Calculo numerico y estadistica aplicada - Luis M Sese Sanchez - 1ed

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Cálculo Numérico 
y Estadística Aplicada
LUIS M. SESÉ SÁNCHEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
CÁLCULO NUMÉRCO Y ESTADÍSTICA APLICADA
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Madrid 2013
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© Luis M. Sesé Sánchez
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ISBN electrónico: 978-84-362-6654-2
Edición digital: mayo de 2013
A Mariano, mi padre
«¡Bellos copos de nieve! Nunca caen fuera de ninguna parte»
P’ang Yun (S. VIII)
«Tan malo es vivir en la oscuridad absoluta como bajo la más
brillante luz: Ambas te dejan ciego»
11
ÍNDICE
Presentación ..................................................................................................................................................... 21
I
MÉTODOS NUMÉRICOS
Capítulo 1. AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS
DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS .............................................. 31
1.1. Introducción....................................................................................................................................... 32
A. Polinomios de colocación ............................................................................................................ 34
1.2. Ajustes con polinomios de colocación....................................................................... 34
Opciones de ajuste polinómico......................................................................................... 35
El criterio de colocación: casos simples .................................................................. 36
Observaciones de interés ........................................................................................................ 38
1.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton................................... 39
El polinomio de avance de Newton.............................................................................. 40
El polinomio de retroceso de Newton ....................................................................... 42
Observaciones prácticas.......................................................................................................... 43
1.4. El polinomio de Lagrange..................................................................................................... 44
1.5. Otras técnicas.................................................................................................................................... 46
B. Mínimos cuadrados............................................................................................................................ 46
1.6. Concepto y aplicación al caso lineal............................................................................ 46
Estudio del caso lineal: determinación de los coeficientes.................... 47
Unicidad de la solución............................................................................................................ 48
El carácter de mínimo............................................................................................................... 49
La «bondad» del ajuste............................................................................................................. 50
La utilidad extendida del caso lineal........................................................................... 51
Nota adicional sobre el error.............................................................................................. 56
1.7. Ajustes de mínimos cuadrados de orden superior......................................... 56
El caso cuadrático......................................................................................................................... 57
12
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
El caso general.................................................................................................................................. 58
Observaciones prácticas.......................................................................................................... 59
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 61
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 62
Capítulo 2. AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS ORTOGONALES................ 81
2.1. Introducción....................................................................................................................................... 82
2.2. El caso discreto: Polinomios de Gram-Tschebyscheff ............................... 84
El sistema normal de ecuaciones ................................................................................... 85
Forma de los polinomios de Gram-Tschebyscheff ........................................ 86
2.3. El caso continuo: Producto escalar y distancia entre funciones...... 88
Producto escalar de funciones .......................................................................................... 89
Criterios de aproximación entre funciones........................................................... 93
Desarrollos en serie de una base completa ........................................................... 93
El cálculo de los coeficientes del desarrollo......................................................... 94
Observaciones de interés ........................................................................................................ 96
2.4. Caso continuo: polinomios de Legendre................................................................. 100
Ortogonalización constructiva de Gram-Schmidt ......................................... 100
Forma de los polinomios normalizados de Legendre................................. 102
Forma habitual de los polinomios de Legendre............................................... 104
Propiedades adicionales.......................................................................................................... 105
2.5. Caso continuo: polinomios de Tschebyscheff .................................................... 107
Definición.............................................................................................................................................. 107
Propiedades adicionales.......................................................................................................... 109
La economización de polinomios .................................................................................. 111
Observaciones de interés ........................................................................................................ 113
2.6. Caso continuo: polinomios de Hermite y de Laguerre .............................. 114
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 117
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 118
Capítulo 3. APLICACIONES NUMÉRICAS BÁSICAS................................................................. 129
3.1. Los errores en el cálculo numérico .............................................................................. 130
Errores absoluto y relativo ................................................................................................... 131
El error de redondeo y conceptos asociados ....................................................... 132
Errores de entrada y cifras significativas «fisico-químicas»................135
Consideraciones adicionales ............................................................................................... 137
13
ÍNDICE
3.2. Interpolación y extrapolación............................................................................................ 139
Observaciones prácticas en interpolación: elección de grado,
selección de puntos de la tabla y tipo de polinomio, tabla
desigualmente espaciada........................................................................................................ 141
Notas complementarias........................................................................................................... 145
El error de interpolación ........................................................................................................ 146
3.3. Propagación de los errores en los datos de entrada ..................................... 149
Alternancias de signo en una tabla de diferencias......................................... 150
Errores de entrada........................................................................................................................ 151
3.4. Diferenciación numérica........................................................................................................ 152
Fórmulas de Newton .................................................................................................................. 153
Fórmulas de Stirling ................................................................................................................... 155
Extrapolación de Richardson............................................................................................. 157
3.5. Integración numérica ................................................................................................................ 159
Regla del trapecio.......................................................................................................................... 159
Regla de Simpson.......................................................................................................................... 162
Técnicas Gaussianas: Gauss-Legendre, Gauss-Hermite
y Gauss-Laguerre ........................................................................................................................... 163
Tratamiento de integrales singulares ......................................................................... 168
Tratamiento de integrales oscilantes .......................................................................... 170
Complementos: Tablas para integración Gaussiana.................................... 173
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 176
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 177
Capítulo 4. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES Y SISTEMAS ........................ 201
4.1. Conceptos preliminares........................................................................................................... 202
Raíces (ceros) de ecuaciones no lineales................................................................. 203
Sistemas de ecuaciones y diagonalización............................................................ 205
A. Ecuaciones no lineales ................................................................................................................... 206
4.2. Separación de raíces reales y estimación del error....................................... 206
4.3. Método de bisección................................................................................................................... 208
4.4. Método de la falsa posición (regula falsi)................................................................ 210
4.5. Método de Newton-Raphson.............................................................................................. 214
Definición del algoritmo ......................................................................................................... 214
Condiciones suficientes de convergencia................................................................ 215
Estimación del error ................................................................................................................... 216
14
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
La variante Newton-secante ................................................................................................ 217
4.6 Método iterativo de punto fijo.............................................................................................. 218
4.7 El caso de las raíces múltiples.............................................................................................. 220
Métodos para determinar la multiplicidad ........................................................... 221
B. Sistemas de ecuaciones ................................................................................................................... 223
4.8. Sistema lineal (no homogéneo)........................................................................................ 223
Método de Gauss con pivote ............................................................................................... 225
Estimación del error ................................................................................................................... 227
4.9. Sistema no lineal............................................................................................................................ 228
Método de Newton-Raphson .............................................................................................. 228
Método del gradiente ................................................................................................................. 229
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 231
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 232
II
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA Y APLICACIONES 
DE LA ESTADÍSTICA
Capítulo 5. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ................................................................ 257
5.1. Probabilidad, Estadística y Química........................................................................... 258
El concepto de probabilidad ............................................................................................... 258
Breve presentación axiomática de la probabilidad ....................................... 261
Otras observaciones y las aplicaciones en la Química............................... 267
5.2. Variables aleatorias, población y muestra............................................................. 270
5.3. Funciones de distribución de probabilidades .................................................... 274
Variables monodimensionales (discretas y continuas) ............................. 274
Variables monodimensionales derivadas................................................................ 281
5.4. Caracterización de una distribución de probabilidad................................ 284
Valor medio y desviación típica (estándar)........................................................... 284
Momentos de una distribución......................................................................................... 286
Medidas de asimetría y de exceso.................................................................................. 288
Otros parámetros ........................................................................................................................... 289
5.5. Ejemplos de distribuciones discretas ......................................................................... 291
La distribución binomial........................................................................................................291
La distribución de Poisson ................................................................................................... 294
15
ÍNDICE
La distribución multinomial............................................................................................... 296
5.6. Ejemplos de distribuciones continuas....................................................................... 298
La distribución uniforme....................................................................................................... 298
La distribución Gaussiana (normal) ........................................................................... 300
La distribución logarítmico-normal (log-normal).......................................... 305
5.7. Composición de variables aleatorias........................................................................... 307
Valores medios y varianzas de funciones aleatorias .................................... 307
Suma y producto de variables aleatorias ................................................................ 310
Distribuciones de probabilidad en n dimensiones......................................... 315
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 321
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 322
Capítulo 6. MUESTREO, ESTIMACIÓN Y DECISIÓN ESTADÍSTICA ............................. 341
6.1. Muestreo de poblaciones........................................................................................................ 342
Métodos generales de muestreo....................................................................................... 343
