El artículo Determination of the MTF of Positive Photoresists Using the Monte Carlo Method (Photographic Sci. and Engr., 1983 254-260) propone la distribución exponencial con parámetro 0.93 como model

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4. El artículo “Determination of the MTF of Positive Photoresists Using the Monte Carlo Method”
(Photographic Sci. and Engr., 1983: 254-260) propone la distribución exponencial con parámetro
λ = 0.93 como modelo de la distribución de una longitud de trayectoria libre de fotones (µm) en
ciertas circunstancias. Suponga que éste es el modelo correcto.
a) ¿Cuál es la longitud de trayectoria esperada y cuál es su desviación estándar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la longitud de trayectoria exceda de 3.0? ¿Cuál es la proba-
bilidad de que la longitud de trayectoria esté entre 1.0 y 3.0?
c) ¿Qué valor es excedido por sólo 10 % de todas las longitudes de trayectoria?
Solución:
a) Usando la formula de valor esperado y tomando que λ = 0.93 tenemos que:
E(X) =
1
λ
E(X) =
1
0.93
E(X) = 1.075
y para calcular la varianza se ocupa la siguiente formula:
σ =
√
1
λ2
σ =
√
1
0.932
σ = 1.075
b) La probabilidad de que exceda se ve en la siguiente formula:
P (X > 3) = 1− P (X ≤ 3)
P (X > 3) = 1− (1− e−0,93x3)
P (X > 3) = 0.061
Para encontrar que la probabilidad de que este entre 1 y 3 se usa lo siguiente:
P (1 ≤ 3) = P (X ≤ 3)− P (X ≤ 1)
P (1 ≤ 3) = (1− e−0,93x3)− (1− e−0,93x1)
P (1 ≤ 3) = 0.333
c) para encontrar el valor que exceda en 10% usaremos lo siguiente:
P (X > x) = 0,1
ahora sabemos que:
P (X > x) = 1− P (X ≤ x)
donde ya sabemos que P (X ≤ x) = (1− e−λx) donde P (X > x) = 0,1 por lo que tendremos
lo siguiente:
P (X ≤ x) = 1− 0.1
P (X ≤ x) = 0.9
ya con esto podremos hallar el valor de x
P (X ≤ x) = (1− e−λx)
0.9 = 1− e−0.93x
e−0.93x = 0.1
x =
ln 0.1
−0.93