Calculo Matemático

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EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
ISBN 978-84-8363-295-6
9 788483 632956
CÁ
LC
U
LO
 M
AT
EM
ÁT
IC
O
 C
O
N
 A
PL
IC
AC
IO
N
ES
CÁLCULO MATEMÁTICO 
CON APLICACIONES0994P01
EDITORIAL
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
ISBN 978-84-8363-295-6
9 788483 632956
CÁ
LC
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O
N
 A
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AC
IO
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ES
CÁLCULO MATEMÁTICO 
CON APLICACIONES0994P01
Luis Manuel Sánchez Ruiz 
Matilde Pilar Legua Fernández 
Cálculo matemático con 
aplicaciones 
EDITORIAL 
UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Quinta edición, 2008 Reimpresión, 201 
© Luis Manuel Sánchez Ruiz 
 Matilde Pilar Legua Fernández 
© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València 
 distribución: Telf. 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 0994_01_05_1 
Imprime: Byprint Percom, sl 
ISBN: 978-84-8363-295-6 
Impreso bajo demanda 
La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con 
fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se 
identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La 
autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras 
derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, 
deberá solicitarse por escrito al correo edicion@editorial.upv.es 
Impreso en España 
Índice General
1 Algunas funciones reales 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 El Número complejo 27
2.1 Operaciones y representación . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Fórmula de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 Raíces de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Exponencial compleja y logaritmo . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Métodos computacionales 45
3.1 Raíces de ecuaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Descomposición factorial de un polinomio . . . . 45
3.1.2 Raíces enteras y fraccionarias . . . . . . . . . . . 51
3.2 Resolución aproximada de ecuaciones . . . . . . . . . . . 56
3.2.1 Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i
ii
3.2.2 Método iterativo de punto �jo . . . . . . . . . . . 58
3.2.3 Método de regula-falsi o de las cuerdas . . . . . . 61
3.2.4 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Descomposición en fracciones simples . . . . . . . . . . . 67
3.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Cálculo de primitivas 75
4.1 Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Métodos elementales de integración . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Integrales racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4 Integrales irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4.1 Integral
R
R
³
x,
¡
ax+b
cx+d
¢ p1
m1 , . . . ,
¡
ax+b
cx+d
¢ pn
mn
´
dx . . . 88
4.4.2 Integrales
R
R
¡
x, ax2 + bx+ c
¢
dx . . . . . . . . 90
4.4.3 Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.1 Función inversa racional . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.2 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Integral de�nida: aplicaciones 107
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Función integrable Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.1 De�nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.2 Cálculo de la integral de�nida . . . . . . . . . . . 116
5.2.3 Aplicación: Trabajos . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.3 Coordenadas polares y paramétricas . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4.1 Cálculo de áreas planas . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4.2 Volúmenes de revolución . . . . . . . . . . . . . . 128
5.4.3 Otros volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
iii
5.4.4 Longitudes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.5 Áreas de super�cies de revolución . . . . . . . . . 141
5.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6 Integración aproximada 155
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Métodos rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3 Métodos de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.1 Fórmula de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3.2 Fórmula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.3.3 Fórmula de 3/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Integrales impropias 165
7.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2 De�niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.3 Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.4 La función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.5 La función beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.6 Valor principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.7 Aplicación: Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.8 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8 Series 187
8.1 Series numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.1 De�nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.2 Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . 190
8.1.3 Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . 194
8.2 Sucesiones funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3 Series funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
iv
8.4 Series potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.4.1 Intervalo y radio de convergencia . . . . . . . . . 200
8.4.2 Desarrollo en serie de potencias . . . . . . . . . . 204
8.4.3 Aplicación: Cálculo integral . . . . . . . . . . . . 208
8.5 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.5.1 Series trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.5.2 Desarrollos en serie de Fourier . . . . . . . . . . . 212
8.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Funciones de varias variables 229
9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2 Límites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2.1 Nociones topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.2.2 De�nición y cálculo de límites . . . . . . . . . . . 232
9.2.3 Límites en dos variables . . . . . . . . . . . . . . 234
9.2.4 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.3 Derivadas parciales y diferenciabilidad . . . . . . . . . . 237
9.3.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales . . . 237
9.3.2 Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 240
9.3.3 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . 246
9.4 Funcionesvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.5 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.5.1 Funciones compuestas . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.5.2 Derivadas de funciones implícitas . . . . . . . . . 257
9.6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.6.1 Cambios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.6.2 Estimación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.6.3 Extremos relativos libres . . . . . . . . . . . . . . 264
9.6.4 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . 268
9.7 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.8 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
v
10 Integrales paramétricas 283
10.1 Derivación bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . . . 283
10.2 Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.3 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.4 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
11 Integral curvilínea 293
11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.2 Integral de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.3 Aplicaciones de la integral curvilínea . . . . . . . . . . . 297
11.3.1 Longitudes, masas y promedios . . . . . . . . . . 297
11.3.2 Áreas de super�cies cilíndricas . . . . . . . . . . . 298
11.4 Integral de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.5 Aplicación: Cálculo de trabajos . . . . . . . . . . . . . . 303
11.6 Nociones de análisis vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.7 Teoría del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.8 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
11.9 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12 Integración superior 323
12.1 Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.1.1 De�nición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.1.2 Cálculo de volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.1.3 Áreas y masas planas. Promedios . . . . . . . . . 331
12.1.4 Fórmula de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.1.5 Cambios en integrales dobles . . . . . . . . . . . . 335
12.2 Super�cies alabeadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.2.1 Super�cies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . 340
12.2.2 Super�cies de revolución . . . . . . . . . . . . . . 343
12.2.3 Área de una super�cie alabeada . . . . . . . . . . 345
12.3 Integral de super�cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.3.1 De�nición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.3.2 Aplicación: Masas y promedios . . . . . . . . . . 349
vi
12.4 Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.4.1 De�nición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.4.2 Volúmenes, masas y promedios . . . . . . . . . . 354
12.4.3 Cambios en integrales triples . . . . . . . . . . . . 355
12.5 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.6 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
12.7 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13 Aplicaciones físicas 375
13.1 Centros de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.2 Momentos de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.3 Integral de �ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
13.3.1 De�nición y cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
13.3.2 Teoremas de Stokes y Ostrogradski . . . . . . . . 396
13.3.3 Aplicaciones de la integral de �ujo . . . . . . . . 404
13.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
13.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14 Ecuaciones diferenciales 417
14.1 Introducción y conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . 417
14.2 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 419
14.2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . 419
14.2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.3.1 Problemas de mezclas . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.3.2 Trayectorias isogonales . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.3.3 Algunas ecuaciones de orden superior . . . . . . . 423
14.4 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.5 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
15 Anexo Sucesiones 429
15.0.1 De�nición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . 429
15.0.2 Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
vii
Prólogo
Esta publicación persigue cubrir las necesidades básicas de conoci-
mientos de cálculo matemático que tienen los alumnos de Ingeniería. La
presentación de los temas tratados se hace del modo más simple posible
pero, siguiendo la recomendación de Albert Einstein, se ha procurado
no caer en presentarlos más simples de lo que son en realidad. Así se
tendrá ocasión de encontrar ejemplos que muestran el cuidado que se ha
de tener en veri�car las hipótesis de los resultados que queramos utilizar;
de otro modo podemos llegar a conclusiones erróneas.
