MATERIAL DE ESTUDIO (baricentro-M inercia)

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INTRODUCCIÓN A 
LAS ESTRUCTURAS 
ARQUITECTURA 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTO DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
permitirá determinar la distribución 
de tensiones en una pieza 
estructural 
El estudio de las entidades matemáticas 
de las formas es IMPORTANTE en el 
cálculo estructural porque: 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
Tensión (x) = 
 Propiedad geométrica de la sección 
Solicitación (x) 
Una tensión (x) cualquiera de una pieza 
estructural puede calcularse como: 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
Algunas propiedades geométricas y las 
solicitaciones asociadas a ellas son: 
Propiedad geométrica de la sección Solicitación asociada 
Área Esfuerzo normal y esfuerzo de corte 
Baricentro o centro de gravedad En todas las solicitaciones 
Momento estático de primer orden Corte y flexión 
Momento de inercia Corte y flexión 
Producto de inercia Flexo - tracción 
Momento de inercia polar Torsión 
Radio de Giro o Radio de inercia Pandeo y torsión 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTOS DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
AREA. Definición 
 El área de una sección transversal cualquiera (o 
de una figura plana) es la superficie limitada por 
ese contorno. 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
AREA. Determinación 
A 
A1 
A2 A3 
 El área de una sección transversal puede obtenerse como la 
suma de formas geométricas de área conocida (triángulos, 
rectángulos, parte de circunferencias) 
A = A1 + A2 + A3 
= 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
AREA. Determinación 
A = 

n
1i
Ai
Si se divide en “n” formas geométricas a la sección el 
área total será: 
 A = A1 + A2 + … + An 
A 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTOS DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
• Dada una 
sección 
transversal o 
figura plana 
cualquiera y 
un eje en una 
posición 
cualquiera 
del plano 
x
Figura 
plana 
Eje 
x
Figura 
plana 
Eje 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
• La dividimos 
en secciones 
rectangulares, 
• Analizamos 
en particular a 
la sección Ai 
x
AiAiAi
x
AiAiAi
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
yi
x
Ai
• Determinamos la 
distancia entre su 
centro y el eje, 
distancia yi (medida 
perpendicularmente 
al eje) 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
yi
x
Ai
• El momento 
estático de 
primer orden del 
área Ai con 
respecto al eje x 
será: 
Sx = Ai.yi 
yi
x
Ai
• El momento 
estático de 
primer orden de 
TODA la 
sección con 
respecto al eje x 
será: 
Sx = 

n
1i
Ai.yi
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
• Empleando el 
cálculo 
diferencial e 
integral 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
Sx = 
A
dA.y
x
dA 
y 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
• Ejemplo: Determinación del momento estático 
de primer orden con respecto al eje x de la 
siguiente sección: 
x 
8 cm 
4 cm 
4 cm 
4 cm 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
1) Dividimos a la sección en secciones simples y determinamos el 
área y la distancia de cada sección al eje x. 
A1= 4 cm . 8 cm = 32 cm2 
A2= 4 cm . 4 cm = 16 cm2 
y1 = 4 cm y2 = 2 cm 
2) Determinamos el momento 
estático planteando: 
Sx = 

n
1i
Ai.yi
Sx = A1. y1 + A2 . y2 
Sx = 32 cm2. 4 cm + 16 cm2. 2 cm Sx = 160 cm
3 
x 
8
 c
m
 
4
 c
m
 
4 cm 
y
1
 
A1 
A2. 
y
2
 
4 cm 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTOS DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
G 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Definición 
• Se define como centro de gravedad o baricentro 
de una sección transversal al punto por el cual 
pasan todos los infinitos ejes respecto de los 
cuales el momento estático es nulo. 
 
