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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA CAMPUS SANTIAGO Problemas Resueltos (Ecuaciones Diferenciales) Problema 1. Encuentre la solución general de la ecuación y(4) − y(3) + y′′ − 3y′ − 6y = 0 Solución Ecuación caracteristica: m4 −m3 +m2 − 3m− 6 = 0 . Usando criterio para hallar raices racionales, se tienen las raices m1 = −1 y m2 = 2 . Usando división sintética: 1 −1 1 −3 −6 −1 −1 2 −3 6 1 −2 3 −6 0 2 2 0 6 1 0 3 0 Se tiene: m4 −m3 +m2 − 3m− 6 = (m+ 1)(m− 2)(m2 + 3) Las raices complejas son: m3, 4 = ± √ 3 i . La solución general de la ecuación diferencial es yh = Ae−x +Be2x + C cos( √ 3x) +D sen( √ 3 x) 1 Problema 2. Resolver y(6) + 2y(4) + y(2) = 0 Solución: Ecuación caracteristica: m6 + 2m4 +m2 = 0 ⇔ m2(m2 + 1)2 = 0 Raices de la ecuación caracteristica: m = 0 de multiplicidad 2 y m = ±i tambien de multiplicidad 2. Solución general: y = a+ bx+ c cos(x) + d sen(x) + ex cos(x) + fx sen(x) 2 Problema 3. Resolver la ecuación x2y′′ + xy′ + 9y = sen(ln(x3)) Solución: Haciendo x = et la ecuación queda: y′′ + 9y = sen(3t) . Ecuación caracteristica de la homogenea: m2 + 9 = 0 ⇒ m = ± 3i Luego la solución general de la homogenea queda: yh = A cos(3t) +B sen(3t) Solución particular de la no homogenea: La solución debe ser de la forma yp = Ct sen(3t)+Dt cos(3t) . Derivando y reemplazando se tiene: y′′ + 9y = sen(3t) ⇔ 6C cos(3t)− 6D sen(3t) = sen(3t) Igualando C = 0 y D = −1 6 . Por lo tanto yp = − 1 6 t cos(3t) Solución general de la ecuación en la variable t : yg = A cos(3t) +B sen(3t)− 1 6 t cos(3t) Solución general en la variable x : yg(x) = A cos(3 ln(x)) +B sen(3 ln(x)) − 1 6 ln(x) cos(3 ln(x)) 3 Problema 4. Resuelva la ecuación x2y ′′ + 3xy ′ + 10y = x ln(x) Solución: Haciendo x = et la ecuación queda: y′′ + 2y′ + 10y = tet Ecuación caracteristica de la homogénea: m2 + 2m+ 10 = 0 ⇒ m = −1 ± 3i Solución general de la homogénea: yh(t) = Ae−t cos(3t) +Be−t sen(3t) Solución particular de la no homogénea (coeficientes indeterminados). Considerar la función y = Eet + Ftet . Derivando y reemplazando: y′′ + 2y′ + 10y = [(A+ 2B)et +Btet] + [2(A+B)et + 2Btet] + [10Aet + 10Btet] = tet Igualando coeficientes se tiene: 13A+ 4B = 0 13B = 1 ⇒ A = − 4 169 B = 1 13 Solución general para la variable t: yg(t) = Ae−t cos(3t) +Be−t sen(3t) + 1 13 tet − 4 169 et Solución general para la variable x : yg(x) = A x cos(3 ln(x)) + B x sen(3 ln(x)) + x ln(x) 13 − 4x 169 4 Problema 5. Encuentre la solución general de la ecuación x3y′′′ + 5x2y′′ + 7xy′ + 8y = x ln(x) Solución: Haciendo el cambio x = et la ecuación queda (en la variable t ) : y′′′ + 2y′′ + 4y′ + 8y = tet Ecuación caracteristica de la ecuación homogenea: m3 + 2m2 + 4m+ 8 = 0 ⇔ (m+ 2)(m2 + 