Se incluye demostraciones de resultados que se consideran formativas
al realizar razonamientos lógicos o un análisis crítico. Por otra parte, a
lo largo de todo el texto, hay una amplia exposición de ejemplos selec-
cionados, �nalizando cada capítulo con una lista de ejercicios propuestos
cuya resolución consolidará los conocimientos adquiridos.
Comenzamos nuestra exposición viendo algunos aspectos relevantes
de algunas funciones de variable real y del cuerpo de los números com-
plejos, necesarios para poder afrontar el cálculo integral. De las técnicas
de integración deseamos resaltar las correspondientes a las integrales ra-
cionales ya que otros tipos de integrales, como pueden ser las irracionales
o trigonométricas, usualmente se reducen a resolver una integral racio-
nal. La técnica normalmente empleada, así como en otras aplicaciones
matemáticas, de descomponer una fracción propia en suma de fraccio-
nes simples, es expuesta previamente junto con algunos métodos para el
cálculo de raíces de ecuaciones.
Las aplicaciones de la integral de�nida presentadas incluyen el cálculo
de áreas de regiones planas y de super�cies de revolución, longitudes de
curvas, volúmenes de algunos sólidos y el trabajo realizado por fuerzas
con punto de aplicación desplazado rectilíneamente. Dichas aplicaciones
son seguidas de métodos que permiten la evaluación aproximada de las
integrales de�nidas. Las integrales con límites de integración in�nitos, y
que aparecen con frecuencia en algunas ramas de la Matemática, como
por ejemplo en Estadística, son estudiadas dentro del capítulo dedicado
a las integrales impropias.
Dentro del tema dedicado al estudio de las series, que son una herra-
mienta básica en muchas técnicas de aproximación, resaltamos las series
potenciales y las de Fourier.
viii
A continuación estudiamos las funciones de varias variables las cua-
les, además de tener interesantes aplicaciones en el cálculo de valores
extremos, son necesarias para abordar el tema de integrales dependien-
tes de un parámetro y realizar operaciones que aparecen con frecuencia,
por ejemplo derivar respecto de un parámetro introduciendo la derivación
bajo el signo integral.
Todos estos contenidos constituyen los primeros fundamentos mate-
máticos necesarios a alumnos de ingeniería en cuestiones de cálculo ma-
temático. Otras aplicaciones en las que aparezcan super�cies alabeadas,
sólidos que no sean de revolución, fuerzas cuyos puntos de aplicación
siguen curvas alabeadas o �ujos de campos vectoriales, por ejemplo, re-
quieren otros tipos de integrales: curvilíneas, dobles, triples, de super�cie
y �ujo, que son estudiadas sucesivamente.
Finaliza el texto con una introducción a las técnicas fundamentales de
resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Una ampliación
del estudiode técnicas de resolución y aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales puede encontrarse en nuestro texto Ecuaciones Diferenciales
y Transformadas de Laplace con Aplicaciones.
Los autores expresan su reconocimiento al profesor Manuel Legua
(1924—99), catedrático desde 1964 a 1989 de la Escuela Universitaria
de Ingeniería Técnica Industrial de Valencia —transformada en Escuela
Técnica Superior de Ingeniería del Diseño en 2002—, que les transmitió
la forma de enfocar la didáctica de las matemáticas destinadas a cubrir
las necesidades de los ingenieros.
Agradecemos las sugerencias recibidas de Jose Antonio Moraño y Do-
lors Roselló respecto de la edición anterior y que son incorporadas en di-
versos capítulos de este texto. También ha mejorado esta edición gracias
a los alumnos que han detectado algunas erratas y que, con sus dudas
y querer saber, han señalado los temas en los cuales tenían una mayor
di�cultad. Esperamos que este texto facilite el trabajo de aprendizaje de
los futuros usuarios del cálculo matemático y sus aplicaciones.
Los autores
Capítulo 1
Algunas funciones reales
1.1 Introducción
En este primer capítulo estudiaremos las funciones hiperbólicas y sus
inversas, previa de�nición de dicho concepto y estudio de ciertas propie-
dades que poseen éstas. Las funciones hiperbólicas son de gran utilidad
en la técnica y el cálculo integral, y están íntimamente relacionadas con
el número e cuya de�nición recordamos mas adelante y, que si bien pue-
de parecer arti�ciosa y poco más que un ingenioso invento, no deja de
ser sorprendente la cantidad de fenómenos de la naturaleza, económicos,
cientí�cos y técnicos en cuya explicación aparece dicho número y estas
funciones.
También en este primer capítulo repasaremos las derivadas de las
funciones trigonométricas inversas.
Comenzamos recordando algunas nociones relacionadas con la deri-
vada de una función real de variable real que son de utilidad para la
representación grá�ca de las mismas.
Una función f de variable real tiene derivada en x0 R si existe
f 0(x0) = lim
h 0
f(x0 + h) f(x0)
h
,
valor que coincide con la tangente trigonométrica del ángulo que forma
OX con la tangente geométrica a la grá�ca de f en (x0, f (x0)).
Si f 0(x0)
(
> 0 f es creciente en x0.
< 0 f es decreciente en x0.
1
2 Capítulo 1
Si f 0(x0) = 0 y f 0 cambia de signo en x0 pasando de tomar valores
positivos a negativos, entonces f tiene un máximo en x0. Si el cambio de
signos es el contrario, f tiene un mínimo en x0.
La ecuación de la recta tangente a la grá�ca de f en (x0, f (x0)) es
y f (x0) = f
0 (x0) (x x0) .
