4 Producto Interno - Axel Sánchez Nazario (1)

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M.I Francisco Barrera Del Rayo
Espacios con 
Producto Interno
4.
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Producto Interno
Sea ! un espacio vectorial sobre ℂ. Un producto interno en V es una
función !×! en ℂ que asigna a cada pareja ordenada (%&, )̅) de
vectores de ! un escalar (%&|)̅) ∈ ℂ , llamado el producto interno de
%& . )̅ , que debe satisfacer las siguientes propiedades:
1. & ) = () |&) Conmutat iv idad
2. (&|) + 1) = (&|) ) + (& |1 ) Dis t r ibut iv idad
3. (α&|) ) = 3(& |) ) Homogeneidad
4. (& & > 0 67 & ≠ 0 Posi t iv idad
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Propiedades del producto Interno
Sea ! un espacio vectorial sobre ℂ y sea (# | #) un producto
interno en !; entonces, ∀ &', )*, ,̅ ∈ V y . ∈ ℂ, se tiene que:
3. 0 , = , 0 = 0
2. (' , − * = ' , − ('|* )
1 . ('|α,) = )α(' |, )
4. (' ' ∈ ℝ
5. (' ' = 0 si y sólo si '=0
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Producto Interno usual para ℂ" # ℝ"
Para ℂ"
Para ℝ"
Donde %=(%1, %2, … , %") y #=(#1, #2, … , #") con elementos 
que pertenecen a ℂ o ℝ, respectivamente.
(% # =%1#1 + %2#2 + ⋯ + %,#,
(% # =%1#-+%2#. + ⋯ + %,#"
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Norma
Sea ! un espacio vectorial sobre ℂ y sea (# | #) un producto interno
en !. Se llama norma de % ∈ ! , y se representa como ∥ % ∥ , al
número real no negativo definido por:
Propiedades:
∥ % ∥ = (%|%)
1 . ∥ % ∥ > 0 con % ≠ 0
2 . ∥ % ∥ = 0 si y sólo si % = 0
3 . ∥∝ % ∥ =|∝ | ∥ % ∥
4 . ∥ % + 0 ∥≤ ∥ % ∥+∥ 0 ∥
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Vector unitario
Si un vector es multiplicado por el reciproco de su norma,
el vector que se obtiene es un vector unitario.
Donde ∥ " ∥= 1
Nota: Un vector unitario es aquel cuya norma es 1.
" = %∥&∥ ' con ' ≠ 0
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Distancia entre vectores
Sea ! un espacio vectorial con producto interno y sean
" y # ∈ !. Se llama distancia de " a #, y se representa con
&(" , #), al número real no negativo definido por:
Propiedades:
&(" , #)= ∥ # − " ∥
1 . &(" , #) ≥ 0
2 . &(" , #) = 0 si y sólo si # = "
3 . &(" , #) = d(# , ")
4 . &(" , #) ≤ d(" ,0)+d(0 , #)
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Ángulo entre vectores
Sea ! un espacio vectorial sobre ℝ con producto interno y sean
# y $ ∈ ! dos vectores no nulos. El ángulo entre # y $ esta dado por
la expresión:
Si el campo de definición de ! es ℂ, entonces el ángulo entre # y $
está dado por:
Donde ' # $ es la parte real de # $
donde 0 ≤ * ≤ +
,-.* = ' # $∥ # ∥∥ $ ∥
,-.* = # $∥ # ∥∥ $ ∥
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Vectores ortogonales
Sea ! un espacio vectorial con producto interno. Dos
vectores " y # ∈ ! son ortogonales si:
De acuerdo con esta definición, es claro que el vector nulo
es ortogonal a cualquier otro vector del espacio vectorial.
" # = 0
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Conjuntos ortogonales y ortonormales
Sea ! un espacio vectorial con producto interno y sea
" = {%&, %' , %( , … , %) } un conjunto de vectores de !. Se dice
que A es un conjunto ortogonal cuando:
Si además ∥ %+ ∥= 1 , entonces el conjunto " es un ortonormal.
