Sea X el tiempo hasta la falla (en años) de cierto componente hidráulico. Suponga que la función de densidad de probabilidad de X es f(x) 32 (x4)3 con x 0...

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2. Sea X el tiempo hasta la falla (en años) de cierto componente hidráulico. Suponga que la función
de densidad de probabilidad de X es f(x) = 32(x+4)3 con x > 0.
a) Verifique que f(x) es una función de densidad de probabilidad legítima.
b) Determine la función de distribución acumulativa.
c) Use el resultado del inciso b) para calcular la probabilidad de que el tiempo hasta la falla
esté entre dos y cinco años.
d) ¿Cuál el tiempo esperado hasta la falla?
solucion:
a) Verificación de que f(x) es una función de distribución de probabilidad Nuestra función es
f(x) =
{
32
(x+4)3 , x > 0
0, else
Para que f(x) sea una función de densidad de probabilidad debe cumplir que el área total
bajo la curva sea igual a 1, entonces∫ ∞
−∞
f(x)dx =
∫ 0
−∞
0dx+
∫ ∞
0
32
(x+ 4)3
dx
= 0 +
[
32
(4 + x)−2
−2
]∞
0
= −
[
16
(4 + x)2
]∞
0
= −(0− 1)
= 1
Por lo tanto, f(x) es una función de densidad de probabilidad.
b) Ahora, determinaremos la función de distribución acumulativa,
F (x) = P (X < x) =
∫ x
−∞
f(t)dt
Para x ≤ 0 tenemos que
F (x) = P (X < x) =
∫ x
−∞
0dt = 0
y para x > 0
F (x) = P (X < x) =
∫ 0
−∞
f(t)dt+
∫ x
0
f(t)dt = 0 +
∫ x
0
32
(4 + t)3
dt
=
[
− 32
2(4 + t)2
]x
0
=
[
− 16
(4 + t)2
]x
0
=
[
− 32
2(4 + t)2
]x
0
= − 16
(4 + x)2
+ 1
= 1− 16
(4 + x)2
Por lo tanto, la función de distribución acumulativa es
F (x) =
{
0, x ≤ 0
1− 16(4+x)2 , x > 0
c) Probabilidad de que el tiempo hasta la falla esté entre dos y cinco años.
P (2 < X < 5) = P (X < 5)− P (X < 2) =
[
1− 16
(4 + 5)2
]
−
[
16
(4 + 2)2
]
= 0.247
d) El tiempo esperado hasta la falla es
EX =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
∫ ∞
−∞
xf(x)dx =
∫ 0
−∞
0 · xdx+
∫ ∞
0
32x
(x+ 4)3
dx, Integramos por partes u = x, dv =
1
(x+ 4)3
= 0 +
[
−32 x
2(x+ 4)2
]∞
0
+ 32
∫ ∞
0
1
2(x+ 4)2
dx
= 32
[
1
2
−1
(x+ 4)
]∞
0
= −16
[
1
x+ 4
]∞
0
= −16
(
0− 1
4
)
= 4