Y la recta normal en (x0, f (x0)) es
y f (x0) =
1
f 0 (x0)
(x x0)
si f 0(x0) 6= 0, y x = x0 si f 0(x0) = 0.
1.2 Funciones inversas
Se dice que g es una función inversa de f , y se indica denotando
g = f 1, si f (g(x)) = x, para cada x del dominio de g, y g (f(x)) = x
para cada x del dominio de f . Por tanto la función inversa de f 1 es f,
y el dominio de f 1 coincide con el rango de f .
Ejemplo 1.2.1 Comprobar que f(x) = 5x3 + 2 y g(x) = 3
q
x 2
5
son
funciones inversas.
Sol.: Como el rango de cada una de estas dos funciones, R en este caso,
coincide con el dominio de la otra, es posible componerlas. De
f (g(x)) = 5
Ã
3
r
x 2
5
!3
+ 2 = x, g (f(x)) =
3
r
(5x3 + 2) 2
5
= x,
se deduce que f y g son funciones inversas.
No toda función admite función inversa. De hecho, una función f
posee función inversa si y sólo si f es inyectiva en su dominio Df . Si f
no es inyectiva en Df pero sí en algún subconjunto D Df entonces la
restricción de f a D tiene inversa.
El método general de encontrar la función inversa de y = f(x) es:
• Despejar x de esta ecuación, x = g(y).
Algunas funciones reales 3
• Intercambiar las variables x e y, escribiendo y = g(x).
• Tomar como dominio de g el rango de f .
• Comprobar que f(g(x)) = x, g(f(x)) = x.
Ejemplo 1.2.2 Encontrar la función inversa de f(x) = 5x3 + 2.
Sol.: Despejando x de y = 5x3 + 2 nos da
x3 =
y 2
5
x =
3
r
y 2
5
.
Intercambiando las variables x e y,
y =
3
r
x 2
5
= g(x).
La comprobación de que efectivamente g = f 1 ha sido realizada en el
ejercicio anterior.
Ejemplo 1.2.3 Estudiar si la función f(x) = x2 tiene función inversa.
Sol.: La función dada no es inyectiva en R, por lo que considerada la
función f de�nida en toda la recta real, no tiene función inversa.
x 420-2-4
25
20
15
10
5
0
f(x) = x2
Sin embargo f(x) = x2 sí que es inyectiva en ] , 0] y [0,+ [. En
cada uno de estos intervalos, siguiendo el método descrito anteriormente,
obtenemos como función inversa de f a las funciones g y h de�nidas por
g(x) = f 1(x) = x, h(x) = f 1(x) = x.
Dos importantes propiedades de la función inversa son las siguientes.
4 Capítulo 1
Teorema 1.2.4 Las grá�cas de funciones inversas f y g son simétricas
respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Dem.: Hay que probar que el punto (x, y) pertenece a la grá�ca de f si
y sólo si el punto (y, x) pertenece a la grá�ca de g. Si (x, y) pertenece a
la grá�ca de f , entonces y = f(x) por lo que g(y) = g (f(x)) = x por ser
g función inversa de f , y el punto (y, x) pertenece a la grá�ca de g.
El recíproco es inmediato.
Teorema 1.2.5 Si f es derivable en su dominio y tiene función inversa
g, entonces la derivada de g viene dada por
g0(x) =
1
f 0 (g(x))
,
en cada punto x en que f 0 (g(x)) 6= 0.
Dem.: Una prueba formal de este resultado requiere probar previamente
la existencia de g0. Suponiendo que esto es cierto, es sencillo deducir la
fórmula. Partimos de
f(g(x)) = x,
por ser g función inversa de f , y derivamos en ambos miembros,
f 0 (g(x)) g0(x) = 1.
Si f 0 (g(x)) 6= 0, despejando g0(x) se obtiene la fórmula buscada.
En la práctica puede ser útil para aplicar esta fórmula simplemente
recordar que dy
dx
= 1dx
dy
, donde en el primer miembro estamos derivando
respecto de x la función inversa y = g(x), en el segundo la función
x = f(y) respecto de y, y tener en cuenta que posteriormente se ha
de sustituir la y del segundo miembro por su valor, g(x).
Ejemplo 1.2.6 Comprobar que la derivada de la función g, inversa de
f del Ejemplo 1.2.2, es la recíproca de la derivada de f evaluada en g(x).
Sol.: La recíproca de la derivada de f evaluada en g(x) es
1
15 (g(x))2
=
1
15
³
3
q
x 2
5
´2 .
Algunas funciones reales 5
La derivada de la función inversa coincide con ella ya que
g0(x) =
1
3
μ
x 2
5
¶ 2
3 1
5
.
1.3 Logaritmos y exponenciales
Recordamos ahora que la sucesión½μ
1 +
1
n
¶n
, n = 1, 2, . . .
¾
,
es monótona creciente y acotada superiormente, por lo que converge a
un número real, el número e. Es un número real trascendente, lo cual
signi�ca que no es raíz de ninguna ecuación algebraica con coe�cientes
enteros
anx
n + an 1x
n 1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, n N, ai Z, 0 i n.
Sus primeras cifras son e = 2.718281828459 . . .
La función exponencial
exp(x) = ex, x R,
es positiva, estrictamente creciente, con el eje OX como asíntota cuando
x , su derivada es ella misma, ex, y su rango es ]0,+ [.
Para facilitar su comprensión damos su grá�ca en escalas diferentes.
x 420-2-4
140
120
100
80
60
40
20
0
y = ex
x 1.510.50-0.5-1-1.5
4
3
2
1
y = ex
Por ser f(x) = ex biyectiva de R en R+ = ]0,+ [ tiene función inversa
con dominio R+ y rango R. Se representa
f 1(x) = lnx
6 Capítulo 1
y se le denomina logaritmo neperiano o natural.
Por ser función inversa de ex,
ln ex = x, elnx = x,
y por ello ln 1 = 0. Además es fácil obtener:
ln (x · y) = lnx+ ln y, ln
μ
x
y
¶
= lnx ln y, ln (xy) = y lnx.
Su grá�ca es la curva simétrica respecto de la bisectriz del primer
y tercer cuadrante de la grá�ca de y = ex. Por tanto es estrictamente
creciente, y tiene al semieje OY 0 como asíntota vertical cuando x 0+.
x 543210-1-2
2
1
0
-1
-2
-3
-4
y = lnx
Su derivada, como función inversa de la exponencial, viene dada por
d
dx
(lnx) =
1
elnx
=
1
x
.
