Mat022-Complementos

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Coordinación MAT022
Campus Santiago Vitacura
Apuntes de
MAT022 - Complementos 3a vs. 1◦ sem.2014
Prefacio
Estimados alumnos:
Este texto, en su segunda versión en formato de libro, es el resultado del esfuerzo de muchos co-
legas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que a lo
largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes secciones incorporan apuntes de profesores
del Campus Santiago, especialmente de Juan Bahamodes, Nelson Cifuentes, Roberto Geraldo,
Leonel Guerrero y Erick Inda. En esta versión, éstos han sido editados por quien suscribe, para
que su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino
que también varios ejercicios resueltos y propuestos, que esperamos resuelvan con entusiasmo,
para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir muchas demostraciones de
los teoremas que verán en clases. No es el objetivo que todos ellos sean vistos en clases. Más bien,
esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de profundizar en la aprehensión
de los conceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza la construcción del conocimiento
matemático. Esperamos que esta primera versión, aún preliminar, les sea de utilidad, y que cual-
quier error que encuentren (por cierto, involuntario), sea informado al mail indicado abajo.
El apunte está estructurado y ordenado en la forma de «clases» correlativas, estimando el tiempo
necesario para tratar los temas que comprende el programa, clase a clase. Esto no los debe llevar a
equívocos: el número total de clases en un semestre es superior al número de clases que aparecen
en este texto. Esto se debe a que no se incluyeron aquí, de manera numerada, las clases de ejercicios
que se intercalan en algunos momentos, de acuerdo al calendario de certámenes de cada semestre,
las eventuales falencias detectadas y a las necesidades específicas que cada curso determine.
Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buen
aprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental que asistan a clases,
participen activamente en ella, estudien de manera metódica, ojalá estructurando un horario de
estudio diario, preparándose siempre para su próxima clase y que planteen a sus profesores cual-
quier duda conceptual que les surja. Si sus dudas aparecen cuando están resolviendo un problema,
revisen los apuntes (éstos y los personales de clases), ya que es posible que hay algún concepto que
no han comprendido cabalmente, reintente, aplique muchas alternativas de solución e intercambie
I
PREFACIO Verónica Gruenberg Stern
opiniones y métodos con sus compañeros. Esta forma de estudiar les entregará una comprensión
más profunda de las ideas y conceptos que estudiaremos en este curso y, por cierto, tendrán un
aprendizaje de calidad.
Deseándoles la mejor experiencia de aprendizaje y que su trabajo sistemático rinda los frutos que
esperan, los invita a iniciar esta aventura, muy cordialmente,
Verónica Gruenberg Stern
veronica.gruenberg@usm.cl
II
mailto:veronica.gruenberg@usm.cl
Índice general
Prefacio I
Índice general III
1. Matrices 1
1.1. CLASE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Conceptos Básicos de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Operatoria con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. CLASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. CLASE 3: Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6.1. Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz . . . . . . . . 29
1.7. CLASE 7: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.2. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.8. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2. Vectores en Rn 43
2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.1. Operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.2. Producto punto y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1.3. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1.4. Ángulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.5. Producto cruz en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. CLASE 9: Geometría del Plano y el Espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III
ÍNDICE GENERAL
2.2.1. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.3. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. Espacios Vectoriales 63
3.1. CLASE 10: Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. CLASE 11: Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3. CLASE 12: Espacio Generado. Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4. CLASE 13: Bases y dimensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4. Diagonalización 85
4.1. CLASE 14: Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2. CLASE 15: Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3. CLASE 16: Aplicación: forma canónica de cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3.1. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2. Formas cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4. CLASE 17: Aplicación: Secciones cónicas rotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1. Aproximación geométrica a la clasificación de cuádricas en el plano . . . . . 104
4.5. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5. Sucesiones y Series Numéricas 109
5.1. CLASE 18: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.1. Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2. CLASE 19: Convergencia de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.1. El concepto de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2. Algunas propiedades de las sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.3. Algunos resultados de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3. CLASE 20: Series Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4. Criterios de convergencia de Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 133
5.4.1. Criterio de la integral. Criterio de comparación y comparación al límite. . . . 133
5.4.2. CLASE 21: Criterios del cuociente y de la raíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.5. Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.5.1. Convergencia condicional y absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IV
ÍNDICE GENERAL
6. Series de Potencias 145
6.1. CLASE 22: Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2. CLASE 23: Polinomios y Series de Taylor y MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.1. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.2.2. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3. CLASE 24: Aplicaciones al Cálculo de Integrales y Serie Binomial . . . . . . . . . . . 155
6.4. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
V
ÍNDICE GENERAL
VI
Capítulo 1
Matrices
1.1. CLASE 1
Muchos problemas del mundo real pueden ser modelados por sistemas de ecuaciones lineales.
Las matrices que definiremos a continuación, son objetos matemáticos muy útiles, que permiten
representar de manera sencilla estos sistemas y, más aún, una correcta manipulación de estas re-
presentaciones permite resolver estos sistemas, como veremos más adelante.
1.1.1. Conceptos Básicos de Matrices
DEFINICIÓN 1.1.1 Una matriz de orden n×m (se lee n filas por m columnas) es un arreglo rectan-
gular de números, de la forma 
a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · · a2m
a31 a32 a33 · · · a3m
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 · · · anm

Cada uno de los elementos aij del arreglo, i ∈ {1, 2, · · ·m}, j ∈ {1, 2, · · ·n}, se llama entrada,
elemento o coeficiente de la matriz.
OBSERVACIÓN:
1. Denotaremos las matrices por letras mayúsculas A,B,C o también en la forma (aij)n×m ,
(bij)n×m o simplemente, (aij) , (bij). Note que (aij) denota una matriz, mientras que aij
denota la entrada de la matriz que se encuentra en la i−ésima fila y j−ésima columna.
2. Los elementos de una matriz pueden pertenecer a cualquier conjunto numérico, en particular
a R o C. Denotaremos por Mn×m (R) ó M (n×m,R) al conjunto de todas las matrices de
orden n×m con coeficientes reales; de manera similar,Mn×m (C) óM (n×m,C) denota el
conjunto de todas las matrices de orden n×m con coeficientes complejos.
1
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
EJEMPLOS:
1. La matriz A =
(
1 2
3 4
)
∈M2×2 (R) y la matriz B =
(
1 2 1− i
i 0 −3
)
∈M2×3 (C).
En A, se tiene que a12 = 2 y a21 = 3.
En B, se tiene que b13 = 1− i y b21 = i.
2. La matriz A = (aij)3×3 = (i+ j)3×3 está dada por
 2 3 43 4 5
4 5 6

3. Escriba explícitamente la matriz A = (aij) ∈M4×4, donde aij = i2 − j2.
A =

12 − 11 12 − 22 12 − 32 12 − 42
22 − 12 22 − 22 22 − 32 22 − 42
32 − 12 32 − 22 32 − 32 32 − 42
42 − 12 42 − 22 42 − 32 42 − 42
 =

0 −3 −8 −15
3 0 −5 −12
8 5 0 −7
15 12 7 0
 .
DEFINICIÓN 1.1.2 Una matriz de orden n × 1 se llama matriz columna o vector columna, y tienen la
forma 
a11
a21
...
an1

De manera similar, una matriz de orden 1×m se llama matriz fila o vector fila, y tiene la forma(
a11 a12 a13 · · · a1m
)
DEFINICIÓN 1.1.3 La matriz (aij)n×m tal que aij = 0 para todo i, j se llama matriz nula de orden
n×m y es denotada por [0]n×m, es decir
[0]n×m =

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 0

DEFINICIÓN 1.1.4 Las matrices de orden n × n (igual número de filas y de columnas) se denomi-
nan matrices cuadradas de orden n. El conjunto de ellas, con entradas en los reales, se denota por
Mn×n(R) o simplementeMn(R). Análogamente para el caso complejo.
2
Verónica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
DEFINICIÓN 1.1.5 Sea A una matriz cuadrada A = (aij)n×n. Los coeficientes aii para i = 1, 2, . . . , n
forman la llamada diagonal principal de la matriz. La diagonal secundaria de A son los elementos de
la forma ai,n+1−i para i = 1, 2, . . . , n es decir
La diagonal principal de A :

a11
a22
. . .
ann

La diagonal secundaria de A :

a1n
˙
an−1,2
an1

DEFINICIÓN 1.1.6 Una matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal son todos
nulos se llama matriz diagonal (los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier valor, es decir,
no necesariamente son distintos de cero).
Matriz diagonal:

a11 0 0 · · · 0
0 a22 0 · · · 0
0 0 a33 · · ·
...
...
...
...
. . . 0
0 0 · · · 0 ann

Un tipo muy importante de matriz diagonal, es aquella que tiene todos los elementos de la
diagonal principal igual a 1, y se llama matriz identidad de orden n. Esta matriz es denotada por In.
EJEMPLOS:
I2 =
(
1 0
0 1
)
I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 I4 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

DEFINICIÓN 1.1.7 Si una matriz cuadrada de orden n es tal que todos los elementos que están
sobre su diagonal principal son todos iguales a cero (no importan los demás) se denomina matriz
triangular inferior; de manera similar, una matriz triangular superior es aquella en la cual todos los
3
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
elementos que se encuentran bajo la diagonal principal son todos igual a cero.
Matriz triangular inferior:

a11 0 0 · · · 0
a21 a22 0
. . . 0
...
...
. . . . . .
...
...
...
. . . . . . 0
an1 an2 an3 · · · ann

Matriz triangular superior:

a11 a12 a13 · · · a1n
0 a22 a23
. . . a2n
0 0
. . . . . .
...
...
...
. . . . . .
...
0 0 0 · · · ann

DEFINICIÓN 1.1.8 Dada una matriz cuadrada
A =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
a31 a32 a33 · · · a3n
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 · · · ann

llamaremos traza de A (denotado por tr(A) ) a la suma de los elementos de la diagonal principal,
es decir,
tr (A) = a11 + a22 + · · ·+ ann =
n∑
i=1
aii
EJEMPLOS:
1. La traza de la matriz A =
(
1 2
4 −1
)
es tr(A) = 1 + (−1) = 0.
2. La traza de la matriz
An =

1 0 0 · · · 0
1 2 0 · · · 0
1 2 3 · · · 0
...
...
...
. . .
...
1 2 3 · · · n

es tr(A) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
.
4
Verónica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
1.1.2. Operatoria con matrices
DEFINICIÓN 1.1.9 (Igualdad de matrices) Diremos que dos matrices A y B son iguales si y solo si
son del mismo orden y además aij = bij , ∀i, j.
EJEMPLO 1.1.1 Encontrar los valores de las incógnitas si se tiene(
x+ 1 0
x2 1
)
=
(
3 a
b c
)
DEFINICIÓN 1.1.10 ( Suma de matrices) Si A = (aij)n×m y B = (bij)n×m, se define la suma de
A y B:
A+B = (aij + bij)n×m es decir:
a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · anm
+

b11 b12 · · · b1m
b21 b22 · · · b2m
...
...
. . .
...
bn1 bn2 · · · bnm
 =

a11 + b11 a12 + b12 · · · a1m + b1m
a21 + b21 a22 + b22 · · · a2m + b2m
...
...
. . .
...
an1 + bn1 an2 + bn2 · · · anm + bnm