S1 = 0 
1 2 
3 
4 
5 
i 
S2 = 0 
S3 = 0 
S4 = 0 
S5 = 0 
Si = 0 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas 
Habíamos visto que el momento 
estático de una sección era: Sx = A . yG 
 yG= 
A
Sx
G 
x 
yG 
A 
 
DETERMINACIÓN DE LAS COORDENADAS DEL 
BARICENTRO 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas 
Como: Sx = 

n
1i
Ai.yi A = 

n
1i
Aiy 
reemplazando: 
 yG= 
A
Sx = 


n
1i
Ai.yi


n
1i
Ai
 yG= 


n
1i
Ai.yi


n
1i
Ai
Distancia entre el eje x 
y el baricentro de la 
sección 


n
1i
Ai.yi


n
1i
Ai
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas 
• Análogamente, se podría plantear momento 
estático con respecto al eje “y”, y se obtendría: 
 xG= 


n
1i
Ai


n
1i
Ai.xi
 
G 
x 
xG 
A 
y 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas 
RESUMIENDO LAS COORDENADAS DEL BARICENTRO 
SERÁN: 
 xG= 


n
1i
Ai


n
1i
Ai.xi
G 
x 
xG 
A 
y 
yG yG= 


n
1i
Ai.yi


n
1i
Ai
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Determinación de sus Coordenadas 
1) Subdividir la sección en formas geométricas simples, cuyos baricentros sean 
conocidos; 
2) Ubicar ejes convencionales “x” e “y”, 
3) Determinar los momentos estáticos de primer orden con respecto a los ejes 
“x” e “y”. 
4) Determinamos las coordenadas del baricentro xG e yG 
Conclusión: Dada una figura plana cuyo baricentro se desea determinar, debemos: 
yG 
G xG 
x 
y 
A 
G1 
G2 G3 x 
y 
A2 
A1 
A3 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO 
Ejemplo: 
 A1.yG1 + A2.yG2 + A3.yG3 
 A1 + A2 + A3 
El valor de la distancia baricéntrica yG para la figura será: 
 yG = = 


n
1i
Ai.yi


n
1i
Ai
G1 
G2 
G3 
x 
y 
yG1 
yG2 yG3 
A1 
A2 A3 
yG 
G 
xG 
x 
y 
A 
xG 
yG 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO 
Análogamente, el valor de la distancia baricéntrica xG será: 
 A1.xG1 + A2.xG2 + A3.xG3 
 A1 + A2 + A3 
 xG= = 


