08-Nov TP10 - Teoria de Colas

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CLASE PRACTICA: Investigación Operativa
Trabajo Practico Nº 10 – Teoría de Colas 
Profesores: JTP. Ing. Néstor O. Cruz
AY1. Ing. Mariela E. Rodríguez
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Jujuy
Recordemos: NOTACION DE KENDALL-LEE
Cada sistema de colas se representa con seis características
(a / b / c) : (d / e / f)
a = Tiempo de llegadas
b = Tiempo de servicio
c = Numero de servidores o canales
d = Disciplina de servicio
e = Capacidad que puede atender
f = Tamaño población
Modelo: M / M / C / K / K => M / M / 2 / 5 / 5
Modelo de reparación de maquinas.
C (Mecánicos)= 2 servidores.
K (Autobuses)= 5 clientes , λ=1/30 autobuses/día y µ=1/3 Autobuses /día
ρ= 
1/30
1/3
= 
1
10
= 0,1 < 1 
a) Autobuses en buen estado: K – L = maquinas en buen estado
Distribución de probabilidad 
de estado estable
ρ= 
1/30
2∗ 1/3
= 0,05 <1
Para 0 ≤ n ≤ 2
5
1
𝜋1 = 0,1 1 * = 0,5 *𝜋0 𝜋0
5
2
2 = 0,1 2 * = 0,1 *𝜋0 𝜋0𝜋
5
3
3 =
0,1 3 
3!
2! 2
* = 0,015 *𝜋0 𝜋0
𝜋
4 = 0,1 4 
4!
2! 2
* = 0,0015 *𝜋0 𝜋0𝜋
5
4
5 = 0,1 5 
5!
2! 2
* = 0,00075 *𝜋0 𝜋0𝜋
5
5
2
3
𝜋0 (1 + 0,5 + 0,1 + 0,015 + 0,0015 + 0,00075) = 1 o = 0,6185 𝜋0
𝜋1 = 0,310, 𝜋2 = 0,062 𝜋3 = 0,009 𝜋4 = 0,001 𝜋5 = 0 
Reemplazando en 𝜋n:
a) El numero promedio de autobuses en buen estado es K – L 
K - = 5 – [0(0,619)+1(0,310)+2(0,062)+3(0,009)+4(0,001)+5(0)] 
= 5 - 0,465 = 4,535 ≅ 4 autobuses en buen estado.
b) 
W= 
𝐿
λ
λ = λ (K –L) = 1/30 * (5 – 0,465) = 0,151 
W= 
0,465
0,151
= 3,07 ≅ 3 días 
Tiempo que pasa un autobús en el mecánico es de 3 dias. 
c) La fracción de tiempo ocioso que pasa un determinado mecánico.
𝜋0+ 0,5𝜋1 = 0,619 + 0,5 0,310 = 0,774 ≅ 77% .
𝜋0+
2
3
𝜋1+
1
3
𝜋2 =
** Si hubiera 3 mecánicos, la fracción de tiempo 
En que un mecánico estaría desocupado seria: 𝜋0+
(𝑅−1)
𝑅
𝜋1+
(𝑅−2)
𝑅
𝜋2 + … +
𝜋𝑅−1
𝑅
=
a) M/M/1 M/M/3
λ= 54 autos/h
S1=1
µ1=60 autos/h
S2=3
µ2=20 autos/h
ρ = 54/60 =0,9
M/M/1
Lq1 = 
ρ2
1−ρ Lq1 = 
(0,9)2
1−0,9
= 8,1 ≅ 8 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
La cantidad de autos que esperan en la cola para colocar motor es de 8 autos.
M/M/3
Lq2
Lq2 = 
2,7 4
2! 3 −2,7 2
* 0,0249
Lq2 = 7,35 ≅ 7 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑠
P0= 0,0249
La cantidad de autos que esperan en la cola para colocar los neumáticos es de 7 autos.
b) Tiempo total esperado que pasa un automóvil esperando: Wq = Wq1 + Wq2
M/ M/1
Wq1 = 
ρ
µ − λ
; Wq = 
0,9
60 −54
= 0,15 horas 
M/M/3
Wq2 = 
𝐿𝑞
λ
; Wq = 
7,35
54
= 0,14 horas 
W = 0,15 + 0,14 = 0,29 horas = 17,4 minutos
El tiempo total que un auto espera en la cola tanto para instalar el motor
como colocar neumáticos es de 17minutos.
Redes de Jackson
Estación 1 Estación 2 Estación 3
M/M/1 M/M/2 M/M/1
λ=1 c/h λ=3 c/hλ=4 c/hP12= 0,1 P23= 0,4
P21= 0,6 P32= 0,3
P30= 0,4P10= 0,5
P13= 0,4
P31= 0,3
𝜇 = 10 𝑐/ℎ
Λi = λi + σ𝑖=1
𝑖≠𝑗
𝐾 Λ𝑗 ∗ 𝑃𝑗𝑖
Estación 1 Estación 2 Estación 3
M/M/1 M/M/2 M/M/1
λ=1 c/h λ=3 c/hλ=4 c/hP12= 0,1 P23= 0,4
P21= 0,6 P32= 0,3
P30= 0,4P10= 0,5
P13= 0,4
P31= 0,3
𝜇 = 10 𝑐/ℎ
Λ1 = λ1+ P21 Λ2 + P31 Λ3
Λ2 = λ2+ P12 Λ1 + P32 Λ3
Λ3 = λ3+ P13 Λ1 + P23Λ2
Λi = λi + σ𝑖=1
𝑖≠𝑗
𝐾 Λ𝑗 ∗ 𝑃𝑗𝑖
** Resolvemos el sistema de ecuaciones.
Λ1 = 8 ; Λ2 = 7 ; Λ3 = 9 
a) Que fracción de tiempo esta desocupado el servidor 1? 
P01 = 1 – ρ1 
P01 = 1 – 0,8 = 0,2 ≅ 20%
ρ1=
Λ1
µ1
ρ1=
8
10
= 0,8 
* El servidor 1 esta desocupado el 20% del tiempo.
b) Numero de cliente en cada servidor. 
Servidor 1: M/M/1
L1= 
ρ1
1−ρ1
= 
0,8
1−0,8
= 4 clientes 
** En el servidor 1 hay 4 clientes.
Servidor 2: M/M/2
L2= Lq2 + ρ2 ρ2=
Λ2
𝑐∗µ2
= 
7
2∗10
= 0,35
Lq2
L2= 6,1 x 10-2 + 0,7 = 0,76 ≅ 1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
ρ2=
Λ2
µ2
= 0,7 
** En el servidor 2 hay 1 cliente 
Servidor 3: M/M/1
L3= 
ρ3
1−ρ3
= 
0,9
1−0,9
= 9 clientes 
ρ3=
Λ3
µ3
ρ3=
9
10
= 0,9 
** En el servidor 3 hay 9 clientes.
c) Tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema.
W= 
𝐿
λ L = σ𝑗=1
3 𝐿𝑗 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 = 4 + 1 + 9 = 14
λ= σ𝑗=1
3 λ𝑗 = λ1 + λ2 + λ3 = 1 + 4 +3 = 8 c/h
W= 
14
8
= 1,75 horas
** tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema es de 1hora 45 minutos.
Preguntas