Observaciones adicionales .................................................................................................... 345
6.2. Distribuciones muestrales..................................................................................................... 347
Media y varianza ............................................................................................................................ 347
Proporciones ...................................................................................................................................... 351
Sumas y diferencias..................................................................................................................... 351
Mediana .................................................................................................................................................. 353
6.3. Inferencia estadística (I) ......................................................................................................... 354
Estimación por un punto ....................................................................................................... 355
Estimación por intervalos de confianza .................................................................. 356
6.4. Inferencia estadística (II): formulación y verificación de hipótesis
estadísticas........................................................................................................................................... 360
Cinco pasos a dar en hipótesis estadísticas .......................................................... 360
Observaciones adicionales .................................................................................................... 363
Principios de admisión y rechazo de hipótesis ................................................. 365
6.5. Función de potencia y curva OC..................................................................................... 366
6.6. Gráficos de control (Shewhart) y aleatoriedad................................................. 368
6.7. Comparación de muestras: medias y proporciones...................................... 371
6.8. Teoría de pequeñas muestras............................................................................................. 374
Distribución t de Student....................................................................................................... 375
Distribución chi-cuadrado .................................................................................................... 379
Distribución F de Fisher.......................................................................................................... 382
16
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 387
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 388
Capítulo 7. CORRELACIÓN, REGRESIÓN Y ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA .... 407
7.1. Experimentos con más de una variable aleatoria, correlación
y regresión ............................................................................................................................................ 408
7.2. Ecuaciones empíricas típicas en dos variables y su reducción
a forma lineal..................................................................................................................................... 411
Tipos básicos con dos parámetros................................................................................. 412
Tipos con tres y cuatro parámetros.............................................................................. 413
7.3. El coeficiente de correlación en dos variables................................................... 418
Correlación de poblaciones.................................................................................................. 418
Correlación lineal en muestras bivariantes........................................................... 420
El coeficiente r como estimador estadístico ........................................................ 425
7.4. Aspectos prácticos de la regresión lineal por mínimos cuadrados 430
7.5. Desestimación de puntos en el análisis de datos............................................. 434
Test de cuartiles con extensión «(box-and-whisker plot)»...................... 435
Test de distancias........................................................................................................................... 436
7.6. Correlación lineal múltiple................................................................................................... 437
7.7. Estadística no paramétrica .................................................................................................. 440
Test de signos .................................................................................................................................... 441
Correlación por rangos de Spearman ........................................................................ 443
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 447
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 448
III.
ANÁLISIS Y PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES 
EXPERIMENTALES
Capítulo 8. EL TRATAMIENTO DE ERRORES EN DATOS EXPERIMENTALES...... 475
8.1. Introducción....................................................................................................................................... 476
8.2. Los errores en la medición experimental ............................................................... 478
8.3. Propagación del error de escala del aparato ....................................................... 480
8.4. Propagación de los errores sistemáticos ................................................................. 482
17
ÍNDICE
8.5. Propagación de los errores accidentales ................................................................. 485
Variables independientes....................................................................................................... 485
Variables dependientes............................................................................................................. 488
La inducción de errores sistemáticos......................................................................... 489
8.6. Un caso de estudio: cálculo del error total de un índice
de refracción....................................................................................................................................... 491
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 494
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 495
IV
SIMULACIÓN DE PROCESOS Y VALIDACION DE MÉTODOS
Capítulo 9. MÉTODOS AVANZADOS DE CÁLCULO Y DE SIMULACIÓN
NUMÉRICA ............................................................................................................................. 511
A. La aproximación trigonométrica........................................................................................... 513
9.1. Polinomios trigonométricos................................................................................................ 513
Cambios de variable.................................................................................................................... 514
Ortogonalidad en el caso de número impar de puntos ............................. 515
Ortogonalidad en el caso de un número par de puntos............................ 516
Relaciones útiles ............................................................................................................................. 516
Cálculo de los coeficientes .................................................................................................... 517
Expresiones finales....................................................................................................................... 519
B. Simulación numérica de procesos deterministas ................................................... 519
9.2. Ecuaciones diferenciales: generalidades................................................................. 519
9.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias............................................................................ 522
Casos de estudio.............................................................................................................................. 522
Existencia y unicidad de la solución ........................................................................... 523
9.4. Ecuación diferencial de primer orden y primer grado (valor
inicial)....................................................................................................................................................... 524
Método de Euler ............................................................................................................................. 524
Estabilidad y error........................................................................................................................ 525
Predictor-corrector de Euler ............................................................................................... 526
Métodos de Runge-Kutta........................................................................................................ 527
9.5. Ecuación diferencial de segundo orden (valores iniciales) ................... 531
Método de Runge-Kutta (IV) .............................................................................................. 531
18
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
Método predictor-corrector de Adams...................................................................... 532
9.6. Problemas de valores de frontera................................................................................... 532
C. Diagonalización numérica de matrices reales y simétricas ........................... 533
9.7. Conceptos generales.................................................................................................................... 533
Teorema básico para matrices reales y simétricas ........................................ 534
Multiplicidad de raíces y degeneración.................................................................... 535
Observaciones prácticas.......................................................................................................... 536
9.8. Método del polinomio característico: cálculo de autovectores.......... 537
Caso no degenerado .................................................................................................................... 537
Caso degenerado............................................................................................................................. 537
9.9. Método de Jacobi........................................................................................................................... 542
La transformación ortogonal ............................................................................................. 542
La construcción de la matriz ortogonal O ............................................................. 543
Observaciones prácticas.......................................................................................................... 547
9.10. Tests de diagonalización y técnicas complementarias ........................... 548
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 551
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 552
Capítulo 10. MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE SIMULACIÓN Y VALIDACIÓN ............. 589
A. Integración numérica multidimensional ....................................................................... 590
10.1. Integración Monte Carlo ..................................................................................................... 590
Aspectos numéricos: familias multiplicativas congruentes............... 591
Aspectos estadísticos: el error de integración................................................. 595
B. Aplicaciones de los procesos de minimización ......................................................... 596
10.2. Promedios con pesos muestrales................................................................................. 596
10.3. Ajuste lineal chi-cuadrado de datos.......................................................................... 600
Aspectos numéricos ................................................................................................................. 601
Aspectos estadísticos............................................................................................................... 603
Observaciones adicionales............................................................................................... 604
10.4. Ajuste de datos a distribuciones de probabilidad........................................ 606
Caso continuo: ajuste Gaussiano ................................................................................ 606
Caso discreto: ajuste binomial....................................................................................... 609
10.5. Estadística robusta: ajuste de una línea recta................................................. 611
C. Análisis de la varianza .................................................................................................................... 615
PRESENTACIÓN
19
10.6. Homogeneidad de un conjunto de varianzas muestrales .................... 616
10.7. Homogeneidad de un conjunto de medias (ANOVA-1) ......................... 617
Estimación entre muestras ............................................................................................... 618
Estimación dentrode la muestra................................................................................ 619
Observaciones adicionales................................................................................................. 619
10.8. Análisis de la varianza con dos factores de variación indepen-
dientes (ANOVA-2) .................................................................................................................. 621
Caso de dos efectos fijos...................................................................................................... 623
Caso de dos efectos aleatorios ....................................................................................... 624
10.9. Análisis de la varianza en ajustes de regresión .............................................. 625
Bibliografía ...................................................................................................................................................... 626
Problemas teóricos y numéricos.................................................................................................. 627
Apéndice I: Tratamiento de datos experimentales mediante computa-
ción (Modelos de Prácticas en Centros Asociados)........................................... 647
Apéndice II: La base ortogonal de Fourier.......................................................................... 651
Apéndice III: Tablas estadísticas .................................................................................................. 665
Bibliografía general .................................................................................................................................... 669
Glosario de términos ................................................................................................................................ 679
Índice alfabético de materias............................................................................................................. 703
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
20
PRESENTACIÓN
El presente texto desarrolla los contenidos de la asignatura Cálculo Numé-
rico y Estadística Aplicada, perteneciente al 2.o curso de los Estudios de Gra-
do en Química (EEES) por la Universidad Nacional de Educación a Distancia
(UNED), de carácter obligatorio y con una carga de 5 créditos ECTS. Esta asig-
natura tiene que ver con la aplicación práctica de técnicas matemáticas apro-
ximadas a la resolución de problemas de interés en Química. Con indepen-
dencia de opiniones y de gustos particulares, el lenguaje matemático es la
herramienta para comprender los procesos naturales tanto cuantitativa como
cualitativamente, es decir, tanto obteniendo los resultados numéricos con-
cretos, como aplicando ideas abstractas que revelan características muy pro-
fundas de dichos procesos. La famosa cita de E. P. Wigner sobre la «irrazo-
nable efectividad de las Matemáticas» sirve espléndidamente para subrayar
que el conocimiento matemático forma parte del consenso sobre las materias
básicas a conocer que los científicos han alcanzado hace ya muchos años.