n
1i
Ai


n
1i
Ai.xi
G1 
G2 
G3 x 
y 
xG1 
xG2 
xG3 
A1 
A2 
A3 
x 
y 
A 
yG 
G 
xG xG 
yG 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO 
Observación 1: un eje de simetría en una sección 
transversal es un eje respecto del cual el momento estático 
es nulo. Por lo tanto el baricentro o centro de gravedad 
siempre está sobre el eje de simetría de una sección. 
1 eje de simetría 3 ejes de simetría 2 ejes de simetría 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO 
Observación 2: el momento estático de una sección con 
orificios puede considerarse como la suma del momento 
estático de la sección sin descontar los orificios menos 
el momento estático de las formas geométricas que 
representen a los orificios. 
- 
A1 
x 
G1 
yG1 
A2 
x 
G2 
yG2 
= 
x 
A 
G 
y 
xG 
yG 
ENTIDADESMATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 
A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2
A2 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2
2) S e calculan las áreas y los momentos estáticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
1) S ubdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área y centro de gravedad conocidos .
E jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura .
20 cm 20 cm
40 cm
60 cm
20 cm 20 cm
B AR IC E NTR OS
TR AB AJ O P R AC TIC O Nº1
40 cm 40 cm
A1
A2
y
x
BARICENTRO: TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 
Distancias con respecto al eje x: y1 = 40 cm y2 = 10 cm
Distancias con respecto al eje y: x1 = 10 cm x2 = 20 cm
2b) Determinación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios
2c) Determinación de los momentos estáticos con respecto a los ejes arbitrarios
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
= 25,00 cm
800 cm2 + 800 cm2
yG =
40000 cm3
= 15,00 cm
800 cm2 + 800 cm2
xG =
24000 cm3
C oordenada en y
C omo: Mx = SAi . yG yG = Mx
SAiC oordenada en x
C omo: My = SAi . xG xG = My
SAi
 Momento estático con respecto al eje x
S x = A1 . y1 + A2 . y2
S x = 800 cm2 . 40 cm + 800 cm2 . 10 cm = 40000 cm3
 Momento estático con respecto al eje y
S y = A1 . x1 + A2 . x2
S y = 800 cm2 . 10 cm + 800 cm2 . 20 cm = 24000 cm3
 Momento estático con respecto al eje x
S x = A1 . y1 + A2 . y2
S x = 800 cm2 . 40 cm + 800 cm2 . 10 cm = 40000 cm3
 Momento estático con respecto al eje y
S y = A1 . x1 + A2 . x2
S y = 800 cm2 . 10 cm + 800 cm2 . 20 cm = 24000 cm3
A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2 A2 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
20 cm
40 cm
20 cm
40 cm
A1
A2
y
x
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 1 
E l baricentro se ubica a una dis tancia con respecto a los ejes adoptados de:
xG = 15 cm ; yG = 25 cm 
20 cm
60 cm
20 cm
40 cm
y
x
G 
25 cm 
15 cm xG 
yG 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 
A1 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2
A2 = 20 cm . 40 cm = 800,00 cm2
2) S e calculan las áreas y los momentos estáticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
1) S ubdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área y centro de gravedad conocidos .
E jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura .
0,44 cm 0,44 cm
8 cm 8 cm
B AR IC E NTR OS
TR AB AJ O P R AC TIC O Nº2
6 cm
0,44 cm 0,44 cm
 5,56 cm
A1
A2
y
x
BARICENTRO: TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 
