51a--FRACCIONES-PARCIALES

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Fracciones parciales 
 
Una función racional   xQ
xP puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del 
divisor  xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor puede presentar términos 
que permitan factorizarlo atendiendo a : 
 
a) Factores lineales distintos. 
b) Factores lineales repetidos o iguales. 
c) Factores cuadráticos distintos. 
d) Factores cuadráticos repetidos. 
 
Cada caso de los indicados permite formar una fracción racional equivalente a la 
dada del modo siguiente: 
 
a) Factores lineales distintos. 
 
 
 xQ
xP =       nn bxabxabxabxa
xP
 ...332211
 
 
O sea que:  xQ =      nn bxabxabxabxa  .... 332211 
 
Vamos a formar varias fracciones, una para cada factor distinto de  xQ . El numerador 
de la fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N 
 
   xQ
xP
nn bxa
N
bxa
C
bxa
B
bxa
A







 ...
332211
 I 
 
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo 
 xQ =      nn bxabxabxabxa  .... 332211 formamos una expresión sin 
denominadores: 
            nnnn bxabxabxaBbxabxabxaAxP ...... 33113322 
     nn bxabxabxaC ...2211 …+         11332211 ....   nn bxabxabxabxaN 
 
En éste caso, determinamos A, B, C,…, N mediante igualdad de polinomios, 
previa multiplicación de los binomios indicados. Podemos utilizar la parte derecha 
de la función racional I : 
nn bxa
N
bxa
C
bxa
B
bxa
A







...
332211
 como 
equivalente de la dada   xQ
xP . 
 
 
 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011 
 
 2 
b) Factores lineales repetidos. 
 
 
 xQ
xP =       baxbaxbaxbax
xP
 ...
 
 
Es decir:  xQ       baxbaxbaxbax ...  nbax  
 
 Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la 
fracción tendrá una constante a determinar: A,B,C,…,N 
 
 
 xQ
xP
nbax
N
bax
C
bax
B
bax
A
)(
...
)()( 32 






 I 
 
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo  xQ  nbax  
formamos una expresión sin denominadores: 
 
           NbaxCbaxBbaxAxP nnn   ...321 
 
En la expresión anterior, determinamos A,B, C,…, N mediante igualdad de 
polinomios, previo desarrollo de los binomios. Ahora podemos utilizar la parte 
derecha de la función racional I como equivalente de la dada   xQ
xP . 
 
c) Factores cuadráticos distintos. 
 
 
 xQ
xP =       nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa
xP
 233
2
322
2
211
2
1 ...
 
 
Ahora:  xQ      nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa  2332322221121 ... 
 
Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la 
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M 
 
 
 
 xQ
xP =  

11
2
1 cxbxa
BAx
 

22
2
2 cxbxa
DCx
  
 ...
33
2
3 cxbxa
FEx
 nnn cxbxa
MNx


2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011 
 3 
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo 
  xQ =      nnn cxbxacxbxacxbxacxbxa  2332322221121 ... formamos 
una expresión sin denominadores: 
        nnn cxbxacxbxacxbxaBAxxP 233232222 ... 
      nnn cxbxacxbxacxbxaDCx 233231121 ...
      nnn cxbxacxbxacxbxaFEx 222221121 ... …+ 
      1)1(2)1(22221121 ...   nnn cxbxacxbxacxbxaMNx 
 
Encontramos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previa 
multiplicación de los factores planteados en P(x) . Ahora podemos utilizar la parte 
derecha de la función racional I como equivalente de la dada   xQ
xP . 
d) Factores cuadráticos repetidos. 
 
   xQ
xP =        cbxaxcbxaxcbxaxcbxax
xP
2222 ...
 
 
Siendo:  xQ        ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax  22222 ... 
 
Formamos varias fracciones, una para cada factor de  xQ . El numerador de la 
fracción tendrá dos constantes a determinar: A,B,C,…,N, M 
 
 
 xQ
xP =  

cbxax
BAx
2  



22 cbxax
DCx
 


 ...32 cbxax
FEx
 ncbxax
MNx


2
 I 
 
Multiplicando la expresión anterior por el mínimo común múltiplo 
 xQ        ncbxaxcbxaxcbxaxcbxaxcbxax  22222 ... 
formamos una expresión sin denominadores: 
 
P(x) = (Ax+B)    12 ncbxax (Cx+D)     22 ncbxax (Ex+F)    32 ncbxax 
 
+…+ (Nx+M) 
 
Hallamos A,B, C,…, N,M mediante igualdad de polinomios, previo desarrollo de los 
factores indicados. 
 
Utilizamos la parte derecha de la función racional I como equivalente de la expresión 
dada   xQ
xP . 
 
 
 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011 
 
 
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Ejemplos de Fracciones Parciales 
 
Primer Caso. Factores de primer grado distintos. 
 
Sea la función racional   xQ
xP =   31
35


xx
x 
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente, dependiendo del divisor 
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales 
distintos  1x y  3x . 
A partir de la fracción dada   31
35


xx
x podemos construir dos fracciones cuya suma 
sea equivalente a la fracción conocida: 
31 

 x
B
x
A 
Es decir:    3131
35






x
B
x
A
xx
x Multiplicando ésta ecuación por el mínimo 
 
común múltiplo  1x  3x , tenemos:    1335  xBxAx 
 
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: BBxAAxx  335 
 
Asociando en la derecha los términos semejantes:    BAxBAx  335 
 
Igualando los términos semejantes: 
En x:  xBAx 5 ( I ) 
Términos independientes: -3 = -3 A + B ( II ) 
De I Dividiendo entre x la expresión: 5 = A + B ( I ) 
 -3 = -3 A + B ( II ) 
 
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I y II mediante reducción: 
Multiplicando la ecuación I por 3: 15 = 3A+ 3B 
 -3 = -3A+ B 
Sumando las dos ecuaciones anteriores 12 = 4B  B = 3
4
12
  B = 3 
Sustituyendo B en la ecuación I: 5 = A + 3  A= 5-3= 2 A = 2 
 
Con los valores de A, B encontrados tenemos:    3
3
1
2
31
35






xxxx
x 
 
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial 
conocida. 
 