Nota 1.3.1 Hemos introducido la función logaritmo a partir de la ex-
ponencial. Una introducción rigurosa de esta últimaes ardua, siendo
uno de los métodos más sencillos como la función de�nida por la serie de
potencias
ex =
X
n=0
xn
n!
, x R.
Pero esto conlleva no poder trabajar con ella hasta que se han estu-
diado las series de potencias.
Algunas funciones reales 7
Otra posibilidad es introducir primero la función logaritmo como
lnx =
Z x
1
1
x
dx x > 0,
primitiva de 1
x
, por lo que d
dx
(lnx) = 1
x
. Si se hace esto, es inmediato que
ln 1 = 0, de�niéndose el número e como el real que haceZ e
1
1
x
dx = 1,
el cual existe ya que la función lnx así de�nida es continua y en el inter-
valo [1,+ [ toma todos los valores de [0,+ [.
Entonces la exponencial es la función inversa del logaritmo pero esto
trae consigo no poder utilizar las funciones logaritmo y exponencial hasta
que se ha estudiado la integral inde�nida.
Por tanto, si bien formalmente es más correcto seguir cualquiera de
estas dos vías, no consideramos que los bene�cios reportados compensen
la rémora de no poder utilizar mientras tanto ambas funciones y las
supondremos ya conocidas.
Una vez de�nidas las funciones exponencial y logaritmo neperiano, es
posible de�nir la exponencial de base a para cada a > 0 como
ax = ex·ln a, x R.
x 3210-1-2-3
8
6
4
2
0
y = 2x
x 3210-1-2-3
120
100
80
60
40
20
0
y =
¡
1
5
¢x
Y dado a > 0, a 6= 1, se de�ne logaritmo en base a, loga, como
la función inversa de ax (log1 no está de�nido ya que 1x no tiene fun-
ción inversa). Cuando la base a es 10 la función logaritmo se denomina
logaritmo decimal.
8 Capítulo 1
Es posible pasar de logaritmos neperianos a decimales y viceversa
aplicando que
lnx = log10 x
log10 e
, log10 e = 0.43429448 . . .
log10 x =
lnx
ln 10
, ln 10 = 2.302585093 . . .
Proponemos como ejercicio demostrar la fórmula general según la cual
dados a, b, x > 0, a, b 6= 1,
loga x =
logb x
logb a
.
x 543210-1-2
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
y = log10 x
x 543210-1-2
8
6
4
2
0
-2
y = log 1
2
x
1.4 Funciones trigonométricas inversas
Suponemos que se tiene una cierta familiaridad con las funciones trigo-
nométricas inversas,
arcsenx, arccosx, arctan x, arcsecx, arccscx, arccotx.
Recordemos, por ejemplo, que
y = arcsenx si x = sen y
y que arcsenx es la función inversa de la función senx en cualquier in-
tervalo en que esta última es inyectiva, considerándose de modo usual el
intervalo
£
2
,
2
¤
.
Algunas funciones reales 9
La siguiente tabla recoge el dominio Df , rango Rf y derivada f 0 de
cada función trigonométrica inversa. Se incluye también el dominio Df 0
de las derivadas.
Función f(x) Df Rf f
0 (x) Df 0
arcsenx [ 1, 1]
£
2
,
2
¤
1
1 x2
] 1, 1[
arccosx [ 1, 1] [0, ] 1
1 x2
] 1, 1[
arctanx R
¤
2
,
2
£
1
1+x2
R
arccscx R \ ] 1, 1[
£
2
,
2
¤
\ {0} 1|x| x2 1 R \ [ 1, 1]
arcsecx R \ ] 1, 1[ [0, ] \
©
2
ª
1
|x| x2 1 R \ [ 1, 1]
arccotx R ]0, [ 1
1+x2
R
1.5 Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas se de�nen analíticamente del siguiente modo:
Seno hiperbólico shx = e
x e x
2
.
Coseno hiperbólico chx = e
x+e x
2
.
Tangente hiperbólica thx = shx
chx
= e
x e x
ex+e x
.
Cosecante hiperbólica cschx = 1
shx
= 2
ex e x
.
Secante hiperbólica sechx = 1
chx
= 2
ex+e x
.
Cotangente hiperbólica cothx = chx
shx
= e
x+e x
ex e x
.
Algunos valores de estas funciones son fáciles de calcular como por
ejemplo
sh 0 = 0, ch 0 = 1, th 0 = 0.
Por tanto, las funciones cosecante hiperbólica y cotangente hiperbólica
no están de�nidas en 0.
Para continuar el estudio de las funciones hiperbólicas, y facilitar su
representación grá�ca, es conveniente calcular sus derivadas.
10 Capítulo 1
Seno hiperbólico
La grá�ca de la función shx es sencilla de hallar como semidiferencia de
las exponenciales ex y e x.
Además recordemos que una función de una variable real f(x) es
impar si
f( x) = f(x)
para todo x de su dominio, y cuando esto ocurre la representación grá�ca
de la función es simétrica respecto del origen O.
Como la función shx es impar ya que
sh ( x) =
e x e ( x)
2
=
ex e x
2
= shx, x R,
basta hallar su grá�ca para valores positivos de x y, por simetría respecto
de O, obtener su grá�ca para los valores negativos de x.
Por otra parte, su derivada es
d
dx
(shx) =
d
dx
μ
ex e x
2
¶
=
ex + e x
2
= chx,
que siempre toma valores positivos, por lo que la función shx es estric-
tamente creciente. Su pendiente en el origen es ch 0 = 1.
Por tanto, la función sh x tiene por dominio y rango R, es impar y
estrictamente creciente.
x 3210-1-2-3
10
5
0
-5
-10
y = shx
Algunas funciones reales 11
Coseno hiperbólico
La grá�ca de chx puede hallarse como semisuma de las exponenciales ex
y e x.
Por otra parte recordemos que una función de una variable real f(x)
es par si
f( x) = f(x)
para todo x de su dominio. Cuando esto ocurre la grá�ca de f es si-
métrica respecto del eje de ordenadas OY .
En este caso la función chx es par ya que
ch ( x) =
e x + e ( x)
2
=
ex + e x
2
= chx x R.
