Problema 39. Una compañía de productos químicos en la actualidad tiene en existencia 100 lb de un producto químico, el cual se vende a sus clientes en lotes de 5 lb. Sea X el número de lotes solicitad

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39. Una compañía de productos químicos en la actualidad tiene en existencia 100 lb de un producto
químico, el cual se vende a sus clientes en lotes de 5 lb. Sea X el número de lotes solicitados por
un cliente seleccionado al azar y suponga que X tiene la función masa de probabilidad
x 1 2 3 4
P(x) 0.2 0.4 0.3 0.1
Calcule E(X) y V(X). Calcule enseguida el número esperado de libras que quedan una vez que se
envía el pedido del siguiente cliente y la varianza del número de libras sobrantes. [Sugerencia: El
número de libras que quedan es una función lineal de X.] Solución
a) El valor esperado E(X) dada por la ecuación (1) es
E(X) = 1 · (0.2) + 2 · (0.4) + 3 · (0.3) + 4 · (0.1)
= 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3
b) Y la varianza dada por la ecuación (2) es
V (X) = (1− 2.3)2 · 0.2 + (2− 2.3)2 · 0.4 + (3− 2.3)2 · 0.3) + (4− 2.3)2 · 0.1 = 0.81
c) La función de la cantidad de lb restantes es
h(x) = 100− 5x
y 95 90 85 80
P(y) 0.2 0.4 0.3 0.1
Sacamos el valor esperado E(x) usando la siguiente ecuación.
E[h(X)] =
∑
y · p(y) (5)
Entonces
E[h(X)] = h(1) · (0.2) + h(2) · (0.4) + h(3) · (0.3) + h(4) · (0.1)
= 95(0.2) + 90(0.4) + 85(0.3) + 80(0.1) = 88.5
d) La varianza de h(X) es
V [h(X)] = =
∑
D
{h(x)− E[h(X)]}2 · p(x)
y si h(x) es una funcion lineal
V [h(x)] =
∑
D
{ax+ b− (aµ+ b)}2 · p(x) =
∑
D
{a(x− µ)}2 · p(x)
Entonces
V [h(X)] = a2V (X)
Por lo cual
V [h(X)] = (−5)2V (X) = 25 · (0.81) = 20.25