2c) Determinación de los momentos estáticos con respecto a los ejes arbitrarios
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
C oordenada en y
C omo: Mx = SAi . yG yG = Mx
SAi
C oordenada en x
C omo: My = SAi . xG xG = My
SAi
A1 = 0,44 cm . 8,00 cm = 3,52 cm2 A2 = 0,44 cm . 5,56 cm = 2,45 cm2
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
0,44 cm
8 cm
0,44 cm
 5,56 cm
A1
A2
y
x
Distancias con respecto al eje x: y1 = 4,00 cm y2 = 0,22 cm
Distancias con respecto al eje y: x1 = 0,22 cm x2 = 3,22 cm
2b) Determinación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A 1 y A2 y los ejes arbitrarios
 Momento estático con respecto al eje x
Mx = A1 . y1 + A2 . y2
Mx = 3,52 cm2 . 4,00 cm + 2,45 cm2 . 0,22 cm = 14,62 cm3
 Momento estático con respecto al eje y
My = A1 . x1 + A2 . x2
My = 3,52 cm2 . 0,22 cm + 2,45 cm2 . 3,22 cm = 8,66 cm3
3,52 cm2 + 2,45 cm2
14,62 cm2
yG = = 2,45 cm
3,52 cm3 + 2,45 cm2
8,66 cm3
xG = = 1,45 cm
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 2 
E l baricentro se ubica a una dis tancia con respecto a los ejes adoptados de:
xG = 1,45 cm ; yG = 2,45 cm 
0,44 cm
8 cm
0,44 cm
 5,56 cm
y
x
G 
2,45 cm 
1,45 cm 
xG 
yG 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3 
BARICENTRO: TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 
IMPORTANTE: Como la sección tiene un eje de simetría solo se determinará yG. 
E jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura.
5 cm 5 cm
 y2
8 cm
3 cm
8 cm
3 cm
4,00 cm
 y1
4 cm
A1
x
A2
y
C omo la sección tiene un eje de s imetría solo se determinará yG
1) S ubdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área y centro de gravedad conocidos .
A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2 A2 = 5,00 cm . 4,00 cm = 20,00 cm2
2) S e calculan las áreas y los momentos estáticos de las áreas
2a) C álculo de las áreas A1 y A2
Distancias con respecto al eje x: y1 = 6,50 cm y2 = 2,50 cm
2b) Determinación de la dis tancia entre los baricentros de las áreas A1 y A2 y el eje x arbitrario.
2) S e calculan las áreas y los momentos estáticos de las áreas
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
BARICENTRO. Trabajo Práctico Nº 3 
3) Determinación de las coordenadas del baricentro
C omo: Mx = SAi . yG yG = Mx/SAi
2c) Determinación del momento estático con respecto al eje x arbitrario
Mx = A1 . y1 + A2 . y2
Mx = 24,00 cm2 . 6,50 cm + 20,00 cm2 . 2,50 cm = 206,00 cm3
24,00 cm2 + 20,00 cm2
= 4,68 cmyG =
206,00 cm2
xG = 0,00 cm ; yG = 4,68 cm 
E jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura.
5 cm
 y2
8 cm
3 cm
4,00 cm
 y1
A1
x
A2
y
yG = 4,68 cm
x
y
G
xG 
yG  
El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de: 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTO DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Definición 
El momento de inercia de 
una figura plana cualquiera 
con respecto a un eje se 
define como el producto 
del área de la figura por el 
cuadrado de la distancia 
entre el centro de gravedad 
y el eje. 
x
Figura 
plana 
Eje 
yG 
G 
Ixx = A. yG2 
Ixx: momento de inercia con respecto al eje x 
A : área de la figura plana 
yG: distancia desde el baricentro al eje arbitrario 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Definición 
Si imaginamos a la 
figura dividida en 
rectángulos el 
momento de inercia 
con respecto a un 
eje arbitrario x se 
podrá calcular 
como: 
yi
x
Ai
 


