representación matricial de funciones de varias variables, conjuntos de nivel

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Cálculo Diferencial en Varias Variables
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Lázaro R. Dı́az Lievano
Licenciatura en F́ısica
Marzo 2021
2.1. Problemas de funciones de varias variables.
2.1 Exprese cada función lineal como f(X) = C ·X para algún vector C o F (X) = CX para alguna matriz
C.
a) f(x1, x2) = x1 + 2x2
f(x1, x2) = x1 + 2x2
= (1, 2) · (x1, x2)
= (1, 2) ·X
b) f(x1, x2, x3) = x1 + 2x2
f(x1, x2, x3) = x1 + 2x2
= (1, 2, 0) · (x1, x2, x3)
= (1, 2, 0) ·X
c) F(x1, x2) = (x1, x1 + 2x2)
F(x1, x2) = (x1, x1 + 2x2) =
(
x1
x1 + 2x2
)
=
(
x1
x1
)
+
(
0x2
2x2
)
= x1
(
1
1
)
+ x2
(
0
2
)
=
(
1 0
1 2
)(
x1
x2
)
=
(
1 0
1 2
)
X
d) F(x1, x2, x3) = (x1, x1 + 2x2)
F(x1, x2) = (x1, x1 + 2x2) =
(
x1
x1 + 2x2
)
=
(
x1
x1
)
+
(
0x2
2x2
)
+
(
0x3
0x3
)
= x1
(
1
1
)
+ x2
(
0
2
)
+ x3
(
0
0
)
=
(
1 0 0
1 2 0
)x1x2
x3
 = (1 0 0
1 2 0
)
X
e) F(x1, x2, x3, x4) = (x4 − x2, x3 − x1, x2 + 5x1, x1 + x2 + x3 + x4)
1
F(x1, x2, x3, x4) = (x4 − x2, x3 − x1, x2 + 5x1, x1 + x2 + x3 + x4)
=

x4 − x2
x3 − x1
x2 + 5x1
x1 + x2 + x3 + x4
 =

0x1
−x1
5x1
x1
+

−x2
0x2
x2
x2
+

0x
3
x3
0x3
x3
+

x4
0x4
0x4
x4

= x1

0
−1
5
1
+ x2

−1
0
1
1
+ x3

0
1
0
1
+ x4

1
0
0
1
 =

0 −1 0 1
−1 0 1 0
5 1 0 0
1 1 1 1


x1
x2
x3
x4

=

0 −1 0 1
−1 0 1 0
5 1 0 0
1 1 1 1
X
f) F(x1, x2) = (x1, 5x1,−x2,−2x1, x2)
F(x1, x2) = (x1, 5x1,−x2,−2x1, x2) =

x1
5x1
−x2
−2x1
x2
 =

x1
5x1
0x1
−2x1
0x1
+

0x2
0x2
−x2
0x2
x2

= x1

1
5
0
−2
0
+ x2

0
0
−1
0
1
 =

1 0
5 0
0 −1
−2 0
0 1

(
x1
x2
)
=

1 0
5 0
0 −1
−2 0
0 1
X
g) F(x1, x2, x3, x4, x5) = (x1, 5x1,−x2,−2x1, x2)
F(x1, x2) = (x1, 5x1,−x2,−2x1, x2) =

x1
5x1
−x2
−2x1
x2
 =

x1
5x1
0x1
−2x1
0x1
+

0x2
0x2
−x2
0x2
x2
+

0x3
0x3
0x3
0x3
0x3
+

0x4
0x4
0x4
0x4
0x4
+

0x5
0x5
0x5
0x5
0x5

= x1

1
5
0
−2
0
+ x2

0
0
−1
0
1
+ x3

0
0
0
0
0
+ x4

0
0
0
0
0
+ x5

0
0
0
0
0
 =

1 0 0 0 0
5 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
−2 0 0 0 0
0 1 0 0 0