DEFINICIÓN 1.1.11 (Multiplicación por escalar o ponderación) Si A = (aij)n×m y α ∈ R ó C,
entonces
αA = α (aij)n×m = (αaij)n×m , es decir
α

a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · anm
 =

αa11 αa12 · · · αam
αa21 αa22 · · · αa2m
...
...
. . .
...
αan αa2n · · · αamn

EJEMPLOS: Si A =
(
1 2 −1
0 2 −3
)
y B =
(
−1 1 2
3 1 −1
)
, calcule a) A+B b) A+ 5B.
a) A+B =
(
1 2 −1
0 2 −3
)
+
(
−1 1 2
3 1 −1
)
=
(
0 3 1
3 3 −4
)
b) A+ 5B =
(
1 2 −1
0 2 −3
)
+ 5
(
−1 1 2
3 1 −1
)
=
(
−4 7 9
15 7 −8
)
OBSERVACIÓN: Si A y B son matrices cuadradas, entonces tr (A+B) = tr (A) + tr (B).
5
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
EJERCICIOS:
1. Construir explícitamente la matriz definida por:
a) A =
(
ij
)
2×3
b) A =
(
i+j∑
k=1
k2
)
3×2
c) B =
(
|i− j|
)
3×5
d)C =
(
(i+ 1)(j − 2)
)
3×3
2. Determine x, y ∈ R tal que (
3 x
1 2
)
+ 2
(
2 1
5 x
)
=
(
7 3
11 y
)
.
3. Determine matrices A,B ∈M2×2(R) tal que
2A− 5B =
(
1 −2
0 1
)
, −2A+ 6B =
(
4 2
6 0
)
.
DEFINICIÓN 1.1.12 (Producto de matrices) SeaK = R óC. SeanA ∈M (n×m,K) yB ∈M (m× p,K).
La matriz producto C = A ·B es la matriz de orden n× p dada por (cij)n×p donde
cij =
m∑
k=1
aikbkj
Es decir, para obtener el elemento cij del producto se fija la fila i de A y la columna j de B y se
forma el elemento anterior; se dice que el producto de matrices es filas por columnas.

a11 a12 a13 · · · a1m
...
...
...
. . .
...
ai1 ai2 ai3 · · · aim
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 · · · anm


b11 · · · b1j · · · b1p
b21 · · · b2j · · · b2p
...
...
...
bm1 · · · bmj · · · bmp

entonces el coeficiente cij se obtiene como cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aimbmp.
6
Verónica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
1.1.3. Propiedades de las Operaciones Matriciales
Sean A,B,C matrices (con órdenes tales que las operaciones consideradas pueden ser aplica-
das) y sean α, β escalares. Entonces:
1. A+B = B +A 8. 1 ·A = A
2. (A+B) + C = A+ (B + C) 9. (AB)C = A (BC)
3. A+ [0] = A 10. A (B + C) = AB +AC
4. A+ (−1)A = [0] 11. (A+B)C = AC +BC
5. α (A+B) = αA+ αB 12. α (AB) = (αA)B = A (αB)
6. (α+ β)A = αA+ βA 13. A ∈Mn×m ⇒ InA = A = AIm
7. α (βA) = (αβ)A
OBSERVACIÓN:
1. Es muy importante notar que el producto matricial no es conmutativo; incluso uno de los
productos puede no estar definido. Si consideramos A ∈ M2×3 y B ∈ M3×4 entonces AB
está definida y tiene orden 2× 4. Notar que BA no está definido.
Pero, incluso en el caso en que ambos productos puedan realizarse, no necesariamente son
iguales. Por ejemplo:
(
1 2
3 4
)(
5 6
7 8
)
=
(
1 · 5 + 2 · 7 1 · 6 + 2 · 8
3 · 5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8
)
=
(
19 22
43 50
)
,
y (
5 6
7 8
)(
1 2
3 4
)
=
(
5 · 1 + 6 · 3 5 · 2 + 6 · 4
7 · 1 + 8 · 3 7 · 2 + 8 · 4
)
=
(
23 34
31 46
)
.
de donde (
1 2
3 4
)(
5 6
7 8
)
6=
(
5 6
7 8
)(
1 2
3 4
)
2. En matrices, la ecuación AX = B con A 6= [0] y B una matriz cualquiera, no siempre tiene
solución. Considere (
1 1
0 0
)
X =
(
1 −1
1 1
)
Si X tiene orden n × m, para que esté bien definido el producto, se ha de tener n = 2. El
resultado sería de orden 2×m, pero sabemos que es de orden 2× 2, luego m = 2. Luego, X
es de la forma
X =
(
a b
c d
)
7
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
entonces (
1 1
0 0
)(
a b
c d
)
=
(
a+ c b+ d
0 0
)
=
(
1 −1
1 1
)
que claramente no puede ser, pues observando la segunda fila, vemos que 0 6= 1.
3. En matrices no es verdad que AB = [0] implique A = [0] ∨ B = [0]. Veamos un par de
ejemplos: (
0 1
0 0
)(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
1 1 11 1 1
1 1 1


2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
 =

0 0 0
0 0 0
0 0 0

EJEMPLOS:
1. Sea A = [aij ] ∈M4×4(R) tal que aij = 0 para i > j y aij = 1 si i ≤ j. Determine A2.
Solución:
A2 =

1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1


1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
 =

1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1
 .
2. Considere la matriz
A =
0
1
2 0
1
2 0 0
0 0 12

Conjeture una fórmula para A2n, n ∈ N y demuéstrela por inducción.
Solución:
A =
0
1
2 0
1
2 0 0
0 0 12
 ⇒ A2 =
0
1
2 0
1
2 0 0
0 0 12
 ·
0
1
2 0
1
2 0 0
0 0 12
 =

(
1
2
)2
0 0
0
(
1
2
)2
0
0 0
(
1
2
)2

∴ A4 = A2 ·A2 =

(
1
2
)2
0 0
0
(
1
2
)2
0
0 0
(
1
2
)2
 ·

(
1
2
)2
0 0
0
(
1
2
)2
0
0 0
(
1
2
)2
 =

(
1
2
)4
0 0
0
(
1
2
)4
0
0 0
(
1
2
)4

8
Verónica Gruenberg Stern 1.1. CLASE 1
Conjetura: A2n =

(
1
2
)2n
0 0
0
(
1
2
)2n
0
0 0
(
1
2
)2n
 ∀n ∈ N
Demostración (por inducción): Como se vió arriba, el caso n = 1 se cumple.
Veamos que suponiendo válido para n, se cumple también para n+ 1:
A2(n+1) = A2n ·A2 =

(
1
2
)2n
0 0
0
(
1
2
)2n
0
0 0
(
1
2
)2n
 ·

(
1
2
)2
0 0
0
(
1
2
)2
0
0 0
(
1
2
)2

=

(
1
2
)2n+2
0 0
0
(
1
2
)2n+2
0
0 0
(
1
2
)2n+2

=

(
1
2
)2(n+1)
0 0
0
(
1
2
)2(n+1)
0
0 0
(
1
2
)2(n+1)

Luego, la conjetura es válida ∀n ∈ N.
EJERCICIOS:
1. Considerar la matriz B =
 1 1 10 1 1
0 0 1
 Calcular B2, B3, B4.
2. Sean A =
(
1 −1 2
0 3 4
)
, B =
(
4 0 −3
−1 −2 3
)
, C =
 2 −3 0 15 −1 −4 2
−1 0 0 3
, y
D =
 2−1
3
. Calcule A+B, 3A− 4B, AC, BD, At, CtBt.
3. Sean A =
 1 2 01 1 0
−1 4 0
, B =
 1 2 31 1 −1
2 2 2
, C =
 1 2 31 1 −1
1 1 1
.
Verifique que AB = AC. ¿Qué consecuencia obtiene de lo anterior?
9
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
4. Determine x ∈ R tal que
(
x 4 −1
) 2 1 01 0 2
0 2 4

 x4
−1
 = 0
5. ¿Qué condición(es) deben verificar a, b, c, d para que las matrices
(
a b
c d
)
,
(
1 1
−1 1
)
conmuten? (respecto al producto).
6. Sea A =
(
i
)
3×3
y B =
(
j
)
3×3
. Encontrar 2A2 +AB.
Indicación: A = (aij) B = (bij)
7. Sea A =
 1 0 10 0 0
1 0 1
. Verifique que A2 = 2A. ¿Puede afirmar algo de A3?
8. Sea A =
 1 1 00 1 1
0 0 1
. Demostrar que An =
 1 n
n(n− 1)
2
0 1 n
0 0 1

9. Sea A ∈M2×2(R) dada por
A =
(
cosα −senα
senα cosα
)
.
Demuestre, usando inducción, que para n ∈ N, n ≥ 1:
An =
[
cosnα −sennα
sennα cosnα
]
.
10. Hallar una matriz A de orden 2× 2 tal que A2 = −I
11. Hallar una matriz A de orden 2× 2,A6= 0 tal que A2 = 0
12. Hallar una matriz A no nula, tal que A2 6= 0 y A3 = 0
13. Determine X ∈M2×2(R) solución de X2 − 2X =
[
−1 0
6 3
]
.
14. Probar que tr (AB) = tr (BA)
10
Verónica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2
1.2. CLASE 2
1.2.1. Matriz transpuesta
DEFINICIÓN 1.2.1 Sea A ∈ M (n×m,K), A = (aij) con K = R ó C. La matriz transpuesta de A es
la matriz denotada por AT ∈M (m× n,K) definida por
A = (aij) ⇒ AT = (aji)
Es decir, AT es la matriz obtenida intercambiando las filas y columnas de la matriz A. Es decir, la
i-ésima fila de A pasa a ser la i-ésima columna de AT .
Esto significa que si:
A =

a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · · a2m
...
...
...
. . .
...
an1 an2 an3 · · · anm

n×m
entonces
AT =

a11 a21 · · · an1
a12 a22 · · · an2
a13 a23 · · · an3
...
...
. . .
...
a1m a2m · · · anm

m×n
EJEMPLO 1.2.1 Si
A =
(
−1 2 0
5 7 −4
)
entonces
AT =
(
−1 2 0
5 7 −4
)T
=
 −1 52 7
0 −4

PROPOSICIÓN 1.2.1 Sea α ∈ K,n ∈ N,A y B matrices con órdenes apropiados para que las opera-
ciones estén bien definidas; entonces:
1.
(
AT
)T
= A
2. (A+B)T = AT +BT
3. (αA)T = α
(
AT
)
4. (AB)T = BTAT
5. (An)T =
(
AT
)n
, n ∈ N0
11
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
DEFINICIÓN 1.2.2 Sea A una matriz cuadrada.
A se dice simétrica si AT = A
A se dice antisimétrica si AT = −A
EJEMPLO 1.2.2 La matriz
A =
 1 0 30 2 −1
3 −1 0
 es simétrica, y la matriz B =
 0 3 −1−3 0 2
1 −2 0
 es antisimétrica.
OBSERVACIÓN: Notar que para que una matriz A pueda ser simétrica o antisimétrica, ésta debe
ser cuadrada, por el orden de las matrices involucradas.
PROPOSICIÓN 1.2.2 Sean A y B matrices simétricas del mismo orden. Entonces:
1. A+B es simétrica
2. Si α ∈ K entonces αA es simétrica
Demostración:
1. (A+B)T = AT +BT = A+B
2. (αA)T = αAT = αA
PROPOSICIÓN 1.2.3 Si A es una matriz cuadrada entonces:
1. A+AT es simétrica
2. AAT y ATA son matrices simétricas
3. A−AT es antisimétrica
Demostración:
1.
(
A+AT
)T
= AT + (AT )T = AT +A = A+AT . Por lo tanto A+AT es simétrica.
2.
(
AAT
)T
= (AT )TAT = AAT . Análogamente el otro caso.
3.
(
A−AT
)T
= AT − (AT )T = AT − A = −A + AT = −(A − AT ). Por lo tanto, A − AT es
antisimétrica.
12
Verónica Gruenberg Stern 1.2. CLASE 2
OBSERVACIÓN: De las proposiciones anteriores podemos deducir que toda matriz cuadrada se
puede descomponer en una parte simétrica y otra antisimétrica en la forma
A =
(
A+AT
2
)
+
(
A−AT
2
)
Además, esta descomposición es única.
PROPOSICIÓN 1.2.4 Si A es una matriz antisimétrica, su diagonal principaltiene solamente ceros.
En efecto: de AT +A = 0 se sigue que
aii + aii = 0 ⇒ aii = 0 para cada i
Ejercicios Propuestos
1. Considere A =
1 0 −11 0 1
2 3 2
 , B =
1 20 3
5 6
 y C =
 1−1
0
. Calcular los siguientes
productos, si es posible:
a) CTB b) CTC c) CCT d) BBT e) CTAC
2. Sean A y B matrices simétricas. Determine si las siguientes son o no simétricas:
a) A2 +B2
b) A2 −B2
c) ABA
d) ABAB
3. ¿Es cierto que si A es antisimétrica entonces A2 es simétrica?
4. Sea
S =

