Exercícios de Cálculo IV com Transformada de Laplace

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Departamento de Matemática - CCEN - UFPE
CÁLCULO IV - ÁREA II
SEGUNDO SEMESTRE — 2006
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. Determine a solução particular das seguintes equações diferenciais não homogêneas.
(a) y′′ + 3y′ = ex, yp = Aex.
(b) y′′ − 8y′ + 16y = (1− x)e4x, yp = (A1x3 + A2x2)e4x
(c) y′′ + 4y′ + 8y = e2x(sin 2x + cos 2x), yp = (A cos 2x + sin 2x)e2x
(d) y′′ − 4y′ = 2 cos2 4x, yp = A1x + A2 cos x + B2 sin x
(e) y′′ + 4y = sin x sin 2x, yp = A1 cos x + B1 sin x + A2cos3x + B2 sin 3x
2. Resolver as seguintes equações:
(a) y′′ − 4y′ + 4y = x2, y = (C1 + C2x)e2x + x
2
4
+
x
2
+
3
8
.
(b) y′′ − 2ky′ + k2y = ex( k 6= 1 ), y = (C1 + C2x)ekx + e
x
(k − 1)2 .
(c) y′′ + 4y′ + 3y = 9e−3x, y = C1e−3x + C2e−x − 9
2
xe−3x.
(d) y′′ + y′ + y = (x + x2)ex, y = e−
x
2 (C1 sin
√
3
2
+ C2 cos
√
3
2
) + ex(
x2
3
− x
3
+
1
3
).
3. Resolva as seguintes equações:
(a) y′′ − 5y′ + 6y = (12x− 7)e−x; y(0) = y′(0) = 0. y = e2x − e3x + xe−x.
(b) y′′− 4y′ + 5y = 2x2ex; y(0) = 2, y′(0) = 3. y = e2x(cos x− 2 sin x) + (x + 1)2ex.
(c) y′′ + 4y = sin x; y(0) = y′(0) = 1. y = cos 2x +
1
3
(sin 2x + sin x).
(d) y′′ − 2y′ + 2y = 4ex cos x; y(π) = πeπ, y′(π) = eπ. y = −ex[π cos x + (π + 1 −
2x) sin x].
4. A equação xy′′ + 2y′ + xy = 0 tem solução particular y1 =
sin x
x
.
(a) Encontre uma segunda solução da equação da forma y2 = A(x)y1.
Rpta. y2 =
cos x
x
(b) Use o método da variação dos parâmetros para achar a solução de
xy′′ + 2y′ + xy = 1.
Rpta. y = C1
sin x
x
+ C2
cos x
x
+ 1
x
.
5. Use o método da variação dos parâmetros para resolver as seguintes equações:
(a) y′′ − 2y′ + y = e
x
x2 + 1
; y = ex(C1 + c2x− ln
√
x2 + 1 + x arctan x).
(b) y′′ − y = e2x cos ex; y = C1ex + C2 − cos ex.
(c) y′′ − 2 tan xy′ = 1; y = C1 + C2 tan x + 1
2
(1 + x tan x).
(d) x3(ln x− 1)y′′ − x2y′ + xy = 2 ln x, y1 = x, y2 = ln x, limx→∞ y(x) = 0. y = 1
x
.
6. Determine as seguintes transformadas:
(a) L(e−x sin2 x); Rpta. 2
(s + 1)(s2 + 2s + 5)
.
(b) L ((1 + te−t)3); Rpta.1
s
+
3
(s + 1)2
+
6
(s + 2)3
+
6
(s + 3)4
.
(c) L(t(3 sin 2t− 2 cos 2t)); Rpta.8 + 12s− 2s
2
(s2 + 4)2
.
(d) L(x2 sin x); Rpta. 6s
2 − 2
(s2 + 1)3
(e) Calcule L(f(x)) se f é uma função periódica de peŕıodo 4 e
f(x) =
{
3t , 0 ≤ t < 2,
6 , 2 ≤ t < 4. Rpta.
3− 3e−2s − 6se−4s
s2(1− e−4s) .
(f) Calcule L(f(x)) se f é dada por
f(x) =
{
e−t , 0 < t < 3
0 , t ≥ 0. Rpta.
1− e−3(s+1)
s + 1
(g) Mostre que L (t2u2(t)) = 2
s3
− 2e
−2s
s3
(1 + 2s + 2s2), s > 0
7. Uma função é dita periódica se existe T > 0 tal que f(t+T ) = f(t) para todo t ≥ 0.
Mostre que
L(f(x)) =
∫ T
0
e−sxf(x)dx
1− e−sT .
8. Se L(f ′′(x)) = arctan(1/s), f(0) = 2 e f ′(0) = −1. Encontre L(f(x)).
Rpta.
2s− 1 + arctan(1/s)
s2
.
9. Calcule as transformadas inversas seguintes:
(a) L−1
(
4s + 12
s2 + 8s + 16
)
. Rpta. 4e−4x(1− x).
(b) L−1
(
3s + 7
s2 − 2s− 3
)
. Rpta. 4e3x − e−x.
(c) L−1
(
e−5s
(s− 2)4
)
. Rpta. 1
6
(t− 5)3e2(t−5)u5.
(d) L−1
(
(s + 1)e−πs
s2 + s + 1
)
. Rpta. 3−1/2e−
1
2
(t−π)
[√
3 cos
√
3
2
(t− π) +√3 sin
√
3
2
(t− π)
]
uπ.
(e) L−1
(
s
(s2 + a2)2
)
. Rpta.
t sin at
2a
.
(f) L−1
(
1
s2(s + 1)2
)
. Rpta. xe−x + 2−x + x− 2.
(g) L−1
(
2s2 − 4
(s + 1)(s− 2)(s− 3)
)
. Rpta. −1
6
e−x − 4
3
e2x +
7
2
e3x.
(h) L−1
(
3s− 8
s2 + 4
− 4s− 24
s2 − 16
)
. Rpta. 3 cos 2t− 4 sin 2t− 4 cosh 4t + 6 sinh 4t.
10. Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes
usando transformada de Laplace.
(a) y′′ + y = x, y(0) = 1, y′(0) = 2. Rpta. y(x) = x + cos x− 3 sin x.
(b) y′′ + 4y′ + 5y = e−3x cos x, y(0) = 2, y′(0) = 1. Rpta. y = 1
5
e−2x(9 cos x +
28 sin x) + 1
5
e−3x(cos x− 2 sin x).
(c) y′′ − 3y′ + 2y = 4t + 12e−t, y(0) = 6, y′(0) = −1. Rpta. y = 3et − 2e2t + 2t +
3 + 2e−t.
(d) y′′ + 4y = F (t), y(0) = 0, y′(0) = 1 e
F (t) =
{
1 ; 0 < t ≤ 1,
0 ; t > 1.
Rpta. y(t) = 1
2
sin 2t + 1
4
(1− cos 2t)− 1
4
[1− cos 2(t− 1)]u1(t).
11. Use a transformada de Laplace para resolver as seguintes equações.
(a) y′′ + xy′ − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1. Rpta. y = x.
(b) xy′′ + (x− 1)y′ − y = 0, y(0) = 5, limx→∞ y(x) = 0. Rpta. y(x) = 5e−x.
(c) x2y′′ + xy′ + 2(t2 − 1)y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.