No obstante, la experiencia docente universitaria viene constatando, des-
de hace ya bastantes años, que los conocimientos previos de matemáticas
con los que los estudiantes se acercan a las carreras de Ciencias son, en tér-
mino medio, cada vez más escasos. La proyección de esta circunstancia
sobre la formación de los estudiantes de estas carreras se ve agravada con los
planteamientos globales de los actuales Planes de Estudio del Grado, en
concreto de Química, en los que la disminución en asignaturas, contenidos,
y dedicación esperada, ligados al estudio de Matemáticas es patente, como
pone de manifiesto el hecho de que con respecto a Planes de Estudio ante-
riores (varios entre 1970 y 2010) la disminución es prácticamente del 50%.
Es en este complicado contexto donde se enmarca la presente asignatura.
Dentro de esta posición de principio, si se tiene en cuenta, por otra parte,
que el número de problemas en las ciencias naturales que son resolubles
matemáticamente de forma analítica en principio exacta es muy reducido,
incluso para los problemas que admiten formulaciones en principio exactas
(la ecuación de Schrödinger para átomos poli-electrónicos, por ejemplo), el
21
aprendizaje de los métodos numéricos de aproximación para resolverlos es
crucial. Añadido a lo anterior y en la misma línea está el carácter experi-
mental de la Química, del que se deriva la necesidad de aprender cómo
extraer información significativa de colecciones de datos (experimentales o
procedentes de cálculos extensos), faceta ésta que implica el manejo de
herramientas estadísticas. Por consiguiente, es muy importante que el estu-
diante de Química conozca, no sólo los principios matemáticos analíticos
exactos que se imparten en las asignaturas generales de Matemáticas del
Grado, sino también cómo realizar en la práctica operaciones matemáticas
aproximadas y cómo analizar estadísticamente tales colecciones de datos.
Para satisfacer estas necesidades se tratarán en esta asignatura cuestiones
pertenecientes a dos disciplinas distintas pero conexas. Por una parte, el Cál-
culo Numérico, que se ocupa de reducir la resolución de complicadas eva-
luaciones matemáticas a combinaciones de operaciones elementales. Por la
otra, la Estadística Aplicada, que se centra en los aspectos derivados del tra-
tamiento de colecciones de datos. 
Como aplicación inmediata de estos contenidos, resulta claro que el tra-
bajo de laboratorio que realizará el estudiante en las diversas asignaturas de
prácticas se verá sustancialmente mejorado. Así, muchas cuestiones prácti-
cas que se presentan en las diferentes ramas de la Química (Analítica, Bio-
química, Física, Industrial, Inorgánica, Orgánica) podrán dotarse de un
carácter cuantitativo preciso vía el uso del análisis de los resultados experi-
mentales obtenidos en todas ellas. Además, estos mismos conocimientos
resultarán muy útiles para proseguir estudios de mayor nivel en todas esas
ramas. Todo este aprendizaje redundará en beneficio de la autonomía del
estudiante, tanto en una mejor formación integral, como en el aumento de
su capacidad para abordar los problemas que tendrá que afrontar en el
ejercicio de su futura actividad profesional. 
Aunque es cierto que el nivel de profundidad y la cantidad de conocimientos
a impartir tendrían que ser siempre los máximos posibles, no es menos cierto
que la limitación de tiempo a un «semestre» impone severas restricciones a este
deseo. Por consiguiente, en esta asignatura se presenta una selección de ideas
fundamentales sobre determinados temas matemáticos útiles, acordes con las
directrices del Libro Blanco para los Estudios del Grado en Química (2008).
Estos conocimientos se resumen en los siguientes descriptores generales: (I)
Métodos Numéricos; (II) Introducción a la Teoría y Aplicaciones de la Estadística;
(III) Análisis y Propagación de Errores de Datos Experimentales; (IV) Simulación
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
22
y Validación de Métodos; (V) Tratamiento de Datos Experimentales Mediante
Computación. En el primer gran apartado (I) se estudian las cuestiones del
ajuste de funciones mediante desarrollos en bases polinómicas (convencional y
ortogonales –mínimos cuadrados-) y sus aplicaciones, abordándose las opera-
ciones numéricas básicas como interpolación, derivación, integración y los
errores asociados, para concluir con la resolución de sistemas lineales y pro-
blemas no lineales típicos (ecuaciones y sistemas). El segundo gran apartado (II)
se concentra en la introducción del lenguaje estadístico (funciones de distribu-
ción de probabilidades y sus parámetros), en los aspectos prácticos del análisis
de muestras (estimaciones, errores, verificación de hipótesis y teoría de peque-
ñas muestras), y se considera el aspecto estadístico de los ajustes de regresión
por mínimos cuadrados, completando lo visto en la primera parte (I) sobre este
último tema. En el tercer apartado (III) setrata la propagación de errores a tra-
vés de ecuaciones matemáticas que dan las mediciones indirectas de propieda-
des, estudiando la propagación asociada a cada tipo de error (escala, sistemá-
tico, accidental). El cuarto gran apartado (IV) completa con cuestiones
avanzadas aspectos de interés en el cálculo numérico y en el tratamiento de
datos, estudiándose así: los polinomios trigonométricos, la resolución de ecua-
ciones diferenciales ordinarias, la diagonalización de matrices, la integración
Monte Carlo, algunas aplicaciones de los procesos de minimización, y el análi-
sis de la varianza. En cuanto al quinto apartado (V) dedicado a la computación,
merece una consideración más detenida que se va a hacer a continuación.
De especial importancia en toda la asignatura es la realización de cálculos
concretos, aunque, por razones obvias de tiempo, en este curso de introduc-
ción el nivel de sofisticación no pasará, en general y con las excepciones que
se discutirán más adelante, de lo que se pueda lograr con una calculadora de
mano o de escritorio. Sin embargo, en los descriptores ya señalados aparecen
dos conceptos: Tratamiento de Datos Experimentales Mediante Computación,
y Simulación y Validación de Métodos. En ambos casos la computación es
necesaria y, aunque la presencia de ordenadores personales en los hogares es
amplia, ni todos ellos van a estar preparados con las herramientas de software
adecuadas, ni todos los estudiantes dispondrán de los conocimientos previos
necesarios, como para que puedan ser abordadas sin más estas tareas com-
putacionales. Hay que señalar, de paso, que no se contempla una asignatura
específica de Computación, dedicada al aprendizaje de lenguajes de progra-
mación científica, en los Estudios de Grado en Química y esto añade unas
graves dificultades al planteamiento general. Se supone así, dentro de dicho
PRESENTACIÓN
23
planteamiento, que para impartir la presente asignatura los Centros Univer-
sitarios estarán dotados tanto de los medios materiales («hardware», PCs,
«software» correspondiente, etc.), como del personal que instruya en len-
guajes de programación y supervise estas actividades. 
