tarea_12_fe_polinomios_de_laguerre

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1. Pruebe que ∫ x
0
(x− t)mLn(t)dt =
m!n!
(m+ n+ 1)!
xm+1Lm+1n (x) (1)
Solución:
Consideremos la expresión en suma del polinomio de Laguerre
Ln(t) =
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
tk
entonces, si sustituimos esto en el lado izquierdo de la ecuación (1)∫ x
0
(x−t)mLn(t)dt =
∫ x
0
(x−t)m
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
tk =
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
∫ x
0
(x−t)mtkdt
∫ x
0
(x− t)mLn(t)dt =
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
∫ x
0
(x− t)mtkdt (2)
notemos que k va de 0, 1, 2, ..., n, por lo que podemos ver su comportamiento para
distintos valores de k. Consideremos el cambio de variable ω = x − t, dω = −dt
con los limites ω(0) = x− 0 = x y ω(x) = x− x = 0 entonces∫ x
0
(x− t)mdt = −
∫ 0
x
ωmdω
k = 0,
∫ x
0
(x− t)mt0dt =
∫ x
0
(x− t)mdt = −
∫ 0
x
ωmdω = −
[
ωm+1
m+ 1
]0
x
= −
[
0− x
m+1
m+ 1
]
=
xm+1
m+ 1
k = 1,
∫ x
0
(x− t)mtdt = −
∫ 0
x
ωm(x− ω)dω =
∫ 0
x
[ωm+1 − xωm]dω
=
[
ωm+2
m+ 2
− xω
m+1
m+ 1
]0
x
= 0−
(
xm+2
m+ 2
− x
m+2
m+ 1
)
= xm+2
[
1
m+ 1
− 1
m+ 2
]
=
xm+2
(m+ 1)(m+ 2)
k = 2,
∫ x
0
(x− t)mt2dt = −
∫ 0
x
ωm(x− ω)2dω = −
∫ 0
x
[ωm(x2 − 2xω + ω2)]dω
=
∫ 0
x
[−x2ωm + 2xωm+1 − ωm+2]dω
=
[
−x2 ω
m+1
m+ 1
+ 2x
ωm+2
m+ 2
− ω
m+3
m+ 3
]0
x
= 0−
(
− x
m+3
m+ 1
+ 2
xm+3
m+ 2
− x
m+3
m+ 3
)
= −xm+3
(
2
m+ 2
− 1
m+ 1
− 1
m+ 3
)
= −xm+3
(
2m+ 2−m− 2
(m+ 1)(m+ 2)
− 1
m+ 3
)
= −xm+3 m
2 + 3m− (m+ 1)(m+ 2)
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
= −xm+3 m
2 + 3m−m2 − 2m−m− 2
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
=
2xm+3
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)
De aquí ya podemos intuir que existe un patron, vemos que en el denominador
tiene la forma de un factorial y que el numerador puede tener la forma de kxm+k+1
o k!xm+k+1, para saber cual de las dos es vamos a calcular la integral para k = 3
dado que 3! ̸= 3, entonces
k = 3,
∫ x
0
(x− t)mt3dt = −
∫ 0
x
ωm(x− ω)3dω = −
∫ 0
x
[ωm(x3 − 3x2ω + 3xω2 − ω3)]dω
= −
∫ 0
x
[x3ωm − 3x2ωm+1 + 3xωm+2 − ωm+3]dω
= −
[
x3
ωm+1
m+ 1
− 3x2 ω
m+2
m+ 2
+ 3x
ωm+3
m+ 3
− ω
m+4
m+ 4
]0
x
= 0 +
(
xm+4
m+ 1
− 3 x
m+4
m+ 2
+ 3
xm+4
m+ 3
− x
m+4
m+ 4
)
= xm+4
(
1
m+ 1
− 3
m+ 2
+
3
m+ 3
− 1
m+ 4
)
= xm+4
(
m+ 2− 3m− 3
(m+ 1)(m+ 2)
+
2m+ 9
(m+ 3)(m+ 4)
)
= xm+4
(2m+ 9)(m+ 1)(m+ 2)− (2m+ 1)(m+ 3)(m+ 4)
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)(m+ 4)
= xm+4
2m3 + 15m2 + 31m+ 18− (2m3 + 15m2 + 31m+ 12)
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)(m+ 4)
= xm+4
6
(m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)(m+ 4)
=
3!xm+4
(m+ 4)!
entonces, el patrón que sigue esta integral tiene la forma de∫ x
0
(x− t)mtkdt = k!x
m+k+1
(m+ k + 1)(m+ k)(m+ k − 1)...(m+ 1)
donde solo tenemos el factorial para los valores superiores a m, el cual podemos
expresar de la siguiente forma
1
(m+ k + 1)(m+ k)...(m+ 1)
=
m!
