Probabilidad_tarea_12-8-9

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Sección 4.5: Otras distribuciones continuas
73. Los autores del artículo “A Probabilistic Insulation Life Model for Combined Thermal-Electrical
Stresses” (IEEE Transon Elect. Insulation, 1985: 519-522) expresa que “la distribución de Weibull
se utiliza mucho en problemas estadísticos relacionados con el envejecimiento de materiales sólidos
aislantes sometidos a envejecimiento y esfuerzo”. Proponen el uso de la distribución como modelo
del tiempo (en horas) hasta la falla de especímenes aislantes sólidos sometidos a voltaje de CA.
Los valores de los parámetros dependen del voltaje y temperatura, suponga α = 2.5 y β = 200
(valores sugeridos por datos que aparecen en el artículo).
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un espécimen sea cuando mucho de 250? ¿De
menos de 250? ¿De más de 300?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un espécimen esté entre 100 y 250?
c) ¿Qué valor es tal que exactamente 50% de todos los especímenes tengan duraciones que
sobrepasen ese valor?
Solución
Una distribucion Weibull para una variable aleatoria X tiene parametros α y β, y la funcion de
densidad de probabilidad de X es
f(x;α, β) =
{
α
βαx
α−1e
x
β , x ≥ 0
0, x < 0
funcion de distribucion acumulativa de una variable aleatoria de Weibull
F (x;α, β) =
{
0, x < 0
1− e−(
x
β )
α
x ≥ 0
a)
entonces, la probabilidad de que la duración de un espécimen sea de
cuando mucho 250
P (X ≤ 250) = F (250; 2,5, 200) = 1− e−( 250200 )
2,5
= 0.8257
menos de 250
P (100 < X < 250) = F (250; 2,5, 200) = 1− e−( 250200 )
2,5
= 0.8257
mas de 300
P (X ≥ 300) = 1− P (X ≤ 300) = 1− F (300; 2,5, 200) = 1− 1 + e−( 300200 )
2,5
= 0.063566
b)
P (100 ≤ X ≤ 250) = P (X ≥ 250)−P (X ≥ 100) = 0.8257−(1−e−( 100200 )
2,5
= 0.8257−0.1620 = 0.6636
c)
1− e−( x200 )
2.5
= 0.50 =⇒ x = 200 (ln 0.5)
1
2.5 = 172.7269
77. Los autores del artículo del cual se extrajeron los datos en el ejercicio 1.27 sugirieron que un
modelo de probabilidad razonable de la duración de las brocas era una distribución lognormal con
µ = 4.5 y σ = 0.8.
a) ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la duración?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración sea cuando mucho de 100?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración sea por lo menos de 200? ¿De más de 200?
Solución
F (x;µ, σ) = P (X ≤ x) = P (lnx− lnx) = P (Z ≤ lnx− µ
σ
) = ϕ
(
lnx− µ
σ
)
, x > 0
a) ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la duración? el valor medio E(X) y
la varianza V (X)
E(X) = eµ+
(σ)2
2 = e4.5+
(0.8)2
2 = 123.965
V (X) = e2µ+σ
2
· (eσ
2
− 1) = e2(4.5+(0.8)
2
· (e(0.8)
2
− 1) = 117.373
b)
P
(
Z ≤ ln(x)− µ
σ
)
= P
(
Z ≤ ln(100)− 4.5
0,8
)
= ϕ
(
ln(100)− 4.5
0,8
)
= 0.5517
c)
P
(
Z ≥ ln(x)− µ
σ
)
= P
(
Z ≤ ln(200)− 4.5
0.8
)
= 1− ϕ
(
ln(100)− 4.5
0.8
)
= 0.1611