PRODUCTOS NOTABLES2

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*a	
  se	
  come	
  a	
  m	
  y	
  b	
  se	
  come	
  a	
  n+p.	
  
	
  
PRODUCTOS	
  NOTABLES	
  
Se	
  llaman	
  productos	
  notables	
  a	
  ciertos	
  productos	
  que	
  cumplen	
  reglas	
  fijas	
  y	
  cuyo	
  resultado	
  puede	
  
ser	
  escrito	
  por	
  simple	
  inspección,	
  es	
  decir,	
  sin	
  verificar	
  la	
  multiplicación.	
  
Binomio	
  al	
  cuadrado	
  
Elevar	
  al	
  cuadrado	
  𝒂 + 𝒃	
  equivale	
  a	
  multiplicar	
  este	
  binomio	
  por	
  sí	
  mismo	
  y	
  	
  tendremos:	
  
(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐	
  
Esta	
  operación	
  se	
  puede	
  describir	
  como:	
  “El	
  cuadrado	
  de	
  la	
  suma	
  de	
  dos	
  términos	
  (binomio),	
  es	
  
igual	
  a	
  el	
  cuadrado	
  del	
  primer	
  término	
  más	
  el	
  doble	
  producto	
  del	
  primero	
  por	
  el	
  segundo	
  más	
  el	
  
cuadrado	
  del	
  segundo	
  término”.	
  
Elevar	
  𝒂 − 𝒃	
  al	
  cuadrado	
  equivale	
  a	
  multiplicar	
  esta	
  diferencia	
  por	
  sí	
  misma,	
  es	
  decir:	
  
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂 − 𝒃 𝒂 − 𝒃 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐	
  
Esta	
  operación	
  se	
  puede	
  describir	
  como:	
  “El	
  cuadrado	
  de	
  la	
  diferencia	
  de	
  dos	
  términos	
  (binomio),	
  
es	
   igual	
  a	
  el	
  cuadrado	
  del	
  primer	
  término	
  menos	
  el	
  doble	
  producto	
  del	
  primero	
  por	
  el	
  segundo	
  
más	
  el	
  cuadrado	
  del	
  segundo	
  término”.	
  
Caso	
  Especial	
  
(𝒎 + 𝒏 + 𝒑)𝟐	
  
Sabemos	
  que:	
   (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐	
  
Aplicando	
  la	
  técnica	
  de	
  la	
  pancita*	
  (cambio	
  de	
  variable),	
  podemos	
  decir	
  que	
  𝑎 = 𝑚  𝑦    𝑏 = 𝑛 + 𝑝.	
  	
  
Sustituyendo	
  en	
  la	
  solución	
  de	
  binomio	
  al	
  cuadrado	
  tendremos	
  que	
  	
  𝑚! + 2𝑚 𝑛 + 𝑝 + (𝑛 + 𝑝)!.	
  
Haciendo	
  operaciones,	
  tenemos	
  que	
  (𝒎 + 𝒏 + 𝒑)𝟐 = 𝒎𝟐 + 𝟐𝒎𝒏 + 𝟐𝒎𝒑 + 𝒏𝟐 + 𝟐𝒏𝒑 + 𝒑𝟐  	
  
Ejemplos:	
  
1. (x	
  +	
  4)2	
  =	
  x2+	
  8x	
  +	
  16	
  
2. (x	
  –	
  5)2	
  =	
  x2	
  –	
  10x	
  +	
  25	
  
3. (4a	
  +	
  5b2)	
  2	
  =	
  16a2	
  +	
  40ab2	
  +	
  25b4	
  
4. (4a2	
  –	
  3b3)2	
  =	
  16a4	
  –	
  24a2b3	
  +	
  9b6	
  
5. (3a2	
  +	
  5x3)2	
  	
  =	
  9a4	
  +	
  30a2x3	
  +	
  25x6	
  
6. (7ax4	
  +	
  9y5)	
  (7ax4	
  +	
  9y5)	
  =	
  (7ax4	
  +	
  9y5)2	
  =	
  49a2x8	
  +	
  126ax4y5	
  +	
  81y10	
  
Binomio	
  al	
  Cubo	
  	
  
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝒂 + 𝒃 (𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐) = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑	
  
	
  
*a	
  se	
  come	
  a	
  m	
  y	
  b	
  se	
  come	
  a	
  n+p.	
  