Por lo que respecta a la UNED y en cuanto a los medios materiales, pueden
éstos darse por satisfechos a efectos prácticos en los Centros Asociados, ya que
prácticamente todos poseen una infraestructura informática razonablemente
adaptada a esta demanda. La otra cuestión relativa a los lenguajes de progra-
mación y al personal asociado plantea ya muchos problemas por la diversidad
de lenguajes y la escasez de personas preparadas en cálculo científico y/o en
disposición de enseñarlo (el lenguaje utilizado en este área sigue siendo por
excelencia el Fortran, aunque cualquier otra opción que sirva a los mismos
fines es igualmente válida). Item más, en este punto hay que recordar la expe-
riencia bien contrastada de que solamente después de saber cómo se resuelve
un problema «a mano» es uno capaz de, disponiendo de los conocimientos de
programación adecuados, abordar el diseño de programas o códigos para
resolver con el computador los cálculos de interés. Hay que notar que la posi-
bilidad de realizar el aprendizaje de un lenguaje de programación como parte
de la tarea asociada con los créditos Prácticos (1,5) en esta asignatura consti-
tuiría sin duda un ejercicio de voluntarismo con resultados altamente incier-
tos. Un lenguaje de programación es justamente eso, un lenguaje, y su apren-
dizaje eficaz es demasiado lento para el escaso tiempo disponible.
Una alternativa a esta situación es la realización de Prácticas con la uti-
lización de paquetes informáticos comerciales (las populares hojas de cál-
culo) que pueden permitir tratar algunas cuestiones de interés en la asigna-
tura, y ello siempre con todos los inconvenientes que plantea un uso
indiscriminado de «cajas negras» sin una preparación adecuada. Es eviden-
te que, aunque ciertos tratamientos de datos experimentales pueden reali-
zarse así, otras cuestiones como las de simulación y validación, no podrían
llevarse a cabo de esta manera. Se dejan a un lado los usos de herramientas
más sofisticadas (software del tipo de los «laboratorios» matemáticos inte-
grados), pues a este nivel de un segundo curso están aún más alejadas de los
objetivos que se persiguen. Por otra parte, desde el punto de vista del perso-
nal necesario para supervisar determinados tipos sencillos de Prácticas con
los paquetes estándar mencionados antes en los Centros Asociados de
UNED, los problemas son ciertamente menores, pues en definitiva, esto no
es ya computación, sino que se trata de una Ofimática avanzada. Así, y
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
24
optando por el menor de dos males, entre la ignorancia absoluta y el (des)
«conocimiento» parcial, esta alternativa puede resultarle útil al estudiante,
abriéndole perspectivas desconocidas y motivándole al estudio en profundi-
dad de estos temas con posterioridad. En este sentido, se incluye un Apén-
dice de orientación con una selección de posibles prácticas para que sirvan
como modelo de actividades en este contexto a estudiantes y Tutores.
Para cursar esta asignatura con el máximo aprovechamiento se recomien-
da haber cursado las asignaturas de Matemáticas I y II previas en estos estu-
dios de Grado. En particular sería conveniente para el estudiante refrescar sus
conocimientos, algunos posiblemente adquiridos durante su enseñanza secun-
daria, en los temas que se especifican a continuación. Análisis Matemático:
Funciones reales de una variable real (continuidad, diferenciación, integra-
ción), funciones de varias variables (derivación parcial, integración multidi-
mensional), sucesiones, series numéricas y funcionales (Fourier) y ecuaciones
diferenciales ordinarias. Álgebra Lineal: Espacios vectoriales, matrices y deter-
minantes. También le será útil recordar conocimientos adquiridos en estudios
anteriores a los universitarios de Probabilidad y Estadística: Histogramas de
frecuencias, probabilidad, valores medios y dispersiones, distribuciones bino-
mial y Gaussiana. Estos pre-requisitos lo son para el conjunto de la materia y
no resulta posible individualizarlos pormenorizadamente por capítulos más
allá de la separación hecha por bloques temáticos y de algunas indicaciones
muy concretas, ya que de una u otra forma todos resultan necesarios para el
estudio que aquí se propone. Las Matemáticas son así.
Los matemáticos encontrarán este libro ciertamente incompleto, pero
valga en descargo de esta modesta obra que se ha escrito con la esperanza de
prestar un servicio a la comunidad universitaria implicada en la enseñanza
de la Química en estos tiempos de cambio. Cada uno de los cuatro grandes
apartados teóricos del programa está estructurado en capítulos. Cada capí-
tulo comienza mostrando un sumario con los contenidos principales (los
objetivos generales de conocimiento) y una breve descripción de ellos. Se
continúa con el desarrollo en detalle de los conceptos y las técnicas, inclu-
yendo ejercicios intercalados para ilustrar unos u otras, y se ofrece en una
sección independiente una serie representativa de problemas teóricos y
numéricos. Los problemas marcados con ** son de una mayor dificultad y
pueden ser obviados en una primera lectura. Cada capítulo concluye con una
selección bibliográfica de consulta y ampliación. El texto contiene TRES
apéndices, uno para orientación de prácticas, otro con un repaso de las
PRESENTACIÓN
25
series de Fourier (Apéndice II) por su importante relación con el Cap. 2 y
parte del Cap. 9, y un tercero que contiene unas breves tablas estadísticas por
completitud del texto. Finalmente se presentan una bibliografía general
comentada, un amplio glosario de términos, y un índice alfabético de mate-
rias para facilitar la localización de conceptos. Como cuestión adicional se
relacionan en la sección de Bibliografía General algunas lecturas avanzadas
para que el estudiante interesado pueda considerar los conceptos vertidos en
el texto desde otrasperspectivas complementarias. Se ha optado por esta
posibilidad, en vez de recomendar estas actividades por capítulo concreto,
para no distraer con trabajo extra al estudiante medio.
El texto está ilustrado con más de medio centenar de figuras diseñadas
en color para facilitar la comprensión y comparación de conceptos. El lector
encontrará un total de 200 ejercicios y problemas completamente resueltos y
preparados con la intención de ayudarle con efectividad en el estudio per-
sonal, faceta que en el caso de asignaturas de los primeros cursos, como la
presente, cobra una importancia de primera magnitud en lo que debe ser el
trabajo del estudiante en ellas. Sólo así podrá éste, alcanzada una buena for-
mación, colaborar con eficacia en trabajos de equipo en un futuro. Como
aplicación de estas ideas, el momento más adecuado para los estudiantes de
poner los conocimientos adquiridos en común y trabajar en grupo será
durante la realización de las Prácticas. 
Existen disciplinas en las que puede resultar fácil (y hasta provechoso en
algunos casos) señalar los aspectos más relevantes para orientar el estudio.
No este el caso de la presente, pues al ser una materia de formación mate-
mática «básica» todos los conceptos que aquí se discuten son igualmente
necesarios y están de una u otra forma relacionados, no siendo así aconse-
jable centrar la atención en alguno en particular como preponderante, so
pena de cometer un error de juicio importante. Puede, no obstante, resultar
de utilidad indicar el siguiente esquema de influencias entre los diversos
capítulos del texto 
1 Æ 2, 3, 7, 9
2 Æ 3, 7,9
3 Æ 9, 10
4 Æ 7, 9, 10
5 Æ 6, 7, 8, 10
6 Æ 7, 8, 10
7 Æ 1, 10
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
26
Para no enmarañar innecesariamente este texto, todas las cuestiones rela-
tivas a objetivos generales y específicos, competencias y habilidades a adqui-
rir, planificación del estudio y demás sutilezas pedagógicas, se dejan para las
herramientas complementarias adecuadas, como son las Guías Didácticas del
estudiante y del Tutor, que se incluirán en el Curso Virtual de esta asignatura
a encontrar en la plataforma educativa ALF (http://www.uned.es). El autor ha
intentado eliminar al máximo erratas y errores, pero como es sabido este pro-
ceso «no converge bien« y cabe la posibilidad de que algunos de estos inde-
seables elementos se hayan deslizado en el material que se presenta. Cual-
quier indicación que ayude a eliminarlos será muy bien recibida.
