
puede tomar valores 
positivos de en 
función del ángulo 
𝜙
0
, el mínimo valor 
posible se da para 
𝜙
0
=
𝜋
2
donde 𝜉 → 0, 
pero este valor no es 
posible físicamente.
Una solución es utilizar el 
alcance máximo, es decir, 
tomar el ángulo donde 
ocurre el máximo en R =
𝑣0
2
𝑔
𝑠𝑖𝑛2𝜙0 =
𝑣0
2
𝑔
2𝑐𝑜𝑠𝜙0𝑠𝑖𝑛𝜙0, 𝜙0 =
𝜋/4, al sustituir en (8) se 
tiene 
𝜉 = −𝑅/2 + 𝑅 𝑅 + 4ℎ/2 = 𝑅 𝑅 + 4ℎ − 𝑅 /2 (10)
Se obtiene en (10) una velocidad mínima 𝑣0 para que caiga el proyectil al
acantilado y se obtiene un valor para 𝜉, ambos son finitos. Así, el
problema está acotado por una velocidad mínima para el ángulo 𝜙
0
=
𝜋/4, pero cuando se quiere reducir la distancia en el acantilado 𝜉 → 0⁺
note que no se cumple la hipótesis de la cota para la velocidad ya que
𝜙
0
→ 𝜋/2⁻.
Finalmente es posible abordar este problema utilizando Multiplicadores
de Lagrange, pero es un problema para alumnos de primer semestre de
licenciatura por lo cual se utilizó el presente enfoque.
CONCLUSIONES
Se encuentra que hay una solución finita de 𝜉 para una velocidad mínima,
sin embargo, no es posible obtener un valor finito de la velocidad 𝑣0 para
el mínimo 𝜉 para un escalón de altura fija ℎ.
Se encuentra que variar el ángulo 𝜙
0
de manera continua se puede
cometer error de evaluar en puntos donde no está definida la función (4) y
(8), por lo que es necesario hacer un análisis en el rango de la solución.
REFERENCIAS
R. Resnick, D. Halliday, K. Krane, “Física, Parte 1”, Ed.
Compañía Editorial Continental, cuarta edición, 1994, p 81
Problema sutil de tiro parabólico en un acantilado
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