Cap6 - Estado de esfuerzos

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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Caṕıtulo 6: Estado de esfuerzos
Resistencia de Materiales 1
MSc. Daniel Lavayen Farfán
Pontificia Universidad Católica del Perú
Departamento de Ingenieŕıa
Sección de Ingenieŕıa Mecánica
Área de Diseño
2018
PUCP - ING225 - Caṕıtulo 6: Estado de esfuerzos MSc. Daniel Lavayen Farfán
Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Fuerzas internas
Al cortar un cuerpo con un plano aparecen: una fuerza interna FR y un
momento MRo
Dichas fuerzas se
descomponen en:
Fuerza normal
Fuerza cortante
Momento flector
Momentor torsor
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Esfuerzos
Dichas fuerzas ocasionan los siguientes efectos:
Fuerza normal → normal a la sup. → esfuerzo normal σn
Fuerza cortante → parelela a la sup. → esfuerzo cortante τv
Momento flector → paralelo a la sup. → esfuerzo normal σf
Momento torsor → normal a la sup. → esfuerzo cortante τt
Se debe recordar que los esfuerzos se dan en cada uno de los puntos del
cuerpo. Y originan distribuciones en la superficie que se está analizando.
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Esfuerzos estudiados
Esfuerzo normal por momento flector (vigas Bernoulli):
σf = −
Mz(x) · y
Iz
+
My (x) · z
Iy
Esfuerzo normal por carga axial (barras largas):
σn =
Fn
A
Esfuerzo cortante por fuerza cortate (vigas):
τv =
V (x) · Q(y)
Iz · t(y)
Esfuerzo cortante por momento torsor (sección circular):
τt =
Mt(x) · r
J0
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Cargas combinadas
Cuando tengamos un estado complejo de cargas externas, donde cada uno
de los tipos de cargas internas esten presentes, se tendrán varios máximos,
por lo que se debe se debe analizar toda la sección.
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Cargas combinadas
¿Dónde se dan casos de cargas combinadas?
¡En todos lados! Es muy dificil encontrar casos de flexión pura,
tracción/compresión pura, corte puro, torsión pura. Generalmente vienen
agrupados. Por eso se debe analizar cada punto!
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Ejercicio
Determinar el estado de esfuerzos en el punto A y mostrarlo en un
elemento diferencial
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Ejercicio
El engranaje cónico está sometido a las cargas mostradas. Determinar el
estado de esfuerzos en los puntos A y B y mostrarlos en elementos
diferenciales.
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Procedimiento de análisis
1 Encontrar ecuaciones de estática y compatibilidad (si es necesario).
2 Determinar las cargas internas del cuerpo
Fuerzas deben pasar por centroide de sección.
Momentos con respecto a ejes centroidales principales.
3 Determinar los esfuerzos para cada carga interna.
Emplear diagramas para ver las distribuciones de esfuerzos en la
sección.
4 Superponer efectos
Dibujar un elemento diferencial con los esfuerzos presentes, con su
magnitud y dirección en el punto de interés.
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Analisis de un cuerpo
Realicemos un corte a un cuerpo
cualquiera con diversas cargas y
definamos el vector de esfuerzos
Vector de esfuerzos
~S = lim
∆A→0
∆~F
∆A
El tensor de esfuerzos se puede armar
con varios vectores de esfuerzos.
Demostración en pizarra.
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Tensor de esfuerzos
Tensor de esfuerzos
[σij ] =
 σxx σxy σxzσyx σyy σyz
σzx σzy σzz

