Electromagnetismo__Cap_tulo_4__Tarea_6_resnick

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74.- Tres partículas con cargas q1 = +10µC, q2 = −20µC y q3 =
+30µC están fijos en los vértices de un triangulo isósceles como
se muestra en la figura 24-62. Si consideramos a = 10cm y b =
6.0cm. ¿Cuanto trabajo tiene que realizar un agente externo para
intercambiar las posiciones de a) q1 y q3 y, en cambio, de b) q1 y
q2?
SOLUCIÓN: Definimos nuestros vectores de acuerdo con nuestro
sistema de referencia (véase la figura 24-62’).
~r1 =
b
2
x̂
~r2 = −
b
2
x̂
~r3 =
√
a2 −
b2
4
ŷ
Dado que las partículas están fijas, es decir, en reposo, podemos considerar que solo cuentan con energía
potencial eléctrica tanto al inicio como al final, esto es porque solo cambiamos de posición las partículas.
Luego, utilizamos la expresión para el trabajo realizado por un agente externo Wapp
Ui + Ki + Wapp = U f + K f
Wapp = U f − Ui
Figura 24-62’. Sistema de referencia inicial.
Donde Ui,Ki representan la energía potencial eléctrica y cinética inicial del sistema, respectivamente, y U f ,K f
la energía potencial y cinética final correspondiente del sistema. Donde Ui esta dado por
Ui =
q1 q2
4π�0 |~r1 − ~r2|
+
q1 q3
4π�0 |~r1 − ~r3|
+
q2 q3
4π�0 |~r2 − ~r3|
Ui =
1
4π�0
(
q1 q2
|~r1 − ~r2|
+
q1 q3
|~r1 − ~r3|
+
q2 q3
|~r2 − ~r3|
)
Ahora, calculamos |~r1 − ~r2|, |~r1 − ~r3| y |~r2 − ~r3| usando que |~r − ~r′| =
√
(~r − ~r′) · (~r − ~r′)
|~r1 − ~r2| =
√(
b
2
x̂ +
b
2
x̂
)
·
(
b
2
x̂ +
b
2
x̂
)
=
√
b2(x̂ · x̂)
= b
|~r1 − ~r3| =
√√b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 · b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 =
√
b2
4
(x̂ · x̂) +
(
a2 −
b2
4
)
(ŷ · ŷ)
= a
|~r2 − ~r3| =
√√−b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 · −b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 =
√
b2
4
(x̂ · x̂) +
(
a2 −
b2
4
)
(ŷ · ŷ)
= a
donde a, b > 0. Con estos datos ya podemos calcular la energía potencial eléctrica inicial del sistema
Ui =
1
4π�0
(
q1 q2
|~r1 − ~r2|
+
q1 q3
|~r1 − ~r3|
+
q2 q3
|~r2 − ~r3|
)
=
8.99 × 109 N ·m2
C2
[
−
(10 × 10−6C)(20 × 10−6C)
0.06m
+
(10 × 10−6C)(30 × 10−6C)
0.10m
−
(20 × 10−6C)(30 × 10−6C)
0.10m
]
Ui = −57J
Figura 24-62a. Sistema con las partículas con cargas q1 y q3 intercambiadas de posición.
a) Ahora, calcularemos la energía potencial eléctrica final considerando que las partículas con cargas q1 y q3
han cambiado de posición (figura 24-62a), de forma que
U f 1 =
1
4π�0
(
q3 q2
|~r3′ − ~r2|
+
q3 q1
|~r3′ − ~r1′ |
+
q2 q1
|~r2 − ~r1′ |
)
Donde ahora,
|~r3′ − ~r2| =
√(
b
2
x̂ +
b
2
x̂
)
·
(
b
2
x̂ +
b
2
x̂
)
=
√
b2(x̂ · x̂)
= b
|~r3′ − ~r1′ | =
√√b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 · b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 =
√
b2
4
(x̂ · x̂) +
(
a2 −
b2
4
)
(ŷ · ŷ)
= a
|~r2 − ~r1′ | =
√√−b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 · −b2 x̂ −
√
a2 −
b2
4
ŷ
 =
√
b2
4
(x̂ · x̂) +
(
a2 −
b2
4
)
(ŷ · ŷ)
= a
De modo que U f 1 es igual a
=
8.99 × 109 N ·m2
C2
[
−
(30 × 10−6C)(20 × 10−6C)
0.06m
+
(30 × 10−6C)(10 × 10−6C)
0.10m
−
(20 × 10−6C)(10 × 10−6C)
0.10m
]
U f 1 = −81J
Entonces
Wapp1 = U f 1 − Ui = −81J − (−57J) = −24J
Por lo tanto, el trabajo que debe realizar un agente externo para intercambiar las posiciones de las partículas
con carga q1 y q3 es de −24J.
Figura 24-62b. sistema con las partículas con cargas q1 y q2 intercambiadas de posición.
b) De forma análoga realizamos el inciso b, como ya conocemos la energía potencial eléctrica inicial sólo es
necesario calcular la energía potencial eléctrica final donde intercambiemos q1 y q2 (figura 24-62b).
U f 2 =
1
4π�0
(
q2 q1
|~r2∗ − ~r1∗ |
+
q2 q3
|~r2∗ − ~r3|
+
q1 q3
|~r1∗ − ~r3|
)
Donde |~r2∗ − ~r1∗ | = b, |~r2∗ − ~r3| = a y |~r1∗ − ~r3| = a. Entonces U f 2 es
=
8.99 × 109 N ·m2
C2
[
−
(20 × 10−6C)(10 × 10−6C)
0.06m
−
(20 × 10−6C)(30 × 10−6C)
0.10m
+
(10 × 10−6C)(30 × 10−6C)
0.10m
]
U f 2 = −57J
Entonces, el trabajo que debe realizar un agente externo para intercambiar las posiciones de las partículas con
carga q1 y q2 es
Wapp2 = U f 2 − Ui = −57J − (−57J) = 0
Lo cual significa que realizar este intercambio no representa ningún aumento o disminución de energía para el
sistema. Es simétrico al sistema original.
103. En la figura 24-72, dos partículas de cargas q1 y q2 están alineadas sobre el eje x. Si una tercera partícula
de carga +6.9 µC se trae de una distancia infinita hacia el punto P y el sistema de 3 partículas tiene la misma
energía potencial eléctrica que el sistema de 2 partículas. ¿Cuál es la carga de la razón q1q2 ?
SOLUCIÓN: Podemos comenzar viendo que el sistema de las 3 partículas tiene la misma energía potencial
eléctrica que el sistema de 2 partículas denotando U2 a la energia potencial de 2 particulas y U3 a la energia
potencial de 3 particulas.
U2 = U3
1
4πε0
q1q2
d
=
1
4πε0
(q1q2
d
+
q1q3
2.5d
+
q2q3
1.5d
)
−
1
4πε0
q1q3
2.5d
=
1
4πε0
q2q3
1.5d
−
q1
2.5
=
q2
1.5
q1
q2
= −
2.5
1.5
= −1.7