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RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES
Uno de los problemas básicos del análisis numérico es el llamado problema de búsqueda de raíces, que consiste
en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuación f(x) = 0 . A una solución de este problema
se le llama un cero de f o una raíz de f(x) = 0.
Podemos clasi�car las ecuaciones de acuerdo al tipo de función que es f(x). A grandes rasgos se tiene:
Ecuaciones

Lineales
No lineales
 Algebraicas
{
Racionales
Irraciones
Trascendentes
Una ecuación lineal en la variable x es una ecuación que puede escribirse en la forma ax+ b = 0, donde a y
b son constantes que generalmente llamamos parámetros y a 6= 0.
Algunos ejemplos de ecuaciones no lineales son:
Ecuación algebraica racional 9x3x−1 = 2 +
3
3x−1
Ecuación algebraica irracional, la variable x sometida a la operación de radicación x
√
2,1−0,5x
(1−x)
√
1,1−0,5x −3,69 =
0 0 < x < 1
Ecuación trascendente, incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos fa-
miliares tg(x) = tgh(2x)
La razón principal para resolver ecuaciones no lineales por medio de métodos computacionales radica en la di�-
cultad de encontrar una solución por métodos convencionales. Por su parte, excepto para muy pocos problemas,
la solución analítica de las ecuaciones polinomiales existe sólo hasta el orden cuatro, pero no existen métodos
generales para arribar a las soluciones en forma exacta para órdenes superiores. Por lo tanto, las raíces de esas
ecuaciones no lineales se obtienen mediante los métodos del análisis numérico.
Los métodos usuales para la obtención de una aproximación numérica a una solución o raíz de f(x) = 0
consisten en procesos iterativos en los que se parte de un valor inicial x0 de la raíz buscada α y, se usa cierta
relación de recurrencia para generar una secuencia de aproximaciones sucesivas x1, x2,..., xn,... que convergen
al límite xn, generalmente por métodos analíticos, muchas veces con ayuda de grá�cos.
El problema se plantea de la siguiente manera: Dada f : R→ R(o bien f : [a, b] �R) se quiere encontrar α tal
que f(α) = 0. El cálculo aproximado de raíces puede dividirse en dos etapas:
Se separan las raíces, es decir se busca un subintervalo de [a, b] que contenga una y sólo una raíz de f.
Para asegurar la existencia de al menos una raíz en el intervalo propuesto se usa el Teorema de Bolzano.
Para asegurar que no hay más de una raíz se usa el Teorema de Rolle, es decir, se veri�ca que la derivada
primera no cambie de signo en dicho intervalo.
Se aplica un método para aproximar la raíz aislada.
MÉTODO GRÁFICO
Además de la utilidad para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades
de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.
Consiste en gra�car la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x
para el cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Ejemplo:
Empléense grá�cas para obtener una raíz aproximada de la función f(x) = e−x − x
Solución:
Por medio de un programa para gra�car funciones se obtiene la grá�ca de la funcion
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Figura 1:
Un vistazo a la grá�ca proporciona una estimación aproximada de la raíz de 0.57 que se acerca a la raíz
exacta de 0.56714328...., que se debe determinar con métodos numéricos. La validez de la estimación visual se
puede veri�car sustituyendo su valor en la ecuación original para obtener: f(0,57) = e−0,57 − 0,57 = −0,0045 la
cual se acerca a cero.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Se dividen en dos categorías generales:
1. Métodos cerrados que usan intervalos: Bisección (intervalo medio), Regula Falsi (falsa posición).
Requieren un intervalo de x que contenga a la raíz, siempre son convergentes, pero la velocidad de con-
vergencia puede ser demasiada lenta.
2. Métodos abiertos: Iteración de punto �jo, Newton Raphson, Secante.
Requieren información únicamente de un punto, o de dos pero que no necesariamente encierran a la raíz,
para extrapolar una nueva aproximación a la raíz. La convergencia es más rápida pero existe también la
posibilidad de divergencia.
MÉTODO DE LA BISECCIÓN (DEL INTERVALO MEDIO)
Es el más simple, aunque también el más seguro y sólido para encontrar una raíz en un intervalo dado, donde
se sabe que existe dicha raíz. Se apoya en la idea geométrica del teorema de Bolzano: Dada f(x) = 0 si f es tal
que es monótona y continua en [a, b], f(a) y f(b) tienen signos distintos entonces existe, por lo menos un α, a<
α <b, tal que f(α) = 0. En general puede decirse que en el intervalo [a, b] existe un número impar de raíces.
El método requiere de dividir repetidamente a la mitad los subintervalos de [a, b] y, en cada paso, localizar
la mitad que contiene a la aproximación de la raíz xi. Ver Figura 2
La primera aproximación a la raíz, se determina como:
xi =
(a+b)
2
Debemos realizar las siguientes evaluaciones y determinar en que subintervalo está la raíz:
Si f(xi) = 0, entonces la raíz es igual a xi.
Si f(a) . f(xi) < 0, la raíz se encuentra en [a,xi]
Si f(a) . f(xi) > 0, la raíz se encuentra en [xi,b]
Calculamos una nueva aproximación a la raíz en el nuevo subintervalo.
2
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Al repetir este proceso, el tamaño del intervalo con la raíz se vuelve cada vez más pequeño. En cada paso,
se toma el punto medio del intervalo como la aproximación más actualizada de la raíz. Se genera una sucesión
x1 =
a+b
2 ∈ [a1, b1], x2 ∈ [a2, b2], x3 ∈ [a3, b3],. . . , donde cada intervalo [an, bn] mide la mitad del anterior.
b1 − a1 = b−a2
b2 − a2 = b2−a22 =
b−a
4
bn − an = ... = b−a2n
Además
a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ b
b ≥ b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ a
Entonces an y bn son sucesiones monótonas y acotadas y en consecuencia convergen, es decir existen los
límites:
liman
n→∞ y
lim bn
n→∞
y como |bn − an| ≤ b−a2n → 0, se tiene
liman
n→∞ =
lim bn
n→∞ = α
En cada paso se veri�ca f(an) . f(bn) ≤ 0 y tomando límite ( f continua) resulta f
′′
(α) ≤ 0
Entonces α es la raíz buscada pues cumple, f(α)=0
En este método el cálculo de cotas de error es muy simple. Por cota de error entendemos un número que
acote superiormente, en módulo, el error máximo que podríamos llegar a cometer cuando nos quedamos con uno
de los puntos medios de los intervalos construidos mediante el algoritmo, en vez de con la solución del problema.
