3 Transformaciones Lineales - Axel

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M.I Francisco Barrera Del Rayo
Transformaciones 
Lineales
3.
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Transformación
Sean ! y " dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo
campo #. La función T: ! → " es la regla de correspondencia que
asigna a cada vector ' ∈ ! , uno y sólo un vector de ", al que
llamaremos imagen de ' y representaremos como T(' ) . A este
tipo de funciones se le conoce como transformaciones.
Esquemáticamente se tiene:
' T (' )
Dominio Codominio
! "
+
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Transformaciones Lineales
Sean ! y " dos espacios vectoriales sobre un campo #. Una 
transformación $ : ! → " es lineal si, se cumple:
1. Superposición:
$ ' + ) = $ ') + $() ; ∀ ', ) ∈ !
2. Homogeneidad:
$ ∝ ' =∝ $ ' ; ∀ ' ∈ ! 2 ∀ ∝ ∈ 3
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Dominio, Codominio
Sea la transformación lineal !:# → %
Dominio: Es el conjunto #, donde se encuentran los vectores
sobre los cuales actúa la transformación.
Codominio: Es el conjunto % , donde se encuentran las
imágenes de los vectores del dominio.
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Recorrido y Núcleo 
Sea la transformación lineal !:# → %
Recorrido: Es el conjunto formado por todas las imágenes de los
vectores del dominio, el cual se denota como !(#), esto es:
! # = { * | * = !(+ ) , donde + ∈ # }
Núcleo: Es el conjunto formado por vectores del dominio cuya
imagen es el vector cero de %, el cual se denota como . ! , esto es:
. ! = {+ | ! + = 00 , donde + ∈ #}
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Dominio, Codominio, Recorrido y Núcleo 
! "
#$ T($ )
Dominio Codominio
! "
#$ 0&
Núcleo 
'(#)
Recorrido
#(!)
#: ! → "
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Teoremas
Si !: # →% es una transformacion lineal, entonces:
1. ! 0' = 0)
2. !(#) es un subespacio de %
3. ,(!) es un subespacio de #
4. Si - = {/0, /1 , /2 , … , /3} es una base de #, entonces el conjunto
5 = {! /0), !(/1 , !(/2) , … , !(/3)} es generador del recorrido de !.
5. Si V es un espacio de dimensión finita, entonces se cumple que:
678 # = 678 !(#) + 678 ,(!)
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Matriz asociada 
Sean ! y " dos espacios vectoriales de dimensión # y $ ,
respectivamente, y sean % = {(), (*, (+ ,…, (,} y . = {/), /*, /+,…, /0}
bases de dichos espacios.
Si 1: ! → " es una transformación lineal, entonces existe una matriz
única 456(1) , de orden $×#, llamada matriz asociada de 1, talque:
456 1 (:; )6 = [ T(:; )] B ; ∀ ; ∈ !
Las # columnas de la matriz 456(1) , son los vectores de coordenadas
en la base ., de las imágenes de los vectores de la base %, esto es:
456(1) = [[1 ( :()) ]5 [1 ( :(*) ]5 … [1( :(, )]5 ]
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Matriz asociada 
La matriz asociada nos permite calcular la imagen de un vector
cualquiera !" del dominio, mediante el siguiente procedimiento:
1) Determinar las coordenadas del vector !" en la base A del dominio
2) Multiplicar la matriz #$% & por el vector (!" )%
3) Obtener el vector &("̅) a partir de sus coordenadas en la base B del
codominio
!" &(!" ) 
(!" )% [&(!" )]B
Cálculo del 
Vector de 
coordenadas
Con los vectores de la 
base ) y los escalares de 
[&(!" )]B, obtener &(!" ) 
Multiplicar por #$% &
Aplicando la Regla
1
2
3
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Matriz asociada 
Teorema
En una transformación lineal !: # → % , la dimensión del
recorrido es igual al rango de la matriz asociada a dicha
transformación.