(m+ k + 1)(m+ k)(m+ k − 1)...(m+ 1)m!
=
m!
(m+ k + 1)!
entonces ∫ x
0
(x− t)mtkdt = m!k!x
m+k+1
(m+ k + 1)!
sustituyendo esto en la ecuación (2) tenemos∫ x
0
(x− t)mLn(t)dt =
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
∫ x
0
(x− t)mtkdt
=
n∑
k=0
(−1)kn!
(n− k)!k!k!
m!k!xm+k+1
(m+ k + 1)!
=
n!m!
(m+ n+ 1)!
xm+1
n∑
k=0
(−1)k(m+ n+ 1)!
(n− k)!(m+ k + 1)!k!
xk
=
n!m!
(m+ n+ 1)!
xm+1Lm+1n
donde el polinomio asociado de Laguerre es
Lkn =
n∑
r=0
(−1)r(n+ k)!
(n− r)!(k + r)!r!
xr
Por lo tanto, ∫ x
0
(x− t)mLn(t)dt =
n!m!
(m+ n+ 1)!
xm+1Lm+1n .
2. Pruebe que
dm
dxm
[e−xxkLkn(x)] =
(m+ n)!
n!
e−xxk−mLk−mm+n(x) (3)
El polinomio asociado de Laguerre puede ser escrito como
Lkn(x) =
x−kex
n!
dn
dxn
[xn+ke−x] (4)
Solución:
Sustituimos el polinomio asociado de Laguerre en el lado izquierdo de la ecuación
(3),
dm
dxm
[e−xxkLkn(x)] =
dm
dxm
[
e−xxk
x−kex
n!
dn
dxn
[xn+ke−x]
]
entonces
dm
dxm
[e−xxkLkn(x)] =
dm
dxm
[
e−xxk
x−kex
n!
dn
dxn
[xn+ke−x]
]
=
1
n!
dm
dxm
[
dn
dxn
[xn+ke−x]
]
=
1
n!
dm+n
dxm+n
[
xn+ke−x
]
y aplicando el teorema de Leibniz para la enésima derivada de un producto
dn
dxn
[uv] =
n∑
r=0
n!
(n− r)!r!
dn−r
dxn−r
[u]
dr
dxr
[v]
nos queda
1
n!
dm+n
dxm+n
[
xn+ke−x
]
=
1
n!
m+n∑
r=0
(m+ n)!
(m+ n− r)!r!
dm+n−r
dxm+n−r
[xn+k]
dr
dxr
[e−x]
=
(m+ n)!
n!
m+n∑
r=0
1
(m+ n− r)!r!
[
(n+ k)!
(k −m+ r)!
xk−m+r
]
[(−1)re−x]
=
(m+ n)!
n!
e−xxk−m
m+n∑
r=0
(−1)r(n+ k)!
(m+ n− r)!(k −m+ r)!r!
xr
=
(m+ n)!
n!
e−xxk−mLk−mm+n(x)
esto lo podemos ver fácilmente dado que la expresión en suma del polinomio
asociado de Laguerre es
Lkn(x) =
n∑
r=0
(−1)r(n+ k)!
(n− r)!(k + r)!r!
xr
entonces para la expresión de Lk−mm+n(x) hacemos el cambio de n −→ m + n, asi
como k −→ k −m
Lk−mm+n(x) =
m+n∑
r=0
(−1)r(n+ k)!
(m+ n− r)!(k −m+ r)!r!
xr
Por lo tanto, se cumple
dm
dxm
[e−xxkLkn(x)] =
(m+ n)!
n!
e−xxk−mLk−mm+n(x).