0 1 0 0 · · · 0
0 0 1 0 · · · 0
0 0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
. . .
...
0 0 0 0 · · · 1
0 0 0 0 · · · 0

n×n
a) Determinar Sn para n ∈ N
b) Si A es una matriz de orden n× n encontrar una regla para calcular SA y AS.
13
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
5. Estudie si existe una matriz con coeficientes reales A de orden 3× 2 tal que AAT = I3.
6. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas; si es verdadera, demuestre
la afirmación, y si es falsa, dé un contraejemplo:
a) Si A2 está definido, entonces A es cuadrada.
b) Si AB y BA están definidos, entonces A y B son cuadradas.
c) Si AB y BA están definidos, entonces AB y BA son cuadradas.
d) (AB)2 = A2B2
7. Determine An, ∀n ∈ N para las matrices
A1 =
(
a b
0 a
)
, A2 =
(
c c
0 0
)
8. Se dice que una matriz A, cuadrada de orden n es nilpotente si, y solamente si, existe un
entero k > 0 talque Ak es la matriz cero. El mínimo entero positivo para el cual esto se
cumple es llamado grado de nilpotencia de A.
a) Demuestre que cada una de las siguientes matrices es nilpotente y encuentre su grado
de nilpotencia:
(a) A =

0 1 −1 2
0 0 3 −2
0 0 0 4
0 0 0 0
 (b) A =
 1 1 35 2 6
−2 −1 −3

b) Encontrar todas las matrices de 2× 2 nilpotentes, con grado de nilpotencia dos.
14
Verónica Gruenberg Stern 1.3. CLASE 3: EJERCICIOS
1.3. CLASE 3: Ejercicios
Estos son algunos ejercicios sugeridos:
1. Encuentre todas las matrices 3× 3 que conmutan con la matriz
1 0 00 1 0
3 1 2
.
2. Resuelva la ecuación matricial X2 =
(
4 1
0 4
)
3. Sean A,B ∈M3(R), donde
A = (aij) =
{
i+ j si i < j
2i− j si i ≥ j
y B = (bij) =
{
3
i si |i− j| es par
2− i si |i− j| es impar
Determine X · Y si X = (A− 2B)T , Y = A · (2B)
4. Pruebe que si A es antisimétrica entonces los elementos de la diagonal principal son todos
igual a 0.
5. ¿Es verdadero o falso que A ·AT = AT ·A? Justifique.
6. Sea A =
(
cos(2πk ) sen(
2π
k )
− sen(2πk ) cos(
2π
k )
)
, k ∈ Z+
Determine An, n ∈ N. ¿A qué es igual An si n = k?
7. Sea A ∈Mn(R) tal que A2 = [0]. Pruebe que A · (I +A)n = A, ∀n ∈ N.
(Ayuda: use inducción).
15
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
1.4. CLASE 4: Operaciones Elementales y Matrices Elementales
DEFINICIÓN 1.4.1 En una matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por fila:
(1) Intercambiar (permutar) dos de sus filas.
(2) Multiplicar una fila (es decir cada coeficiente de la correspondiente fila) por una constante
distinta de cero.
(3) Sumar el múltiplo de una fila a otra fila
EJEMPLOS: Ejemplos de operaciones elementales:
Intercambio entre dos filas: las filas 1 y 3 2 0 −15 4 3
−7 −6 9
←→
 −7 −6 95 4 3
2 0 −1

Multiplicación de una fila por un escalar: la fila 2, se multiplica por 3 4 0 −15 4 3
2 8 9
←→
 4 0 −115 12 9
2 8 9

Adición del múltiplo de una fila a otra fila: Multiplicamos la fila 2 por 2 y se la sumamos a la
fila 3  1 0 −11 0 2
3 8 −9
←→
 1 0 −11 0 2
5 8 −5

1.4.1. Matrices elementales
DEFINICIÓN 1.4.2 Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operación ele-
mental sobre la matriz identidad In
Dado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirán entonces tres tipos de matri-
ces elementales; usaremos la notación siguiente:
Eij : es la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la fila i con la
fila j.
Ei(λ): es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la fila i por λ 6= 0.
Eij(λ): es la matriz obtenida sumándole a la fila i, la fila j multiplicada por λ.
16
Verónica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONES ELEMENTALES Y MATRICES ELEMENTALES
EJEMPLO 1.4.1 Para la matriz I4:
1. E24 =

1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0

2. E3(−2) =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 1

3. E31(−4) =

1 0 0 0
0 1 0 0
−4 0 1 0
0 0 0 1

Considere ahora la matriz
A =

−1 2 1 0
2 5 6 4
3 −1 0 −5
0 2 3 4

Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24 por la izquierda, esto es,
efectuamos el producto E24A, obtenemos la matriz
E24 A =

1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0


−1 2 1 0
2 5 6 4
3 −1 0 −5
0 2 3 4
 =

−1 2 1 0
0 2 3 4
3 −1 0 −5
2 5 6 4

que es lo mismo que haber efectuado sobre la matriz A la operación elemental, intercambiar la fila
2 con la fila 4.
Si efectuamos el producto E3(−2)A, obtenemos
E3(−2)A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −2 0
0 0 0 1


−1 2 1 0
2 5 6 4
3 −1 0 −5
0 2 3 4
 =

−1 2 1 0
2 5 6 4
−6 2 0 10
0 2 3 4

que es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz A la operación elemental, la fila 3 la
multiplicamos por -2.
17
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Si efectuamos el producto E31(−4)A, obtenemos el mismo resultado de la operación elemental
sobre A, la fila 1 la multiplicamos por -4 y se la sumamos a la fila 3.
E31(−4)A =

1 0 0 0
0 1 0 0
−4 0 1 0
0 0 0 1


−1 2 1 0
2 5 6 4
3 −1 0 −5
0 2 3 4
 =

−1 2 1 0
2 5 6 4
7 −9 −4 −5
0 2 3 4

Se tiene al respecto el siguiente teorema.
TEOREMA 1.4.1 Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar una operación elemental por fila
sobre la matriz In. Si la misma operación elemental se realiza sobre una matriz A de orden n×m,
el resultado es el mismo que el del producto E A.
DEFINICIÓN 1.4.3 Diremos que las matrices A y B son equivalentes por filas si existe una suce-
sión de operaciones elementales por filas que convierte la matriz A en la matriz B. En tal caso
pondremos A ∼ B
Como hemos visto, realizar una operación elemental sobre una matriz es equivalente a mul-
tiplicar por la izquierda esa matriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros cálculos
haremos directamente la operación elemental sobre la correspondiente matriz, y la anotamos de la
manera que muestra el ejemplo siguiente:
EJEMPLO 1.4.2 1 0 −1−2 4 0
3 −4 6
 E21 (2)∼
 1 0 −10 4 −2
3 −4 6
 E31 (−3)∼
 1 0 −10 4 −2
0 −4 9
 E32 (1)∼
 1 0 −10 4 −2
0 0 7

En este caso las matrices
 1 0 −1−2 4 0
3 −4 6
 y
 1 0 −10 4 −2
0 0 7
 son equivalentes (por fila).
OBSERVACIÓN: Un desarrollo análogo, multiplicando por las matrices elementales por la derecha,
permite definir operaciones elementales columna.
DEFINICIÓN 1.4.4 Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si satisface las siguientes
propiedades:
Cualquier fila que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la ma-
triz.
18
Verónica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONES ELEMENTALES Y MATRICES ELEMENTALES
En cada fila distinta de cero, la primera entrada o coeficiente (contado desde la izquierda),
denominado pivote, se localiza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal
debajo de ella.
si además se cumple:
Sus pivotes son todos iguales a 1
En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna
decimos que la matriz se encuentra en forma escalonada reducida por filas.
EJEMPLO 1.4.3 Son matrices escalonadas
A =

1 2 4 5 −2 9
0 0 −2 6 0 1
0 0 0 3 4 1
0 0 0 0 −1 1
 y B =

1 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0

pero la matriz
C =

1 2 0 1 −1 3
0 1 4 5 7 0
2 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1

no es escalonada.
EJEMPLO 1.4.4 Las siguientes matrices están en forma escalonada reducida:
A =

1 2 0 0 0 −583
0 0 1 0 0 92
0 0 0 1 0 53
0 0 0 0 1 −1
, B =

1 0 0 12
1
2 0
0 1 0 14 −
3
4 0
0 0 1 1916
31
16 0
0 0 0 0 0 1

DEFINICIÓN 1.4.5 Un algoritmo es una secuencia finita de operaciones realizables, no ambiguas,
cuya ejecución da una solución de un problema en un tiempo finito.
El algoritmo de reducción de Gauss escalona una matriz por medio de operaciones elementa-
les fila. A continuación encontrará la descripción del algoritmo de reducción de Gauss.
19
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Sea A=(aij)m×n. Para k (índice de fila) tomando los valores 1, 2, . . . ,m− 1 :
1. Si la submatriz Mk de las filas k, (k + 1) , · · · ,m solo tiene coeficientes nulos no hacer nada.
2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el índice j0 más pequeño tal que la columna j0
tenga por lo menos un coeficiente distinto de cero en Mk. Hallar el i0 más pequeño tal que
ai0j0 6= 0 e i0 ≥ k. Si i0 > k operar en la matriz permutando filas k e i0.
3. Para i de k + 1 a m, si aij0 6= 0 cambiar la fila i por la fila i menos
aij0
akj0
la fila k.
EJEMPLO 1.4.5 Consideremos la matriz 2 0 31 3 −6
0 −6 15

Encontrar su forma escalonada: 2 0 31 3 −6
0 −6 15
 E12∼
 1 3 −62 0 3
0 −6 15
 E21(−2)∼
 1 3 −60 −6 15
0 −6 15
 E32(−1)∼
 1 3 −60 −6 15
0 0 0

está es su forma escalonada.
OBSERVACIÓN: Claramente, el algoritmo de Gauss- Jordan permite llevar matrices a la forma esca-
lonada reducida. Prosiga con el proceso en el ejemplo anterior, hasta llegar a la forma escalonada
reducida.
DEFINICIÓN 1.4.6 Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al número de filas no
nulas de la matriz escalonada equivalente a la matriz A original, obtenida, por ejemplo, mediante
el algoritmo de reducción de Gauss. Se denota el rango de la matriz A por ρ (A) o bien rango (A).
EJEMPLOS:
1. Determinar el rango de la matriz A =

1 2 3
4 −1 0
2 1 1
0 0 0
3 −1 2

2. ¿Cuáles son todos los posibles rangos que puede tener una matriz 2× 2? ¿Y 3× 2?
PROPOSICIÓN 1.4.1 Si A ∈Mn×m entonces ρ (A) ≤ mı́n {n,m}.
20
Verónica Gruenberg Stern 1.4. CLASE 4: OPERACIONES ELEMENTALES Y MATRICES ELEMENTALES
Ejercicios Propuestos
1. Determine A25 si A =
0 0 10 1 0
1 0 0

2. Determine la forma escalonada reducida y el rango de la matriz A =

1 1 0
1 2 −1
2 1 1
0 1 −1

3. Hállese el rango de las siguientes matrices:
A =
 1 4 3 22 2 1 1
1 −2 −2 −1
 y B =
 1 4 3 22 2 1 1
1 −2 −2 −1

4. Determine el valor de k para que ρ(A) = 3, si A =
 2 2 3 −13 1 1 0
k −1 −2 1
.
5. Determine las condiciones que deben cumplir h y k para que ρ(A) = 3, si
A =