x1
x2
x3
x4
x5

=

1 0 0 0 0
5 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
−2 0 0 0 0
0 1 0 0 0
X
2
2.2 Sea f(x, y) igual a 1 cuando (x, y) está dentro del disco unitario centrado en el origen, y 0 cuando
x2 + y2 ≥ 1. Describa los conjuntos de niveles de f . Dibuja una gráfica de f .
Definamos f(x, y) : R2 → R
f(x, y) =
{
1 si x2 + y2 < 1
0 si x2 + y2 ≥ 1
Esto es, la ecuación de la circunferencia con centro en el origen con radio 1 y por otro lado, si el radio es
mayor a 1 entonces es una circunferencia con radio cero, es decir, un punto en el origen de coordenadas.
Gráfica de la función f(x, y)
2.3 Sea f(X) igual a ||X||2 cuando ||X|| está dentro de la bola unitaria ||X|| < 1, y 0 cuando ||X|| ≥ 1.
Describe los conjuntos de niveles de f cuando el dominio es
a) R
El conjunto de nivel son los puntos ±
√
c
b) R3
El conjunto de nivel es la esfera con radio
√
c
c) R5
El conjunto de nivel es la esfera centrada en el origen con radio
√
c
2.4 Demuestre que una función constante F : Rn → Rm es lineal si y solo si
F (x1, x2, ..., xn) = 0
3
→] Si una función constante F : Rn → Rm es lineal entonces F (x1, x2, ..., xn) = 0.
Dado que F es lineal debe cumplir las dos propiedades de linealidad
F (X+Y) = F (X) + F (Y) y F (cX) = cF (X), ∀X,Y ∈ Rn
Además, F es una función constante, asi F (x1, x2, ..., xn) = c. Entonces,
F (x1, x2, ..., xn) = c y F (x1 + y1, x2+y2, ..., xn+yn) = F (X) + F (Y) = 2c
pero (x1 + y1, x2+y2, ..., xn+yn) sigue siendo un vector arbitrario en Rn, entonces
F (x1 + y1, x2+y2, ..., xn+yn) = c y F (x1 + y1, x2+y2, ..., xn+yn) = F (X) + F (Y) = 2c
Esto es
c = 2c =⇒ c = 0
←] Si F es una función constante F : Rn → Rm definida como F (x1, x2, ..., xn) = 0 entonces es lineal.
Comprobemos si F cumple las propiedades de linealidad.
F (x1, x2, ..., xn) = F (X) = 0
F (X+Y) = F (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) = (0, 0, ..., 0) = 0+0 = F (X) + F (Y)
F (cX) = F (cx1, cx2, ..., cxn) = (c · 0, c · 0, ..., c · 0) = (0, 0, ..., 0) = 0 = cF (X)
�
2.5 Un plano en R3 con la ecuación z = 2x+ 3y es el conjunto de nivel 0 de una función lineal ` de R3 a R.
Encuentre `.
Definamos la funcion ` : R3 → R tal que si hacemos `(x, y, z) = 0 da 0 = 2x+ 3y − z entonces para un `
distinto de cero
`(x, y, z) = 2x+ 3y − z
2.6 La función
f(x, y) = 5 + x+ x2 + y2,
es la suma de la función constante 5, la función lineal x y el polinomio de grado 2: x2 + y2.
a) Dé dos ejemplos de puntos (x, y) cerca de (0, 0) para los cuales la aproximación por primeras dos partes,
f(x, y) ≈ 5 + x
difiere de f(x, y) menos de 1100 .