4) = 0 cuyas raices son: m = −2 , m = ± 2i . Soluciones de la ecuación diferencial homogenea asociada. y1(t) = e−2t ; y2(t) = cos(2t) ; y3(t) = sen(2t) Una solución particular de la no homogenea debe ser de la forma: yp(t) = Aet +Btet . Derivando, reemplazando y haciendo todos los calculos fomes, se tiene: yp(t) = − 11 225 et + 15 225 tet Solución general: yg(t) = c1e−2t + c2 cos(2t) + c3 sen(2t)− 11 225 et + 15 225 tet yp(x) = c1 x2 + c2 cos(2 ln(x)) + c3 sen(2 ln(x)) − 11 225 x+ 15 225 x ln(x) 5 Problema 6. Resolver la ecuación y(4) + 6y(3) + 17y(2) + 28y′ + 20y = x2 + x Solución: La ecuación característica de la ecuación homogenea es: m4 + 6m3 + 17m2 + 28m+ 20 = 0 ⇔ (m+ 2)2(m2 + 2m+ 5) = 0 Las raíces son: m = −2 de multiplicidad 2 y m = −1 ± 2i . La solución general de la ecuación homogenea es: y(x) = Ae−2x +Bxe−2x + Ce−x cos(2x) +De−x sen(2x) Una solución particular de la ecuación no homogenea es de la forma: yp(x) = ax 2 + bx+ c . Derivando y reemplazando se tiene: 20ax2 + (56a+ 20b)x+ (34a+ 28b+ 20c) = x2 + x ⇔ a = 1 20 b = − 9 100 c = 41 1000 Solución general: y(x) = Ae−2x +Bxe−2x + Ce−x cos(2x) +De−x sen(2x) + 1 20 x2 − 9 100 x+ 41 1000 6 Problema 7. Considerar la ecuación de Legendre (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0 con −1 < x < 1 . Si y = x es una solución. Encontrar la solución general. Solución: Hacer y′′ − 2x 1− x2 y ′ + 2 1− x2 y = 0 Previo ∫ 2x 1− x2 dx = − ∫ −2x 1− x2 dx = − ln(1− x 2) Por lo tanto: e ∫ 2x 1−x2 dx = e− ln(1−x 2) = 1 1− x2 Luego v = ∫ 1 x2 · 1 1− x2 dx = ∫ ( 1 x2 + 1 1− x2 ) dx = ∫ [ 1 x2 + 1 2 ( 1 1− x + 1 1 + x )] = − 1 x + 1 2 ln ( 1 + x 1− x ) Por lo tanto la segunda solución queda: y2 =x ( − 1 x + 1 2 ln ( 1 + x 1− x )) = − 1 + x 2 ln ( 1 + x 1− x ) Solución general: yh =Ax +B ( x 2 ln ( 1 + x 1− x ) − 1 ) 7 Problema 8. Resuelva la ecuación x(1 − x2)2y′′ − (1− x2)2y′ + x3y = 0 (Ayuda: haga el cambio de variable t = − 12 ln(1 − x2)) Solución: Haciendo t = −1 2 ln(1− x2) se tiene dy dx = dy dt · dt dx ⇒ dy dx = ( x 1− x2 ) dy dt Por otra parte: d2y dx2 = d dy ( x 1− x2 · dy dt ) ⇒ d 2y dx2 = ( 1 + x2 (1− x2)2 ) · dy dt + ( x2 (1− x2)2 ) · d 2y dt2 Reemplazando en la ecuación x(1− x2)2 [ 1 + x2 (1− x2)2 · dy dt + x2 (1− x2)2 · d2y dt2 ] − (1− x2)2 ( x 1− x2 ) · dy dt + x3y = 0 ⇔ x3y′′ + 2x3y′ + x3y = 0 Donde todas las derivadas que aparecen son derivadas respecto de t e y = y(t) es una función de t . De aqui se tiene la ecuación homogenea con coeficientes constantes y′′ + 2y′ + y = 0 la cual tiene soluciones y1(t) = e−t , y2(t) = te−t . Por lo tanto la solución general es y = ae−t + bte−t reemplazando y = a √ 1− x2 + b √ 1− x2 ln(1− x2) 8 Problema 9. Usando el cambio de variables t = sen(x)− x cos(x), encuentre la solución de la