1 0 2
0 0 k − 2
0 k − 1 h+ 2
0 0 3

6. Hallar los valores de α y β de modo que el rango de la matriz A sea lo más pequeño posible,
con
A =

1 3 −2 −1 4
−2 1 1 2 −3
3 −4 3 1 −2
3 3 0 α 3
3 2 −3 −3 β

21
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
1.5. CLASE 5: Sistemas de ecuaciones lineales
Consideremos el sistema de m ecuaciones y n incógnitas
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm
Usando matrices, el sistema se puede escribir en la forma de una ecuación matricial AX = B,
donde
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

m×n
, X =

x1
x2
...
xn

n×1
, B =

b1
b2
...
bm

m×1
DEFINICIÓN 1.5.1 Considere el sistema de ecuaciones AX = B, A ∈Mm×n (R) , B ∈Mm×1 (R).
Diremos que X0 ∈ Mn×1 (R) es solución del sistema si al reemplazar X0 en la ecuación, ésta se
transforma en una identidad, es decir
AX0 = B
DEFINICIÓN 1.5.2 Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solución. Si el sistema no
tiene solución, diremos que es incompatible.
OBSERVACIÓN: Notar que si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene
infinitas soluciones distintas.
En efecto: Consideremos el sistema de ecuaciones AX = B, y supongamos que X1, X2 son
dos soluciones distintas del sistema.
Sea α ∈ R cualquiera. Demostraremos que αX1 + (1− α)X2 también es solución del sistema:
A
(
αX1 + (1− α)X2
)
= αAX1 + (1− α)AX2 = αB + (1− α)B = B
EJEMPLO 1.5.1 El sistema de ecuaciones lineales
x1 + 2x2 = 4
x2 − x3 = 0
x1 + 2x3 = 4
puede escribirse como una ecuación matricial AX = B, con
22
Verónica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A =
1 2 00 1 −1
1 0 2
 , X =
x1x2
xe
 , B =
40
4

Sistemas Homogéneos
Antes de estudiar los sistemas de ecuaciones lineales generales, consideremos en primer lugar
los sistemas homogéneos, es decir, aquellos en que B = [0].
DEFINICIÓN 1.5.3 Sea A ∈Mm×n(R). El sistema AX = [0] se dice homogéneo.
OBSERVACIÓN:
Sea AX = [0] un sistema homogéneo. Entonces:
1. AX = [0] es siempre compatible, pues X = [0] es solución.
2. Si C ∈Mm×n(R) es tal que C ∼ A, entonces los sistemas AX = [0] y CX = [0] tienen las
mismas soluciones.
Para ver esto, note que las matrices elementales satisfacen:
EijEij = I, Ei (λ)Ei
(
λ−1
)
= I, y Eij (−λ)Eij (λ) = I
Luego, si E es una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe
una matriz E−1 (llamada matriz inversa de E) tal que
E−1E = I
Como A ∼ C, existe una sucesión de matrices elementales E1, E2, . . . , Ek tales que
E1E2 · · ·EkA = C
Sea E = E1E2 · · ·Ek. Luego, si X0 es tal que AX0 = 0 , entonces EAX0 = E0 = 0 de
donde CX0 = 0.
Recíprocamente, si CX1 = 0 entonces E−1CX1 = 0 de donde AX1 = 0.
Por lo tanto, los sistemas tienen las mismas soluciones.
23
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Sistemas no homogéneos
Con el mismo método de la sección anterior es posible mostrar que si E (A) es la matriz escalo-
nada equivalente por filas con A entonces los sistemas
AX = B y E (A)X = EB
tienen las mismas soluciones (E es la matriz formada por el producto de matrices elementales que
escalonan A). Claramente, el segundo sistema es mucho más fácil de resolver.
EJEMPLO 1.5.2 Resolver  1 2 00 −1 2
0 0 2

 xy
z
 =
 12
3

Note que este sistema se puede escribir en la forma
x+ 2y = 1
−y + 2z = 2
2z = 3
De la última ecuación obtenemos z = 32 ; reemplazamos este valor en la segunda ecuación y
despejamos para obtener y = 1; finalmente reemplazamos en la primera ecuación y obtenemos
x = −1.
Lo que hace que el sistema anterior sea fácil de resolver, es que pudimos ir reemplazando los
valores de las variables de manera sucesiva. Notamos que esto queda representado en la forma
matricial, en que la matriz de coeficientes A de la ecuación es triangular superior. Esta simple
observación nos entrega un método para resolver sistemas, el que consiste en obtener el sistema
escalonado equivalente.
DEFINICIÓN 1.5.4 Sea A ∈ Mm×n(R) y B ∈ Mm×1(R). Consideremos el sistema AX = B con
B 6= 0. Llamaremos matriz ampliada del sistema a la matriz
(A |B) =

a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn bm

24
Verónica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
EJEMPLO 1.5.3 El sistema de ecuaciones lineales
x1 + 2x2 = 4
x2 − x3 = 0
x1 + 2x3 = 4
puede describirse con la matriz ampliada 1 2 0 40 1 −1 0
1 0 2 4

La barra vertical solo nos ayuda a distinguir entre los coeficientes del sistema que se encuentran
a la izquierda del signo = y las constantes que se encuentran a la derecha.
Con esta notación, aplicamos el método de Gauss:
 1 2 0 40 1 −1 0
1 0 2 4
 E31(−1)∼
 1 2 0 40 1 −1 0
0 −2 2 0
 E32(2)∼
 1 2 0 40 1 −1 0
0 0 0 0

La segunda fila representa la ecuación: y − z = 0 y la primera representa: x + 2y = 4, de
donde el conjunto solución es
{(4− 2z, z, z) : z ∈ R}.
Una ventaja de esta notación es que nos evita copiar muchas veces las variables y los signos.
Método de solución mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos,AX = B y E (A)X = EB
tienen las mismas soluciones, note que la matrices E (A) y EB aparcen al aplicar las operaciones
elementales que escalonan la matrizA entonces, si aplicamos el método de Gauss para obtener la
escalonada de matriz ampliada del sistema (A,B) estaremos obteniendo la matriz (E (A) , EB).
EJEMPLO 1.5.4 Resolver el sistema 1 2 13 0 1
1 −1 2

 xy
z
 =
 12
0

Formamos la matriz ampliada del sistema
(A,B) =
 1 2 1 13 0 1 2
1 −1 2 0

25
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
aplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada 1 2 1 13 0 1 2
1 −1 2 0
 ∼
 1 2 1 10 −6 −2 −1
0 0 2 −12

y ahora resolvemos el sistema 1 2 10 −6 −2
0 0 2

 xy
z
 =
 1−1
−12

que tiene las mismas soluciones.
TEOREMA 1.5.1 Sea A ∈Mm×n(R) y B ∈Mm×1(R):
1. El sistema AX = B es compatible si y solo si ρ(A) = ρ(A,B)
2. Sea AX = B un sistema compatible.
a) Si ρ(A) = ρ(A,B) = n (número de incógnitas) entonces el sistema tiene solución única.
b) Si ρ(A) = ρ(A,B) < n, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
OBSERVACIÓN: En lugar de aplicar el algoritmo de Gauss, podemos aplicar el algoritmo de Gauss-
Jordan (matriz escalonada reducida) para resolver un sistema equivalente más simple.
Ejercicios propuestos
1. Usar el método de Gauss -Jordan para resolver los sistemas:
a)
2x+ 3y + z = 1
3x− 2y − 4z = −3
5x− y − z = 4
(La solución única es x = 1, y = −1, z = 2 )
b)
2x− y + 3z = 4
3x+ 2y − z = 3
x+ 3y − 4z = −1
(Posee infinitas soluciones : x = 117 −
5
7z, y =
11
7 z −
6
7 ).
c)
x+ y + z − w = 2
2x+ y + w = 5
3x+ z + w = 1
3x+ 2y + z = 3
(No hay solución)
26
Verónica Gruenberg Stern 1.5. CLASE 5: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2. Usar el método de Gauss para resolver:
a)
2x + 3y = 13
x − y = −1
b)
x − z = 0
3x + y = 1
−x + y + z = 4
c)
2x + 2y = 5
x − 4y = 0
d)
−x + y = 1
x + y = 2
e)
x − 3y + z = 1
x + y + 2z = 14
f )
−x − y = 1
−3x − 3y = 2
g)
4y + z = 20
2x − 2y + z = 0
x + z = 5
x + y − z = 10
3. Determine los valores de k ∈ R para los que el sistema
a) tiene solución única; b) tiene infinitas soluciones ; c) no tiene solución, si:
x − y = 1
3x − 3y = k
4. ¿Qué condiciones deben cumplir las constantes bi para que cada sistema tenga solución úni-
ca?
a)
x − 3y = b1
3x + y = b2
x + 7y = b3
2x + 4y = b4
b)
x1 + 2x2 + 3x3 = b1
2x1 + 5x2 + 3x3 = b2
x1 + 8x3 = b3
5. Determine a, b, c ∈ R para que la gráfica de f(x) = ax2 + bx + c pase por los puntos
(1, 2), (−1, 6) y (2, 3).
6. Pruebe que si ad− bc 6= 0, entonces
ax + by = j
cx + dy = k
tiene solución única.
7. Dados 4 números positivos, se sabe que al seleccionar tres cualesquiera de ellos, determinar
su promedio y sumarle el cuarto número, se obtienen los números 29, 23, 21 y 17. ¿Cuàles
son los números originales?
27
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
8. a) Resuelva el sistema
ax + y = a2
x + ay = 1
¿Para qué valores de a ∈ R tiene solución vacía? ¿e infinitas soluciones?
b) Resuelva el sistema
ax + y = a3
x + ay = 1
¿Para qué valores de a ∈ R tiene solución vacía? ¿e infinitas soluciones?
9. Considere el sistema lineal definido en R:
x + ay + 3z = 2
x + (2a− 1)y + 2z = 2
x + ay + (a+ 4)z = 2a+ 4
Determine a ∈ R para que el sistema tenga:
a) Infinitas soluciones b) ninguna solución c) una única solución
10. Considere el sistema lineal definido en R:
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = −2
Determine a ∈ R para que el sistema tenga:
a) Infinitas soluciones b) ninguna solución c) una única solución.
11. Dado el sistema:
x − y + (4a2 + 1)z = b
y + (3− a)z = 0
2x − y + (7− a)z = −2
donde a y b ∈ R,
hallar condiciones para a y b de tal manera que el sistema tenga:
a) Infinitas soluciones b) ninguna solución c) una única solución
12. Resuelva el sistema:
2
x
− 1
y
+ z = 1
1
x
+
3
y
− 2z = 0
4
x
− 3
y
+ z = 2
28
Verónica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZ INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES
1.6. CLASE 6: Matriz Inversa y operaciones elementales
DEFINICIÓN 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es invertible si existe una
matriz cuadrada de orden n, que denotaremos por A−1 tal que AA−1 = A−1A = In
OBSERVACIÓN:
Si una matriz es invertible, también se suele decir que es no singular.
Si la inversa de una matriz existe, es única.
No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si consideramos las matrices
A =
(
1 3
1 1
)
B =
(
2 2
1 1
)
entonces A es invertible y B no lo es. (Verificar directamente suponiendo la existencia y
resolviendo ecuaciones)
PROPOSICIÓN 1.6.1 Sean A,B ∈M(n,K) matrices no singulares (invertibles), entonces:
1. (AB)−1 = B−1A−1
2.
(
A−1
)−1
= A
3.
(
AT
)−1
=
(
A−1
)T
4. (αA)−1 =
1
α
A−1, para todo α 6= 0
5. (An)−1 =
(
A−1
)n para todo entero no negativo n.
1.6.1. Método de Gauss-Jordan para calcular la inversa de una matriz
No disponemos aún de un criterio para decidir si una matriz es o no invertible. El siguiente
teorema nos provee un método para calcular la matriz inversa (en caso de existir) de una matriz
cualquiera.
TEOREMA 1.6.1 Sea A una matriz cuadrada de orden n invertible. Si una sucesión de operaciones
elementales por filas transforma la matriz A en la matriz identidad In, entonces la misma sucesión
de operaciones elementales convierte la matriz In en A−1.
29
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Dem. En efecto: si A es equivalente por filas a la matriz In, entonces existe una sucesión de
operaciones elementales que convierte a la matriz A en la matriz In; esto quiere decir que existe
una sucesión de matrices elementalesE1, E2, . . . , Ek tales queEkEk−1 · · ·E2E1 ·A = In. Si anotamos
B = E
k
E
k−1 · · ·E2E1 , entonces BA = In, es decir B = A−1.
2
OBSERVACIÓN: En la práctica, el teorema anterior nos entrega un método para calcular la inversa
de una matriz A: si A una matriz cuadrada de orden n , invertible, para calcular su inversa
procedemos como sigue:
Construímos una nueva matriz, denominada matriz aumentada, de la forma (A | In). Sobre esta
matriz aumentada (que tiene orden n × 2n), realizamos operaciones elementales hasta obtener
en el lado izquierdo de esta matriz aumentada (es decir en el lado donde está la matriz A), la
matriz identidad; al concluír este proceso, en el lado derecho de la matriz aumentada (es decir
en el lado donde originalmente se encontraba la matriz identidad), aparece la inversa A−1 que
estamos buscando, es decir:
(A | In) ∼ · · · · · · ∼
(
In |A−1
)
EJEMPLO 1.6.1 Calcule la inversa, en caso de existir, de la matriz A =
 2 −1 11 −2 0
0 1 2