&(()* ! ) = -./ !(#)
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Álgebra de transformaciones lineales
Dadas dos transformaciones lineales cuyo dominio y codominio es el
mismo:
! ∶ # →% y & ∶ # →%
Adición
La suma de T y R es una transformación de V en W, que se define como:
! + & () = T () + &(() ) ; ∀ ) ∈ #
0(! + &) = 0(!) + 0(&)
Multiplicación por un escalar
El producto de un escalar ∀ ∝ ∈ 2 por la transformación T es una
transformación de V en W, que se define como:
(∝ !)( () ) = ∝ !(() ) ; ∀ ) ∈ #
0 ∝ ! = ∝ 0 !
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Álgebra de transformaciones lineales
Dadas dos transformaciones lineales:
! ∶ # → % y & ∶ % → '
Composición 
Se define la transformación ( ∶ # → ' como el resultado de la
composición entre las transformaciones ! y &, de la siguiente forma:
( )* = (& ∘ !)()* ) = &[ ! )* ]
* ! ( * )
R[T(*
)]
%# '! &
& ∘ !
&[ ! )* ]
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Álgebra de transformaciones lineales
Para que la operación composición pueda realizarse, debe existir
intersección entre el recorrido de T y el dominio de R.
Teorema
Si ! ∶ # → % y & ∶ % → ' son transformaciones lineales y (, *, + son
bases de #, %,' respectivamente, entonces:
,-. R ∘ T = ,-3 & ,3. !
Dado que el producto de matrices en general no es conmutativo,
entonces se puede inferir que la operación composición, en general no
es conmutativa, esto es:
,-. R ∘ T ≠ ,-. T ∘ R R ∘ T ≠ T ∘ R
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Álgebra de transformaciones lineales
Sean !, # y $ tres transformaciones lineales y sean ∝, & ∈ (, se tiene 
que:
1. ! + # = # + !
2. ( ! + # ) + $ = ! + ( # + $)
3. ∝ (& !) = (∝ & )!
4. (∝ +&)T= ∝ T + & !
5. ∝ ! + # = ∝ !+ ∝ #
6. (# ∘ !) ∘ $ = # ∘ (! ∘ $)
7. ∝ (# ∘ !) =(∝ #) ∘ ! = # ∘ (∝ !)
8. $ ∘ # + ! = ($ ∘ # ) + ($ ∘ !)
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Transformaciones lineales Inyectivas y Suprayectivas
Sea ! ∶ # → % una transformación lineal
Transformación inyectiva
Una transformación lineal es inyectiva, si y sólo si, el núcleo de dicha 
transformación es de dimensión cero.
&'( )(!) = 0
Transformación suprayectiva
Una transformación lineal es suprayectiva, si y sólo si, la dimensión del
recorrido es igual a la dimensión del codominio, o bien, si la dimensión del
núcleo es igual a cero, entonces la transformación será suprayectiva, si la
dimensión del dominio es igual a la dimensión del codominio.
1. &'( !(#) = &'( %
2. &'( )(!) = 0 1 &'( # = &'( %
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Transformaciones lineales Biyectivas
Sea ! ∶ # → % una transformación lineal
Transformación biyectiva
Una transformación lineal es biyectiva, si y sólo si, es inyectiva y
suprayectiva, es decir, si la dimensión del núcleo es igual a cero y la
dimensión del recorrido es igual a la del codominio
1. ()* +(!) = 0
2. ()* !(#) = ()* %
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Inversa de una transformación lineal
Sea !: # → % una transformación lineal. Existe una transformación
inversa !&':% → # , si y sólo si, la transformación T es biyectiva, o
bien si ((!) es no singular, esto es, si la inversa de ((!) existe.
V %!
+ T(+ )
!&'
(,- !
&' = (-, !&'
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Inversa de una transformación lineal
Algunas propiedades de la transformación inversa son:
1. !"# es única
2. (!"#)"# = !