Tomemos el punto (0.01,0.02), entonces
f(0.01, 0.02) = 5 + 0.01 + (0.01)2 + 0.022
= 5.01005
f(0.01, 0.02) ≈ 5 + 0.01
≈ 5.01
la diferencia es de 0.00005, la cual es menor a 1100
Ahora tomemos el punto punto (0.001,0.02), entonces
4
f(0.001, 0.02) = 5 + 0.001 + (0.001)2 + 0.022
= 5.001401
f(0.001, 0.02) ≈ 5 + 0.001
≈ 5.001
la diferencia es de 0.000401, la cual es menor a 1100
b) Demuestre que
g(u, v) = f(1 + u, 2 + v)
es la suma de una función constante, una función lineal de (u, v) y una función polinomial de grado 2
de u y v.
Partimos de la función f(x, y) = 5 + x+ x2 + y2, sea x = 1 + u y y = 2 + v, tenemos
f(1 + u, 2 + v) = 5 + 1 + u+ (1 + u)2 + (2 + v)2
= 5 + 1 + u+ 1 + 2u+ u2 + 4 + 4v + v2
= 11 + 3u+ 4v + u2 + v2
donde 11 es la función constante, 3u+ 4v la función lineal y u2 + v2 una función polinomial de grado
2, por lo que
f(1 + u, 2 + v) = g(u, v)
2.7 Sea f(X) = ||X||2, X en R4. Sea A en R4 y defina
g(X) = ||A||2 + 2A · (X−A).
a) Sea U = X−A. Usa la fórmula
||A + U||2 = ||A||2 + 2A ·U + ||U||2
para mostrar que la diferencia entre f(X) y g(X) es ||U||2.
Partimos de
||A + U||2 = ||A||2 + 2A ·U + ||U||2
||A + U||2 − (||A||2 + 2A ·U) = ||U||2
Como U = X−A, entonces
f(X) = ||X||2
= ||A + U||2 y
g(X) = ||A||2 + 2A · (X−A)
= ||A||2 + 2A · (U)
||A + U||2 − (||A||2 + 2A ·U) = ||U||2
=⇒ f(X)− g(X) = ||U||2
b) Demuestre que la diferencia entre f(X) y g(X) no excede 10−4 cuando ||X−A|| < 10−2.
Por inciso a), sabemos que U = X − A, entonces ||X − A|| = ||U|| < 10−2, la diferencia entre
f(X) y g(X) es igual a ||U||2, por lo que
|f(X)− g(X)| = ||U||2 < 10−4
5
2.8 Sea L una función lineal de Rn a Rm. Muestra que
a) Si L(X) = 0 y L(Y) = 0, entonces L(X + Y) también es 0.
Dado que L es lineal, cumple que
L(X + Y) = L(X) + L(Y) y
L(cX)) = cL(X)
Entonces
L(X + Y) = L(X) + L(Y) = 0 + 0 = 0.
b) Si L(X) = 0 y c es un número, entonces L(cX) también es 0.
De la misma forma, como L es lineal, entonces
L(cX) = cL(X) = (c)(0) = 0
2.9 Vuelva a trabajar el ejemplo 2.8 asumiendo y 6= 0 en lugar de x 6= 0.
f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0).
c =
x2 − y2
x2 + y2
c(x2 + y2) = x2 − y2
Si c = 1 entonces: y = 0
Si c = −1 entonces: x = 0
Para c 6= −1 y y 6= 0 podemos dividir entre y2
c(x2 + y2) = x2 − y2 =⇒ c
(
x2
y2
+ 1
)
=
x2
y2
− 1(
x
y
)2
=
1 + c
1− c
x = ±y
√
1 + c
1− c
6
2.10 Dibuje o describa los conjuntos de niveles c, f(x, y) = c en R2, para las siguientes funciones f y
valores c. Utilice los conjuntos de niveles para ayudar a esbozar la gráfica de la función.
a) f(x, y) = x+ 2y, c = −1, 0, 1, 2
b) f(x, y) = xy, c = −1, 0, 1, 2