Dem.: Formamos la matriz aumentada 2 −1 1 1 0 01 −2 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1

y calculamos mediante operaciones elementales: 2 −1 1 1 0 01 −2 0 0 1 0
0 1 2 0 0 1
 E12∼
 1 −2 0 0 1 02 −1 1 1 0 0
0 1 2 0 0 1
 E21(−2)∼
 1 −2 0 0 1 00 3 1 1 −2 0
0 1 2 0 0 1

E32∼
 1 −2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 3 1 1 −2 0
 E32(−3)∼
 1 −2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 0 −5 1 −2 −3
 E3(− 15)∼
 1 −2 0 0 1 00 1 2 0 0 1
0 0 1 −15
2
5
3
5

E23(−2)∼
 1 −2 0 0 1 00 1 0 25 −45 −15
0 0 1 −15
2
5
3
5
 E12(2)∼
 1 0 0
4
5 −
3
5 −
2
5
0 1 0 25 −
4
5 −
1
5
0 0 1 −15
2
5
3
5

30
Verónica Gruenberg Stern 1.6. CLASE 6: MATRIZ INVERSA Y OPERACIONES ELEMENTALES
Se sigue que
A−1 =

4
5 −
3
5 −
2
5
2
5 −
4
5 −
1
5
−15
2
5
3
5

Verifique que AA−1 = A−1A = I3.
TEOREMA 1.6.2 Una matriz cuadrada A de orden n es invertible si, y solo si, ρ(A) = n.
Ejercicios Propuestos
1. Sean A, B, C ∈Mn(K) invertibles. Demuestre que:
a) ABC es invertible
b) (ABC)−1 = C−1B−1A−1
2. Suponga que A3 = [0]. Muestre que I −A es invertible.
3. a) Hallar matrices A y B invertibles, pero que A+B no lo sea.
b) Hallar matrices A y B no invertibles, y que A+B si lo sea.
4. Si B es la inversa de A2, probar que AB es la inversa de A.
5. Sean A,B matrices, A de orden p× q y B de orden q × p, con q < p.
a) Demostrar que AB es singular.
b) Muestre que BA puede ser no singular.
6. Hallar la matriz X en la ecuación (AX−1B)t = AB, donde
A =
 1 1 10 1 2
3 1 0
 y B =
 0 0 11 2 0
1 1 0

7. Resolver X en la ecuación: (AXt +B)t = XC −Dcon At − C invertible.
8. Usando operaciones elementales calcular la inversa de
 1 −2 02 −3 1
1 1 5

31
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
9. Calcular A−1 si
A =

6 2 1 0 5
2 1 1 −2 1
1 1 2 −2 3
3 0 2 3 −1
−1 −1 −3 4 2

10. ¿Qué condiciones deben cumplir a y b de modo que A sea invertible?
A =

a 0 b 0
0 a 0 b
b 0 a 0
0 b 0 a

11. Sean E, F, T matrices cuadradas de orden n, tal que E es no singular, EF = FE y T 2 = F .
Demuestre que: (E−1TE)2 = F .
12. Una matriz A es ortogonal si y sólo si At = A−1. Si A es una matriz ortogonal, demuestre
que A−1 es ortogonal y At es ortogonal.
32
Verónica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
1.7. CLASE 7: Determinantes
DEFINICIÓN 1.7.1 Sea A ∈Mn(R).
Se llama menor de orden ij de A y se denota por Mij al determinante de orden n− 1 obtenido
eliminando la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A.
Se llama cofactor de orden ij de A, denotado por Cij , al número Cij = (−1)i+jMij
EJEMPLO 1.7.1 Consideremos la matriz A =
 2 4 −10 3 2
−5 1 6
 Calcular M13, M21, C13 y C21.
Solución: Eliminemos la primera fila y la tercera columna de A:
A =
 2 4 −10 3 2
−5 1 6
 y obtenemos el menor M13 =
∣∣∣∣∣ 0 3−5 1
∣∣∣∣∣ = 15
Si eliminamos la segunda fila y la primera columna
A =
 2 4 −10 3 2
−5 1 6
 obtenemos el menor M21 =
∣∣∣∣∣ 4 −11 6
∣∣∣∣∣ = 25
Calculemos los cofactores:
C13 = (−1)1+3M13 = (−1)415 = 15, C21 = (−1)2+1M21 = (−1)325 = −25
DEFINICIÓN 1.7.2 Sea A ∈Mn(R). El determinante de A es una función
det : Mn(R) −→ R
que a cada matriz A le asocia el número real que denotamos por det(A). También se usa la nota-
ción det(A) = |A|.
La forma en la cual actúa la función determinante en una matriz cuadrada de orden n es la
siguiente:
Para n = 1 : det(a) = a
Para n = 2 : det
(
a b
c d
)
= ad− bc
33
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Para n > 2 el determinante de A = (aij) ∈Mn×n(R) es el número real
det(A) =

n∑
i=1
(−1)i+jaijMij =
n∑
i=1
aijCij , para 1 ≤ j ≤ n (con j fijo)
n∑
j=1
(−1)i+jaijMij =
n∑
j=1
aijCij , para 1 ≤ i ≤ n (con i fijo)
EJEMPLO 1.7.2 Calculemos el determinante de la matriz A =
 2 4 −10 3 2
−5 1 6

Fijemos una fila i = 1, entonces
det(A) =
3∑
j=1
(−1)i+ja1jM1j = a11M11 − a12M12 + a13M13
det(A) = 2
∣∣∣∣∣ 3 21 6
∣∣∣∣∣− 4
∣∣∣∣∣ 0 2−5 6
∣∣∣∣∣− 1
∣∣∣∣∣ 0 3−5 1
∣∣∣∣∣ = −23
Si fijamos una columna, por ejemplo j = 1, se tiene
det(A) =
3∑
i=1
(−1)i+jai1Mi1 = a11M11 − a21M21 + a31M31
det(A) = 2
∣∣∣∣∣ 3 21 6
∣∣∣∣∣− 0
∣∣∣∣∣ 4 −11 6
∣∣∣∣∣− 5
∣∣∣∣∣ 4 −13 2
∣∣∣∣∣ = −23
1.7.1. Propiedades de los determinantes
PROPOSICIÓN 1.7.1 Sean A ∈ Mn×n(R) y B ∈ Mn×n(R)
1. det(A) = det(AT )
2. Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero, entonces el valor del
determinante es cero.
3. det(In) = 1
4. El determinante de una matriz diagonal o triangular es igual al producto de los elementos
de la diagonal.
34
Verónica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
5. Si α ∈ R, entonces det(αA) = αn det(A)
6. det(AB) = det(A) det(B)
7. Si A tiene dos filas( o columnas) iguales o proporcionales, entonces det(A) = 0.
8. Si se intercambian dos filas (o columnas) en una matriz su determinante cambia de signo.
9. Si B se obtiene a partir de A multiplicando una fila (o columna) de A por un número k,
entonces det(B) = k det(A).
10. SiB se obtiene a partir deA, sumando a una fila (o columna) otra fila (o columna) amplificada
por un factor k, entonces det(B) = det(A).
EJEMPLO 1.7.3 Sea A =
(
1 2
3 4
)
, entonces el det(A) = −2. Si la primera fila de A se multiplica por
3, obtenemos B =
(
3 6
3 4
)
y det(B) = −6 = 3 det(A). Si la primera fila de A la multiplicamos por
-3 y se la sumamos a la segunda fila de A, obtenemos la matriz B =
(
1 2
0 −2
)
y det(B) = −2 =
det(A).
EJEMPLO 1.7.4 Calculemos el siguiente determinante usando la propiedad 10∣∣∣∣∣∣∣
1 −3 4
−2 5 −1
3 1 0
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
1 −3 4
0 −1 7
0 10 −12
∣∣∣∣∣∣∣ = 1 ·M11 =
∣∣∣∣∣ −1 710 −12
∣∣∣∣∣ = −58
DEFINICIÓN 1.7.3 La adjunta de una matriz A, denotada por adj(A), es definida por
adj(A) = CT
donde C = (Cij) es la matriz de cofactores. Es decir, la matriz adjunta es la traspuesta de la matriz
de los cofactores.
EJEMPLO 1.7.5 Sea A =
(
a b
c d
)
. La matriz de cofactores es C =
(
d −c
−b a
)
. Por lo tanto,
adj(A) =
(
d −b
−c a
)
35
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
Consideremos la matriz A =
−2 3 −14 0 5
2 1 −1
, la matriz de cofactores es C =
−5 14 42 4 8
15 6 −12
. Por
lo tanto,
adj(A) =
−5 2 1514 4 6
4 8 −12

TEOREMA 1.7.1
A · adj(A) = det(A) · In y adj(A) ·A = det(A) · In
Note que, sí det(A) 6= 0, entonces A es no singular (invertible) y
A−1 =
1
det(A)
adj(A)
Además, si A es no singular, entonces
1 = det(In) = det(AA
−1) = det(A) det(A−1) =⇒ det(A) 6= 0
y concluimos que
det(A−1) =
1
det(A)
TEOREMA 1.7.2 Si A ∈Mn×n(R), entonces A es no singular sí y solo sí det(A) 6= 0
EJERCICIOS: Calcular el determinante ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a a a a
a b b b
a b c c
a b c d
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Desarrollo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a a a a
a b b b
a b c c
a b c d
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a a a a
0 b− a b− a b− a
0 b− a c− a c− a
0 b− a c− a d− a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a (b− a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 b− a b− a
1 c− a c− a
1 c− a d− a
∣∣∣∣∣∣∣
= a (b− a)
∣∣∣∣∣∣∣
1 b− a b− a
0 c− b c− b
0 c− b d− b
∣∣∣∣∣∣∣ = a (b− a) (c− b)
∣∣∣∣∣ 1 c− b1 d− b
∣∣∣∣∣
= a (b− a) (c− b) (d− b− (c− b)) = a (b− a) (c− b) (d− c)
36
Verónica Gruenberg Stern 1.7. CLASE 7: DETERMINANTES
EJERCICIOS: Resolver la ecuación∣∣∣∣∣∣∣
x− a− b a b
c x− b− c b
c a x− a− c
∣∣∣∣∣∣∣ = 0
∣∣∣∣∣∣∣
x− a− b a b
c x− b− c b
c a x− a− c
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
x− a− b a+ b b
c x− c b
c x− c x− a− c
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
x a+ b b
x x− c b
x x− c x− a− c
∣∣∣∣∣∣∣
= x
∣∣∣∣∣∣∣
1 a+ b b
1 x− c b
1 x− c x− a− c
∣∣∣∣∣∣∣ = x
∣∣∣∣∣∣∣
1 a+ b b
0 x− c− a− b 0
0 x− c− a− b x− a− c− b
∣∣∣∣∣∣∣ = x
∣∣∣∣∣ x− c− a− b 0x− c− a− b x− a− c− b
∣∣∣∣∣
= x (x− (a+ b+ c))2
las soluciones son x = 0 y x = a+ b+ c.
EJERCICIOS: Muestre que∣∣∣∣∣∣∣
y1 + z1 z1 + x1 x1 + y1
y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2
y3 + z3 z3 + x3 x3 + y3
∣∣∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣
Desarrollo:∣∣∣∣∣∣∣
y1 + z1 z1 + x1 x1 + y1
y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2
y3 + z3 z3 + x3 x3 + y3
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
y1 − x1 z1 + x1 x1 + y1
y2 − x2 z2 + x2 x2 + y2
y3 − x2 z3 + x3 x3 + y3
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
2y1 z1 + x1 x1 + y1
2y2 z2 + x2 x2 + y2
2y3 z3 + x3 x3 + y3
∣∣∣∣∣∣∣ =
2
∣∣∣∣∣∣∣
y1 z1 + x1 x1 + y1
y2 z2 + x2 x2 + y2
y3 z3 + x3 x3 + y3
∣∣∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣∣∣
y1 z1 + x1 x1
y2 z2 + x2 x2
y3 z3 + x3 x3
∣∣∣∣∣∣∣ = 2
∣∣∣∣∣∣∣
y1 z1 x1
y2 z2 x2
y3 z3 x3
∣∣∣∣∣∣∣ = −2
∣∣∣∣∣∣∣
x1 z1 y1
x2 z2 y2
x3 z3 y3
∣∣∣∣∣∣∣
= 2
∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣
37
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
1.7.2. Regla de Cramer
Es un método para resolver sistemas de ecuaciones, útil en aspectos teóricos, y en lo práctico,
útil solo para sistemas cuadrados muy pequeños. Sea
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
...
an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn
un sistema lineal con n ecuaciones y n incógnitas. Resolver este sistema es equivalente a resolver
la ecuación matricial AX = B, donde
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
 , X =