Todo conjunto de vectores ortogonales no nulos, es linealmente
independiente.
%+ %- = 0 ; ∀ 0 ≠ 2
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Coordenadas de un vector con respecto 
a una base ortogonal
Sea ! un espacio vectorial con producto interno y sea
" = {%&, %' , %( , … , %) } una base ortogonal de !.
Si * ∈ ! y se tiene que:
Entonces los escalares ∝- vienen dados por la expresión:
∝-=
(/*|/%- )
(/%- |/%- )
* =∝& %&+∝' %' +⋯+∝- %-+⋯+∝) %)
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Coordenadas de un vector con respecto 
a una base ortonormal
Si los vectores de la base ! fueran vectores unitarios, es
decir, si ! fuese una base ortonormal, entonces las
coordenadas del vector " respecto a la base ! vendrían
dadas por:
ya que #$% #$% = 1
∝%= (#"|#$% )
" =∝, $,+∝. $. + ⋯+∝% $%+⋯+∝0 $0
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Proceso de ortogonalización de 
Gram-Schmidht
Sea ! = {$%, $& , $' , … , $( } una base cualquiera de un espacio
vectorial, y sea !) = {*%, *& , *' , … , *( } una base ortogonal del
mismo espacio vectorial, entonces sus elementos vienen dados por:
+*& = +$& −
(+$&| +*%)
( +*%| +*%)
+*%
+*% = $%
.
..
+*0 = +$0 − 1
23%
04% (+$0 | +*2 )
( +*2 | +*2 )
+*2
Para 5 = 1, 2, … , :
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Complemento ortogonal
Sea ! un espacio con producto interno y sea " un subespacio de !.
Se dice que un vector $̅ ∈ ! es ortogonal a " si se cumple que:
$̅ &' = 0 ; ∀ &' ∈ "
Al conjunto de todos los vectores de ! ortogonales a " se le llama 
complemento ortogonal de " y se denota con ",, esto es:
", = {$̅ ∈ ! | $̅ &' = 0 ; ∀ &' ∈ "}
Teorema 
/01 ! = /01" + /01",
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Proyección de un vector sobre un subespacio
Sea ! un espacio con producto interno y sea " un subespacio de !.
Cualquier vector $̅ ∈ ! puede expresarse en forma única como la
suma de dos vectores, uno de " y otro de "&, esto es:
$̅ = () + ()+; ∀ $̅ ∈ !, () ∈ ", ()+ ∈ "&
La proyección de $̅ ∈ ! sobre el subespacio " viene dada por la 
expresión:
() =
Donde {/̅0, /̅1, … ,/̅2} es una base ortonormal de ".
3
450
2
($̅|/̅4)/̅4
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Teorema de proyección
Sea ! un espacio con producto interno y sea " un subespacio de !.
La proyección de un vector $̅ ∈ ! sobre " es más próxima a $̅ que
cualquier otro vector de ". Esto es, si &' es la proyección de $̅ sobre
", entonces:
∥ $ − ' ∥≤∥ $ − + ∥ ; ∀ + ∈ "
El signo de igualdad se cumple, si y sólo si, + = '
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Mínimos cuadrados
La solución de mínimos cuadrados ! de un sistema
incompatible:
A"=#
donde A es una matriz de orden $×&, satisface la ecuación
normal:
AT A " = AT #
y recíprocamente, cualquier solución de la ecuación normal es
solución de mínimos cuadrados.
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Mínimos cuadrados
Ya que la solución de mínimos cuadrados es una solución
aproximada para un sistema incompatible, se puede obtener el
vector error:
"̅ = "$ , "& , "' , "(
y para conocer el error, basta con calcular su norma:
"̅ = "$& + "&& + "'& + "(&