7
c) f(x, y) = x2 − y, c = −1, 0, 1, 2
d) f(x, y) =
√
1− x2 − y2, c = 0, 12 , 1
8
2.11 Dibuje o describa los conjuntos de niveles c, f(x, y) = c en R2, para las siguientes funciones f de
R2 a R y valores c.
a) (x, y) = x2 + y2, c = 0, 1, 2
Los conjuntos de nivel
x2 + y2 = c
son circunferencias con radio
√
c. Entonces
Para c = 0 es un punto en el origen de coordenadas.
Para c = 1, 2 es el circulo de radio 1 y
√
2, respectivamente.
b) f(x, y) =
√
x2 + y2, c = 0, 1, 2
Los conjuntos denivel √
x2 + y2 = c
son circunferencias con radio c. Entonces
Para c = 0 es un punto en el origen de coordenadas.
Para c = 1, 2 es el circulo de radio 1 y 2, respectivamente.
c) f(x, y) = 1x2+y2 , c = 0, 1, 2. ¿Cuál está vaćıo? Los conjuntos de nivel
1
x2 + y2
= c
son circunferencias con radio
√
1
c . Entonces
Para c = 0 esta vació.
Para c = 1, 2 es el circulo de radio 1 y 1√
2
, respectivamente.
2.12 Justifique la afirmación de que el teorema 1.20 se puede reformular de la siguiente manera:“Una función
lineal de Rn a Rn está sobre si y solo si es uno a uno”.
2.13 Dibuje o describa los conjuntos de niveles c, f(X) = c en R3, para las siguientes funciones f de
R3 a R y valores c.
a) f(X) = ||X||2, c = 12 , 1, 2
Los conjuntos de nivel
x21 + x
2
2 + x
2
3 = c
son esferas de radio
√
c. Entonces
Para c = 12 , 1, 2 es la esfera de radio
1√
2
, 1 y
√
2, respectivamente.
b) f(X) = ||X||, c = 12 , 1, 2
Los conjuntos de nivel √
x21 + x
2
2 + x
2
3 = c
son esferas de radio c. Entonces
Para c = 12 , 1, 2 es la esfera de radio
1
2 , 1 y 2, respectivamente.
9
c) f(X) = 1||X||2 , c =
1
2 , 1, 2
Los conjuntos de nivel
1
x21 + x
2
2 + x
2
3
= c
son esferas de radio 1√
c
. Entonces
Para c = 12 , 1, 2 es la esfera de radio
√
2, 1 y 1√
2
, respectivamente.
d) f(X) = U ·X, c = 12 , 1, 2 donde U es un vector unitario. Sugerencia: escriba X como un vector paralelo
a U más un vector ortogonal a U.
2.14 Sea C =
(
3 1
2 4
)
, y X =
(
1
2
)
verifica la inecuación
||CX|| ≤ ||C||||X||.
A partir de la definición de norma, tenemos:
||CX|| =
∣∣∣∣∣∣∣∣(3 12 4
)(
1
2
)∣∣∣∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣∣(3 + 22 + 8
)∣∣∣∣∣∣∣∣ = ||(5, 10)|| = √52 + 102 = √125
||X||||C|| = ||(1, 2)||
∣∣∣∣∣∣∣∣(3 12 4
)∣∣∣∣∣∣∣∣ = √12 + 22√32 + 12 + 22 + 42 = √5√30 = √150
Como
√
125 <
√
150, queda verificada la inecuación ||CX|| ≤ ||C||||X||.
2.15 Demuestre que para una función lineal L de Rn a Rm, el valor L(X) es un valor lineal combinación de
las columnas Vj de la matriz de L:
L(X) = x1V1 + + xnVn.
A partir del teorema 2.1 podemos escribir la función en la forma
L(X) =