n
1i
2Ai.yiIxx = 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Definición 
 
• Empleando el 
cálculo 
diferencial e 
integral 
Ixx = 
A
2 dA.y
x
dA 
y 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Determinación de los momentos de inercia del rectángulo de la figura con respecto a 
los ejes baricéntricos x e y, empleando el cálculo integral. 
G 
h/2 
h/2 
dy 
y 
x 
y 
b/2 b/2 
dA 
b 
Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de 
ancho b y altura dy. El área del elemento será: dA = b. dy 
El momento de inercia con respecto al eje x será: 

















8
h
8
h
.
3
b
Ixx
33









8
h
8
h
.
3
b 33

h/2
h/2-
2.dAyIxx





















33
2
h
2
h
.
3
b
12
b.h
Ixx
3

4
h
.
3
b 3


h/2
h/2-
2.b.dyy

h/2
h/2-
2.dyyb.Ixx
h/2
h/2-
3
3
y
b.
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Si se hiciera un planteo similar, pero analizando una franja 
delgada vertical, el momento de inercia con respecto al eje y 
resultaría: 12
h.b
Iyy
3

G 
h 
b 
x 
y 
12
b.h
Ixx
3
12
h.b
Iyy
3

Resumiendo: los momentos de inercia con respecto a los 
ejes baricéntricos “x” e “y” resultan: 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
De la misma manera se podría plantear para otras formas, y para otras posición de 
los ejes. Los resultados obtenidos efectuando el mismo planteo se detallan, a 
continuación: 
G 
h/2 
b 
h/2 
x 
Ixx= b.h3/12 
x 
b 
h 
Ixx= b.h3/3 
G x 
r 
Ixx= p.r4/4 
x 
r 
Ixx= 5. p.r4/4 
x G 
h 
2.h/3 
h/3 
b 
Ixx= b.h3/36 
x 
h 
b 
Ixx= b.h3/12 
x G 
r 
Ixx= p.r4/8 
x 
r 
Ixx= 5.p.r4/8 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Observaciones 
G 
h/2 
b 
h/2 
x 
Ixx= b.h3/12 
x 
b 
h 
Ixx= b.h3/3 
1) En general, el momento de 
inercia se incrementa según el 
eje se aleja del baricentro. Por 
ejemplo: 
< 
2) Sin importar cuales sean los 
ejes seleccionados, los 
momentos de inercia son 
cantidades positivas, ya que las 
distancias están elevadas al 
cuadrado. 