Por ello basta representarla para valores positivos de x y, por simetría
respecto de OY, obtener la representación para los valores negativos de
x. Además,
d
dx
(chx) =
d
dx
μ
ex + e x
2
¶
=
ex e x
2
= shx,
que toma valores negativos si x < 0, nulo en x = 0, y positivos si x > 0.
La función ch x tiene por dominio R, rango [1,+ [, es par, decre-
ciente para valores negativos de x, creciente para los valores positivos y
alcanza en x = 0 el valor mínimo 1.
x 3210-1-2-3
10
8
6
4
2
y = chx
12 Capítulo 1
Tangente hiperbólica
Es fácil obtener la grá�ca de la función thx como cociente de las funciones
shx y chx. La función thx tiene por dominio R, rango ] 1, 1[ y es
estrictamente creciente.
Su grá�ca tiene asíntota horizontal y = 1 por la izquierda, e y = 1
por la derecha. Su derivada es
d
dx
(thx) = sech2x = 1 th2x.
.
x 420-2-4
1
0.5
0
-0.5
-1
y = thx
Cosecante hiperbólica
La derivada de la cosecante hiperbólica es
d
dx
(cschx) = chx csch2x.
La función cschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamente
decreciente en ] , 0[ y en ]0,+ [ , pero no en todo su dominio.
Su grá�ca tiene como asintota horizontal y = 0, por la derecha e
izquierda, y es asintótica verticalmente con x = 0.
x 3210-1-2-3
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = cschx
Algunas funciones reales 13
Secante hiperbólica
La derivada de la secante hiperbólica es
d
dx
(sechx) = shx sech2x.
La función sechx tiene por dominio R, rango ]0, 1] y alcanza su valor
máximo, 1, en x = 0.
Su grá�ca es asintótica a y = 0 por la derecha e izquierda.
x 420-2-4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
y = sechx
Cotangente hiperbólica
La derivada de la cotangente hiperbólica es
d
dx
(cothx) = csch2x = 1 coth2 x.
La función cothx tiene por dominio R \ {0} y rango R \ [ 1, 1].
Su grá�ca es asintótica horizontalmente con y = 1 por la derecha, con
y = 1 por la izquierda, y verticalmente en x = 0.
x 420-2-4
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = cothx
14 Capítulo 1
Fórmulas fundamentales
Se puede observar que algunas de las derivadas de las funciones hiper-
bólicas coinciden con sus homólogas trigonométricas y otras di�eren en
algún signo. Esto ocurre también con algunas fórmulas fundamentales
de trigonometría.
Así, las fórmulas análogas a
cos2 x+ sen2x = 1, cos2 x sen2x = cos 2x,
vienen incluidas en el siguiente teorema.
Teorema 1.5.1 Para cada x R se veri�ca:
ch2x sh2x = 1, ch2x+ sh2x = ch2x.
Dem.: Sumando y restando miembro a miembro las expresiones de chx
y shx,
chx+ shx =
ex + e x
2
+
ex e x
2
= ex,
chx shx =
ex + e x
2
ex e x
2
= e x.
Multiplicando las fórmulas anteriores miembro a miembro,
(chx+ shx)(chx shx) = ex · e x = e0 = 1.
Y como suma por diferencia es diferencia de cuadrados, queda la primera
fórmula buscada
ch2x sh2x = 1.
Elevando al cuadrado las dos primeras fórmulas obtenidas en la presente
demostración queda,
ch2x+ 2 chx shx+ sh2x = e2x,
ch2x 2 chx shx+ sh2x = e 2x.
Sumando miembro a miembro las expresiones obtenidas y dividiendo por
dos ambos términos queda
ch2x+ sh2x =
e2x + e 2x
2
= ch 2x.
Algunas funciones reales15
Existen fórmulas similares a las trigonométricas cuando éstas actúan
sobre una suma o diferencia de argumentos. Dejamos su demostración
como sencillo ejercicio a realizar.
Teorema 1.5.2 Para cada x, y R se veri�ca:
sh (x± y) = shx ch y ± sh y chx,
ch (x± y) = chx ch y ± sh y shx,
th (x± y) = th x± th y
1± th x th y .
Corolario 1.5.3 Para cada x R se veri�ca:
sh 2x = 2 shx chx, ch 2x = ch2x+ sh2x, th 2x =
2 th x
1 + th2x
.
1.6 Funciones hiperbólicas inversas
Las funciones inversas de las hiperbólicas se de�nen de modo análogo a
las inversas de las trigonométricas.
Se dice que y = argshx si x =sh y.
Se dice que y = argchx si x =ch y.
Se dice que y =argthx si x =th y.
Se dice que y =argsechx si x = sech y.
Se dice que y =argcschx si x = csch y.
Se dice que y = argcothx si x = coth y.
Las grá�cas se obtienen por simetría, respecto de la bisectriz del pri-
mer y tercer cuadrante, de las funciones hiperbólicas directas.
16 Capítulo 1
Argumento seno hiperbólico
x 151050-5-10-15
y
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = argsh x
La función argsh x tiene por dominio y rango R, es impar y estrictamente
creciente.
Argumento coseno hiperbólico
Las funciones chx y sechx no son inyectivas por lo que deberíamos res-
tringir su dominio de modo que lo fuesen. No obstante, representaremos
sus funciones inversas, argchx y argsechx, tomando dos posibles valores
en cada x 6= 1 ya que eventualmente puede ser útil.
x 86420
y
2
1
0
-1
-2
y = argch x
La función argch x tiene por dominio [1,+ [ y rango R.
Para cada x ]1,+ [ existen dos posibles valores de argch x, siendo
creciente la rama superior y decreciente la inferior.
Algunas funciones reales 17
Argumento tangente hiperbólica
x 10.50-0.5-1
y
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = argth x
La función argthx tiene por dominio ] 1, 1[, rango R y es estrictamente
creciente.
Su grá�ca tiene como asíntotas verticales las rectas x = 1 y x = 1.
Argumento cosecante hiperbólica
x 3210-1-2-3
6
4
2
0
-2
-4
-6
y = arg csch x
La función argcschx tiene por dominio y rango R \ {0}, es estrictamente
decreciente en R = ] , 0[ y en R+ = ]0,+ [ pero no en todo su
dominio.
Su grá�ca es asintótica a los ejes coordenados.
18 Capítulo 1
Argumento secante hiperbólica
x 10.80.60.40.20
y
3
2
1
0
-1
-2
-3
y = arg sech x
La función argsechx tiene por dominio ]0, 1] y su rango es R.