La escritura de un libro de texto siempre implica una buena cantidad de
renuncias a otros proyectos y actividades por parte del autor, pero también
por parte de los miembros de su familia. En el caso presente darles sólo las
gracias por su comprensión y ánimo se antoja poco, pero al autor ya se le
ocurrirá algo al respecto.
Madrid, abril de 2011
Luis M. Sesé
PRESENTACIÓN
27
I
MÉTODOS NUMÉRICOS
1. Ajuste de funciones con polinomios: técnicas de colocación 
y de mínimos cuadrados
2. Ajuste de funciones con polinomios ortogonales
3. Aplicaciones numéricas básicas
4. Resolución numérica de ecuaciones y sistemas
CAPÍTULO 1
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS:
TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
1.1. Introducción
A. Polinomios de colocación
1.2. Ajustes con polinomios de colocación
1.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton
1.4. El polinomio de Lagrange
1.5. Otras técnicas
B. Mínimos cuadrados
1.6. Concepto y aplicación al caso lineal
1.7. Ajustes de mínimos cuadrados de orden superior
Bibliografía
Problemas teóricos y numéricos
Se presenta una introducción operativa de la aproximación de funciones
reales de variable real. Primero se trata el problema de aproximar mediante
polinomios de colocación funciones definidas no mediante una expresión analí-
tica sino mediante una tabla numérica (xi, yi), normalmente asociada a un con-
junto de resultados experimentales, discutiendo de forma general el problema del
error cometido. Con ello se pone de manifiesto que las operaciones matemáticas
aproximadas a realizar quedan reducidas a las meramente aritméticas (suma,
resta, multiplicación y división), lo que redunda en la facilidad de cálculo
(manual y con máquina). Por otra parte, el uso de polinomios se ve beneficiado
por el hecho de que las diferenciaciones e integraciones son inmediatas y pro-
ducen también polinomios. Además sus raíces son fácilmente calculables y una
alteración del origen de coordenadas no altera su forma global, ya que sólo
cambian sus coeficientes. Se introduce el concepto de tabla de diferencias, muy
útil por otra parte en el análisis de datos (búsqueda de errores de entrada), y se
aplica a la obtención de dos tipos de polinomios de colocación clásicos para
datos igualmente espaciados: avance y retroceso de Newton. Seguidamente, se
31
32
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
estudia el polinomio de Lagrange, indicado para representar datos no igual-
mente espaciados. Se continúa con la presentación del problema general de la
aproximación de mínimos cuadrados en la base polinómica convencional como
una alternativa con propiedades de suavidad a los ajustes polinómicos anteriores.
Las cuestiones tratadas aquí se completarán con detalle en capítulos siguientes,
tanto desde el punto de vista numérico como del estadístico.
1.1. Introducción
Supóngase un fenómeno físico o químico que se describe con dos varia-
bles (x, y(x)) como, por ejemplo, una cinética química con valores de la con-
centración c(t) de un reactivo (o de un producto) en función del tiempo t,
(t, c(t)) la posición x(t) de un móvil unidimensional en función del tiempo t, o
la energía de interacción u(r) de dos átomos en función de la distancia entre
ambos, (r, u(r)). La ecuación exacta del fenómeno en cuestión, en general 
y = y(x), pudiera ser conocida o desconocida. Si la función es conocida y sufi-
cientemente simple, trabajar con ella directamente puede resultar adecuado.
Pero si la función es conocida pero complicada y hay que evaluarla muchas
veces, o si la función es desconocida y sólo viene dada por una tabla finita de
datos (xi, yi), i = 1, 2, 3, …, N, entonces la utilización de «ajustes» de datos
numéricos particulares de tales funciones utilizando funciones simples cono-
cidas resultan bien muy ventajosos en el caso de la función conocida, bien la
forma más razonable de tratar matemáticamente con la función desconocida.
Tales ajustes deben claramente seguir criterios definidos que garanticen la
fiabilidad de las manipulaciones que se hagan con los datos.
Colocación Mínimos cuadrados
Argumentos
Igualmente espaciados
Caps. 3, 9
Argumentos
Desigualmente espaciados
Argumentos
Igual/Desigualmente espaciados
Tablas de diferencias
Pol. Newton
(Pol. Lagrange)
Casos:
Lineal
(Error RMS)
Orden superior
Pol. Lagrange
Caps. 2, 7
33
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
Hay una gran variedad de criterios y de funciones simples a utilizar en
este contexto y, dependiendo del problema, algunos son más adecuados
que otros. Todos ellos y sus diversas aplicaciones forman la disciplina del
Cálculo Numérico, de la cuál se dice que es tanto una ciencia como un arte,
como puede deducirse fácilmente del comentario anterior. El uso de cálculo
con computador está fuertemente ligado a las aplicaciones de esta rama de
las matemáticas, máxime teniendo en cuenta que la mayor parte de los pro-
blemas de interés en química y en física no pueden ser resueltos de una
manera analítica exacta. El estudioso de estos temas se ve así en la necesidad
de elaborar estrategias aproximadas para obtener respuestas a los proble-
mas. Estas estrategias se basan en el diseño de los programas de cálculo en
lenguajes como fortran, C, pascal, y otros. Aprender estas técnicas de pro-
gramación es un asunto que requiere cursos especializados y no se van a tra-
tar aquí.
La comprensión de la naturaleza de los métodos numéricos puede, no
obstante, lograrse con aplicaciones que no van a mucho más allá de aquéllas
quepueden realizarse con calculadoras de escritorio o con el uso de recursos
sencillos en ordenador personal. Esta comprensión es muy importante, pues
capacita al que la posee para analizar los resultados obtenidos y para poder
diseñar esas estrategias de cálculo adecuadas cuando se trata de resolver un
problema nuevo. Como se dice en el argot: «Sólo cuando se sabe resolver un
problema a mano, se puede empezar a diseñar bien un programa de cálcu-
lo». Tal es el objetivo general de este texto: aprender, comprender, y aplicar
estos métodos en casos suficientemente simples pero a la vez suficiente-
mente ilustrativos. De entre los métodos utilizados en este campo van a
presentarse en este capítulo dos que son básicos para tratar con funciones
dadas por tablas numéricas: los polinomios de colocación y las aproxima-
ciones de mínimos cuadrados. Los polinomios de colocación ajustan exac-
tamente los puntos tabulares y forman la base del cálculo numérico clásico
(interpolación, diferenciación, integración, etc.). Las aproximaciones de
mínimos cuadrados realizan una «suavización» de los puntos tabulares,
pero como nota distintiva están relacionados con conceptos fundamentales
para el estudio de sistemas atómicos y moleculares, como son los desarrollos
en serie de funciones ortogonales. Por otra parte, no hay que desdeñar nun-
ca el uso de representaciones gráficas de los datos (xi, yi) que orienten en la
decisión del tipo de ajuste a realizar.
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
34
A. POLINOMIOS DE COLOCACIÓN
1.2. Ajustes con polinomios de colocación
El uso de polinomios p(n)(x) para aproximar funciones (conocidas o no)
tiene una gran cantidad de ventajas, ya que la aproximación
(1.2.1)
involucra sólo potencias xj con j entero positivo, lo que resulta muy con-
veniente tanto desde el punto de vista del cálculo manual como con máqui-
na de calcular. Además, tanto la derivación como la integración de p(n)(x)
son operaciones inmediatas que producen de nuevo polinomios, y las n raí-
ces de p(n)(x) pueden calcularse con un esfuerzo razonable. Además, un
mero cambio del origen de coordenadas no afecta a la forma general de la
aproximación, sino sólo a los coeficientes aj. Por brevedad en la notación,
en adelante y cuando convenga se utilizará [x1, x2] � x1 ≤ x ≤ x2 para deno-
tar un intervalo cerrado y (x1, x2) = x1 < x < x2 para denotar un intervalo
abierto.
