Probabilidad_tarea_10-7-8

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20. Considere la función de densidad de probabilidad del tiempo de espera total Y de dos camiones
f(x) =

1
25y 0 ≤ y < 5
2
5 −
1
25y 5 ≤ y ≤ 10
0 de lo contrario
introducida en el ejercicio 8.
a) Calcule y trace la función de distribución acumulativa de Y. [Sugerencia: Considere por
separado 0 ≤ y < 5 y 5 ≤ y ≤ 10 al calcular F (y). Una gráfica de la función de densidad de
probabilidad debe ser útil.]
b) Obtenga una expresión para el (100p)o percentil. [Sugerencia: Considere por separado 0 <
p < 0.5 y 0.5 < p < 1.]
c) Calcule E(Y ) y V (Y ). ¿Cómo se comparan estos valores con el tiempo de espera probable y
la varianza de un solo camión cuando el tiempo está uniformemente distribuido en [0, 5]?
Solución
a) ∫ 5
0
1
25
ydy +
∫ 10
5
2
5
− 1
25
ydy = 1
b)
c) Empezaremos sacando sus valores en ambos tiempos, por lo que sumaremos E(Y ) del inter-
valo de 0 a 5 y le sumaremos el de la función del intervalo de 5 a 10.
E(Y1) =
∫ 5
0
y
1
25
ydy
E(Y1) =
5
3
E(Y2) =
∫ 10
5
y(
2
5
− 1
25
y)dy
E(Y2) =
10
3
E(Y ) = 5
Ahora obtendremos V (Y )
V (Y ) = E(Y 2)− E(Y )2
E(Y 2) = E((Y1)
2) + E((Y2)
2)
E((Y1)
2) =
∫ 5
0
y2
1
25
ydy = 6.25
E((Y2)
2) =
∫ 10
5
y2(
2
5
− 1
25
y)dy = 22.9
E(Y 2) = 6.25 + 22.9 = 29.15
V (Y ) = 29.15− 25 = 4.15
Para compararla ocuparemos la función del intervalo de 0 a 5 y sacaremos su varianza y la
compararemos con E(Y ) y con V (Y )
E(Y1) =
5
3
E((Y1)
2) = 6.25
V (Y1) = E((Y1)
2)− E(Y1)2
V (Y1) = 6.25− 2.7
V (Y1) = 3.55
Como vemos la varianza en el intervalo de de 0 a 5 horas es menor que en el intervalo
completo.