3. (! ∘ ()"#= ("# ∘ !"#
4. (∝ !)"# = ∝"# !"# ; si ∝≠ 0
5. !"# ∘ ! = ,-
6. ! ∘ !"# = ,.
Donde ,/ y ,. son transformaciones identidad de / y 0, respectivamente.
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Valores y vectores característicos
A las transformaciones lineales que van de un espacio vectorial al
mismo espacio vectorial, esto es !: # → # , se les conoce como
operadores lineales.
Definición
Sea # un espacio vectorial de dimensión finita definido sobre un campo
% y sea !: # → # un operador lineal para el cual:
T('̅) = ('̅ ; ∀ '̅ ∈ # ,-. ' ≠ 0
∀ ( ∈ %
▶ Al escalar ( se le llama valor característico de !
▶ Al vector '̅ diferente de 0 se le conoce como vector característico de 
! correspondiente al valor (
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Espacios característicos
Al conjunto formado por todos los vectores característicos asociados a
un valor característico !, al cual se le agrega el vector cero, se le llama
espacio característico y se representa como E(!).
Propiedades de los valores y vectores propios
u Los vectores propios asociados a valores propios distintos son linealmente
independientes.
u Si # es un vector propio asociado a un valor propio !, entonces ∝ # es
también un vector propio asociado a !, ∝ ∈ & c o n ∝≠ 0
u Si # y ) son dos vectores propios asociados a un valor propio !, y # ≠ -)
entonces # + ) es unvector propio asociado a !.
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Para obtener dichos elementos, se tiene:
! " = $" ...............(1)
Considerando que:
%(!) = (
Entonces podemos plantear que:
!(" ) = (" ..............(2)
De (1) y (2) se puede plantear:
(" = $)" Donde ) es la matriz identidad
De donde se tiene:
(" − $)" = 0
(( − $))" = 0
u Al ,-.(( − $)) se le conoce como polinomio característico
u Al ,-. ( − $) = 0 se le conoce como ecuación característica
Polinomio característico y ecuación característica
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Matrices similares
Se tiene que dos matrices ! y " de orden #×# son similares, si
existe una matriz no singular %, tal que:
" = %'(!%
Teorema: dos matrices representan al mismo operador lineal, si y 
sólo si, son similares.
Propiedades:
1. SI ! y " son matrices similares, entonces )*+(!) = )*+(")
2. Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico 
y, por lo tanto, los mismos valores característicos 
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Diagonalización
Teorema
Si ! es un espacio vectorial de dimensión " y #: ! → ! es un
operador lineal, entonces existe una matriz diagonal asociada a #,
cuando se puede definir una base de ! formada por vectores
característicos de #. La matriz asociada a # referida a esta base,
es una matriz diagonal que llamaremos & cuyos elementos '(( son
los valores característicos de #.
Ejemplo:
& =
*+ 0 0
0 *- 0
0 0 *.
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Diagonalización
Sea ! una matriz de orden "×" asociada a un operador lineal $.
La matriz ! será similar a una matriz diagonal %, si y sólo si, existe un
conjunto linealmente independiente formado por " vectores
característicos de $. Para este caso, existe una matriz no singular &,
para la cual se cumple que % = &()!&, donde & tiene como columnas
a los " vectores característicos de $ correspondientes a los valores
característicos *++ que definen a la matriz diagonal %.
& →Matriz Diagonalizadora
% = &()!& % →Matriz diagonal
! →Matriz asociada al operador
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Diagonalización
Una operador es diagonalizable cuando se cumple alguna de las
siguientes condiciones:
▶ Que los valores propios sean distintos !" ≠ !$ ≠ !%.
▶ La suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a la del
dominio.
▶ Si se puede formar una base del dominio con vectores propios.
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Valores y vectores característicos
Para cada valor de !, la expresión (A - !#)% = 0 es un sistema
homogéneo indeterminado, cuyas soluciones no nulas son los
vectores de coordenadas, en la base ' , de los vectores
característicos buscados, donde ' es la base utilizada para obtener
la matriz asociada a la transformación ()) T = +