Todo esto está relacionado con el hecho de que la base de los polinomios
{xn}n=0,� = {1, x, x
2, x3,...} es completa sobre cualquier intervalo cerrado [x1, x2],
lo que forma la esencia del conocido teorema de Weierstrass que establece
que cualquier función continua arbitraria y(x) puede expresarse con tanta
precisión como se desee mediante un polinomio 
(1.2.2)
sin más que ir añadiendo términos ajx
j al desarrollo. Esto implica la acota-
ción siguiene para la diferencia entre la función y la aproximación en el
intervalo:
(1.2.3)
en donde e es una cota prefijada y el orden n a alcanzar depende de tal cota
n = n(e). El anterior es sencillamente el criterio de convergencia uniforme (tie-
ne lugar en todo el intervalo a la vez) y la demostración debida a Bernstein
(1912) involucra un tipo especial de polinomios que no son muy adecuados
en la práctica para el cálculo. No obstante, se pone con todo ello de mani-
y x p x a a x a x a xn n
n( ) ( ) ...( )≈ = + + + +0 1 2
2
y x p xn( ) ( )( )− < ε
y x p x a a x a x a x x x xn n
n( ) ( ) ... ;( )≈ = + + + + ≤ ≤0 1 2
2
1 2
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
35
fiesto el carácter completo de la base polinómica como base del espacio vec-
torial de las funciones continuas en un intervalo finito (la dimensión de este
espacio vectorial es infinita). El uso de un criterio de convergencia diferente,
como el de convergencia en media que se verá más adelante, lleva natural-
mente al concepto de ajuste por mínimos cuadrados. El problema a resolver
en ambos casos es el de la determinación de los coeficientes aj.
Opciones de ajuste polinómico
Dentro de los ajustes polinómicos hay un buen número de opciones,
colocación, osculación, splines, etc., pero hay que indicar primero que en la
práctica es preferible utilizar varios polinomios de grado pequeño para
representar secciones de la función y(x) en vez de utilizar un único polino-
mio de grado elevado que represente a la función en su conjunto. Esto
resulta especialmente importante para minimizar el efecto de las fuertes
oscilaciones de los polinomios en los extremos del intervalo de ajuste, que
son tanto más pronunciadas cuanto mayor es el grado, y pueden destruir la
calidad de una operación numérica (derivada, integral, etc.). 
En esencia la aproximación por polinomios de grado pequeño (entre 1 y
5) está relacionada con el familiar desarrollo de Taylor en torno a un punto
x = x0, y truncado a un cierto orden, para una función («de buen comporta-
miento») continua con derivadas continuas y finitas:
(1.2.4)
del que se sabe que, cuanto más cercanos sean x y x0 un grado bajo en el
truncamiento ya realiza una buena aproximación. En este caso de los poli-
nomios de Taylor la magnitud del error cometido al truncar a un cierto
orden n es, en principio, conocida. Se trata del resto de Lagrange:
(1.2.5)
en donde x es un punto indeterminado dentro del intervalo abierto definido
por x y x0 y que depende de x, x = x(x), y se denota con y
(n+1 a la derivada
R x
y
n
x xn
n
n
+
+
+=
+
−1
1
0
1
1
( )
( )
( )!
( )
( ξ
y x y x
dy
dx
x x
d y
dx
( ) ( ) ( )
!
≈ +




− +



0 0
0
2
2
1
2 
− + +




−
0
0
2
0
0
1
( ) ....
!
( )x x
n
d y
dx
x x
n
n
n
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
36
(n + 1) – ésima de y(x). Esta expresión, conocida y(x), permite acotar en los
casos adecuados el valor absoluto del error Rn+1(x), una operación siempre
necesaria, pero que en el caso de la aproximación polinómica general no va
a ser siempre posible de ser llevada a cabo con la misma exactitud que la de
Taylor.
El criterio de colocación: casos simples
Si sólo se conocen dos datos o puntos (x1, y1) y (x2, y2), con x1 < x2 el gra-
do de la aproximación a y(x) será como máximo del tipo lineal, es decir una
línea recta de la forma
(1.2.6)
una representación que claramente «coloca» la función en los puntos tabu-
lares y(x1) = y1, y(x2) = y2. Se representa así linealmente lo que sucedería con
y(x) para cualquier x1 ≤ x ≤ x2, algo que se conoce como interpolación, pero
también representa linealmente todo lo que sucedería con y(x) para cual-
quier x exterior al intervalo de definición conocido (extrapolación). La inter-
polación tiene sentido, pero la extrapolación ya no lo tiene y como se verá
más adelante da, salvo casos muy especiales, estimaciones completamente
erróneas del comportamiento de la función. Para simplificar la notación, y
sabiendo que el polinomio es siempre una aproximación a la función exacta
desconocida, en adelante se escribirán convencionalmente con el signo igual
(1.2.7)
Si hubiera que hacer distinciones entre los valores reales exactos y los
estimados con la aproximación, se denotarán oportunamente.
El caso siguiente es el de conocer tres datos o puntos, (x1, y1), (x2, y2), y
(x3, y3) con x1 < x2 < x3 lo que va dar una aproximación de colocación como
máximo cuadrática:
(1.2.8)p x y a a x a x x x x( ) ( ) ;2 0 1 2
2
1 3
= = + + ≤ ≤
y x p x y y
y y
x x
x x( ) ( ); ( )( )≈ − ≈
−
−
−1 1
2 1
2 1
1
p x y y y
y y
x x
x x( )( ) ; ( )1 1
2 1
2 1
1= − =
−
−
−
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
37
debiendo estudiarse la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales
resultante para obtener los coeficientes aj
(1.2.9)
De nuevo se plantea la cuestión de lo que sucede para diferentes valores
de x y la discusión es mutatis mutandi la misma que antes relativa a (1.2.6)
en cuanto a la interpolación e extrapolación.
EJERCICIO 1.2.1
Discutir la existencia y unicidad de un polinomio p(2)(x) = a0 +a2x
2 que
ajuste una tabla de dos puntos (x1, y1), (x2, y2).
La parábola que se plantea como función de ajuste es de eje vertical y con
sólo dos incógnitas a0 y a2, lo que dados dos puntos tiene, en principio, sen-
tido. El sistema a resolver es pues
y para que sea compatible determinado el rango de la matriz de los coefi-
cientes A debe necesariamente ser r(A) = 2 = número de incógnitas. Esto
implica el determinante no nulo
lo que lleva a que el ajuste tiene sentido si se verifican las condiciones x1 ≠ ±x2.
Si las dos abscisas son iguales, x1 = x2, no hay parábola definida con eje ver-
tical que pase por tales puntos, y si las dos abscisas son de signo contrario,
x1 = –x2, entonces puede haber infinitas parábolas que pasen por ellos (Fig.
1T.1). De manera que para que exista una única parábola deben satisfacerse
las condiciones indicadas por la no anulación del determinante. 
y a a x a x
y a a x a x
y a a x
1 0 1 1 2 1
2
2 0 1 2 2 2
2
3 0 1 3
= + +
= + +
= + + aa x2 3
2
1
1
01
2
2
2 2
2
1
2x
x
x x= − ≠
y a a x
y a a x
1 0 2 1
2
2 0 2 2
2
= +
= +
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
38
Podría pensarse que el problema ha quedado resuelto, pero queda por
analizar un detalle más relacionado con la naturaleza de la solución obteni-
da. Nótese que no se ha hecho ninguna referencia a los valores yk pues no
van a afectar a la existencia de solución en tanto se cumplan las condiciones
señaladas arriba. Sin embargo, si y1 = y2 entonces
y la solución final no mantendría la forma cuadrática inicial. Desde el punto
de vista de la utilidad de la aproximación en aplicaciones concretas esta cir-
cunstancia puede perfectamente representar un problema no deseado. El cal-
culista numérico debe, por consiguiente, estar precavido contra una gran
variedad de efectos que, no siendo erróneos matemáticamente, sí pueden
resultar inconvenientes en las aplicaciones. 