El error se puede acotar de la siguiente forma.
Tenemos:
xn =
(an−1+bn−1)
2
Entonces |α− xn| ≤ bn−1−an−12n =
b−a
2n
Figura 2:
Criterio de paro y estimación del error
Como se planteó anteriormente el método termina cuando se alcance un error más bajo, por ejemplo, al
0.1%, pero esta estrategia resulta inconveniente, ya que la estimación del error en el se basa en el conocimiento
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del valor verdadero de la raíz de la función. Éste no es el caso de una situación real, ya que no habría motivo
para utilizar el método si se conoce la raíz.
Por lo tanto, sin la necesidad del conocimiento previo de la raíz, se puede calcular el error relativo porcentual
ξade la siguiente manera:
ξa = |xi−xi−1xi | . 100 %
Donde xi es la raíz en la iteración actual y xi−1 es el valor de la raíz en la iteración anterior. Se utiliza el
valor absoluto, ya que por lo general importa sólo la magnitud de ξasin considerar su signo. Cuando ξa es menor
que un valor previamente �jado ξ, termina el cálculo.
Inconvenientes del Método
El método de bisección tiene inconvenientes importantes. Converge muy lentamente (o sea, N, número de
iteraciones, puede ser muy grande antes que, x - xn , sea su�cientemente pequeño) y, una buena aproximación
intermedia puede ser desechada sin que nos demos cuenta. Además, hay que tener en cuenta que en el caso
de existir más de una raíz (siempre en número impar) en el intervalo; elmétodo sólo encuentra una de ellas,
desechándose las otras. Entonces puede darse la situación paradójica que, se encuentre una raíz y sin embargo
no sea esta la solución más conveniente al problema.
Aplicaciones del Método
La bisección suele recomendarse para encontrar un valor aproximado de la raíz, y luego este valor se re�na
por medio de métodos más e�caces. La razón es que la mayor parte de los otros métodos requieren un valor
inicial cerca de una raíz; al carecer de dicho valor pueden fallar por completo.
Converge para cualquier f continua.
Ejemplo 1:
Use el método de bisección para determinar la raíz de f(x) = e−x − x con una exactitud de 10−3.
Solución:
1. Analisis grá�co (Si es posible): Si se analiza La Figura 1 se puede ver que la raíz se encuentra entre 0 y
1, por lo tanto se acota la raiz al intervalo [0,1].
2. Veri�cación inicial de convergencia: Se veri�ca que f(0) . f(1) < 0, por consiguiente la estimación inicial
de la raíz se sitúa en el punto medio de este intervalo.
3. Se establece condición de parada del método: ξ = 10−3
4. Aplicación iterativa del método mediante software. Ver Figura 3
Figura 3:
Como se puede ver en la iteración 10 se cumple que el error relativo es menor que ξ , terminan las iteraciónes,
y así obtenemos como aproximación a la raiz xi = 0,5673828
MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN (REGULA-FALSI)
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Este método aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje
x proporciona una estimación de la raíz. El reemplazo de la curva por una línea recta da una �posición falsa�de
la raíz, de aquí el nombre de método de la regla falsa o en latín regula falsi. Ver Figura 4
Figura 4:
La recta L que une los puntos (a, f(a))con (b, f(b))tiene la ecuacion:
y − f(a) = f(b)−f(a)b−a (x1 − a)
Como x1es el valor de x que cumple y=0, se tiene:
x1 = a− f(a)(b−a)f(b)−f(a)
esta es la fórmula de la regla de la falsa posición.
Si f(x1) = 0 el proceso termina. Si f(x1) 6= 0 entonces f(a).f(x1) < 0 o bien f(b).f(x1) < 0. Supongamos
que f(b).f(x1) < 0 de�nimos x2 con el mismo procedimiento anterior (método de bisección) en [x1,b], y así
sucesivamente.
Ventajas y Desventajas del Método
Comparte con el método del intervalo medio la ventaja de converger en cualquier circunstancia, y su principal
desventaja es la de encontrar sólo un resultado en el caso de raíces múltiples. Sin embargo, este método es más
veloz que su análogo, el del intervalo medio o bisección. Adicionalmente, pueden aparecer extremos �jos, como
muestra la Figura 4, en donde uno de los extremos de la sucesión de intervalos no se mueve del punto original,
por lo que las aproximaciones convergen a la raíz exacta solamente por un lado. En cuyo caso, no siempre,
pueden presentarse situaciones de convergencia rápida.
Ejemplo 2:
Use el método de la falsa posición para determinar la raíz de f(x) = e−x − x con una exactitud de 10−3.
Solución:
1. Analisis grá�co (Si es posible): Si se analiza La Figura 1 se puede ver que la raíz se encuentra entre 0 y
1, por lo tanto se acota la raiz al intervalo [0,1].
2. Veri�cación inicial de convergencia: Se veri�ca que f(0) . f(1) < 0.
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3. Se establece condición de parada del método: ξ = 10−3
4. Aplicación iterativa del método mediante software. Ver Figura 5
Figura 5:
Como se puede ver en la iteración 4 se cumple que el error relativo es menor que ξ , terminan las iteraciónes,
y así obtenemos como aproximación a la raiz xi = 0,5672055
CANTIDAD DE ITERACIONES
Se puede predecir �a priori� el número de iteraciones que se deben realizar con el método de bisección o de
la falsa posición para obtener una aproximación con una presición deseada ξ.
Debido a que en cada iteración se reduce el error a la mitad, la fórmula general que relaciona el error deseado
ξ y el número de iteraciones n es:
ξ = b−a2n
Si ξ es el error deseado, de esta ecuación se despeja n
entonces n =
log( b−aξ )
log(2)
MÉTODO DE ITERACIÓNES DE PUNTO FIJO (ITERACIONES SUCESIVAS)
La idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) de manera que la solución de
ésta sea la solución del problema original. Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones
algebraicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original. A una solución de esta ecuación se
le llama un punto �jo de la función g.
La ecuación x = g(x) proporciona una fórmula para predecir un valor de x en función de x. Dada una
aproximación inicial a la raíz, xi, la ecuación puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1, expresada
por las fórmulas iterativas.
xi+1 = g(xi), xi = g(xi−1), xi = g(xi−1)
La ventaja de este método consiste en su gran sencillez y �exibilidad para elegir la forma de g(x). Sin
embargo, es muy importante la formación de la función g(x) en la ecuación x = g(x); de las múltiples opciones
que pueden existir, ya que no siempre converge con cualquier forma elegida de g(x).