El tensor muestra el estado
de esfuerzos general en
función de esfuerzos normales
(σxx , σyy , σzz) y esfuerzos
cortantes (σxy , σxz , σyz).
Axioma de Bolzmann:
Simetŕıa del tensor de
esfuerzos!
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Estados de esfuerzos
Debido a que no siempre todos los componentes del tensor de esfuerzos
estan presentes podemos ”clasificar” los estados de esfuerzos:
Estado plano de esfuerzos
Estado uniaxial de esfuerzos
Estado de corte puro
Estado plano general de esfuerzos
Estado triaxial de esfuerzos
Estado hidrostático de esfuerzos
Estado general de esfuerzos
El estado de esfuerzos que tengan los diversos puntos del material
dependerá de las cargas externas e internas.
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Ejemplo
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Elemento diferencial del estado plano
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Estado plano de esfuerzos
Será conveniente establecer una convención de signos antes de realizar los
análisis matriciales de esfuerzos:
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Estado plano de esfuerzos
¿Cómo sabemos si los planos de corte que escogimos nos dan los valores
máximos de esfuerzos normales y cortantes?
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Estado plano de esfuerzos
Se debe determinar la intensidad de los esfuerzos de un elemento
diferencial rotado como el que se muestra.
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Estado plano de esfuerzos
Si realizamos un ”corte” al elemento diferencial. Analizaremos los
esfuerzos ”internos”, es decir, orientados con los ejes principales.
Deducción en pizarra
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Estado rotado de esfuerzos
Ordenando las expresiones se obtiene:
Esfuerzos en un sistema rotado
σx ′ =
σx + σy
2
+
σx − σy
2
cos 2θ + τxy sin 2θ
τx ′y ′ = −
σx − σy
2
sin 2θ + τxy cos 2θ
Si rotamos θ + 90, obtendremos σy ′
σy ′ =
σx + σy
2
− σx − σy
2
cos 2θ − τxy sin 2θ
Consecuencia:
σx + σy = σx ′ + σy ′
Estas expresiones son familiares, ¿no?
Son las ecuaciones del circulo de Mohr!
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Circulo de Mohr
Eq. Circulo de Mohr(
σx ′ −
σx + σy
2
)2
+ σ2x ′y ′ =
(
σx − σy
2
)2
+ σ2xy
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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Circulo de Mohr
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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Ejemplo
El estado de esfuerzos
mostrado se da en un punto
de un cuerpo. Determine el
estado de esfuerzos en el
mismo punto para un
elemento rotado θ = −30o
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Introducción Vector ytensor Estado plano Esfuerzos principales
Estado general de esfuerzos
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Estado general de esfuerzos
El procedimiento será similar al estado plano. En este caso se cortará con
un plano 3d identificado por los cosenos directores
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Estado general de esfuerzos
Del equilibrio se obtiene:
σn = σxλ
2
x + σyλ
2
y + σzλ
2
z + 2τxyλxλy + 2τyzλyλz + 2τzxλzλx
La ecuación anterior garantiza la existencia de una orientación de ejes en
la cual:
σn = σaλ
2
a + σbλ
2
b + σcλ
2
c
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Estado principal de esfuerzos
Ahora podemos obtener el valor de los esfuerzos normales y cortantes
para cualquier ángulo de rotación del elemento diferencial.
Nos interesa conocer el valor máximo que pueden tomar los valores
de esfuerzo normal y esfuerzo cortante.
Definiremos dos estados que son rotaciones de cualquier elemento
diferencial:
Estado principal de esfuerzos: Solo existen esfuerzos normales y son los
máximos y ḿınimos posibles, el esfuerzo cortante es cero.
Estado de corte máximo: El esfuerzo cortante adquiere su mayor
máximo posible, el valor de los esfuerzos normales no es el máximo.
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Esfuerzos principales
Valor de los esfuerzos
Se dan cuando NO existen esfuerzos cortantes, la misma orientación dará
el esfuerzo máximo σ1 y σ2:
Esfuerzos principales
σ1,2 =
σx + σy
2
±
√(
σx − σy
2
)2
+ σ2xy
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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Esfuerzos principales
Orientación de los ejes principales
Se dan cuando NO existen esfuerzos cortantes, la misma orientación dará
el esfuerzo máximo σ1 y σ2:
Orientación de ejes principales
tan(2ϕx) =
2σxy
σx − σy
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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Esfuerzo cortante máximo
Valor del cortante máximo
Valor más alto del esfuerzo cortante, es importante conocerlo ya que los
esfuerzos cortantes son los más peligrosos.
Esfuerzo cortante máximo
τmax = R =
√(
σx − σy
2
)2
+ σ2xy =
σ1 − σ2
2
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Introducción Vector y tensor Estado plano Esfuerzos principales
Esfuerzos cortante máximo
Valor del cortante máximo
Valor más alto del esfuerzo cortante, es importante conocerlo ya que los
esfuerzos cortantes son los más peligrosos.
Orientación del cortante máximo
tan(2ϕ1HS) = −
σx − σy
2σxy
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Alternativa: Tensor de esfuerzos
Tensor de esfuerzos
[σij ] =
 σxx σxy σxzσyx σyy σyz
σzx σzy σzz

El tensor muestra el estado
de esfuerzos general en
función de esfuerzos normales
(σxx , σyy , σzz) y esfuerzos
cortantes (σxy , σxz , σyz).
Axioma de Bolzmann:
Simetŕıa del tensor de
esfuerzos!
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Alternativa: Tensor de esfuerzos
Se puede plantear el problema de valores y vectores propios del tensor de
esfuerzos a traves de la ecuación caracteŕıstica:
Ecuación caracteŕıstica
(σij − λδij)nj = 0
Donde:
σij : es el tensor de esfuerzos.
λ: es una constante de proporcionalidad, f́ısicamente representa a los
esfuerzos principales.
δij : corresponde al operador Kronecker-Delta, en este caso la matriz
identidad.
nj : direcciones principales en forma de vectores con los cosenos
directores.
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	Vector y tensor
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