	
  
Esta	
  operación	
  se	
  describe	
  como:	
  “El	
  cubo	
  de	
  la	
  suma	
  de	
  dos	
  términos	
  (binomio)	
  es	
  igual	
  al	
  cubo	
  
del	
  primer	
  término,	
  más	
  el	
  triple	
  producto	
  del	
  cuadrado	
  del	
  primer	
  término	
  por	
  el	
  segundo,	
  más	
  
el	
   triple	
   producto	
   del	
   primer	
   término	
   por	
   el	
   cuadrado	
   del	
   segundo,	
  más	
   el	
   cubo	
   del	
   segundo	
  
término”.	
  
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑	
  
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂 − 𝒃 𝒂 − 𝒃 𝟐 = 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑	
  
Esta	
  operación	
  se	
  puede	
  describir	
  como:	
  “El	
  cubo	
  de	
   la	
  diferencia	
  de	
  dos	
  términos	
  (binomio)	
  es	
  
igual	
  al	
  cubo	
  del	
  primero,	
  menos	
  el	
  triple	
  producto	
  del	
  cuadrado	
  del	
  primero	
  por	
  el	
  segundo,	
  más	
  
el	
  triple	
  producto	
  del	
  primero	
  por	
  el	
  cuadrado	
  del	
  segundo,	
  menos	
  el	
  cubo	
  del	
  segundo	
  término”.	
  
Caso	
  Especial	
  
(𝒎 + 𝒏 + 𝒑)𝟑	
  
Sabemos	
  que:	
   (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑	
  
Aplicando	
  la	
  técnica	
  de	
   la	
  pancita	
   (cambio	
  de	
  variable),	
  podemos	
  decir	
  que	
  𝑎 = 𝑚  𝑦    𝑏 = 𝑛 + 𝑝.	
  	
  
Sustituyendo	
  en	
  la	
  solución	
  de	
  binomio	
  al	
  cubo	
  los	
  valores,	
  tendremos	
  que:	
  
𝒎𝟑 + 𝟑𝒎𝟐 𝒏 + 𝒑 + 𝟑𝒎(𝒏 + 𝒑)𝟐 + (𝒏 + 𝒑)𝟑	
  
Haciendo	
  las	
  operaciones	
  correspondientes	
  tenemos	
  que:	
  
(𝒎 + 𝒏 + 𝒑)𝟑 = 𝒎𝟑 + 𝟑𝒎𝟐𝒏 + 𝟑𝒎𝟐𝒑 + 𝟑𝒎𝒏𝟐 + 𝟔𝒎𝒏𝒑 + 𝟑𝒎𝒑𝟐 +  𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐𝒑 + 𝟑𝒏𝒑𝟐 + 𝒑𝟑	
  
Ejemplos:	
  
1. (a	
  +	
  1)3	
  =	
  a3	
  +	
  3a2	
  (l)	
  +	
  3a(12)+	
  13	
  =	
  a3	
  +	
  3a2	
  +	
  3a	
  +	
  1	
  
2. (x	
  –	
  2)3	
  =	
  x3	
  –	
  3x2(2)	
  +	
  3x(22)	
  –	
  23	
  =	
  x3	
  –	
  6x2	
  +	
  12x	
  –	
  8	
  
3. (4x	
  +	
  5)3	
  =	
  (4x)3	
  +	
  3(4x)2(5)	
  +	
  3(4x)(52)	
  +53	
  =	
  64x3	
  +	
  240x2	
  +	
  300x	
  +	
  125	
  