ecuación y′′ + (√ 3 x sen(x)− cos(x) sen(x) − 1 x ) y′ + x2 sen2(x)y = 0. Solución: Considerar el cambio t = sen(x) − x cos(x) derivando y usando regla de la cadena: dy dx = dy dt · dt dx = dy dt · [cos(x)− cos(x) + x sen(x)] = x sen(x) dy dt d2y dx2 = d dx ( x sen(x) dy dt ) = (sen(x) + x cos(x)) dy dt + x sen(x) d2y dt2 x sen(x) = sen(x) dy dt + x cos(x) dy dt + x2 sen2(x) d2y dt2 Reemplazando en la ecuación se tiene: ( sen(x) dy dt + x cos(x) dy dt + x2 sen2(x) d2y dt2 ) + (√ 3 x sen(x) − cos(x) sen(x) − 1 x ) x sen(x) dy dt +x2 sen2(x) y = 0 ⇔ x2 sen2(x) d 2y dt2 + √ 3x2 sen2(x) dy dt + x2 sen2(x) y = 0 Para x tales que x2 sen2(x) 6= 0 queda: y′′ + √ 3 y′ + y = 0 Ecuación caracteristica: m2 + √ 3m+ 1 = 0 ⇒ m = − √ 3± i 2 Luego la solución general queda: y(t) = Ae− √ 3 t 2 cos ( t 2 ) + Be− √ 3 t 2 sen ( t 2 ) = e− √ 3 t 2 [ A cos ( t 2 ) + B sen ( t 2 )] y(x) = e − √ 3 2 (sen(x)−x cos(x)) [ A cos ( sen(x)− x cos(x) 2 ) + B sen ( sen(x)− x cos(x) 2 )] 9 Problema 10. Usando la transformación t = sen(x) convierta la ecuación diferencial y′′ + tg(x)y′ + cos2(x)y = 0 en una ecuación de coeficientes constantes y resuelva. Solución: Como t = senx, derivando con respecto a t, se obtiene: dy dt = dy dx dx dt dy dt = 1 cosx dy dx (1) Por lo tanto dy dx = cosx dy dt Derivando (1) con respecto a t , se tiene: d2y dt2 = d dx ( 1 cosx dy dx ) dx dt d2y dt2 = [ (tanx secx) dy dx + 1 cosx d2y dx2 ] dx dt d2y dt2 = [ (tanx secx) dy dx + 1 cosx d2y dx2 ] 1 cosx d2y dt2 = tanx sec2 x dy dx + 1 cos2 x d2y dx2 Por lo tanto d2y dx2 = cos2 x d2y dt2 − tanx (cos x dy dt ) Reemplazando en la ecuación, se obtiene: cos2 x d2y dt2 − tanx (cosx dy dt ) = 0 cos2 x d2y dt2 + cos2 x y = 0 d2y dt2 + y = 0 Por lo tanto: y(x) = C1 cos(senx) + C2 sen(senx) 10 Problema 11. Use el cambio t = x2 2 para resolver la ecuación xy′′ + (x2 − 1)y′ + x3y = e−x 2/4 Solución: Hacer dy dx = dy dt · dt dx = x dy dt Luego d2 dx2 = d dx ( x dy dt ) = dy dt + x2 d2y dt2 Reemplazando en la ecuación queda: y′′ + y′ + y = e−t/2 Homogenea: Ecuación caracteristica de la ecuación homogenea: m2 +m+ 1 = 0 ⇒ m = − 1 2 ± √ 3 2 i Solución general de la ecuaciónhomogenea en la variable t : y(t) = Ae−t/2 cos (√ 3 2 t ) +Be−t/2 sen (√ 3 2 t ) Solución Particular de la No Homogenea: Coeficientes Indeterminados Sea yp = ae−t/2 , entonces y′p = − a 2 e−t/2 ; y′′p = a 4 e−t/2 . Reemplazando: a 4 e−t/2 − a 2 e−t/2+, ae−t/2 = e−t/2 ⇒ a = 4 3 Luego y = 4 3 e−t/2 es una solución de la no-homogenea. Solución general en la variable t : yg(t) = Ae−t/2 cos (√ 3 2 t ) +Be−t/2 sen (√ 3 2 t ) + 4 3 e−t/2 Solución general en la variable x : yg(x) = Ae−x 2/4 cos (√ 3 4 x2 ) +Be−x 2/4 sen (√ 3 4 x2 ) + 4 3 e−x 2/4 11
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