x1
x2
...
xn
 , B =

b1
b2
...
bn

Si det(A) 6= 0, entonces el sistema tiene una única solución dada por:
x1 =
|A1|
|A|
, x2 =
|A2|
|A|
, x3 =
|A3|
|A|
, . . . , xn =
|An|
|A|
donde Ai es la matriz obtenida a partir de A al reemplazar su i-ésima columna por la matriz B.
La demostración se basa en escribir
X = A−1B =
1
det(A)
adj(A)B
e identificar los elementos de adj(A)B como los determinantes señalados.
EJEMPLO 1.7.6 Resolver el sistema
−2x1 + 3x2 − x3 = 1
x1 + 2x2 − x3 = 4
−2x1 − x2 + x3 = −3
⇐⇒
−2 3 −11 2 −1
−2 −1 1

x1x2
x3
 =
 14
−3

Solución: Como det(A) = −2, obtenemos:
x1 =
∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −1
4 2 −1
−3 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣|A|
=
−4
−2
= 2, x2 =
∣∣∣∣∣∣∣
−2 1 −1
1 4 −1
−2 −3 1
∣∣∣∣∣∣∣
|A|
=
−6
−2
= 3
38
Verónica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTÁMENES
x3 =
∣∣∣∣∣∣∣
−2 3 1
1 2 4
−2 −1 −3
∣∣∣∣∣∣∣
|A|
=
−8
−2
= 4
1.8. Ejercicios de Controles y Certámenes
1. Determinar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) A ∈Mn×n(C), n impar ⇒ det(A−At) = 0.
b) A+At es simétrica.
c) ∃A ∈M2×2(C) tal que A2 +A = −I2.
d) Si A =
1 0 00 a −b
0 b a
 , a 6= 0 ∨ b 6= 0 ⇒ ∃A−1.
2. Determinar la relación que deben cumplir a, b, c, d para que el siguiente sistema tenga infini-
tas soluciones:
x1 + ax2 + a
2x3 + a
3x4 = 0
x1 + bx2 + b
2x3 + b
3x4 = 0
x1 + cx2 + c
2x3 + c
3x4 = 0
x1 + dx2 + d
2x3 + d
3x4 = 0
3. Si A =
1 1 11 0 1
1 2 1
 , B =
1 1 00 1 0
1 0 1
 , resolver (Xt +Bt)t = A2 +BAB.
4. Sea A =
4 1 82 −1 3
1 0 2
. Sabiendo que A es invertible, determine A−1 usando operaciones
elementales.
5. Demuestre que si B es una matriz de orden 2 que conmuta con toda matriz A (de orden 2),
entonces B es de la forma
(
k 0
0 k
)
, para algún k ∈ R.
39
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
6. Sea A =

1 2 3 4
0 2 3 4
λ 0 3 4
µ 0 0 4

a) Determine la relación entre λ y µ para que exista A−1.
b) Si λ = µ = 0, calcule A−1.
7. Usando el método de la matriz ampliada, determine los valores de λ ∈ R tales que el sistema
1
2
x + y +
1
2
z = 2
4x + y + 4z = 5
3x − y + λ
2
z = 1
 tenga
a) infinitas soluciones.
b) solución única.
c) solución vacía.
8. Determine X (matriz) tal que (A−1 ·X ·A)−1 = A2, donde A =
 3 −2 −1−4 1 −1
2 0 1
.
9. Sin usar la expansión de Laplace (ni en particular la regla mnemotécnica para determinantes
de matrices de 3× 3) demuestre, usando sólo propiedades, que∣∣∣∣∣∣∣
0 a b
−a 0 c
−b −c 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 0 , ∀a, b, c ∈ R
10. Dado el sistema de ecuaciones
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = y1
2x1 + x2 + 4x3 + x4 = y2
3x1 + 4x2 + x3 + 5x4 = y3
a) para qué valores de y1, y2, y3 ∈ R el sistema tiene solución?
b) para qué valores de y1, y2, y3 ∈ R el sistema no tiene solución?
c) Resuelva el sistema para y1 = y2 = y3 = 1.
40
Verónica Gruenberg Stern 1.8. EJERCICIOS DE CONTROLES Y CERTÁMENES
11. Sea A(θ) =
1 0 00 cos θ − sen θ
0 sen θ cos θ
.
a) Determine el (los) valor (es) para θ tales que I3 +A(θ) no sea invertible.
b) Compruebe que (I3 −A(π/2))(I3 +A(π/2))−1 =
0 0 00 0 1
0 −1 0