 
 
 
 
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Segundo Caso. Factores de primer grado repetidos. 
 
Sea la función racional     22
76



x
x
xQ
xP 
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor 
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores lineales 
iguales   22  xx . 
A partir de la fracción dada 
 22
76


x
x podemos construir dos fracciones cuya suma sea 
equivalente a la fracción conocida : 
 222 

 x
B
x
A 
Es decir:   22 222
76






x
B
x
A
x
x Multiplicando ésta ecuación por el mínimo 
 
común múltiplo  22x , tenemos: 
   BxAx  276 
 
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: 
 )2(76 BAAxx  
Igualando términos semejantes: 
 
En x : 6 x = A x Dividiendo entre x, tenemos que : A = 6 
Términos independientes: BA  27  7= 2(6) +B 
 
Despejando B: B = 7-12 = -5 5B 
 
Sustituyendo los valores de A y B en la fracción inicial: 
 
   22 2
5
2
6
2
76






xxx
x 
 La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial 
 conocida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fracciones Parciales. RCDPO & TAMD Enero del 2011 
 
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Tercer Caso. Factores de segundo grado distintos. 
Sea la función racional   xQ
xP
  21
12
22
23


xx
xxx 
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor 
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo 
grado diferentes   21 22  xx . 
 
A partir de la fracción dada   21
12
22
23


xx
xxx podemos construir dos fracciones cuya 
suma sea equivalente a la fracción conocida : 
21 22 




x
DCx
x
BAx 
Es decir:    2121
12
2222
23








x
DCx
x
BAx
xx
xxx Multiplicando ésta ecuación por el mínimo 
 
común múltiplo   21 22  xx , 
 
Tenemos:      1212 2223  xDCxxBAxxxx 
 
Multiplicando a la derecha de la igualdad nos queda: 
DDxCxCxBBxAxAxxxx  232323 2212 
 
Factorizando a la derecha de la igualdad: 
)2()2()()(12 2323 DBxCAxDBxCAxxx  
 
Igualando términos semejantes: 
En 3x : 33 )( xCAx  Dividiendo entre 3x , tenemos que : 1 = A + C (I) 
En 2x : 22 )( xDBx  Dividiendo entre 2x , tenemos que : 1 = B + D (II) 
 En x : xCAx )2(2  Dividiendo entre x , tenemos que : 2 = 2A + C (III) 
Términos independientes: )2(1 DB  o sea que: 1= 2B + D (IV) 
 
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones I , II , III, IV : 
De I: 1 = A + C multiplicando por -1  -1 = -A - C 
Sumando con III: 2 = 2A + C 
 1= A  A = 1 
 
Sustituyendo A en I tenemos que 1 = 1 + C por tanto C = 0 
 
Seleccionando ahora las ecuaciones II y IV 
1 = B + D multiplicando por -1  -1 = -B - D 
Sumando con IV: 1= 2B + D 
 0 = B por tanto B = 0 
 
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En la Ecuación II encontramos a D: 1 = B+ D  1 = 0 + D  D = 1 
 
Sustituyendo los valores de A, B, C, D en la fracción inicial: 
 
    2
1)0(
1
0)1(
21
12
2222
23








x
x
x
x
xx
xxx 
 
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda: 
 
    2
1
121
12
2222
23






xx
x
xx
xxx 
 
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial 
conocida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Cuarto Caso. Factores de segundo grado repetidos. 
Sea la función racional   xQ
xP
 22
2
9
9


x
xx 
Esta función racional puede ser llevada a otra equivalente dependiendo del divisor 
 xQ 0 de la misma, de tal modo que el divisor presenta dos factores de segundo 
grado repetidos   99 22  xx . 
A partir de la fracción dada 
 22
2
9
9


x
xx podemos construir dos fracciones cuya suma 
sea equivalente a la fracción conocida : 
 222 99 




x
DCx
x
BAx 
Es decir: 
   22222
2
999
9








x
DCx
x
BAx
x
xx 
Multiplicando la ecuación anterior por el mínimo común múltiplo  22 9x 
tenemos: 
   DCxxBAxxx  99 22 
DCxBBxAxAxxx  999 232 
Completando el polinomio de tercer grado en la derecha y factorizando los términos 
semejantes a la izquierda: 
)9()9(90 2323 DBxCABxAxxxx  
Igualando términos semejantes. 
En 3x : 330 Axx   A = 0 
En 2x : 22 Bxx   B = 1 
En x : xCAx )9(   -1= 9 A + C  -1 = 9(0) + C  C = -1 
Términos independientes: 9 = 9B + D  9 = 9(1) + D  D = 0 
 
En la expresión: 
 22
2
9
9


x
xx = 
 222 99 




x
DCx
x
BAx 
Sustituyendo A, B, C y D tenemos: 
 
 22
2
9
9


x
xx = 
 222 9
0)1(
9
1)0(





x
x
x
x 
Efectuando la operación en la expresión de la derecha nos queda: 
 
 22
2
9
9


x
xx = 
 222 99
1



 x
x
x
 
 
La suma de las dos fracciones de la derecha son equivalentes a la fracción inicial 
conocida. 
 
 
 
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