n
1i
2Ai.yiIxx = Ixx = 
A
2.dAy


n
1i
2Ai.xiIyy = Iyy = 
A
2.dAx
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Observaciones 
3) El momento de inercia 
sección con orificios puede 
considerarse como la suma 
del momento de inercia de 
la sección sin descontar los 
orificios menos el momento 
de inercia de las formas 
geométricas que 
representen a los orificios. 
Por ejemplo: 
 
h 
b 
h1 
y 
G 
x 
b1 
12
.hb
12
b.h
Ixx
3
11
3

ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
El momento de inercia de 
una sección con respecto a 
un eje cualquiera es igual a 
la suma del momento de 
inercia propio (respecto a un 
eje baricéntrico paralelo al 
primero) más el producto del 
área de la sección por el 
cuadrado de la distancia 
entre ambos ejes. 
x
Figura 
plana 
Eje 
d 
G 
x’ 
Ixx = Ix’x’ + A.d2 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto al eje x. 
Consideramos un elemento de área diferencial en forma de un franja delgada de 
ancho b y altura dy. 
El momento de inercia con respecto al eje x será: 

h/2
-h/2
2
G .dA)dy(
G 
h/2 
h/2 
dy 
yG 
x 
y 
b/2 b/2 
dA 
b 
d 
y` 
x’ 
La distancia entre el baricentro del área diferencial y el eje x resulta: y = yG + d 
 
h/2
-h/2
2
G
2
G ).dAd.d2.y(yIxx
 
h/2
-h/2
2.dAyIxx
Operando: 

h/2
-h/2
2
h/2
-h/2
G
h/2
-h/2
2
G .dAd.d.dA2.y.dAyIxx
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Reemplazando: 
Analizamos cada uno de los términos de la integral: 
G 
h/2 
h/2 
dy 
yG 
x 
y 
b/2 b/2 
dA 
b 
d 
y` 
x’ 

h/2
-h/2
2
h/2
-h/2
G
h/2
-h/2
2
G .dAd.d.dA2.y.dAyIxx
  'Ixx .dA y
h/2
-h/2
2
G Momento de inercia con respecto al eje x’x’ baricéntrico. 
02d.0M 2d..dAy2d.dA .d.2.y cobaricéntri estático
h/2
-h/2
G
h/2
-h/2
G 
 A.ddA d.dAd 2
h/2
-h/2
2
h/2
-h/2
2 
2A.d0Ixx'Ixx 
Finalmente: 2A.dIxx'Ixx 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto 
al eje x. 
Ixx = Ix’x’ + A.d2 
G 
h/2 
b 
h/2 
x’ 
x 
Aplico el Teorema de Steiner 
Incógnita: Ixx 
Datos: 
Ix’x’= b.h3/12 Momento de inercia con 
respecto al eje baricéntrico x 
A= b.h Área del rectángulo 
d= h/2 Distancia entre ambos ejes 
Ixx = b.h3/12 + b.h.(h/2)2 Reemplazo los datos 
Ixx = b.h3/12 + b.h.(h2/4) = b.h3/12 + b.h3/4 
Ixx = b.h3/3 
Operando 
Finalmente 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Determinación 
 
Ejemplo: Determinar el momento de inercia del rectángulo con respecto 
al eje y. 
Ixx = Ix’x’ + A.d2 
G 
h/2 
b 
h/2 
y’ y 
Aplico el Teorema de Steiner 
Incógnita: Iyy 
Datos: 
Iy’y’= b.h3/12 Momento de inercia con 
respecto al eje baricéntrico x 
A= b.h Área del rectángulo 
d= b/2 Distancia entre ambos ejes 
Ixx = h.b3/12 + h.b.(b/2)2 Reemplazo los datos 
Ixx = h.b3/12 + h.b.(b2/4) = h.b3/12 + h.b3/4 
Ixx = h.b3/3 
Operando 
Finalmente 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTO DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MÓDULO RESISTENTE. Definición 
El módulo resistente 
de una sección 
cualquiera se define 
como el cociente 
entre el momento de 
inercia baricéntrico 
de la sección y la 
distancia entre el 
baricentro y la fibra 
más alejada de la 
misma: 
dy 
Ixx 
Wx = 
dx 
Iyy 
Wy = 
G 
dy 
x 
y 
dx 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MÓDULO RESISTENTE. Determinación 
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular 
dy 
Ixx 
Wx = 
G 
h/2 
b 
dy = h/2 
x 
dy = h/2 
dy 
Ixx 
W x = = 
Según la definición vista de el 
módulo resistente es: 
El momento de inercia baricéntrico 
de una sección rectangular con 
respecto al eje x es: 
12
b.h3
Ixx = 
La mayor distancia entre el 
baricentro y la fibra más alejada de 
la sección es: 
Reemplazando: 
12
b.h3
h/2 
= 
12.h 
2.b.h3 Wx = 
6 
b.h2 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MÓDULO RESISTENTE. Determinación 
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección rectangular 
dx 
Iyy 
Wy = 
dx = b/2 
dx 
Iyy 
W y = = 
12
h.b3
b/2 
Procedemos análogamente 
para determinar Wy: 
El momento de inercia baricéntrico 
de una sección rectangular con 
respecto al eje x es: 
12
h.b3
Iyy = 
La mayor distancia entre el 
baricentro y la fibra más alejada de 
la sección es: 
Reemplazando: 
= 
12.b 
2.h.b3 Wx = 
6 
h.b2 
G 
h 
b/2 
x 
b/2 
y 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MÓDULO RESISTENTE. Determinación 
Ejemplo: Determinar el módulo resistente de una sección circular 
d 
Ixx 
Wx = 
dx = r 
dy 
Ixx 
Wx = 
Según la definición vista de el 
módulo resistente es: 
El momento de inercia baricéntrico 
de una sección circular con respecto 
al eje x es: 
La mayor distancia entre el 
baricentro y la fibra más alejada de 
la sección es: 
Reemplazando: 
Wx = Wy = 
4 
 p.r3 
Ixx= p.r4/4 
= 
 p.r4/4 
r 
= 
 p.r4 
4.r 
G x 
r 
d 
y 
INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 AREA 
 