c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · cnn


x1
x2
...
xn

entonces
L(X) =

c11 c12 · · · c1n
c21 c22 · · · c2n
...
...
. . .
...
cn1 cn2 · · · cnn


x1
x2
...
xn

=

c11x1 + · · ·+ c1nxn
c21x1 + · · ·+ c2nxn
...
cm1x1 + · · ·+ cmnxn

= x1

c11
c21
...
cm1
+ · · ·+ xn

cn1
cn2
...
cnm

10
Donde
V1 =

c11
c21
...
cm1
 , · · · ,Vn =

cn1
cn2
...
cnm

Por lo cual
L(X) = x1V1 + + xnVn.
2.16 Suponga que C es una matriz de n por n con columnas ortonormales. Utilice el teorema 2.2 para
mostrar que por cada X en Rn,
||CX|| ≤
√
n||X||.
Sea C una matriz de nxn con columnas ortonormales, y X en Rn, a partir del teorema 2.2 tenemos que
||CX|| ≤ ||C||||X||
donde
||C|| =
√√√√ n∑
i=1
n∑
j=1
c2ij
al tener C columnas ortonormales tenemos que
c2ij =
{
0 si i 6= j
1 si i = j
Por lo que
||C|| =
√
n
Entonces
||C||||X|| =
√
n||X||
∴ ||CX|| ≤
√
n||X||
Utilice el teorema de Pitágoras y el resultado del problema 2.15 para demostrar que, de hecho, para ca-
da X en Rn,
||CX|| = ||X||
para tal matriz C Partimos de L(X) = x1V1 + + xnVn., el cual lo podemos reescribir como
L(X) = XjVj = CX
Por lo que la norma del producto, queda dado como
||CX|| =
√
CX ·CX =
√
XjVj ·XjVj =
√
X2j (Vj ·Vj) =
√
X2j
√
Vj ·Vj = ||X||||Vj ||
Tenemos que ||Vj || = 1 por definición de ortonormal.
Por lo tanto
||CX|| = ||X||
11
2.17 Para cada X 6= 0 en Rn sea F(X) = X||X|| y sea G(X) = −
X
||X||3 y denote su normas por f(X) = ||F(X)||
y g(X) = ||G(X)||. Describe los conjuntos de niveles
f(X) = 1, g(X) = 1, g(X) = 2, y g(X) = 4
en Rn. ¿Hay puntos en Rn donde f(X) = 2?
f(X) = 1
El conjunto de nivel es R3\0.
g(X) = 1
El conjunto de nivel es la esfera unitaria en R3, donde ||X|| = 1
g(X) = 2
El conjunto de nivel es la esfera de radio 1√
2
g(X) = 2
El conjunto de nivel es la esfera de radio 12
¿Hay puntos en Rn donde f(X) = 2? cuando f = 2 no hay puntos, ya que f = 1 esta definido en todo.
2.18 Considere una función F(t) = (1− t)A + tB, donde A y B están en R2.
a) Exprese F(t) como la suma de A y un múltiplo de B−A.
F(t) = (1− t)A + tB
= A− tA + tB
= A− t(A-B)
b) ¿Para qué valor de t es F(t) = A? ¿B? el punto medio 12 (A + B)?
F(t) = A
Entonces
(1− t)A + tB = A
A− t(A-B) = A
−t(A-B) = A−A
t(A-B) = 0
Por lo que t = 0 para que se cumpla F(t) = A
F(t) = B
Entonces
(1− t)A + tB = B
A− t(A-B) = B
t(A-B) = A−B
t =
A−B
A−B
= 1
Por lo que t = 1 para que se cumpla F(t) = B
12
F(t) = 12 (A+B)
Entonces
(1− t)A + tB = 1
2
(A+B)
A− t(A-B) = 1
2
(A+B)
t(A-B) = A− 1
2
(A+B)
t =
A− 12 (A+B)
A−B
=
1
2
Por lo que t = 12 para que se cumpla F(t) =
1
2 (A+B)
c) ¿Para qué intervalo de t son los puntos F(t) en el segmento de ĺınea de A a B?