Observaciones de interés
En general con N + 1 datos, {(xi, yi)}i=1,N+1, con los valores xi en orden cre-
ciente, puede ensayarse en principio un polinomio grado N, p(N)(x) = y = a0 +
p x a a x a a x x( ) ( ) { } ;2 0 2
2
2 0 1 20= + = = = ≠ ±
Figura 1T.1. Ejemplos de la no unicidad en un polinomio de ajuste al no haber condiciones
suficientes. Existen infinitos polinomios de segundo grado p(2)(x) = a0 + a2x
2 que pasan 
por los puntos (–1, 2) y (+1, 2).
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
39
a1x + a2x
2 +...+ aNx
N, del que habrá que estudiar su compatibilidad y las
cuestiones sobre su validez en puntos x arbitrarios. En ausencia de más
información sobre la función exacta y(x) el criterio de colocación suele dar
buenas aproximaciones para el comportamiento global de dicha función
siempre que: i) se utilicen grados polinómicos no muy elevados, lo que
implica una segmentación de la tabla original; y ii) se restrinja su uso a la
región conocida x1 ≤ x ≤ xN+1 (interpolación). La predicción de lo que puede
suceder fuera de esta región (extrapolación) suele ser errónea en la mayor
parte de los casos. Hay que notar que la resolución de un sistema de ecua-
ciones, del tipo (1.2.9), para determinar los coeficientes de un polinomio de
grado N, resulta poco eficiente. Es preferible utilizar técnicas un tanto
más sofisticadas como: iii) los polinomios de Newton (avance, retroceso),
Everett u otras versiones cuando los datos están igualmente espaciados
(xk+1 – xk = h = constante >0; o iv) el polinomio de Lagrange cuando los
datos están desigualmente espaciados.
1.3. La tabla de diferencias y los polinomios de Newton
Para una función tabular definida por una tabla de datos {(xk, yk)}k=0,N con
los argumentos xk igualmente espaciados xk+1 – xk = h = constante > 0 una for-
ma eficiente para poder determinar su polinomio de colocación viene dada
por la construcción que se muestra en la Tabla 1.1. Esta construcción se
continúa por la derecha y hacia abajo hasta agotar todas las posibilidades de
efectuar diferencias entre valores yk y sus magnitudes D
nyk asociadas. Estas
Dnyk se denominan diferencias de avance (de Newton) y su forma general es cla-
ramente Dnyk = D
n–1yk+1 – D
n–1yk. El orden máximo n con columna no nula que
puede alcanzarse en este tipo de tabla es, para N + 1 puntos, justamente N.
Puede suceder, sin embargo, que aparezca constancia en una determi-
nada columna n < N, Dnyk = constante, lo que directamente indica que las
diferencias de orden n + 1 van a ser todas nulas. En este caso la función
admite una representación polinómica de grado n mediante el polinomio de
avance de Newton. Si la función tabular es en realidad un polinomio, éste
será el resultado obtenido con el de avance recién mencionado, siempre
que el número de datos utilizado así lo garantice, y la representación será
exacta. Si la función no es polinómica, entonces la representación obtenida
será de utilidad para trabajar en la región de definición de la tabla.
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
40
El polinomio de avance de Newton
Para una tabla igualmente espaciada el polinomio de avance de Newton
está dado por
(1.3.1)
en donde por comodidad se ha utilizado la variable de ordenación auxiliar k
y que está definida incluso para puntos no tabulares pero comprendidos den-
tro del rango delimitado por los argumentos xk. Así los valores k no son
necesariamente enteros, por ejemplo para x0 < x < x1 los valores de esta
variable de orden estarían entre 0 < k < 1 para x1 < x < x2 los valores de esta
variable de orden estarían entre 1 < k < 2, y así sucesivamente. La expresión
k
x x
h
x x h k Nk k k=
−
− = = ≤ ≤+
0
1 0 0; ;constante� >
p y k y k k y k k k yk = + + − + − −0 0
2
0
3
0
1
2
1
1
3
1 2∆ ∆ ∆
!
( )
!
( )( ) ++ +
+ + − − + +
...
...
!
( )...( ) ...
1
1 1 0n
k k k n yn∆
Tabla 1.1. Tabla de diferencias de avance para datos igualmente 
espaciados: xk+1 – xk = h = constante
k xk yk Dyk D
2yk D
3yk
0 x0 y0
Dy0 = y1 – y0
1 x1 y1 D
2y0 = Dy1 – Dy0
Dy1 = y2 – y1 D
3y0 = D
2y1 – D
2y0
2 x2 y2 D
2y1 = Dy2 – Dy1
Dy2 = y3 – y2 D
3y1 = D
2y2 – D
2y1
3 x3 y3 D
2y2 = Dy3 – Dy2
Dy3 = y4 – y3 D
3y2 = D
2y3 – D
2y2
4 x4 y4 D
2y3 = Dy4 – Dy3
Dy4 = y5 – y4 …
… … … …
… …
… … … …
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
41
general para el error del ajuste por colocación recuerda a la del resto de
Lagrange (1.2.5) y para un polinomio de grado n es
(1.3.2)
en donde x es un punto indeterminado que está dentro del intervalo abierto
definido por x0 y xn pero no puede coincidir con ninguno de los puntos
tabulares. Más adelante, en el Cap. 3 se tratará con esta expresión en detalle
para las aplicaciones.
EJERCICIO 1.3.1
Obtener la tabla de diferencias para la función y(x) = 3x2 + x – 1, en el inter-
valo [–1, 1] utilizando un espaciado h = 0,25.
Cualquier otro espaciado h y utilizando un intervalo de tabulación dife-
rente presentaría un resultado análogo con constancia en las diferencias
segundas, pero no necesariamente con el mismo valor constante.
y x p x
x x x x x x
n
yn n n( ) ( )
( )( )...( )
( )!
( ) (− =
− − −
+
0 1
1
++1( )ξ
k xk yk Dyk D
2yk D
3yk
0 –1 1
–1,0625
1 –0,75 –0,0625 0,375
–0,6875 0
2 –0,5 –0,75 0,375
–0,3125 0
3 –0,25 –1,0625 0,375
0,0625 0
4 0 –1 0,375
0,4375 0
5 0,25 –0,5625 0,375
0,8125 0
6 0,5 0,25 0,375
1,1875 0
7 0,75 1,4375 0,375
1,5625
8 1 3
Tabla 1.2. Ejercicio 1.3.1
Tabla de diferencias de avance para y(x) = 3x2 + x – 1; h = 0,25
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
42
EJERCICIO 1.3.2
Obtener los polinomios de avance de Newton para una tabla de diferencias
en la que se tienen los comportamientos: a) D2yk = 0; b) D
3yk = 0.
a) El polinomio en este caso será de grado n = 1 y es sencillamente la
ecuación de una línea recta:
b) El polinomio será ahora de grado n = 2 y es la parábola:
El polinomio de retroceso de Newton
La numeración de los datos en una tabla igualmente espaciada no tiene
porqué empezar necesariamente en k = 0 y puede hacerse esta operación
tomandocomo origen cualquier punto de la tabla. La elección anterior es la
natural cuando se va a calcular un polinomio de avance de Newton, pero un
polinomio de diferencias reversivas o de retroceso tomaría la numeración 
k = 0 partiendo del dato N y asignando al resto de los datos índices negativos
correlativos. La situación se resume en la Tabla 1.3, en la que como antes se
tienen valores xk crecientes al ir hacia abajo.
Como puede comprobarse la tabla es idéntica a la anterior de avance, los
resultados para las diferencias se obtienen de la misma forma, solamente la
notación de cada elemento difiere. Con esta nueva construcción se puede
determinar el polinomio de retroceso de Newton:
(1.3.3)
p y k y k k y k k k yk = + ∇ + + ∇ + + + ∇0 0
2
0
3
0
1
2
1
1
3
1 2
!
( )
!
( )( ) ++ +
+ + + + − ∇ +
...
...
!
( )...( ) ...
1
1 1 0n
k k k n yn
p y k y k k y
y
x x
h
y
x
k = + + − =
+
−
+
−
0 0
2
0
0
0
0
1
2
1
1
2
∆ ∆
∆
!