Un planteamiento grá�co consiste en separar la ecuación x = g(x) en dos partes, como:
y1 = x y2 = g(x)
estas funciones se pueden gra�car por separado. Los valores de x correspondientes a las intersecciones de
estas funciones representan las raíces de f(x) = 0. Ver Figura 6.
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Figura 6:
Ejemplo 3:
Use el método de iteraciones sucesivas para determinar la raíz de f(x) = e−x−x con una exactitud de 10−3.
Solución:
1. Analisis grá�co (Si es posible): Si se analiza La Figura 1 se puede ver que la raíz se encuentra cerca de
0.6 , por lo tanto se plantea el valor inicial x0 = 0,6.
2. Se plantean 2 transformaciones de f(x) :
a) g1(x) = e−x
b) g2(x) = − log(x)log(e)
3. Se establece condición de parada del método: ξ = 10−3
4. Aplicación iterativa del método para g1(x) mediante software. Ver Figura 7
Figura 7:
Como se puede ver en la iteración 8 se cumple que el error relativo es menor que ξ , terminan las iteraciónes,
y obtenemos como aproximación a la raiz xi = 0,56749133. Por lo tanto se puede decir que con g1(x) el
método converge a la raíz.
Se puede observar también que en cada iteración la distancia del valor actual de xi con el valor xi−1 de
la iteración anterior es mas pequeña.
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5. Aplicación iterativa del método para g2(x) mediante software. Ver Figura 8
Figura 8:
Para este ejemplo en particular en la iteración 8 se observa que se presenta un caso de indeterminación
debido al valor anterior xi−1 es cual resulta ser negativo . Por lo tanto se puede decir que con g2(x) el
método no converge a la raíz.
Se puede observar que en cada iteración la distancia del valor actual de xi con el valor xi−1 de la iteración
anterior se aleja de la raíz.
MÉTODO DE LA TANGENTE O DE NEWTON-RAPHSON
El método consiste en empezar con un valor de x0 (cercano a la raíz) y trazar la tangente en el punto
(x0, f(x0)). El punto donde esta tangente cruza al eje x se toma como la siguiente aproximación. Esto continúa
hasta que valores de x sucesivos están su�cientemente próximos o el valor de la función está su�cientemente
cerca de cero. Ver Figura 9.
Figura 9:
Hay por lo menos tres maneras usuales de introducir el método de Newton-Raphson:
1. se puede derivar geométricamente o técnica grá�ca
2. el uso de la serie de Taylor
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3. deriva el método de Newton a partir de la técnica de iteración de punto �jo.
Vamos a desarrollar 2) y 3).
2) Recuérdese que la serie de Taylor se puede representar como:
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)(xi+1 + xi) +
f(ξ)
2 (xi+1 − xi)
2
en donde ξ se encuentra en alguna parte del intervalo entre xi y xi+1 . Truncando la serie después de la
primera derivada, se obtiene una versión aproximada:
f(xi+1) ≈ f(xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi)
En la intersección conel eje x, f(xi+1) debe ser igual a cero , o:
0 ≈ f(xi) + f ′(xi)(xi+1 − xi)
que se puede resolver para:
xi+1 = xi − f(xi)f ′(xi)
a la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson. Observemos que para que la fórmula tenga sentido
f´(xi) 6= 0.
3) Para resolver una ecuación de la forma f(x) = 0, supongamos que la ecuación f(x) = 0 tiene una solución
x∗ tal que f´(x∗) 6= 0 .
Consideremos el esquema de punto �jo
xi+1 = g(xi)
con la g de la forma
g(x) = x− φ(x)f(x)
Donde φes una función arbitraria que se escogerá más adelante.
Si φ(x) está acotada, entonces g(x∗) = x∗ , y, para que el procedimiento iterativo derivado de g sea cuadráti-
camente convergente, es su�ciente que g´(x∗) = 0 . Pero
g´(x) = 1− φ´(x)f(x)− f´(x)φ(x) y
g´(x∗) = 1− f ´(x∗)φ(x∗)
Consecuentemente, g´(x∗) = 0 si y solo si φ(x∗) = 1f ´(x∗)
El proceso iterativo que de�ne esta elección es:
xi+1 = xi − f(xi)f ′(xi)
que es la fórmula de Newton�Raphson.
El método de Newton se emplea ampliamente porque, al menos en la vecindad próxima de una raíz, converge
más pronto que cualquiera de los métodos analizados hasta ahora.
Ejemplo 4:
Use el método de iteraciones sucesivas para determinar la raíz de f(x) = e−x−x con una exactitud de 10−3.
Solución:
1. Analisis grá�co (Si es posible): Si se analiza La Figura 1 se puede ver que la raíz se encuentra cerca de
0.6 , por lo tanto se plantea el valor inicial x0 = 0,6.
2. Se encuentra f ′(x):
f ′(x) = −e−x − 1
3. Se establece condición de parada del método: ξ = 10−3
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4. Aplicación iterativa del método mediante software. Ver Figura 10
Figura 10:
De esta manera, el método converge rápidamente a la raíz real.
Desventajas del método de Newton-Raphson
Aunque el método de Newton en general es muy e�ciente, hay situaciones en que se comporta de�cientemente.
Ejemplo:
Determínese la raíz positiva de f(x) = x10 − 1 usando el método de Newton�Raphson con un valor inicial
de x = 0,5.
Solución:
1. Se encuentra f ′(x):
f ′(x) = 10x9
2. Se establece condición de parada del método: ξ = 10−3
3. Aplicación iterativa del método mediante software. Ver Figura 11
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Figura 11:
......
De esta forma, después de la primera predicción de�ciente, el método converge a la raíz 1, pero con una
velocidad muy lenta. Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la función, se pueden
originar otras di�cultades, como:
Figura 12:
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La �gura 12 muestra el caso donde un punto de in�exión ocurre en la vecindad de una raíz. Nótese que las
iteraciones que empiezan en x0 divergen progresivamente de la raíz.
Figura 13:
En la �gura 13 se observa la tendencia del método de Newton�Raphson a oscilar alrededor de un punto
mínimo o máximo local.
