PAUTAtest3C3

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Nombre: ........................................................................................................... 1
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
25/04/2013. Tiempo: 45 minutos.
Solución Test N◦ 3.
Cálculo III 521227
1. La introducción de coordenadas esféricas
x = ρ cos θ sinϕ
y = ρ sin θ sinϕ
z = ρ cosϕ
transforma w = f(x, y, z) en w = F (ρ, θ, ϕ). Use regla de la cadena para
expresar ∂w
∂ρ
y ∂
2w
∂θ∂ρ
en términos de las derivadas parciales de w con respecto a
las variables x, y, z.
Solución.-
∂w
∂ρ
=
∂w
∂x
∂x
∂ρ
+
∂w
∂y
∂y
∂ρ
+
∂w
∂z
∂z
∂ρ
=
∂w
∂x
cos θ sinϕ+
∂w
∂y
sin θ sinϕ+
∂w
∂z
cosϕ
(15 puntos)
∂2w
∂θ∂ρ
=
�
∂2w
∂x2
∂x
∂θ
+
∂2w
∂y∂x
∂y
∂θ
+
∂2w
∂z∂x
∂z
∂θ
�
cos θ sinϕ−
∂w
∂x
sin θ sinϕ
+
�
∂2w
∂x∂y
∂x
∂θ
+
∂2w
∂y2
∂y
∂θ
+
∂2w
∂z∂y
∂z
∂θ
�
sin θ sinϕ+
∂w
∂y
cos θ sinϕ
+
�
∂2w
∂x∂z
∂x
∂θ
+
∂2w
∂y∂z
∂y
∂θ
+
∂2w
∂z2
∂z
∂θ
�
cosϕ
∂2w
∂θ∂ρ
=
�
−
∂2w
∂x2
ρ sin θ sinϕ+
∂2w
∂y∂x
ρ cos θ sinϕ
�
cos θ sinϕ−
∂w
∂x
sin θ sinϕ
+
�
−
∂2w
∂x∂y
ρ sin θ sinϕ+
∂2w
∂y2
ρ cos θ sinϕ
�
sin θ sinϕ+
∂w
∂y
cos θ sinϕ
+
�
−
∂2w
∂x∂z
ρ sin θ sinϕ+
∂2w
∂y∂z
ρ cos θ sinϕ
�
cosϕ
(25 puntos)
Obs.- En caso de faltar los términos −∂w
∂x
sin θ sinϕ+ ∂w
∂y
cos θ sinϕ esta parte
se califica con 15 puntos (25-10)
Nombre: ........................................................................................................... 2
2. Sea f(x, y) = (x cos y, sin(x − y)). Mostrar que f tiene inversa local en una
vecindad del punto
�
π
2
, π
2
�
y obtener la matriz jacobiana de dicha inversa local
en el punto (0, 0)
Solución.- f es de clase C1 con matriz Jacobiana
Jf (x, y) =
�
cos y −x sin y
cos (x− y) − cos (x− y)
�
En el punto
�
π
2
, π
2
�
: ����
0 −π
2
1 −1
���� =
π
2
�= 0
Luego f posee inversa local en una vecindad de
�
π
2
, π
2
�
(10 puntos)
con matriz jacobiana
�
0 −π
2
1 −1
�
−1
=
�
− 2
π
1
− 2
π
0
�
(10 puntos)