Para F(t) = A, t = 0 y para F(t) = B, t = 1, a partir de esto tenemos que el intervalo para el segmento
de la linea de A a B es 0 ≤ t ≤ 1
2.19 Considere una función dada por F(t, θ) = (x(t, θ), y(t, θ)) de R2 a R2 tal que para cada θ fijo, como
t vaŕıa de 0 a 1, F(t, θ) corre a lo largo del radio del circulo unitario centrado en el origen de (0, 0) a
(cos θ, sin θ).
a) Escriba una regla para F(t, θ)
podemos usar un análogo a las coordenadas polares para definir a F , dado que nos encontramos dentro
de un circulo unitario y queremos definir todo punto dentro de dicho circulo.
F(t, θ) = (t cos θ, t sin θ)
b) ¿Cuál es la imagen del rectángulo 0 ≤ t ≤ 1, |θ| ≤ 1?
La imagen del rectángulo se asigna a un segmento del disco unitario.
2.20 La figura 2,14 muestra la esfera unitaria centrada en el origen
x2 + y2 + z2 = 1
en R3, con el plano x, y visto desde el borde. En este problema introducimos una correspondencia entre el
plano x, y y la esfera con el Polo Norte (0, 0, 1) eliminado, conocida como proyección estereográfica.
a) El segmento de ĺınea desde el Polo Norte hasta (x, y, 0) en el plano x, y puede ser parametrizado como
(1t)(0, 0, 1) + t(x, y, 0),
13
con 0 ≤ t ≤ 1. Encuentre t en términos de x y y, de modo que este punto esté en la esfera.
(1− t)(0, 0, 1) + t(x, y, 0)
(0, 0, 1− t) + (tx, ty, 0)
(tx, ty, 1− t)
b) Concluya que la función
S(x, y) =
1
1 + x2 + y2
(2x, 2y, x2 + y2 − 1)
mapea el avión en la esfera, perdiendo el Polo Norte.
El polo norte tiene coordenadas (0,0,1), entonces
S(x, y) =
1
1 + x2 + y2
(2x, 2y, x2 + y2 − 1
S(0, 0) =
(0, 0,−1)
1
= (0, 0,−1)
Entonces
(0, 0,−1) 6= (0, 0, 1)
c) ¿Qué puntos del plano x, y corresponden al hemisferio superior? ¿El más bajo?
Tenemos que 0 ≤ t ≤ 1, entonces (1− t)(1, 1, 0) + t(0, 0, 1), el mas bajo corresponde a (1, 1, 0)
d) ¿Qué puntos del plano x, y corresponden al ecuador? ¿el polo Sur?
Ecuador (t, t, 0)
Polo sur (0, 0,−1)
e) Demuestre que la función S−1 dada por
S−1(s1, s2, s3) =
1
1s3
(s1, s2),
definido para los puntos (s1, s2, s3) de la esfera distinta del Polo Norte, es la inversa función de S.
2.21 Demuestre que la función lineal
L(x, y, z) = (x, z,−y)
mapea la esfera unitaria centrada en el origen en śı misma. Si S es la proyección estereográfica definida en
el problema 2.20, concluya que la composición
S−1 ◦ L ◦ S
mapea el plano x, y a śı mismo. Vea la Figura 2.15. ¿Dónde está el semiplano derecho (x > 0)?
14
La función
||L(x, y, z)|| = x2 + z2 + y2 = 1
L mapea la esfera en śı misma. El semiplano derecho entra en el disco unitario. El disco unitario entra en el
semiplano izquierdo.