Figura 14:
Se observa en la �gura 14 que un valor inicial cercano a una raíz puede saltar a una posición varias raíces
lejos. Esta tendencia de alejarse del área de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. Una
pendiente cero causa una división por cero en la fórmula de Newton- Raphson. Grá�camente, esto signi�ca que
la solución se dispara horizontalmente y jamás toca el ejex. La única solución en estos casos es la de tener un
valor inicial cercano a la raíz. Este conocimiento, de hecho, lo proporciona el conocimiento físico del problema o
mediante el uso de herramientas tales como las grá�cas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento
de la solución.
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INTERPOLACIÓN
El concepto de interpolación surge, por ejemplo, cuando disponemos de datos que provienen de mediciones
experimentales o estadísticos, puesto que queremos determinar la evolución general de estos datos con el objetivo
de estimar/predecir los valores que no conocemos. Por ejemplo, esto ocurre si tenemos partes de una imagen fo-
tográ�ca y queremos reconstruir la imagen completa. En otras palabras, buscamos una función (llamada función
interpolante) que toma valores predeterminados en algunos puntos. Notemos que otra aplicación de la inter-
polación es la aproximación de funciones dadas. Normalmente se utilizan funciones de un tipo predeterminado
(polinomios, funciones trigonométricas, etc) dando lugar a diferentes métodos de interpolación. Estudiaremos
la interpolación polinómica.
INTERPOLACIÓN POLINOMIAL
Una de las más y bien conocidas clases de funciones reales de variable real es la clase de los polinomios
algebraicos, o sea, el conjunto de funciones de la forma
f(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x
3 + .....+ anx
n
donde n es un entero no negativo y a0, a1, a2..., an son constantes reales. Una razón primordial de su
importancia es que aproximan uniformemente funciones continuas; esto es, dada una función de�nida y continua
en un intervalo cerrado, existe un polinomio que está tan cerca de la función dada como se desee.
Teorema de Aproximación de Weierstrass:
Si f está de�nida y es continua en [a, b], dado ζ > 0, existe un polinomio P, de�nido en [a, b], con la propiedad
que
| f(x)�P (x) | < ζ para toda x ∈[a, b]. Ver Figura 15.
Figura 15:
Otro aspecto importante para considerar a los polinomios en la aproximación de funciones es que es sencillo
determinar la derivada y la integral inde�nida de cualquier polinomio y el resultado es otra vez un polinomio.
Por estas razones, los polinomios se usan con frecuencia para aproximar otras funciones que se conoce o se
supone son continuas.
POLINOMIO DE LAGRANGE
Planteo del problema
Sea f(x) la función que se quiere interpolar y se supone conocida en un conjunto de puntos x0, x1, x2, ..., xn:
y0 = f(x0)
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y1 = f(x1)
y2 = f(x2)
. .
. .
yn = f(xn)
La interpolación de Lagrange consiste en encontrar un polinomio de grado n, P (x) (polinomio de interpolación
de Lagrange), que pase por los puntos dados. Dicho polinomio cumple las condiciones:
P (x0) = y0
P (x1) = y1
P (x2) = y2
. .
. .
P (xn) = yn
Caso Lineal
Vamos a comenzar por plantearnos el caso de interpolar mediante una línea recta que une 2 puntos cua-
lesquiera. La ecuación de la recta que pasa por los puntos (x0, y0) y x1, y1 es la que presentamos a continuación:
y = P (x) = y0 + (y1=y0)
(x=x0)
(x1=x0)
Vamos a tratar de reescribir la misma expresión tal cual lo hizo Lagrange:
P1(x) = y0
(x=x1)
(x0=x1)
+ y1 (x=x0)(x1=x0) = L0(x)y0 + L1(x)y1
Con L0(x) =
(x=x1)
(x0=x1)
y L1(x) =
(x=x0)
(x1=x0)
, llamados coe�cientes de Lagrange, que cumplen:
Cuando x = x0, L0(x0) = 1 mientras que L1(x0) = 0 =⇒ P1(x0) = y0
Cuando x = x1, L0(x1) = 0 mientras que L1(x1) = 1 =⇒ P1(x1) = y1
Caso General: Polinomio de grado n
Teorema 1: Si x0, x1, x2...., xn son (n+1) números diferentes y f es una función cuyos valores están dados
en estos puntos, entonces existe un único polinomio P de grado n con la propiedad de que :
f(xk) = P (xk) para cada k = 0, 1, 2, ....., n
Este polinomio está dado por:
P (x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + ....+ f(xn)Ln(x) =
n∑
i=0
f(xi)Li(x)
Demostración:
Por una serie de n+1 puntos pasa un polinomio de grado n que, lo podemos expresar en función de sus raíces
y tiene la siguiente forma:
Pn(x) = a0(x − x1)(x − x2)...(x − xn) + a1(x − x0)(x − x2)...(x − xn) + a2(x − x0)(x − x1)(x − x3)...(x −
xn) + ...+ ai(x−x0)(x−x1)...(x−xi=1)(x−xi+1)...(x−xn) + ...+ an=1(x−x0)(x−x1)...(x−xn=2)(x−xn) +
an(x=x0)(x− x1)...(x− xn=2)(x− xn=1)
Los coe�cientes del polinomio se determinan haciendo cumplir las condiciones:
P (x0) = y0
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P (x1) = y1
P (x2) = y2
. .
. .
P (xn) = yn
obtenemos:
a0 =
f(x0)
(x0=x1)(x0=x2)...(x0=xn)
a1 =
f(x1)
(x1=x0)(x1=x2)...(x1=xn)
a2 =
f(x2)
(x2−x0)(x2−x1)...(x2−xn)
en general:
ai =
f(xi)
(xi=x0)(xi=x1)...(xi=xi−1)(xi=xi+1)...(xi=xn)= f(xi)
n∏
j = 0
j 6= i
(x−xj)
(xi−xj)
El siguiente paso consiste en calcular un término residual o cota para el error involucrado en la aproximación
de una función mediante un polinomio interpolante. Esto se hace en el teorema siguiente:
Teorema 2:
Si x0, x1, x2....., xn son puntos distintos en [a, b] y si f es derivable hasta el orden (n+1) en [a, b], entonces,
para cada x en [a, b], existe un número ξ(x) en (a, b) tal que:
f(x) = P (x) + f
(n+1)(ξ(x))
(n+1)! (x-x0)(x− x1)...(x− xn)
donde P (x) es el polinomio interpolante. El segundo término corresponde a la fórmula del error. Esta fórmula
es un resultado teórico importante, su uso práctico está restringido a funciones cuyas derivadas tengan cotas
conocidas.