12. Calcule el valor del determinante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 1 1 1 1
3 −1 1 1 1 1
3 1 −1 1 1 1
3 1 1 −1 1 1
3 1 1 1 −1 1
3 1 1 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
41
CAPÍTULO 1. MATRICES Verónica Gruenberg Stern
42
Capítulo 2
Vectores en Rn
2.1. CLASE 8: Vectores en el plano y en el espacio
A partir de la representación de R como una recta numérica, los elementos o puntos del plano
(a, b) ∈ R × R = R2 se asocian con puntos de un plano definido por dos rectas perpendiculares,
cada una representando una recta real, que al mismo tiempo definen un sistema de coordenadas
rectangulares, donde la interseccón representa a (0, 0) y cada par ordenado (a, b) se asocia con un
punto de coordenada a en la recta horizontal (eje de las abcisas o eje X) y la coordenada b en la
recta vertical (eje de las ordenadas o eje Y).
Analógamente, los elementos (a, b, c) ∈ R × R × R = R3 se asocian con puntos en el espacio
tridimensional definido con tres rectas mutuamente perpendiculares. Estas rectas forman los ejes
del sistema de coordenadas rectangulares (ejes X, Y y Z).
Los vectores se pueden representar mediante segmentos de recta dirigidos, o flechas, en R2 y
en R3. La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina
su magnitud.
Denotaremos los vectores con letras minúsculas con un flecha arriba tales como −→v ,−→w ,−→z . Los
puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como A,B,C. En el contexto de los vectores, los
números reales serán llamados escalares y se denotarán con letras minúsculas tales como α, β, γ.
Si el punto inicial de un vector −→v es A y el punto final es B, entonces −→v =
−−→
AB. El vector nulo
se denota con
−→
0 = (0, 0, . . . , 0) ∈ Rn.
En lo que sigue y con el afán de generalizar, estudiaremos las propiedades de los vectores en
Rn.
DEFINICIÓN 2.1.1 Un vector en Rn es un n-tupla (x1, x2, . . . , xn) con cada xi ∈ R. A xi se le llama
componente i-ésima del vector.
En R3 utilizaremos la notación especial
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) y
−→
k = (0, 0, 1) y les
llamaremos vectores canónicos.
43
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
2.1.1. Operaciones básicas
DEFINICIÓN 2.1.2 (Igualdad de vectores) Dos vectores son iguales si tienen, en el mismo orden,
las mismas componentes. Es decir, si −→v = (v1, v2, . . . , vn) y −→w = (w1, w2, . . . , wn) entonces
−→v = −→w si y solo si vi = wi ∀i = 1, . . . n
DEFINICIÓN 2.1.3 (Suma de vectores) Sean −→v = (v1, v2, . . . , vn) y −→w = (w1, w2, . . . , wn) vectores
en Rn. Se define la suma de vectores como
−→v +−→w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn)
DEFINICIÓN 2.1.4 (Producto por escalar) Si −→v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn y k ∈ R entonces
k−→v = (kv1, kv2, . . . , kvn)
OBSERVACIÓN: Si −→v = (v1, v2, v3) ∈ R3 entonces podemos escribir
−→v = v1
−→
i + v2
−→
j + v3
−→
k
OBSERVACIÓN: En clases, verá la interpretación geométrica de la suma y resta de vectores, y tam-
bién el significado geométrico de la multiplicación por escalar.
PROPOSICIÓN 2.1.1 Sean −→u ,−→v ,−→w ∈ Rn vectores y α, β ∈ R. Entonces:
1. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w ) (propiedad asociativa)
2. −→u +−→0 = −→u (existencia del neutro aditivo, que es el vector −→0 )
3. ∃ (−−→v ) ∈ R3 : −→v + (−−→v ) = −→0 (existencia del inverso aditivo)
4. −→v +−→w = −→w +−→v (propiedad conmutativa)
5. α (−→v +−→w ) = α−→v + α−→w (propiedad distributiva)
6. (α+ β)−→v = α−→v + β−→v (propiedad distributiva)
7. α (β−→v ) = (αβ)−→v
8. 0−→v = −→0
9. 1−→v = −→v
44
Verónica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
2.1.2. Producto punto y norma
El producto punto (o producto escalar) es una operación entre vectores cuyo resultado un escalar.
DEFINICIÓN 2.1.5 (Producto punto) Sean−→v = (v1, v2, . . . , vn) y −→w = (w1, w2, . . . , wn) vectores en
Rn. El producto punto (o producto escalar) entre los vectores −→v y −→w , que denotamos por −→v · −→w
o también 〈−→v ,−→w 〉 se define de la siguiente manera
−→v · −→w ≡ 〈−→v ,−→w 〉 ≡
n∑
i=1
viwi
EJEMPLOS:
1. Calcule (1, 7,−3) · (5,−1, 2)
Solución (1, 7,−3) · (5,−1, 2) = 1 · 5 + 7 · (−1) + (−3) · 2 = −8
2. Determine α ∈ R tal que (α, 4) · (α,−9) = 0
Solución (α, 4) · (α,−9) = 0 ⇒ α2 − 13 = 0 ⇒ α = ±
√
13
TEOREMA 2.1.1 Sean −→u ,−→v ,−→w ∈ Rn vectores y α ∈ R. Entonces:
1. −→v · −→v ≥ 0
2. −→v · −→0 = 0
3. −→v · −→w = −→w · −→v
4. −→v · (−→w +−→u ) = −→v · −→w +−→v · −→u
5. (α−→v ) · −→w = α (−→v · −→w )
Dem.: Demostraremos solo la propiedad 1.:
−→v · −→v =
n∑
i=1
v2i ≥ 0 pues es suma de cuadrados.
Notar además, que −→v · −→v = 0 ⇐⇒ −→v = −→0
45
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
2.1.3. Norma de un vector
DEFINICIÓN 2.1.6 Consideremos el vector −→v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Rn. La norma o magnitud de −→v ,
denotada por ‖−→v ‖, está dada por
‖−→v ‖ =
√−→v · −→v =
(
n∑
i=1
v2i
)1/2
La distancia entre los vectores −→v y −→w en Rn, denotada por d (−→v ,−→w ) está definida por
d (−→v ,−→w ) = ‖−→v −−→w ‖
OBSERVACIÓN: En R2 y R3 la norma de un vector −→v mide la magnitud del vector. Si consideramos
el punto A en el plano o en el espacio asociado al vector −→v , su norma representa la distancia del
punto al origen. Note que al considerar la interpretación geométrica de la resta de vectores, la
expresión para distancia entre dos puntos es, de forma natural, la magnitud del vector resta.
Si n = 1, 2 o 3, la distancia así definida coincide con la distancia euclideana usual.
En efecto, si n = 1, −→u = u ∈ R, −→v = v ∈ R, por lo que la distancia
d(−→u ,−→v ) = d(u, v) =
√
(u− v)2 = |u− v|
Si n = 2, −→u = (u1,u2), −→v = (v1, v2), entonces
d(−→u ,−→v ) = ‖−→u −−→v ‖ =
√√√√ 2∑
i=1
(ui − vi)2 =
√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2
Análogamente en el caso en que n = 3.
PROPOSICIÓN 2.1.2 Consideremos los vectores −→v ,−→w ∈ Rn y α ∈ R. Entonces:
1. ‖−→v ‖ ≥ 0 y ‖−→v ‖ = 0⇔ −→v = −→0 .
De esta propiedad obtenemos que d (−→v ,−→w ) ≥ 0, y además d (−→v ,−→w ) = 0⇔ −→v = −→w .
2. ‖α−→v ‖ = |α| ‖−→v ‖
3. ‖−→v −−→w ‖ = ‖−→w −−→v ‖ de donde d (−→v ,−→w ) = d (−→w ,−→v ).
4. ‖−→v +−→w ‖ ≤ ‖−→v ‖+ ‖−→w ‖ (Desigualdad triangular)
5. |−→v · −→w | ≤ ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ (Desigualdad de Cauchy-Schwartz)
46
Verónica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Dem.: Demostraremos sólo 4 y 5.
5. Sean −→u ,−→v ∈ Rn. Luego, ∀t ∈ R:
‖t−→u −−→v ‖2 ≥ 0, es decir:
(tu1 − v1)2 + (tu2 − v2)2 + · · ·+ (tun − vn)2 ≥ 0
Reescribiendo esta relación como una ecuación cuadrática en la variable t:
(
n∑
i=1
u2i
)
t2 − 2
(
n∑
i=1
uivi
)
t +
(
n∑
i=1
v2i
)
≥ 0
Esto significa que el discriminante de la correspondiente ecuación de segundo grado en t es
menor o igual a 0, es decir,
4
(
n∑
i=1
uivi
)2
− 4
(
n∑
i=1
u2i
) (
n∑
i=1
v2i
)
≤ 0
⇐⇒
(
n∑
i=1
uivi
)2
≤
(
n∑
i=1
u2i
) (
n∑
i=1
v2i
)
y extrayendo raíz cuadrada a ambos lados de la desigualdad, obtenemos la desigualdad
pedida.
4.
‖−→u +−→v ‖2 = (−→u +−→v ) · (−→u +−→v )
= ‖−→u ‖2 + 2 (−→u · −→v ) + ‖−→v ‖2
≤ ‖−→u ‖2 + 2 |−→u · −→v | + ‖−→v ‖2
≤ ‖−→u ‖2 + 2 ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ + ‖−→v ‖2
≤ (‖−→u ‖+ ‖−→v ‖)2
Nuevamente, extrayendo raíz cuadrada, obtenemos lo pedido.
DEFINICIÓN 2.1.7 Un vector se dice unitario si su norma es 1.
EJEMPLO 2.1.1 Si −→v 6= −→0 entonces −→w = −→v / ‖−→v ‖ es unitario. También, notar que ∀θ ∈ R :
−→vθ = (cos θ, sen θ) es unitario.
47
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
2.1.4. Ángulo entre vectores
Considere −→v y −→w vectores en R2. Entonces, −→v ,−→w y −→v − −→w forman un triángulo con lados de
magnitudes ‖−→v ‖ , ‖−→w ‖ y ‖−→v −−→w ‖ respectivamente. Por el teorema del coseno para triángulos, se
sigue que
‖−→v −−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 − 2 ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos θ
Por otro lado
‖−→v −−→w ‖2 = (−→v −−→w ) · (−→v −−→w )
= ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2 − 2−→v · −→w
Igualando ambas expresiones, obtenemos que
−→v · −→w = ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos θ
En el caso general, si −→v y −→w vectores en Rn entonces por la desigualdad de Cauchy-SchwarzS
−1 ≤
−→v · −→w
‖−→v ‖ ‖−→w ‖
≤ 1
Luego, existe un único θ ∈ [0, π] tal que
cos θ =
−→v · −→w
‖−→v ‖ ‖−→w ‖
DEFINICIÓN 2.1.8 Si −→v y −→w son vectores en Rn no nulos, el ángulo θ entre −→v y −→w es el único
θ ∈ [0, π] tal que
−→v · −→w = ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos θ
Denotaremos tal ángulo por ]−→v ,−→w .
DEFINICIÓN 2.1.9 Sean −→v y −→w son vectores en Rn no nulos. Diremos que:
1. −→v y −→w son perpendiculares u ortogonales si ]−→v ,−→w = π2 . Esto es equivalente a
−→v · −→w = 0
2. −→v y−→w son paralelos si ]−→v ,−→w = 0∨]−→v ,−→w = π. Esto es equivalente a−→v = λ−→w para algún
λ ∈ R.
48
Verónica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
2.1.5. Producto cruz en R3
En esta sección definiremos un producto vectorial que nos permite encontrar un vector que es
perpendicular a dos vectores dados del espacio, es decir, en R3.
DEFINICIÓN 2.1.10 Sean −→u = (u1, u2, u3) y −→v = (v1, v2, v3) vectores en R3. Definimos el producto
cruz entre −→u y −→v , que denotamos por −→u ×−→v como el vector
−→u ×−→v = (u2v3 − u3v2)
−→
i − (u1v3 − u3v1)
−→
j + (u1v2 − u2v1)
−→
k
Recordemos que en R3:
−→
i = (1, 0, 0),
−→
j = (0, 1, 0) y
−→
k = (0, 0, 1), entonces
−→u ×−→v = ((u2v3 − u3v2) ,− (u1v3 − u3v1) , (u1v2 − u2v1))
OBSERVACIÓN: La definición de producto cruz se puede recordar y trabajar como un determinante
de la siguiente manera:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣∣
OBSERVACIÓN: El vector −→u ×−→v es perpendicular a −→u y −→v . Note que en dos dimensiones esto no
tiene sentido.
EJEMPLO 2.1.2 Sean −→u = (1, 2,−1) y −→u = (1, 0,−1). Calcular −→u ×−→v .
Solución:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 2 −1
1 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣ =
−→
i
∣∣∣∣∣ 2 −10 −1
∣∣∣∣∣−−→j
∣∣∣∣∣ 1 −11 −1
∣∣∣∣∣+−→k
∣∣∣∣∣ 1 21 0
∣∣∣∣∣
= −2−→i −−→j (0) +
−→
k (−2) = −2−→i − 2
−→
k = (−2, 0,−2)
PROPOSICIÓN 2.1.3 Sean −→u = (u1, u2, u3) ,−→v = (v1, v2, v3) y −→w = (w1, w2, w3) vectores en R3.
Entonces
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣
49
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
Dem.: En efecto: sabemos que
−→v ×−→w =
(∣∣∣∣∣ v2 v3w2 w3
∣∣∣∣∣ ,−
∣∣∣∣∣ v1 v3w1 w3
∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣ v1 v2w1 w2
∣∣∣∣∣
)
y si −→u = (u1, u2, u3) entonces
−→u · (−→v ×−→w ) = u1
∣∣∣∣∣ v2 v3w2 w3
∣∣∣∣∣− u2
∣∣∣∣∣ v1 v3w1 w3
∣∣∣∣∣+ u3
∣∣∣∣∣ v1 v2w1 w2
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣
(es el desarrollo del determinante por la primera fila en cofactores).
Note además que
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣∣ = (−→u ×−→v ) · −→w
OBSERVACIÓN: Este producto entre 3 vectores en R3 se conoce como producto mixto entre ellos.
TEOREMA 2.1.2 El producto vectorial o producto cruz cumple las siguientes propiedades:
1. ∀−→u ∈ R3 : −→u ×−→u = −→0
2. ∀−→u ,−→v ∈ R3 : −→u ⊥ (−→u ×−→v ) y −→v ⊥ (−→u ×−→v )
3. ∀−→u ,−→v ∈ R3 : (−→u ×−→v ) = − (−→v ×−→u )
4. ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ R3 : (−→u +−→v )×−→w = −→u ×−→w +−→v ×−→w
5. ∀−→u ,−→v ,−→w ∈ R3 : −→u × (−→v +−→w ) = −→u ×−→v +−→u ×−→w
6. ∀−→u ,−→v ∈ R3 ∀λ ∈ R : λ (−→u ×−→v ) = (λ−→u )×−→v = −→u × (λ−→v )
OBSERVACIÓN: Dejamos como ejercicio la demostración de estas propiedades, para lo que reco-
mendamos utilizar las propiedades de los determinantes y la proposición anterior.
50
Verónica Gruenberg Stern 2.1. CLASE 8: VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
EJEMPLO 2.1.3 Simplificar la expresión
[(−→u +−→v )× (2−→u −−→v )] · −→u
Desarrollo: Por las propiedades recién enunciadas
(−→u +−→v )× (2−→u −−→v )
= (−→u +−→v )× (2−→u ) + (−→u +−→v )× (−−→v )
= −→u × (2−→u ) +−→v × (2−→u ) +−→u × (−−→v ) +−→v × (−−→v )
= 2 (−→u ×−→u ) + 2 (−→v ×−→u )− (−→u ×−→v )− (−→v ×−→v )
= 0 + 2 (−→v ×−→u )− (−→u ×−→v ) + 0
= −3 (−→u ×−→v )
Luego
[(−→u +−→v )× (2−→u −−→v )] · −→u = (−3 (−→u ×−→v )) · −→u = 0
TEOREMA 2.1.3 (Identidad de Lagrange) Para cada −→v , −→w en R3 se tiene
(−→v · −→w )2 + ‖−→v ×−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2
Dem.: Ejercicio.
Gracias a la identidad de Lagrange, podemos mostrar lo siguiente: como−→v ·−→w = ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos θ
se sigue que
(‖−→v ‖ ‖−→w ‖ cos θ)2 + ‖−→v ×−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2
luego
‖−→v ×−→w ‖2 = ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2 − ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2 cos2 θ
= ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2
(
1− cos2 θ
)
= ‖−→v ‖2 ‖−→w ‖2 sen 2θ
Esto nos lleva a la siguiente:
PROPOSICIÓN 2.1.4 Sean −→v y −→w vectores en R3. Entonces
‖−→v ×−→w ‖ = ‖−→v ‖ ‖−→w ‖ |sen θ|
donde θ ∈ [0, π] es el ángulo que forman −→v e −→w .
51
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
EJERCICIOS:
1. Considere un paralelógramo determinado por dos vectores −→u y −→v en R3 si ]−→u ,−→v = θ
entonces el área del paralelógramo es A = ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ sen θ = ‖−→u ×−→v ‖. Notar que de esta
forma se puede calcular el área de un triángulo por
A =
‖−→u ×−→v ‖
2
2. Considere un paralelepipedo en el espacio determinado por tres vectores no coplanares
−→u ,−→v ,−→w ∈ R3 entonces el volúmen del paralelepípedo esta dado por
V = |−→w · (−→u ×−→v )| =
∣∣∣∣∣∣∣det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣∣
52
Verónica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRÍA DEL PLANO Y EL ESPACIO
2.2. CLASE 9: Geometría del Plano y el Espacio
2.2.1. Proyecciones
Geométricamente, lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogo-
nalmente el vector −→u 6= 0 sobre el vector −→w . Si denotamos a este vector con proy−→u−→w entonces, para
algún t ∈ R, se debe cumplir
proy
−→u−→w = t
−→w
−→w · (−→u − t−→w ) = 0
Entonces
−→w · −→u − t ‖−→w ‖2 = 0 =⇒ t =
−→w · −→u
‖−→w ‖2
Se sigue
proy
−→u−→w =
(−→w · −→u
‖−→w ‖2
)
−→w
DEFINICIÓN 2.2.1 Sean −→u y −→w son vectores en Rn, −→w 6= −→0 . Se define el vector proyección de −→u
sobre −→w como el vector
proy
−→u−→w =
(−→w · −→u
‖−→w‖2
)
−→w
OBSERVACIÓN: El vector −→u − proy−→u−→w se llama componente de
−→u ortogonal a −→w .
EJEMPLO 2.2.1 Considere un triángulo en R3 determinado por los vértices en los puntos A,B,C.
Encuentre su área.
Solución: Sean −→u = B −A, −→w = C −A. Entonces, la altura del triángulo es
h =
∥∥∥−→u − proy−→u−→w∥∥∥
de donde el área pedida es
A =
1
2
‖−→w ‖
∥∥∥−→u − proy−→u−→w∥∥∥
53
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
2.2.2. Rectas en el espacio
DEFINICIÓN 2.2.2 En R3, sea −→p un punto dado y
−→
d un vector no nulo. Definimos la recta que pasa
por −→p y es paralela a
−→
d (o tiene dirección
−→
d ), como el conjunto de puntos
L =
{−→p + λ−→d : λ ∈ R}
El vector
−→
d se llama vector director de la recta L.
Escribamos la relación que define a una recta en el espacio, en términos de coordenadas. Sea
−→p = (x0, y0, z0),
−→
d = (d1, d2, d3). Un punto (x, y, z) pertenece a la recta si
−→x = (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3) λ ∈ R
que es la ecuación vectorial de la recta.
De esta ecuación, podemos escribir:
x = x0 + λd1
y = y0 + λd2
z = z0 + λd3
Esta forma de escribir la ecuación de la recta se llama ecuación paramétrica de la recta, o forma
paramétrica de la ecuación, de parámetro λ.
Si en cada ecuación anterior despejamos el parámetro λ obtenemos
λ =
x− x0
d1
λ =
y − y0
d2
λ =
z − z0
d3
=⇒ x− x0
d1
=
y − y0
d2
=
z − z0
d3
Esta forma de presentar una recta en el espacio se conoce como las ecuaciones simétricas o ecua-
ción cartesiana de la recta.
OBSERVACIÓN:
1. Supongamos que una componente del vector director es igual a 0, digamos d1. Entonces, la
ecuación simétrica queda de la forma:
x = x0,
y − y0
d2
=
z − z0
d3
54
Verónica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRÍA DEL PLANO Y EL ESPACIO
2. Si conocemos dos puntos en el espacio, digamos −→p1 y −→p2 , la ecuación de la recta que pasa por
ellos es
L : (x1, y1, z1) + t(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2), t ∈ R
La forma paramétrica de la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:
x = x1 + t(x1 − x2)
y = y1 + t(y1 − y2)
z = z1 + t(z1 − z2)
y la forma simétrica es:
x− x1
x1 − x2
=
y − y1
y1 − y2
=
z − z1
z1 − z2
DEFINICIÓN 2.2.3 Dos rectas L1 = −→p1 + t
−→
d1, t ∈ R y L2 = −→p2 + r
−→
d2, r ∈ R son paralelas si sus
vectores directores son paralelos. Es decir,
−→
d1 = a
−→
d2 con a ∈ R y a 6= 0
2.2.3. Planos
DEFINICIÓN 2.2.4 Sean −→p , −→u y −→v vectores en el plano, tales que −→u y −→v no son paralelos. Enton-
ces, el conjunto Π ⊂ R3 es un plano si
Π = {−→p + α−→u + β−→v : α, β ∈ R}
En términos de coordenadas, si −→p = (x0, y0, z0), −→u = (u1, u2, u3), −→v = (v1, v2, v3), entonces
x = x0 + αu1 + βv1
y = y0 + αu2 + βv2
z = z0 + αu3 + βv3
Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas del plano.
OBSERVACIÓN: Un plano en R3 se puede determinar especificando un punto contenido en él y un
vector normal al plano, es decir, un vector perpendicular a él.
En efecto, dado el punto P = (x0, y0, z0) y el vector−→n = (n1, n2, n3), un puntoQ = (x, y, z) ∈ Π
si y solo si
−−→
PQ ⊥ −→n . Es decir
−−→
PQ · −→n = 0 ⇐⇒ (x− x0, y − y0, z − z0) · (n1, n2, n3) = 0
⇐⇒ (x− x0)n1 + (y − y0)n2 + (z − z0)n3 = 0
⇐⇒ n1x+ n2y + n3z − x0n1 − y0n2 − z0n3 = 0
55
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
Por lo tanto, la ecuación general de un plano es
ax+ by + cz + d = 0
donde el vector (a, b, c) es normal al plano. Este vector se llama vector director o dirección del plano.
OBSERVACIÓN: Un plano puede ser determinado conociendo 3 puntos no colineales. En efecto,
sean P1, P2, P3 los puntos. Formamos los vectores
−−−→
P1P2 y
−−−→
P1P3. El vector −→n =
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3 es
perpendicular a
−−−→
P1P2 y a
−−−→
P1P3. Luego, −→n es normal al plano. Usamos cualquiera de los 3 puntos
Pi y −→n y obtenemos la ecuación del plano.
EJEMPLO 2.2.2 Determine la ecuación del plano que pasa por los puntos
P1 = (2,−2, 1), P2 = (−1, 0, 3), P3 = (5,−3, 4)
Solución: Formemos los vectores
−−−→
P1P2 = P2 − P1 = (−3, 2, 2) y
−−−→
P1P3 = P3 − P1 = (3,−1, 3)
Ahora, el vector normal
−→n =
−−−→
P1P2 ×
−−−→
P1P3 = (8, 15,−3)
Por lo tanto, la ecuación del plano es dada por:
(x− 2, y + 2, z − 1) · (8, 15,−3) = 0 ⇐⇒ 8x+ 15y − 3z + 17 = 0
TEOREMA 2.2.1 Dados dos planos
Π1 = a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 y Π2 = a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
se tiene:
1. Π1 ‖ Π2 ⇐⇒ a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2 con k ∈ R y k 6= 0
2. Π1 ⊥ Π2 ⇐⇒ (a1, b1, c1) · (a2, b2, c2) = 0
3. Π1 = Π2 ⇐⇒ a1 = ka2, b1 = kb2, c1 = kc2, d1 = kd2 con k ∈ R y k 6= 0.
TEOREMA 2.2.2 Consideremos la recta L = −→p + λ
−→
d y el plano Π = αx+ βy + γz + δ = 0. Se tiene
1. L ‖ Π ⇐⇒ (α, β, γ) ·
−→
d = 0
2. L ⊥ Π ⇐⇒
−→
d ‖ (α, β, γ) ⇐⇒ α = kd1, β = kd2, γ = kd3, donde k 6= 0 y
(d1, d2, d3) =
−→
d .
56
Verónica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRÍA DEL PLANO Y EL ESPACIO
TEOREMA 2.2.3 (Distancia de un punto a una recta) Consideremos la recta L que pasa por el pun-
to P0 = (x0, y0, z0) y tiene como vector director a
−→
d . Sea P = (x, y, z) un punto que no pertenece a
L. La distancia de P a L está dada por:
d(P,L) =
||
−→
d ×
−−−→
P0P ||
||
−→
d ||
TEOREMA 2.2.4 (Distancia de un punto a un plano) Dado un punto P0 = (x0, y0, z0) y un plano
Π = ax+ by + cz + d = 0; la distancia entre P0 y Π está dada por:
d(P0,Π) =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
TEOREMA 2.2.5 (Distancia entre rectas) Sea L1 la recta que pasa por el punto P1 y tiene dirección−→
d1. Sea L2 la recta que pasa por el punto P2 y tiene dirección
−→
d2. La distancia (mínima) entre L1 y
L2 está dada por:
dmin(L1, L2) =
|
−−−→
P1P2 · −→n |
||−→n ||
, donde −→n =
−→
d1 ×
−→
d2
Ejercicios propuestos
1. Determine si las rectas
L1 : x = 2t−3, y = 3t−2, z = −4t+6 y L2 : x = r+5, y = −4r−1, z = r−4
se cortan.
Solución. Si existe un punto P tal que P = L1 ∩ L2, debe existir t1 ∈ R y r1 ∈ R tales que
2t1 − 3 = r1 + 5, 3t1 − 2 = −4r1 − 1, −4t1 + 6 = r1 − 4
La solución de este sistema de 3 ecuaciones y dos incógnitas es:
t1 = 3 y r1 = −2
Reemplazamos el valor del parámetro t1 en L1 o reemplazamos el valor del parámetro r1 en
L2, para obtener el punto donde se intersectan: P = (3, 7,−6).
2. Determinar la ecuación de la recta que pasa por P (1, 4, 0) y es perpendicular a las rectas
L1 :