( )
!
( xx x x h
h
y a bx cx0 0
2
2
0
2)( )− − = + +∆
p y k y y
x x
h
y y m x xk = + = +
−
= + −0 0 0
0
0 0 0∆ ∆ ( )
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
43
con la definición de la variable auxiliar k idéntica a la de antes, pero cuyos
valores son ahora k ≤ 0 al estar el origen en el argumento x máximo de la 
tabla
Observaciones prácticas
Hay que tener en cuenta que una tabla finita con N + 1 datos igualmente
espaciados puede representarse igualmente tanto con el polinomio de avan-
ce como con el de retroceso. Si se efectúan y utilizan todas las diferencias
hasta el orden n máximo posible, ambas representaciones son idénticas, ya
que el polinomio que ajusta una tabla finita es único (Fig. 1T.2). El utilizar
una u otra versión, avance o retroceso, depende de la aplicación que vaya a
hacerse. Para una precisión en el cálculo prefijada, si la zona de interés
está en la parte superior, puede ser suficiente utilizar una aproximación de
avance con grado j < n que ya suministre resultados aceptables y evite engo-
rrosas operaciones que no los mejorarían sustancialmente. Lo mismo suce-
de con el polinomio de retroceso si el interés se concentra en la zona inferior
de la tabla.
k
x x
h
x x=
−
≥0 0; .
Tabla 1.3. Tabla de diferencias de retroceso para datos igualmente espaciados:
xk+1 – xk = h = constante >0
k xk yk —yk —
2yk —
3yk
… … … … … …
… … … —y–3 = y–3 – y–4 … …
–3 x–3 y–3 —
2y–2 = —y–2 – —y–3
—y–2 = y–2 – y–3 —
3y–1 = —
2y–1 – —
2y–2
–2 x–2 y–2 —
2y–1 = —y–1 – —y–2
—y–1 = y–1 – y–2 —
3y0 = —
2y0 – —
2y–1
–1 x–1 y–1 —
2y0 = —y0 – —y–1
—y0 = y0 – y–1
0 x0 y0
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
44
En línea con la discusión precedente, conviene señalar que existen otros
polinomios de colocación para tablas igualmente espaciadas y que están
adaptados para situaciones en las que el interés está en zonas apartadas de
los extremos (Gauss, Everett, etc.). Estas versiones utilizan un origen situa-
do en un punto interior de la tabla y numeran los datos como positivos o
negativos según sean de mayor o menor argumento xk que el del origen
seleccionado x0. Más adelante, en el Cap. 3 y al estudiar las aplicaciones, se
considerará con más detalle este tipo de ajuste «central».
En todos los casos de polinomios de ajuste por colocación se utilizan
determinados operadores de diferencia, como los de avance D o de retroceso —
presentados arriba para los polinomios de Newton, o los denominados ope-
radores de diferencia central utilizados en los polinomios de Gauss, Everett,
etc. Estos operadores permiten una formulación compacta de las expresiones
de estos polinomios y utilizan todos la misma tabla de diferencias, pero
seleccionando puntos de ella adecuados a cada caso. También conviene
insistir de nuevo en que resulta siempre más ventajoso utilizar polinomios de
grado pequeño que representen segmentos de la tabla, en vez de utilizar
representaciones polinómicas de alto grado que incluyan la tabla completa.
1.4. El polinomio de Lagrange
Cuando la tabla de datos {(xi, yi)}i=1,N+1 no está igualmente espaciada las
técnicas anteriores no son utilizables y hay que recurrir a otros métodos. El
más sencillo, siguiendo el criterio de colocación de puntos tabulares, es el lla-
Figura 1T.2. (a) Polinomio de colocación de 5º grado a una serie de datos. (b) Ajustes parciales 
a los datos anteriores utilizando polinomios de 2º grado consecutivos.
AJUSTE DE FUNCIONES CON POLINOMIOS: TÉCNICAS DE COLOCACIÓN Y DE MÍNIMOS CUADRADOS
45
mado polinomio de Lagrange. Si se desea ajustar la tabla completa, esto se
logra con el algoritmo:
(1.4.1)
en donde los casos i = 1 e i = N + 1, son simples de interpretar. Esta expresión
se puede reducir utilizando menos puntos para representar segmentos de esa
tabla. La suma incluye tantos sumandos como puntos se utilicen, siendo
cada sumando un producto de N factores, y con j recorriendo los números
entre 1 y N + 1 evitando siempre el caso j = i. Es fácil comprobar que el algo-
ritmo anterior reproduce (coloca) la tabla o su segmento ajustado. La apli-
cación de este algoritmo puede parecer un tanto complicada y se va a ilustrar
con un ejemplo numérico concreto en el siguiente Ejercicio.
EJERCICIO 1.4.1
Se conocen las tres parejas de datos temperatura-presión siguientes perte-
necientes a la curva de fusión del helio-4:
T(K) 10 13 20
P(kg/cm2) 604,2506 917,7237 1810,5190
Encontrar una representación polinómica para esta tabla.
Va a tomarse la temperatura como variable independiente y como hay
tres datos el polinomio será en principio de grado 2: P(2)(T) = a + bT + cT2.
Para determinar los coeficientes podría efectuarse la resolución del sistema
de ecuaciones (1.2.9) derivado de sustituir los datos. Esto sería esencial-
mente correcto, pero en general resulta siempre más eficiente calcular el
polinomio de Lagrange, que en este caso viene dado por
Esta es una expresión muy cómoda para evaluar valores de P en tempe-
raturas comprendidas en el intervalo de definición (interpolación).
P T
T T
P
T( )( )
( )( )
( )( )
( )2
1
13 20
10 13 10 20
10= − −
− −
+ − (( )
( )( )
( )( )
( )
T
P
T T−
− −
+ − −
−
20
13 10 13 20
10 13
20 102 (( )
( )( )
( )( )
,
20 13
13 20
10 13 10 20
604 25
3−
=
− −
− −
P
T T
006
10 20
13 10 13 20
917 7237
1+ − −
− −
+ −( )( )
( )( )
,
(T T T 00 13
20 10 20 13
1810 5190
)( )
( )( )
,
T −
− −
p x
x x
x x
y x j i jN j
i jj i
i
( )( )
( )
( )
( );=
−
−





 ≠ ⇒ =
≠
∏ 11 2 1 1 1
1
1
, ,.., , ,..., ,i i N N
i
N
− + +
=
+
∑
CÁLCULO NUMÉRICO Y ESTADÍSTICA APLICADA
46
1.5. Otras técnicas
Todas las estrategias de ajuste anteriores van a considerarse con más
detalle en el Cap. 3 en conexión con sus aplicaciones. Hay que señalar que no
son las únicas y que existe una gran variedad de técnicas de colocación por
polinomios aparte de ellas y conviene mencionar algunas: i) el método de
Aitken, que utiliza polinomios de colocación con grados crecientes que van
ajustando subconjuntos de los puntos tabulares; ii) la técnica de las dife-
rencias divididas, que generalizan las diferencias vistas antes construyendo
cocientes de éstas entre diferencias de argumentos; iii) los polinomios oscu-
ladores, que no sólo colocan datos tabulares de la función, sino también
valores de las derivadas de ésta en esos puntos; y iv) los ajustes por splines
cúbicos, que utilizan los valores de la función y estimaciones de su derivada
segunda para construir aproximaciones cúbicas entre cada dos puntos tabu-
lares consecutivos. En este último caso el polinomio de «splines» toma entre
(xi, yi) y (xi+1, yi+1) la forma
en donde
Se trata de un ajuste aplicable a cualquier tipo de tabla. Una elección
común es y1¢¢ = yN¢¢ = 0 en los extremos de la tabla («splin» cúbico natural).
B. MÍNIMOS CUADRADOS
1.6. Concepto y aplicación al caso lineal
Una técnica de aproximación de funciones definidas por una tabla numérica
con N + 1 puntos, {(xi, yi)}i=0,N que no tiene que estar necesariamente igualmente
espaciada, y que es diferente de