Problema 69. Cada uno de 12 refrigeradores de un tipo ha sido regresado a un distribuidor debido a un ruido agudo audible producido por oscilación cuando el refrigerador está funcionando. Suponga que

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Sección 3.5
69. Cada uno de 12 refrigeradores de un tipo ha sido regresado a un distribuidor debido a un
ruido agudo audible producido por oscilación cuando el refrigerador está funcionando. Suponga
que 7 de estos refrigeradores tienen un compresor defectuoso y que los otros 5 tienen problemas
menos serios. Si los refrigeradores se examinan en orden aleatorio, sea X el número entre los pri-
meros 6 examinados que tienen un compresor defectuoso. Calcule lo siguiente:
a) P (X = 5)
b) P (X ≤ 4)
c) La probabilidad de que X exceda su valor medio por más de una desviación estándar
d) Considere un gran envío de 400 refrigeradores, 40 de los cuales tienen compresores defectuo-
sos. Si X es el número entre 15 refrigeradores seleccionados al azar que tienen compresores
defectuosos, describa una forma menos tediosa de calcular (por lo menos de forma aproxima-
da) P (X ≤ 5) que utilizar la función masa de probabilidad hipergeométrica.
Solución La distribución de probabilidad de X llamada distribución hipergeométrica, esta dada
como
P (X = x) = h(x;n,M,N)
(
M
X
)(
N −M
n− x
)
(
N
n
) (1)
a)
P (X = 5) = h(5; 6, 7, 12) =
(
7
5
)(
5
1
)
(
12
6
) =
(
7!
5!(7−5)!
)(
5!
1!(5−1)!
)
(
12!
6!(12−6)!
) = 5
44
= 0.114
b)
P (X ≤ 4) = P (X = 1, 2, 3 o 4) =
4∑
i=1
h(x; 6, 7, 12) =
29
33
= 0.879
c) Calculamos E(X) y σx
σx =
√
V (X) =
√
N − n
N − 1
n
M
N
(
1− M
N
)
=
√(
6
11
)
6
(
7
12
)(
1− 7
12
)
=
√
35
44
= 0.891
E(X) = n
M
N
= 6
7
12
= 3.5 =⇒ E(X) + σx = 4.4
Entonces la probabilidad de que X exceda su valor medio por más de una desviación estándar,
esta dado como
P (X = 5) + P (X = 6) =
5
44
+
(
7!
6!(7−6)!
)(
5!
0!(5−0)!
)
(
12!
6!(12−6)!
) = 5
44
+
1
132
=
5
44
+
1
132
= 0.121
d) Usando que n = 15, M = 40 y N = 400, tenemos que 40400 es la probabilidad de éxito, así que
con esto podemos usar el valor binomial teniendo que p = .10 siendo que p es la probabilidad
de éxito, así la podremos escribir de la siguiente forma:
P (x) =
(
15
x
)
0.10x(1− 0.10)n−x