4. x2	
  –	
  3y)3	
  =	
  (x2)3	
  –	
  3(x2)2(3y)	
  +	
  3x2(3y)2	
  –	
  (3y)3	
  =	
  x6	
  –	
  9x4y	
  +	
  27x2y2	
  –	
  27y3	
  
Binomios	
  con	
  término	
  común	
  	
  
𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒙𝟐 + 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂 (𝒃)	
  
Para	
   dar	
   solución	
   a	
   este	
   producto	
   se	
   sigue	
   la	
   siguiente	
   regla:	
   “El	
   producto	
   de	
   binomios	
   con	
  
término	
  común	
  es	
  igual,	
  al	
  cuadrado	
  del	
  término	
  común	
  más	
  la	
  suma	
  algebraica	
  de	
  los	
  términos	
  
no	
  comunes	
  por	
  el	
  común,	
  más	
  el	
  producto	
  de	
  los	
  términos	
  no	
  comunes”.	
  	
  
Ejemplos:	
  
1. (x+2)(x+3)	
  =	
  x(x+3)	
  +	
  2(x+3)	
  =	
  x2	
  +	
  3x	
  +	
  2x	
  +	
  6	
  	
  =	
  	
  x2	
  +	
  5x	
  +	
  6	
  
2. (x	
  –	
  3)(x	
  –	
  4)	
  =	
  x(x	
  –	
  4)	
  	
  +	
  (–	
  3)(x	
  –	
  4)	
  =	
  	
  x2	
  –	
  4x	
  –	
  3x	
  +	
  12	
  	
  =	
  	
  x2	
  –	
  7x	
  +	
  12	
  
*a	
  se	
  come	
  a	
  m	
  y	
  b	
  se	
  come	
  a	
  n+p.	
  
	
  
3. (x	
  –	
  2)(x	
  +	
  5)	
  =	
  x(x	
  +	
  5)	
  	
  +	
  (–	
  2)(x	
  +	
  5)	
  =	
  	
  x2	
  +	
  5x	
  –	
  2x	
  –	
  10	
  	
  =	
  	
  x2	
  +	
  3x	
  –	
  10	
  
4. (x	
  +	
  6)(x	
  –	
  4)	
  =	
  x(x	
  –	
  4)	
  	
  +	
  6(x	
  –	
  4)	
  =	
  	
  x2	
  –	
  4x	
  +	
  6x	
  –	
  24	
  	
  =	
  	
  x2	
  +	
  2x	
  –	
  24	
  
Binomios	
  Conjugados	
  
Es	
  el	
  producto	
  de	
  dos	
  binomios	
  formados	
  por	
  los	
  mismos	
  términos	
  y	
  sólo	
  uno	
  de	
  ellos	
  difiere	
  en	
  el	
  
signo.	
  
(a	
  +	
  b)	
  (a	
  –	
  b)	
  =	
  a2	
  –	
  b2	
  
Esta	
   operación	
   se	
   puede	
   describir	
   como:	
   “El	
   producto	
   de	
   binomios	
   conjugados	
   es	
   igual	
   a	
   la	
  
diferencia	
   de	
   los	
   cuadrados	
   del	
   término	
   con	
  mismo	
   signo	
  menos	
   el	
   cuadrado	
   del	
   término	
   con	
  
signo	
  diferente”.	
  
Ejemplos:	
  
1. (a	
  +	
  x)(a	
  –	
  x)	
  =	
  a2–	
  x2	
  
2. (2a	
  +	
  3b)(2a	
  –	
  3b)	
  =	
  (2a)2	
  –	
  (3b)2	
  =	
  4a2	
  –	
  9b2	
  
3. (5an+1	
  +	
  3am)(3am	
  –	
  5an+1)	
  =	
  (3am)2	
  –	
  (5an+1)2	
  =	
  9a2m	
  –	
  25a2(n+1)