x = 3 + t
y = 4 + t
z = −1 + t
, L2 :
x+ 4
6
=
2y − 1
3
, z =
1
2
57
CAPÍTULO 2. VECTORES EN Rn Verónica Gruenberg Stern
Solución. Sea L : (1, 4, 0) + λ
−→
d , con λ ∈ R, la recta buscada y sean
−→
d 1 = (1, 1, 1) y
−→
d 2 =
(4, 1, 0) los vectores directores de L1 y L2 respectivamente. Como
L⊥L1 ∧ L⊥L2 =⇒
−→
d ⊥
−→
d 1 ∧
−→
d ⊥
−→
d 2 =⇒
−→
d //
−→
d 1 ×
−→
d 2 = (−1, 4,−3)
Por lo tanto, la ecuación de la recta L es
L : (1, 4, 0) + λ(−1, 4,−3), con λ ∈ R
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por (3,−1, 2) y es paralelo al plano 2x+4y−3z+10 = 0
Solución. El plano buscado tiene por ecuación 2x + 4y − 3z + d = 0. Para determinar d,
usamos que el punto (3,−1, 2) debe pertenecer al plano, entonces debe satisfacer la ecuación
2(3) + 4(−1)− 3(2) + d = 0 =⇒ d = 4
Por lo tanto, el plano pedido es
2x+ 4y − 3z + 4 = 0
4. Hallar la ecuación del plano determinado por el punto (1, 0, 2) y la recta L :
x+ 3
3
=
y − 5
−3
=
z − 1
1
Solución. Vamos a escribir la recta como intersección de 2 planos. Para esto, consideramos
las igualdades siguientes:
x+ 3
3
=
y − 5
−3
y
y − 5
−3
=
z − 1
1
De la primera igualdad, se tiene
x+ 3
3
=
y − 5
−3
⇐⇒ −3x− 9 = 3y − 15⇐⇒ x+ y − 2 = 0
De la segunda igualdad , obtenemos
y − 5
−3
=
z − 1
1
⇐⇒ y − 5 = −3z + 3⇐⇒ y + 3z − 8 = 0
La ecuación del haz de planos que tiene a L como eje del haz es:
(x+ y − 2) + λ(y + 3z − 8) = 0
Necesitamos el plano de este haz que pasa por el punto dado (1, 0, 2). Para esto, reemplaza-
mos el punto en la ecuación del haz, obteniendo
(1 + 0− 2) + λ(0 + 3(2)− 8) = 0 =⇒ λ = −1
2
58
Verónica Gruenberg Stern 2.2. CLASE 9: GEOMETRÍA DEL PLANO Y EL ESPACIO
El plano buscado es:
(x+ y − 2)− 1
2
(y + 3z − 8) = 0⇐⇒ 2x+ y − 3z + 4 = 0
5. Considere
el punto A(1, 0, 1), el plano Π : 2x+ y − z − 7 = 0