Ejemplo 1:
La tabla muestra los valores de una función en diversos puntos. Compararemos las aproximaciones a
f(1,5)obtenidas con varios polinomios de Lagrange.
x f(x)
1, 0 0,7651977
1,3 0,6200860
1,6 0,4554022
1,9 0,2818186
2,2 0,1103623
Aproximación por Interpolación lineal:
Como x = 1, 5 se encuentra entre 1,3 y 1,6, el polinomio lineal utilizará x0 = 1, 3 y x1 = 1, 6.
P1(x) =
1∑
i=0
f(xi)Li(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x)
P1(1,5) = 0,6200860
(1,5=1,6)
(1,3=1,6) + 0,4554022
(1,5=1,3)
(1,6=1,3) = 0,5102968
Aproximación por polinomio de grado 2:
Suponemos que x0 = 1,3, x1 = 1,6 y x2 = 1,9
P2(x) =
2∑
i=0
f(xi)Li(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x)
P2(1,5) = 0,6200860
(1,5=1,6)
(1,3=1,6)
(1,5=1,9)
(1,3=1,9) + 0,4554022
(1,5=1,3)
(1,6=1,3)
(1,5=1,9)
(1,6=1,9) + 0,2818186
(1,5=1,6)
(1,9=1,6)
(1,5=1,3)
(1,9=1,3) = 0,5112857
Aproximación por polinomio de grado 3:
Suponemos que x0 = 1,3, x1 = 1,6, x2 = 1,9 y x3 = 2,2
P3(x) =
3∑
i=0
f(xi)Li(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x)
15
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P3(1,5) = 0,6200860
(1,5−1,6)
(1,3−1,6)
(1,5−1,9)
(1,3−1,9)
(1,5−2,2)
(1,3−2,2) + 0,4554022
(1,5−1,3)
(1,6−1,3)
(1,5−1,9)
(1,6−1,9)
(1,5−2,2)
(1,6−2,2)+
0,2818186 (1,5−1,3)(1,9−1,3)
(1,5−1,6)
(1,9−1,6)
(1,5−2,2)
(1,9−2,2) + 0,1103623
(1,5−1,3)
(2,2−1,3)
(1,5−1,6)
(2,2−1,6)
(1,5−1,9)
(2,2−1,9) = 0,5118302
Aproximación por polinomio de grado 4 (se utilizan todos los valores de la tabla):
x0 = 1,0, x1 = 1,3, x2 = 1,6, x3 = 1,9 y x4 = 2,2
P4(x) =
3∑
i=0
f(xi)Li(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) + f(x4)L4(x)
P4(1, 5) = 0, 7651977
(1,5−1,3)
(1,0−1,3)
(1,5−1,6)
(1,0−1,6)
(1,5−1,9)
(1,0−1,9)
(1,5−2,2)
(1,0−2,2) + 0, 6200860
(1,5−1,0)
(1,3−1,0)
(1,5−1,6)
(1,3−1,6)
(1,5−1,9)
(1,3−1,9)
(1,5−2,2)
(1,3−2,2)+
0, 4554022 (1,5−1,0)(1,6−1,0)
(1,5−1,3)
(1,6−1,3)
(1,5−1,9)
(1,6−1,9)
(1,5−2,2)
(1,6−2,2) + 0, 2818186
(1,5−1,0)
(1,9−1,0)
(1,5−1,3)
(1,9−1,3)
(1,5−1,6)
(1,9−1,6)
(1,5−2,2)
(1,9−2,2)+
0, 1103623 (1,5−1,0)(2,2−1,0)
(1,5−1,3)
(2,2−1,3)
(1,5−1,6)
(2,2−1,6)
(1,5−1,9)
(2,2−1,9) = 0, 5118200
Ejemplo 2:
Determinar el polinomio interpolador de Lagrange para la función f(x) = sen(x) en los siguientes puntos
x0 =
π
4 , x1 =
π
3 , x2 =
π
2 . Estimar sen(1,2). ¾Serviría este polinomio para evaluar sen(3)?.
Determinación de valores yi:
x f(x)
π
4
√
2
2
π
3
√
3
2
π
2 1
Aproximación por polinomio de grado 2:
P2(x) =
√
2
2
(x=π3 )
(π4=
π
3 )
(x=π2 )
(π4=
π
2 )
+
√
3
2
(x=π4 )
(π3=
π
4 )
(x=π2 )
(π3=
π
2 )
+ 1
(x=π4 )
(π2=
π
4 )
(x=π3 )
(π2=
π
3 )
Realizamos operaciones algebraicas y agrupamos términos:
P2(x) =
√
2
2 (
48(x=π3 )(x=
π
2 )
π2 ) +
√
3
2 (
−72(x=π4 )(x=
π
2 )
π2 ) + 1(
24(x=π4 )(x=
π
3 )
π2 )
El polinomio interpolador con coe�cientes decimales es:
P2(x) = =0, 447100350x
2 + 1, 426378617x=0, 137374388
Puesto que disponemos de la funci�ón original y el polinomio que la interpola, podemos ver sus gr�á�cos
y compararlos. Ver Figura 16. Se puede observar también que si ampliamos el intervalo hasta sobrepasar el
intervalo [π4 ,
π
2 ], la similitud entre la función y el polinomio que la interpola se pierde pues s�ólo se aproximan
en el intervalo de interpolación.
16
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Figura 16:
Valor estimado de sen(1, 2):
P2(1, 2) =0, 930455446
Valor real de sen(1, 2):
sen(1, 2) = 0, 932039086
Desventajas del método
Las desventajas de la interpolación de Lagrange son las siguientes:
La cantidad de cálculos necesaria para una interpolación es grande.
La interpolación para otro valor de x necesita la misma cantidad de cálculos adicionales, ya que no se
pueden utilizar partes de la aplicación previa.
Cuando el número de datos tiene que aumentar o disminuir, no se pueden utilizar los resultados de los
cálculos previos.
Aumentar el número de datos en el intervalo no implica mejora en los resultados.
La evaluación del error no es fácil.