 MOMENTO ESTÁTICO AXIAL O DE PRIMER ORDEN 
 
 BARICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD 
 
 MOMENTO DE INERCIA 
 
 MÓDULO RESISTENTE 
 
 RADIO DE GIRO 
 
 ESBELTEZ 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
RADIO DE GIRO. Definición 
El radio de giro de 
una sección 
cualquiera se define 
como la raíz 
cuadrada del 
cociente entre el 
momento de inercia 
de la sección y el 
área de la misma: 
G 
A 
x 
y 
ix = A
 xxI iy = A
 yyI 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 
E jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura.
5 cm 5 cm
 y2
8 cm
3 cm
8 cm
3 cm
4,00 cm
 y1
4 cm
A1
x
A2
yE jemplo: Determinación del baricentro de la s iguiente figura.
5 cm 5 cm
 y2
8 cm
3 cm
8 cm
3 cm
4,00 cm
 y1
4 cm
A1
x
A2
y
2) Cálculo de las áreas 
1) Subdividimos una sección cualquiera en varias secciones de área, momento de inercia 
baricéntricos y centro de gravedad conocidos. 
A1 = 8,00 cm . 3,00 cm = 24,00 cm2 A2 = 5,00 cm .4,00 cm = 20,00 cm2 
3) Determinación de las coordenadas del baricentro (Como la sección tiene un eje de simetría 
solo se determinará yG) yG= Mx/SAi 
Mx = A1 . y1 + A2 . y2 = 24,00 cm2 . 6,50 cm + 20,00 cm2 . 2,50 cm = 206,00 cm3 
 yG= 206,00 cm3 / 44,00 cm2 
SAi = A1 + A2 = 44,00 cm2 
 yG= 4,68 cm 
Determinar el momento de inercia, el módulo resistentey el radio de giro de la siguiente sección: 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 
El baricentro se ubica a una distancia con respecto a los ejes adoptados de: xG= 0,0 cm, yG= 4,68 cm 
4) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje x 
Aplicando el Teorema de Steiner: Ixx = Ix'x'1 + A1. dx1
2 + Ix'x'2 + A2. dx2
2 
A1 = 24,00 cm
2 dx1 = 3,32 cm – 1,5 cm = 1,82 cm 
y 
x' 
G 
= y' 
3,32 cm 
 4,68 cm 
A1 
X’ 
A2 
y 
8 cm 
5 cm 
3 cm 
4 cm 
 dx1 
 dx2 
Ix'x'1 = 8 cm. (3 cm)
3 = 18 cm4 
12 
A2 = 20,00 cm
2 dx2 = 4,68 cm – 2,5 cm = 2,18 cm Ix'x'2 = 4 cm. (5 cm)
3 = 41,66 cm4 
12 
Ixx = 18 cm4 + 24,00 cm2. (1,82 cm)2 + 41,66 cm4 + 20,00 cm2. (2,18 cm)2 
Ixx = 234,21 cm4 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 
y 
x' 
G 
= y' 
3,32 cm 
 4,68 cm 
5) Determinación de los momentos de inercia con respecto al eje y 
Aplicando el Teorema de Steiner: 
Iyy = Iy‘y'1 + A1. dy1
2 + Iy‘y'2 + A2. dy2
2 
A1 = 24,00 cm
2 dy1 = 0,00 cm 
Iy‘y'1 = 3 cm. (8 cm)
3 = 128 cm4 
12 
A2 = 20,00 cm
2 dy2 = 0,00cm 
Iy’y'2 = 5 cm. (4 cm)
3 = 26,67 cm4 
12 
Iyy = 128 cm4 + 26,67 cm4 
Iyy = 154,67 cm4 
A1 
X’ 
A2 
y 
8 cm 
5 cm 
3 cm 
4 cm 
 dx1 
 dx2 
= y' 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
 MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 6 
y 
x' 
G 
= y' 
3,32 cm 
 4,68 cm 
6) Determinación de los módulos resistentes 
Wx = Ixx = 234,21 cm4 = 
dy 4,68 cm 
50,04 cm3 
A1 
X’ 
A2 
y 
8 cm 
5 cm 
3 cm 
4 cm 
 dx1 
 dx2 
= y' 
7) Determinación de los radios de giro 
ix = 
A
 xxI = 
4cm 44
 4cm 234,21 = 2,31 cm 
iy = 
A
 yyI 
= 
4cm 44
 4cm 154,67 = 1,87 cm 
Wy= Iyy = 154,67 cm4 = 
dx 4,00 cm 
38,67 cm3 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 
TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 
Calcular los momentos de inercia y módulos resistentes de las secciones de columnas que se 
indican a continuación, que corresponden a una sección simple y compuesta: 
G 22 cm x 
16 cm 
y 
Sección A 
G 22 cm x 
8 cm 10 cm 8 cm 
y 
Sección B 
A) Análisis de la sección A 
Ixx = 16 cm. (22 cm)3 = 14.197,33 cm4 
12 
Wx = Ixx = 14.197 cm4 = 1290,64 cm3 
11 cm dy 
Iyy = 22 cm. (16 cm)3 = 7509,33 cm4 
12 
Wy = Iyy = 7509,3 cm4 = 938,66 cm3 
8 cm dx 
Observaciones: 
Como Ixx > Iyy entonces Wx > Wy, por ende la resistencia a la flexión simple será mayor 
respecto al eje x. 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 
G 22 cm x 
8 cm 10 cm 8 cm 
y Sección B 
B) Análisis de la sección B 
Wx = Ixx = 14.197,33 cm4 = 1290,67 cm3 
11 cm 
dy 
Wy = Iyy = 30389,33 cm4 = 2337,64 cm3 
13 cm dx 
Se emplea la misma sección que la anterior pero la cortamos longitudinalmente y la 
separamos com presillas metálicas u outro elemento de unión, teniendo una sección 
compuesta. 
Ixx = 26 cm. (22 cm)3 - 10 cm. (22 cm)3 
12 12 
= 14197,33 cm4 
Iyy = 22 cm. (26 cm)3 - 22 cm. (10 cm)3 
12 12 
= 30389,33 cm4 
 
ENTIDADES MATEMÁTICAS DE LAS FORMAS 
MOMENTO DE INERCIA. Trabajo Práctico Nº 7 
C) Comparación de Resultados 
Wx = 1290,67 cm3 
Wy = 2337,64 cm3 
I xx = 14197,33 cm4 
I yy = 30389,33 cm4 
G 22 cm x 
8 cm 10 cm 8 cm 
y 
Sección B 
G 22 cm x 
16 cm 
y 
Sección A 
Wx = 1290,67 cm3 
Wy = 938,66 cm3 
I xx = 14197,33 cm4 
I yy = 7509,33 cm4