Para cada x ]0, 1[ existen dos posibles valores de argsechx, siendo
decreciente la rama superior y creciente la inferior.
Argumento cotangente hiperbólica
x 210-1-2
4
2
0
-2
-4
y = arg coth x
La función argcothx tiene por dominio R \ [ 1, 1] y rango R \ {0}.
Su grá�ca es asintótica verticalmente a x = 1 por la izquierda, a
x = 1 por la derecha, y horizontalmente al eje OX por ambos lados.
Teorema 1.6.1 Las seis funciones hiperbólicas inversas admiten una ex-
presión logarítmica que viene recogida en la tabla siguiente junto con el
Algunas funciones reales 19
dominio de de�nición correspondiente.
Función f(x) Expresión logarítmica Df
argshx ln
¡
x+ x2 + 1
¢
R
argchx ln
¡
x± x2 1
¢
[1,+ [
argthx 1
2
ln 1+x
1 x
] 1, 1[
argcschx ln 1± 1+x2
x
“ + ” en R+
“ ” en R
argsechx ln 1± 1 x
2
x
]0, 1]
arg cothx 1
2
ln x+1
x 1
R \ [ 1, 1]
Dem.: Para deducir la primera fórmula llamamos y = argshx. Entonces
x = sh y =
ey e y
2
.
Multiplicando por 2ey queda
2xey = (ey)2 1 (ey)2 2xey 1 = 0.
La solución de esta ecuación de segundo grado con incógnita ey es
ey = x± x2 + 1.
En esta expresión se prescinde del signo negativo porque ey > 0 para
todo y R. Tomando logaritmos obtenemos
argshx = ln
³
x+ x2 + 1
´
, x R.
Para deducir la segunda fórmula consideramos y = argchx, es decir
x = ch y =
ey + e y
2
.
Entonces
2xey = (ey)2 + 1 (ey)2 2xey + 1 = 0,
ey = x± x2 1.
20 Capítulo 1
Ahora el segundo miembro es positivo para ambos signos para todo x 1,
por lo que no debemos desechar ninguna solución como hicimos antes.
De hecho es lógico que esto ocurra ya que argchx existe para x 1
tomando dos valores diferentes para cada x > 1,
argchx = ln
³
x± x2 1
´
, x 1.
Para la tercera expresión, y = argthx si
x = th y =
ey e y
ey + e y
.
Operando,
xey + xe y = ey e y 1 + x = (ey)2 (1 x) e2y =
1 + x
1 x
.
Para 1 < x < 1, donde argthx existe, la última operación es correcta
pues entonces 1 x 6= 0 y el segundo miembro es positivo. Tomando
logaritmos y despejando y, obtenemos
2y = ln
1 + x
1 x
argthx =
1
2
ln
1 + x
1 x
, 1 < x < 1.
Se deja como ejercicio deducir las tres últimas fórmulas.
Nota 1.6.2 Una vez obtenidas las tres primeras expresiones logarítmicas
el método más rápido de calcular las tres últimas es aplicar que
argcschx = argsh
1
x
, argsechx = argch
1
x
, arg cothx = argth
1
x
.
En efecto, la primera de estas identidades se deduce de
y = argcschx x = csch y =
1
sh y
sh y =
1
x
y = argsh
1
x
.
Las otras se deducen de modo análogo. Así, por ejemplo,
argcschx = argsh
1
x
= ln
Ã
1
x
+
r
1
x2
+ 1
!
= ln
Ã
1
x
+
1 + x2
|x|
!
= ln
1± 1 + x2
x
(
tomar “ + ” x > 0,
tomar “ ” x < 0.
Algunas funciones reales 21
Teorema 1.6.3 Las derivadas y dominio de existencia de las funciones
hiperbólicas inversas son:
Función f(x) f 0 (x) Df 0
argshx 1
x2+1
R
argchx ±1
x2 1
]1,+ [
argthx 1
1 x2
] 1, 1[
argcschx 1
x 1+x2
“ ” en R+
“ + ” en R
argsechx 1
x 1 x2
]0, 1[
arg cothx 1
1 x2
R \ [ 1, 1]
Dem.: Teniendo en cuenta las expresiones logarítmicas de estas funciones,
d
dx
(argshx) =
d
dx
³
ln(x+ x2 + 1)
´
=
1 + x
x2+1
x+ x2 + 1
=
1
x2 + 1
,
d
dx
(argchx) =
d
dx
³
ln
³
x± x2 1
´´
=
1± x
x2 1
x± x2 1
=
x2 1±x
x2 1
x± x2 1
=
±1
x2 1
.
El ±1 se debe a que estamos simultaneando dos cálculos, con los signos
que aparecen superiormente y con los que aparecen inferiormente.
Se propone como ejercicio obtener las restantes derivadas.
Nota 1.6.4 En las tres últimas derivadas existe la alternativa de apro-
vechar las tres primeras teniendo en cuenta las expresiones dadas al prin-
cipio de la Nota 1.6.2.
1.7 Ejercicios resueltos
Ejercicio 1.7.1 Halla la inversa, si existe, de
f(x) =
2x
1 + 2x
.
22 Capítulo 1
Sol.: La función f es inyectiva en todo su dominio, R, ya que x1, x2 R
f(x1) = f(x2)
2x1
1 + 2x1
=
2x2
1 + 2x2
2x1 (1 + 2x2) = 2x2 (1 + 2x1) 2x1 = 2x2 x1 = x2.
Por lo tanto f admite función inversa en R. Para su obtención despeja-
mos x de y = 2
x
1+2x
,
y =
2x
1 + 2x
(1 + 2x) y 2x = 0 2x(y 1) = y
2x =
y
1 y
x = log2
y
1 y
.
Intercambiamos las variables x e y,
y = log2
x
1 x
.
Luego f 1 (x) = log2
x
1 x
.
Ejercicio 1.7.2 Halla la derivada de la función y = x
(1+x)x
.
Sol.: Para derivar funciones del tipo f(x)g(x) se utiliza la derivación
logaritmica consistente en tomar previamente logaritmos en la función a
derivar. En este caso,
ln y = lnx x ln(1 + x).
Derivando respecto a x ambos miembros,
y0
y
=
1
x
ln(1 + x)
x
x+ 1
y0 =
1
(1 + x)x
1
(1 + x)x
μ
x ln(1 + x)
x2
x+ 1
¶
.
Ejercicio 1.7.3 Halla los puntos críticos de
f(x) = ln
μ
cosh
x
x 1
¶
.