Problemas con interpolación � Fenómeno de Runge
Supongamos que dado un intervalo [a, b] lo vamos subdividiendo en más y más puntos, más concretamente
tomemos:
xi = a+ ih para i = 0, 1, 2, 3, ..., n donde h =
(b−a)
n
y supongamos que construimos con estos puntos el polinomio de interpolación Pn(x) para una función dada
f, esto es, que Pn(xi) = f(xi), para estos n puntos.
¾Se tiene
lim
n→∞
pn(x) = f(x) cuando n tiende a in�nito?
La respuesta es negativa. En realidad, al aumentar el número de puntos se mejora la aproximación en
la parte central del intervalo, pero la diferencia entre la función y el polinomio interpolador puede aumentar
17
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rápidamente en los extremos. No es bueno hacer demasiado extenso el intervalo de interpolación, ya que además
de aumentar el número de operaciones con la consecuente acumulación de errores, podemos aumentar la pérdida
de precisión en los extremos. Este fenómeno es conocido como fenómeno de Runge.
Ejemplo 3
Dada la función:
f(x) = 11+x2 en el intervalo [−5, 5]. Ver �gura 17.
Figura 17:
Si construimos el polinomio de interpolación Pn(x) en este intervalo, entonces seguro que no hay convergencia
en los puntos donde |x| > 3, 63. El problema parece pues que se tuerce, pero por otro lado se vuelve más
interesante. Resulta que para ciertas funciones, por ejemplo para f(x) = ex, si hay convergencia. Pero para otras
no. El problema con estas últimas es que sus derivadas van creciendo demasiado en el intervalo considerado,
esto es lo que sucede con esta función de Runge, que parecía al principio bastante inofensiva. En las �guras
siguiente se demuestra este comportamiento.
Demostración del fenómeno de Runge en interpolación por Lagrange.
Caso1: Polinomio de Grado 2
Figura 18:
Caso 2: Polinomio de Grado 4
18
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Figura 19:
Caso 3: Polinomio de Grado 10
Figura 20:
Caso 4: Polinomio de Grado 20
Figura 21:
19
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Caso 5: Polinomio de Grado 50
Figura 22:
MÉTODO DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Los métodos para determinar la representación explícita de un polinomio interpolante a partir de datos
tabulados se conocen como métodos de diferencias divididas. Estos métodos se usaron más con propósitos de
cómputo antes de que el equipo de cómputo digital llegara a ser fácilmente disponible. Sin embargo, los métodos
pueden usarse también para derivar técnicas para aproximar las derivadas y las integrales de funciones, así como
para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales.
Interpolación de Newton en puntos con separación no uniforme
Supongamos que Pn es el polinomio de Lagrange de grado n que coincide con la función f en los números
distintos x0, x1, x2....., xn. Las diferencias divididas de f con respecto a x0, x1, x2....., xn se pueden derivar de-
mostrando que Pn tiene la representación:
Pn(x) = a0 + a1(x=x0) + a2(x=x0)(x=x1) + a3(x=x0)(x=x1)(x=x2) + ...+ an(x=x0)(x=x1)........(x=xn=1)
con constantes apropiadas a0, a1, a2, ..., an
Evaluando Pn en x0 : a0 = Pn(x0) = f(x0)
Evaluando en x1 : f(x0) + a1(x1=x0) = Pn(x1) = f(x1)⇒ a1 = f(x1)−f(x0)x1−x0
Introducimoslo que se conoce como notación de diferencia dividida.
Diferencias divididas de orden cero de la función f:
f [x0] = f(x0), f [x1] = f(x1), f [x2] = f(x2), ........., f [xn] = f(xn)
Diferencias divididas de orden 1 de la función f:
f [x0, x1] =
f [x1]−f [x0]
x1−x0 , f [x1, x2] =
f [x2]−f [x1]
x2−x1 ,....,f [xi, xi+1] =
f [xi+1]−f [xi]
xi+1−xi
Diferencias divididas de orden 2 de la función f:
f [x0, x1, x2] =
f [x1,x2]−f [x0,x1]
x2−x0 , f [x2, x3, x4] =
f [x3,x4]−f [x2,x3]
x4−x2 ,....,f [xi, xi+1, xi+2] =
f [xi+1,xi+2]−f [xi,xi+1]
xi+2−xi
Cuando las (k − 1) diferencias divididas
f [xi, xi+1, xi+2, ..., xi+k=1] y f [xi+1, xi+2, ..., xi+k=1, xi+k]
han sido determinadas, la k-ésima diferencia dividida de f relativa a xi, xi+1, xi+2, ...., xi+k, está dada por:
f [xi, xi+1, ..., xi+k−1, xi+k] =
f [xi+1,xi+2,...,xi+k]−f [xi,xi+1,...,xi+k−1]
xi+k−xi
20
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Los coe�cientes a1, a2, a3, ..., an, se pueden expresar en términos de las diferencias divididas
a1 =
f(x1)−f(x0)
x1−x0 = f [x0, x1], a2 = f [x0, x1, x2], a3 = f [x0, x1, x2, x3], a4 = f [x0, x1, x2, x3, x4]....
Sustituyendo en el polinomio interpolante
Pn(x) = a0 + a1(x=x0) + a2(x=x0)(x=x1) + a3(x=x0)(x=x1)(x=x2) + ...+ an(x=x0)(x=x1)........(x=xn=1)
Pn(x) = f [x0] + f [x0, x1](x=x0) + f [x0, x1, x2](x=x0)(x=x1) + f [x0, x1, x2, x3](x=x0)(x=x1)(x=x2) + ...+
f [x0, x1, ..., xn](x=x0)(x=x1)(x=x2)........(x=xn=1)
Pn(x) = f [x0] +
n∑
k=1
f [x0, x1, ..., xk](x=x0)(x=x1)...(x=xk=1)
que es la fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton
La determinación de las diferencias divididas para puntos de datos tabulados se bosqueja en la tabla siguiente.
Se podrían encontrar una cuarta diferencia a partir de estos datos.
x f(x) 1ras dif. Div. 2das dif. Div. 3ras dif. Div. 4tas dif. Div.
f[x0, x1, x2, x3, x4] =
f[x1,x2,x3,x4]−f[x0,x1,x2,x3]
x4−x0
Ejemplo 4:
Dada la tabla del ejemplo 1 , encontrar los coe�cientes de la fórmula de las diferencias divididas progresivas
del polinomio interpolante de Newton y aproximar f(1.5) .