2.22 La fuerza de gravedad sobre una part́ıcula en el punto X en R3, debido a una masa en el origen, es
algún múltiplo negativo de
G(X) =
X
||X||3
.
Para los puntos X = A + U cerca de un punto A distinto de cero, comparamos dos aproximaciones de G
dado por
G1(X) = X||A||3 = G(A) + U||A||3 = G(A) + L1(U)
y
G2(X) = G(A) +
(
U
||A||3
− 3A ·UA
||A||5
)
= G(A) + L2(U).
a) Demuestre que L1 y L2 son funciones lineales de U.
b) Tome A = (1, 0, 0) y U =( 110 , 0, 0). Demuestre que los errores relativos en estas aproximaciones son
aproximadamente
||G(X)−G1(X)||
||G(X)||
≈ 0.33, ||G(X)−G2(X)||
||G(X)||
≈ 0.03
c) Tome A = (1, 0, 0) y U = ( 1100 , 0, 0). Demuestre que los errores relativos se refieren a
||G(X)−G1(X)||
||G(X)||
≈ 0.03, ||G(X)−G2(X)||
||G(X)||
≈ 0.0003
2.23 En este problema usamos cálculo de una sola variable para derivar el lineal aproximaciones para
X
||X||3
=
A + U
(||A||2 + 2A ·U + ||U||2) 32
dado en el problema 2.22.
a) Suponga que a y u son números positivos. Utilice el teorema de Taylor para demostrar que hay números
θ1 y θ2 entre cero y u con
(a2 + u)
−3
2 = a−3 − 3
2
(a2 + θ1)
−5
2 u, y
= a−3 − 3
2
(a2 + u)
−5
2 u+
15
8
(a2 + θ2)
−7
2 u2.
En general,
f(u) = f(0) + f ′(0)u+
f ′′(0)u
2!
...+
fn(0)un
n!
Para el primero, aproximaremos usando solo dos términos
f(u) = (a2 + u)−
3
2 = f(0) + f ′(0)u
= a−3 − 3
2(a2 + θ1)
5
2
15
Y para la segunda aproximación, usaremos tres términos
f(u) = (a2 + u)−
3
2 = f(0) + f ′(0)u+
f ′(0)
2!
u2
= a−3 − 3
2(a2 + θ1)
5
2
u+
15
8 (a2 + θ2)
7
2
u2
b) Concluya que
G(A + U) =
(
||A||−3 − 3
2
(||A||2 + θ1)
−5
2 (2A ·U + ||U||2)
)
(A + U), y
=
∣∣∣∣|A||−3 − 32(||A||2)−52 (2A ·U + ||U||2) + 158 (||A||2 + θ2)−72 (2A ·U + ||U||2)2
)
(A + U).
Definimos a = ||A|| y u = 2A ·U + ||U||2 y aplicamos el inciso a)
G(A+U) = a−3 − 3
2(a2 + θ1)
5
2
u
=
(
||A||−3 − 3
2
(||A||2 + θ1)
−5
2 (2A ·U + ||U||2)
)
(A + U)
De manera similar con el otro caso,
G(A+U) = a−3 − 3
2(a2 + θ1)
5
2
u+
15
8 (a2 + θ2)
7
2
u2
=
(
||A||−3 − 3
2
(||A||2)
−5
2 (2A ·U + ||U||2) + 15
8
(||A||2 + θ2)
−7
2 (2A ·U + ||U||2)2
)
(A + U).
c) Ordena esos términos en el formulario
G(A + U) = G(A) + L1(U) + (grande) = G(A) + L2(U) + (pequeño)
donde “grande” es de orden ||U|| y “pequeño”es de orden ||U||2.
De los incisos a) y b) y de la expresión de la función como serie de Taylor tenemos
L1(U) = ||A||−3U
Entonces, la expresión
”grande” = −3
2
(||A||2 + θ1)−
5
2 (2A+U) · U)(A+U)
con la norma ||U||. Por otro lado,
L2(U) =
U
||A||3
− 3A ·U
||A||5
A
De esta forma,
”pequeño” = −3
2
(||A||−5)||U||2 + 15
8
(||A||2 + θ2)
−7
2 (2A ·U + ||U||2)2(A + U)
con la norma ||U|| menor que algun multiplo de ||U||2
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