En cada uno de ellos indica si la función alcanza un máximo, mínimo o
tiene un punto de in�exión.
Algunas funciones reales 23
Sol.: Los puntos críticos de f(x) son aquellos valores de x para los que
f 0(x) se anula.
f 0(x) =
sinh x
x 1
cosh x
x 1
· 1
(x 1)2
=
1
(x 1)2
tanh
x
x 1
.
Como f 0(x) = 0 únicamente para x = 0, éste es el único punto crítico.
Derivando nuevamente,
f 00(x) =
1
(x 1)4
tanh2
x
x 1
+
2
(x 1)3
tanh
x
x 1
+
1
(x 1)4
.
Sustituyendo en x = 0, f 00(0) = 1 > 0. Por tanto f alcanza en x = 0 un
mínimo.
Ejercicio 1.7.4 Demuestra que
d
dx
[loga x] =
loga e
x
, x > 0, a > 1.
Sol.: Dados a, b, x > 0 y a, b 6= 1
loga x =
logb x
logb a
.
Tomando b = e,
loga x =
loge x
loge a
=
lnx
loge a
loge a =
loga a
loga e
=
1
loga e
loga x = loga e · lnx
Derivando,
d
dx
[loga x] =
loga e
x
.
Ejercicio 1.7.5 Teniendo en cuenta que d
dx
[loga f(x)] =
f 0(x)
f(x)
loga e, ob-
tén la derivada de
y = log10 cosh( x
3 1).
Sol.:
y0(x) =
d
dx
cosh
¡
x3 1
¢
cosh
¡
x3 1¢ log10 e = sinh
¡
x3 1
¢
· 3x2
2 x3 1
cosh
¡
x3 1
¢ log10 e
=
3x2
2 x3 1
· 1
ln 10
tanh
³
x3 1
´
.
24 Capítulo 1
1.8 Ejercicios propuestos
1. La carga Q de un condensador sigue la ecuación
Q = K
¡
1 e 50t
¢
, K cte.,
donde t es la variable tiempo. ¿Qué signi�cado físico tiene la cons-
tante K?¿Tras cuánto tiempo se tendrá que Q
K
= 1
2
?
2. La presión atmosférica a h metros de altura viene dada por
p(h) = p(0)e 15·10
5h,
donde p(0) es la presión a nivel del mar, 105 pascals. Calcula la
presión a 3000 m, de altitud y averigua a qué altitud la presión
atmosférica es 1/3 de la que hay a nivel del mar.
3. Se dice que un capital C(0) devenga un interés compuesto al r
por uno anual, con intereses devengados mensualmente si, tras m
meses, el capital obtenido es
C(m) = C(0)
³
1 +
r
12
´m
, m N.
Y que devenga un interés continuo al r por uno anual si, tras t
años, el capital obtenido es
C(t) = C(0)ert, t R+.
Averigua el tiempo que hemos de mantener un capital invertido a
un interés continuo del 8% anual para obtener al �nal un capital que
triplique la inversión original. ¿Y si el interés citado es compuesto
y se devenga mensualmente?
4. Explica si las funciones siguientes admiten función inversa en los
intervalos indicados.
f(x) = |x| , x [ 1, 1] ; g(x) = 2 + x, x [0,+ [ .
En caso a�rmativo, encuéntrala. En caso negativo, estudia si exis-
ten otros dominios donde sí tengan función inversa.
Algunas funciones reales 25
5. Encuentra la función inversa de
y =
x
x2 + 1
.
6. Demuestra que
log10 e · ln 10 = 1.
7. Demuestra que dados a, x > 0, a 6= 1,
loga x+ log 1
a
x = 0.
8. Dado a > 0, a 6= 1, demuestra, a partir de la de�nición de ax, que
d
dx
¡
af(x)
¢
= af(x)f 0(x) ln a.
9. Demuestra que el producto de dos funciones pares o impares es par
y que el producto o cociente de una función par por una impar es
impar.
10. Demuestra que
arcsenx = arccos 1 x2
arctan x = arcsen
x
1 + x2
arcsenx± arcsen y = arcsen
³
x
p
1 y2 ± y 1 x2
´
arccosx± arccos y = arccos
³
xy
p
(1 x2) (1 y2)
´
arctan x± arctan y = arctan x± y
1 xy
11. Comprueba las fórmulas de derivación,
d
dx
(thx) = sech2x = 1 th2x, d
dx
(cschx) = chx csch2x,
d
dx
(cothx) = csch2x = 1 coth2x, d
dx
(sechx) = shx sech2x.
12. Demuestra las siguientes fórmulas de las funciones hiperbólicas,
shx+ sh y = 2 sh x+y
2
ch x y
2
, argsechx = argch 1
x
,
chx+ ch y = 2ch x+y
2
ch x y
2
, argcothx = argth 1
x
.
26 Capítulo 1
13. Demuestra que son opuestos entre sí los dos valores dados por la
expresión logarítmica
argchx = ln
³
x± x2 1
´
, x 1.
14. Supongamos que un bote se encuentra a 20 m de distancia del
muelle de un puerto, unido a éste por una cuerda de 20 m de
longitud. Comenzamos a caminar a lo largo del muelle arrastrando
el bote por medio de la cuerda, ¿cuánto deberemos andar para
conseguir que el bote se encuentre a 5 m del muelle?
Se recuerda que si identi�camos el muelle con el eje OY , la cuerda
es de longitud l y sus extremos se encuentran en el origen de co-
ordenadas y (l, 0) en el instante inicial, la curva descrita por este
segundo extremo, al desplazar el primero por eje OY , se denomina
tractriz y tiene por ecuación
y = l argsech
x
l
l2 x2.
15. Halla las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas utilizando
el método general de derivación de funciones inversas.
Capítulo 2
El Número complejo
2.1 Operaciones y representación
Un número complejo (en forma cartesiana) es un par ordenado de
números reales z = (x, y). Al valor de la primera coordenada se le llama
parte real, y a la segunda parte imaginaria de z. Se representa por
x = Re(z), y = Im(z).
El conjunto de todos los números complejos se designa por C y dos núme-
ros z1, z2 C son iguales si Re(z1) = Re(z2), Im(z1) = Im(z2).