Solución:
1. Mediante software se contruye la tabla de diferencias divididas de orden 4 . Ver �gura 23.
Figure 23:
2. Como se puede observar los coe�cientes se encuentran a lo largo de la diagonal de la tabla, por lo tanto:
P4(x) = 0.7651977− 0.4837057(x− 1.0)− 0.1087339(x− 1.0)(x− 1.3) + 0.06606358(x− 1.0)(x− 1.3)(x−
1.6) + 0.0012078(x− 1.0)(x− 1.3)(x− 1.6)(x− 1.9)
3. Aproximación de f(1, 5):
P4(1, 5) = 0, 5117878934
21
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INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Matemáticamente, la integración se representa por :
I =
´ b
a
f(x)dx
que representa a la integral de la función f(x) con respecto a la variable x, evaluada entre los límites x = a
e y = b.
El signi�cado de la ecuación es el valor total o sumatoria de f(x)dx sobre el intervalo de x = a a x = b. La
�gura 24 representa una manifestación grá�ca de este concepto. Para las funciones que se encuentran sobre el
eje x, la integral expresada por la ecuación I =
´ b
a
f(x)dx , corresponde al área bajo la curva de
f(x) entre x = a y x = b.
Figura 24:
Con frecuencia surge la necesidad de evaluar la integral de�nida de una función que no tiene una primitiva
explícita o cuya primitiva tiene valores que no son fácilmente obtenibles, como pueden ser la función de error,
combinaciones algebraicas de funciones trascendentes y logarítmicas o la función gamma de Euler, etc. Por otro
lado, cuando únicamente conocemos el valor de la función en un conjunto de puntos (xi, fi), como ocurre con los
resultados de un experimento o de simulaciones numéricas, sus integrales sólo se pueden obtener numéricamente,
lo cual motiva aún más la necesidad de poder obtener derivadas e integrales a partir de conjuntos discretos de
datos.
El método básico involucrado para aproximar I =
´ b
a
f(x)dx se conoce como cuadratura numérica y se
a basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna
función aproximada que sea más fácil de integrar, las funciones aproximadas son los polinomios de interpolación.
Por consiguiente, las distintas fórmulas de interpolación darán por resultado distintos métodos de integración
numérica. Consideraremos las fórmulas que se obtienen usando polinomios de Lagrange de primero y segundo
grado con nodos uniformemente espaciados. Estas fórmulas son la regla del trapecio y la regla de Simpson, que
son ejemplos de un tipo de métodos conocidos como fórmulas de Newton-Cotes. Hay dos tipos de fórmulas de
Newton � Cotes, las fórmulas abiertas y las fórmulas cerradas. Las fórmulas cerradas son aquellas donde los
puntos al principio y al �nal de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites
de integración extendidos más allá del rango de los datos, en general, no se usan en la integración de�nida. Sin
embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales.
REGLA DEL TRAPECIO
Para derivar la regla del trapecio para aproximar I =
´ b
a
f(x)dx, sean a x0 = a, x1 = b, h = b=a usando el
polinomio de Lagrange de primer grado:
P1(x) = f(x0)
(x=x1)
(x0=x1)
+ f(x1)
(x=x0)
(x1=x0)
Por lo tanto I =
´ b
a
f(x)dx =
´ x1
x0
[f(x0)
(x=x1)
(x0=x1)
+ f(x1)
(x=x0)
(x1=x0)
]dx+ 12
´ x1
x0
f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx
Recordemos el Teorema del valor medio ponderado para integrales, para obtener el término del error. Si f
es continua en [a, b], g es integrable en [a, b], entonces existe un número c, a ≤ c ≤ b, tal que:
I =
´ b
a
f(x)g(x)dx = f(c)
´ b
a
g(x)dx
22
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Como (x=x0)(x=x1) no cambia de signo en [x0, x1], el teorema anterior puede aplicarse al término del error
y ´ x1
x0
f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx= f ′′ξ(x)
´ x1
x0
(x− x0)(x− x1)dx
= f ′′ξ(x)[x
3
3 −
(x1+x0)x
2
2 + x0x1x]
x1
x0 = −
h3
6 f
′′(ξ)
Consecuentemente,
I =
´ b
a
f(x)dx =
´ x1
x0
[f(x0)
(x=x1)
(x0=x1)
+ f(x1)
(x=x0)
(x1=x0)
]dx+ 12
´ x1
x0
f ′′(ξ(x))(x− x0)(x− x1)dx
= [f(x0)
(x=x1)
2
2(x0=x1)
+ f(x1)
(x=x0)
2
2(x1=x0)
]x1x0 −
h3
12 f
′′(ξ) se de�ne como la Regla del Trapecio:
I =
´ b
a
f(x)dx = h2 [f(x0) + f(x1)]−
h3
12 f
′′(ξ)
La razón por la cual esta fórmula se llama la regla del trapecio es que, cuando f es una función con valores
positivos I =
´ b
a
f(x)dx, se puede aproximar calculando el área del trapecio mostrado en la �gura 25.
Figura 25:
Nótese que la regla del trapecio dará el resultado exacto cuando se aplique a cualquier función cuya segunda
derivada sea idénticamente cero, o sea, cualquier polinomio de grado uno o menor.
Regla del Trapecio usando segmentos múltiples
Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración en un
conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos, ver �gura 26. Se suman las áreas de
los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo.
Dados n + 1 puntos base igualmente espaciados (x0, x1, x3, x4, ..., xn) . Por consiguiente, hay n segmentos
de igual longitud h = b−an
Si a = x0, b = xn , la integral total se representa como:
I =
´ x1
x0
f(x)dx+
´ x2
x1
f(x)dx+
´ x3
x2
f(x)dx+ ...+
´ xn
xn−1
f(x)dx
Sustituyendo la regla trapezoidal para cada un de las integrales, se obtiene:
I = h2 [f(x0) + f(x1)] +
h
2 [f(x1) + f(x2)] +
h
2 [f(x2) + f(x3)] + ...+
h
2 [f(xn−1) + f(xn)]
Agrupando terminos:
I ≈ h2 [f(x0) + 2
n−1∑
i=1
f(xi) + f(xn)]
23
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Figura 26:
El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando los errores individuales de cada uno de los
segmentos, dando:
E = − (b−a)
3
12n3
n∑
i=1
f ′′(ξi)
f ′′(ξi), es evaluada en el punto ξi localizado dentro del segmento i. Este resultado se simpli�ca calculando
la media o el valor promedio de la erivada sobre el intervalo completo
f̄ ′′ =
n∑
i=1
f ′′(ξi)
n
Reemplazando en la ecuación delerror
E = − (b−a)
3
12n2 f̄
′′
De manera que, si el número de segmentos se duplica, el error de truncamiento disminuye a un cuarto de
de su valor. La última ecuación nos proporciona un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la
ecuación.
