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Formulas de líneas de espera λ= numero promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo L = numero promedio de clientes presentes en el sistema Lq = numero promedio de clientes en la cola Ls = numero promedio de clientes en servicio W= tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema Wq= tiempo promedio que un cliente pasa en la cola Ws= tiempo promedio que un cliente pasa en servicio Para cualquier sistema de colas en el cual existe una distribución de Estado Estable Se cumplen las siguientes relaciones: Formulas de Little: L = λW Lq= λWq Ls= λWs NOTACION DE KENDALL-LEE Cada sistema de colas se representa con seis características (a / b / c) : (d / e / f) a = Tiempo de llegadas b = Tiempo de servicio c = Numero de servidores o canales d = Disciplina de servicio e = Capacidad que puede atender f = Tamaño población Ws(t)= Prob. De que un cliente permanezca Mas de t tiempo en el sistema. Modelo: M/ M / 1 Sistema: Aeropuerto Servidor: Pista de aterrizaje Clientes: Aviones a) µ= 1 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 = 20 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎 a) λ = 1 5 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 = 12 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ℎ𝑜𝑟𝑎 ρ= λµ = 12 20 = 0,6 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 c) W(t) = 𝑒−𝑡 𝑊 W= 1µ−λ = 0,125 W(t) = 𝑒−10 0,125 W(t) = 0,082 => 8,2 % La probabilidad que un avión que llega este en tierra en menos de 10 min es de 8,2% d) P3= ρ3 (1- ρ) P3= (0,6)3 . (1-0,6) = 0,0864 => 8,64% e) L = ρ 1−ρ = 0,6 1−0,6 = 1,5 ⇒ 2 𝑎𝑣𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 f)Lq= ρ2 1−ρ = 0,6 2 1−0,6 = 0,9 => 1 avión. g) ρ= λµ = 12 20 = 0,6 ⇒ 60% h) El sistema tiene 2 aviones en el aire y 1 que esta siendo atendido, por lo que no requiere Otro servidor. El sistema es estable. Modelo: M/ M / 1 λ= 10 clientes/hora µ= 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ρ= λµ = 10 15 = 0,66 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 a) P0 = 1 – ρ = 1 – 0,66 = 34% La probabilidad de que el cajero se encuentre vacío es del 34% b)Lq= ρ 2 1−ρ = 1,33 clientes => 1 cliente. c)W = Wq + 1µ = 12 minutos d) µ= 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 15 clientes por hora. Modelo: M / M / 2 λ= 80 clientes /hr µ= 1/1,2 cliente / min. = 50 clientes/hr ρ= λS. µ = 80 2 ∗ 50 = 0,8 < 1 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒 a) L = Lq + ρ L = 2,84 + 1,6 = 4,44 clientes b) W = 𝐿 λ = 4,44 80 = 0,055 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Otra forma: W= Wq + 1 µ = 𝐿𝑞 λ + 1 µ = 2,84 80 + 1 50 = 0,055 horas => 3,3min c) P0 = 1 9 horas => 6,6 min Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito (a / b / c) : (d / e / f) a = Tiempo de llegadas b = Tiempo de servicio c = Numero de servidores o canales d = Disciplina de servicio e = Capacidad que puede atender f = Tamaño población Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito Servidor: 1 Medico Capacidad : 10 turnos λ=20 clientes / hr µ= 1 12 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠/min => 5 cli/hr. *Como el sistema es de capacidad de cola limitada, hay que calcular los λ efectivos. λefectivo= λ – λperdido λperdido= λ. P10 λperdido= 20 . 0,75 = 15 clientes/hr λefectivo= 20 – 15 = 5 clientes/hr El medico atenderá 5 clientes por hora. P10= 1−ρ ρ𝑛 1−ρ𝑐 +1 = −3 .410 1 −411 = 0,75 λefectivoλ λperdido ρ=λµ = 20 5 = 4 > 1 Modelo: M / M / 1 : FIFO / 10 / infinito b) W = 𝐿 λ(1 −𝑃𝑐) L =ρ[1− 𝑐+1 ρ 2+𝑐 ρ 𝑐 +1 1−ρ (1−ρ𝑐 +1) = 9,66 W= 9,66 20 (1−0,75) = 1,9 horas En promedio el cliente pasara 1,9 hs en sala de espera. Preguntas