Así comoR se representa sobre una rec-
ta, C se representa en un plano car-
tesiano, denominado plano complejo,
donde el punto de coordenadas (x, y),
representación de z = (x, y) C, se
denomina a�jo de z. Al eje de abscisas
se le llama eje real, y al de ordenadas
eje imaginario. -
6
X
Y
O
¡
¡
¡
¡
¡
¡¡μ
z = (x, y)
A veces se representa a z = (x, y) mediante el vector que une al origen
O(0, 0) con su a�jo. Cuando se hace esto, se dice que los complejos vienen
representados mediante un diagrama de Argand.
De�niremos las operaciones suma “+” y producto “·” en C que le
dotarán de estructura de cuerpo. Por el Teorema 3.1.1, las ecuaciones
algebraicas siempre tienen solución en él.
27
28 Capítulo 2
Suma de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C viene de�nida por
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).
Esta operación dota a (C,+) de estructura de grupo abeliano pues
cumple las propiedades siguientes (todas son consecuencia de las propie-
dades análogas de (R,+) y solo indicamos la prueba de la primera):
- Conmutativa, z1 + z2 = z2 + z1 z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C.
En efecto, z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) =
= (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1.
- Asociativa, (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C.
- Elemento neutro, que es el número complejo 0 = (0, 0).
- Elemento opuesto de z = (x, y) C es z = ( x, y).
El elemento opuesto aditivo permite de�nir la sustracción, o diferen-
cia, de dos complejos z1 y z2 como z1 z2 = z1 + ( z2).
Ejemplo 2.1.1 Calcular la suma y diferencia de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Aplicando las de�niciones dadas, tenemos:
z1 + z2 = (3, 5) + (4, 3) = (3 + 4, 5 + 3) = (7, 8),
z1 z2 = (3, 5) + ( 4, 3) = (3 4, 5 3) = ( 1, 2).
Producto de z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C viene de�nido por
z1 · z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1).
El simbolo “·” del producto suele omitirse. Solo probamos la cuarta
de las siguientes propiedades, dejando como ejercicio las otras:
- Conmutativa, z1z2 = z2z1 z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) C.
- Asociativa, z1(z2z3) = (z1z2)z3 z1, z2, z3 C.
- Elemento neutro, que es el número complejo 1 = (1, 0).
- Elemento inverso para todo complejo z = (x, y) 6= 0. Para comprobar
que existe z 1 = (u, v) C tal que z 1z = zz 1 = 1, planteamos
(u, v)(x, y) = (1, 0)
ux vy = 1
uy + vx = 0
)
.
El número complejo 29
Como
¯̄̄̄
¯ x yy x
¯̄̄̄
¯ = x2 + y2 6= 0, existe una única solución
u =
¯̄̄̄
¯̄̄̄ 1 y
0 x
¯̄̄̄
¯̄̄̄
x2+y2
= x
x2+y2
, v =
¯̄̄̄
¯̄̄̄ x 1
y 0
¯̄̄̄
¯̄̄̄
x2+y2
= y
x2+y2
z 1 =
³
x
x2+y2
, y
x2+y2
´
ya que (C, ·) conmutativo.
El elemento inverso permite de�nir la división, o cociente, de dos
complejos z1 y z2, z2 6= 0, como
z1
z2
= z1z
1
2 .
Ejemplo 2.1.2 Calcular z1z2 y z1z2 con z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Aplicando las de�niciones dadas,
z1z2 = (3, 5) · (4, 3) = (12 15, 9 + 20) = ( 3, 29).
Hallando z 12 =
¡
4
42+32
, 3
42+32
¢
=
¡
4
25
, 3
25
¢
, obtenemos
z1
z2
= z1z
1
2 = (3, 5) ·
¡
4
25
, 3
25
¢
=
¡
12+15
25
, 9+20
25
¢
=
¡
27
25
, 11
25
¢
.
Es sencillo comprobar que la operación producto es distributiva res-
pecto a la adición por ambos lados, esto es, para cada z1, z2, z3 C,
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3.
Por tanto (C,+, ·) es un cuerpo conmutativo, con un subcuerpo iso-
morfo al cuerpo de los números reales. Esto se debe a que la aplicación
f : (R,+, ·) (C,+, ·)
x f(x) = (x, 0)
)
es un monomor�smo ya que :
a) f(x+ y) = (x+ y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y).
b) f(xy) = (xy, 0) = (x, 0) · (y, 0) = f(x) · f(y).
c) f(x) = f(y) (x, 0) = (y, 0) x = y.
Como (f(R),+, ·) es un subcuerpo de (C,+, ·) isomorfo a (R,+, ·),
identi�camos cada x R con el elemento (x, 0) de C quedando justi�cado
la denominación de eje real a {(x, 0), x R}.
30 Capítulo 2
De�nición 2.1.3 Un complejo (x, y) se dice imaginario si y 6= 0. Si
además x = 0, entonces se dice que es imaginario puro. A (0, 1) se le
denomina unidad imaginaria y se representa1 por i.
Como (b, 0) · (0, 1) = (0, b), podemos representar un número imagina-
rio (0, b) por bi. Esto permite atribuir un signi�cado algebraico a
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ y i,
como suma de un número real y un imaginario puro. Cuando represente-
mos z de este modo decimosque z viene expresado en forma binómica.
La forma binómica permite operar en (C,+, ·) con las reglas usuales
del álgebra de polinomios teniendo en cuenta que (0, 1) · (0, 1) = ( 1, 0),
es decir
i · i = i2 = 1.
Ejemplo 2.1.4 Calcular la suma y producto de z1 = (3, 5), z2 = (4, 3).
Sol.: Escribiendo ambos números complejos en forma binómica,
z1 + z2 = (3 + 5i) + (4 + 3i) = 7 + 8i = (7, 8),
z1 · z2 = (3 + 5i)(4 + 3i) = 12 + 9i+ 20i+ 15i2 = ( 3, 29).
Recordamos que una ecuación algebraica de grado n es una expresión
de la forma
anx
n + an 1x
n 1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, 0 i n.
Los ai son los coe�cientes de la ecuación y es sencillo encontrar ejemplos
de ecuaciones algebraicas con coe�cientes reales que no tienen solución
real, por ejemplo
x2 + 1 = 0.
Sin embargo como i2 = 1, la ecuación anterior sí tiene solución en
C ya que tanto i como i la satisfacen. Más adelante (Teorema 3.1.1)
veremos que toda ecuación algebraica de grado n > 1 con coe�cientes
reales o complejos tiene solución en C.
1De imaginaria. También se emplea la letra j, especialmente en Electrónica donde
se suele representar por i la intensidad.
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