Ejemplo 1:
Aproximar I =
´ 1
0
dx√
2+x3
Solución:
1. Para el cálculo será su�ciente tabular f(x) cada 0,2, por ejemplo:
x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
f(x) 0.707 0.705 0.696 0.672 0.631 0.577
2. Calculo de h:
h = 1,0−05 = 0,2
3. Aplicamos la Regla del Trapecio con segmentos múltiples:´ 1
0
dx√
2+x3
dx≈ 0.22 [0.707 + 2(0, 705) + 2(0, 696) + 2(0, 672) + 2(0, 631) + 0, 577] = 6, 6933
Ejemplo 2:
Aproximar I =
´ 2
1
dx
1+x1/2
, con n = 2 y n = 5
Solución analitica I = 1, 6470454
Solución para n = 2
1. Calculo de h:
h = 2−12 = 0, 5
24
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2. Aplicamos la Regla del Trapecio con segmentos múltiples:´ 2
1
x3
1+x1/2
dx ≈ 0,52 [0, 5 + 2(3, 034055) + 3, 312708] = 1, 711941
3. Error
E = |1, 6470454− 1, 711941| = 0, 064895
Solución para n = 5
1. Calculo de h:
h = 2−14 = 0, 2
2. Aplicamos la regla del trapecio con segmentos múltiples:´ 2
1
x3
1+x1/2
dx ≈ 0,22 [0, 5 + 2(0, 8246) + 2(1, 2568) + 2(1, 80845) + 2(2, 49056) + 3, 313708] = 1, 657476
3. Error
E = |1, 6470454− 1, 657476| = 0, 01043
REGLA DE SIMPSON
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más �nos, otra manera de obtener una
estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por
ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces se pueden conectar los tres puntos con una
parábola ver �gura 27. Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f(a) y f(b), entonces los cuatro puntos
se pueden conectar con un polinomio de tercer orden ver �gura 27. A los polinomios resultantes de calcular la
integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.
Figura 27:
REGLA DE SIMPSON DE 1/3
La regla de Simpson de 1/3 resulta de integrar un polinomio de Lagrange de segundo orden sobre [a, b], con
nodos x0 = a, x1 = b y x2 = a+ h, donde h = b=a2´ b
a
f(x)dx =
´ x2
x0
[f(x0)
(x=x1)(x=x2)
(x0=x1)(x0=x2)
+ f(x1)
(x=x0)(x=x2)
(x1=x0)(x1=x2)
+ f(x2)
(x=x0)(x=x1)
(x2=x0)(x2=x1)
]dx
Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:
´ b
a
f(x)dx ≈ h3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
Ecuación que se conoce como Regla de 1/3 de Simpson. La etiqueta de �1/3� viene de que h se divide por 3
en la ecuación.
Estimación del error de la Regla de Simpson
25
Calculo Numérico - UNJu - Facultad de Ingeniería �San Salvador de Jujuy
E = −h
5
90 f
4(ξ)
Entonces
I =
´ b
a
f(x)dx = h3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] + E
La regla de Simpson es mucho más exacta que la regla trapezoidal, el error es proporcional a la cuarta
derivada. Esto se debe a que, como se mostró en la integración, los coe�cientes del término de tercer orden se
anulan. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente
en tres puntos.
Método de Simpson usando segmentos múltiples
I ≈ h3 [f(x0) + 4
n−1∑
i=1
impar
f(xi) + 2
n−2∑
i=2
par
f(xi) + f(xn)]
h = b−an
y el error, se obtiene sumando los errores individuales de cada uno de los segmentos y promediando la
derivada, para obtener:
E = − (b−a)
5
180n4
−
f
4
(ξ)
Ejemplo 3:
Aproximar I =
´ 2
1
x3
1+x1/2
dx, con n = 2 y n = 4
Solución analitica I = 1, 6470454
Solución para n = 2
1. Calculo de h:
h = 2−12 = 0, 5
2. Aplicamos la regla del trapecio con segmentos múltiples:´ 2
1
x3
1+x1/2
dx ≈ 0,53 [0, 5 + 4(1, 51702) + 3, 312708] = 1, 646970
3. Error
E = |1, 6470454− 1, 646970| = 7, 39E − 5
Solución para n = 4
1. Calculo de h:
h = 2−14 = 0, 25
2. Aplicamos la regla del trapecio con segmentos múltiples:´ 2
1
x3
1+x1/2
dx ≈ 0,253 [0, 5 + 4(0, 9221) + 2(1, 517) + 4(2, 3072) + 3, 3137] = 1, 647099
3. Error
E = |1, 6470454− 1, 647099| = 5, 36E − 5
REGLA DE SIMPSON DE 3/8
De manera similar a la derivación de la Regla Trapezoidal y a la Tegla de Simpson de 1/3, se pueden ajustar
polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos e integrar ver �gura 27, para obtener:
I ≈ 3h8 [f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3)]
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Calculo Numérico - UNJu - Facultad de Ingeniería �San Salvador de Jujuy
donde h = b−a3
A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8, y su error es:
E = − (b−a)
5
6480 f
4(ξ)
Por lo tanto la regla 3/8 es algo más exacta que la regla 1/3. La regla 1/3 es, en general el método de
preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios
para la regla 3/8. La regla 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de
segmentos es impar.
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Calculo Numérico - UNJu - Facultad de Ingeniería �San Salvador de Jujuy
TECNOLOGÍAS LIBRES UTILIZADAS
Plataforma base: GNU/Linux � Debian �wheezy�
Procesador de texto: Lyx/Latex
Lenguaje de Programación: Fortran G77
Generador de Grá�cos: GNUPlot
Editor de Ecuaciones: Lyx/Latex
Editor de diagramas: Dia
Planilla de Calculo: LibreO�ce Calc
BIBLIOGRAFÍA
Chapra Steven C., Canale Raymond P.; MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. Con apli-
caciones en computadoras personales, 1996, McGraw � Hill/Interamericana de México.
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Sadosky Manuel, CÁLCULO NUMÉRICO Y GRÁFICO, 1971, Ediciones Librería del Colegio.
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