TRIGONOMETRIA_17-RELACIÓN DE INRADIOS - Gabriel Solís Flores

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EUREKA!, preparando para la UNI …simplemente el mejor 
Magdalena 2614884; Los Olivos 5215182; Ingeniería 4820457 Página 1 
TRIGONOMETRÍA 
 
SEMANA 17: RELACIÓN DE INRADIOS – 
CIRCUNRADIOS – EXRADIOS – LÍNEAS 
NOTABLES 
01. En un triángulo ABC de lados BC=a, AC=b y 
AB=c, se tiene que R es la longitud del 
circunradio, S es el área de la región triangular 
ABC. Además 
Calcule b2 +c2 
A) 5/4 B) 7/4 C) 3 
D) 5 E) 7 CEPRE_2010-I 
 
02. En la figura mostrada, calcule el área de la 
región triangular ABC; si AP = 3; PB = 2; además 
P, Q y R son puntos de tangencia y mACB = 2. 
 
 
A) 5 cot() 
B) 6 cot() 
C) 5 tan() 
D) 6 tan() 
E) 8 tan() 
 
03. En un triángulo acutángulo ABC, AB=c, 
BC=a, AC =b; calcule la medida del ángulo BAC 
si se cumple 4S = p(p ‒ a) + (p ‒ b) (p ‒ c) 
Siendo p el semiperímetro de dicho triángulo y 
S el área de la región que encierra el mismo. 
A) 10° B) 15° C) 20° 
D) 25° E) 30° 
 
04. El semiperímetro de un triángulo mide 30m 
y el lado mayor mide 26m. Si el radio de la 
circunferencia inscrita en el triángulo mide 4m. 
¿Cuál es la medida del ángulo mayor? 
A) 90° B) 75° C) 60° 
D) 45° E) 30° 
 
05. En un triángulo se cumple que la longitud 
del inradio y la longitud del circunradio están 
en la relación de 3 a 5. Calcule la suma de los 
cosenos de los ángulos del triángulo. 
A) 1,1 B) 1,3 C) 1,5 
D) 1,6 E) 1,9 
 
06. En un triángulo ABC si BC=a, Ac=b, AB=c, 
además; la longitud del circunradio es igual a 2 
u y el área de la región triangular ABC es igual a 
12 u2, entonces el valor (en u) de 
F= a cos(A) + b cos(B) + c cos(C) es: 
A) 3 B) 6 C) 9 
D) 12 E) 15 CEPRE_2006-II 
 
07. En un triángulo ABC, el área es numérica-
mente igual a seis veces el circunradio. 
Determine: 
Siendo a, b y c los lados del triángulo y , y 
 los ángulos opuestos, respectivamente 
A) 18 B) 16 C) 14 
D) 12 E) 10 UNI_2006-I 
 
08. En un triángulo ABC, si r es la longitud del 
inradio, R es la longitud del circunradio y S es el 
área de la región triangular ABC, determine en 
función de S la expresión: 
 
A) S/8 B) S/4 C) S/2 
D) S E) 2S CEPRE_2008-II 
 
09. En un triángulo ABC (BC = a, AC = b, AB = 
c), R es la longitud del circunradio y r es la 
longitud del inradio. Determine el equivalente 
a:   F a.cot(A) bcot(B) ccot(C) 
A) R + r B) 2(R + r) C) 3(R + r) 
D) R – r E) 2(R – r) 
 
10. En una superficie triangular ABC, de área S 
y 10 metros de perímetro, simplifique 
 
A) 25/S B) 50/S C) 100/S 
D) 200/S E) 400/S CEPRE_2011-I 
 
11. En un triángulo ABC la circunferencia 
inscrita de radio r, determina los puntos de 
tangencia M, N y Q siendo M∊AC y N∊AB, 
AM=2, BN=3 y CO=x unidades y 
3 A B Cr 24tan tan tan
2 2 2
     
      
     
, Calcule x 
A) 2 B) 2,5 C) 3 
D) 3,5 E) 4 
 
12. En un triángulo ABC (AB = c, BC = a, AC = 
b), si R es el circunradio, r el inradio y ra el 
exradio relativo al lado a. Simplifique: 
a
2R r r
F
2R
 
 
A) sen(A) B) cos(A) C) sec(A) 
D) cot(A) E) tan(A) 
2 3R sen (A) Scos(A) 7
Sen(A) 4


k acosA bcosB ccosC  
A B
C
A A A
F rcos rcsc 4Rsen
2 2 2
      
       
      
A B C
cot cot cot
2 2 2
     
      
     
A 
R 
C B 
P 
Q 
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13. En un triángulo ABC, (p) es el semiperímetro 
(r) es la longitud del inradio, (R) es la longitud del 
circunradio, (ra) es la longitud del exradio relativo 
al lado a, además; 2r = ra, entonces el valor de 
2
2R AF 8 sen(B).sen(C).cos ,
P 2
   
    
   
 es: 
A) sen(A) B) sen(B) C) ½ 
D) 1 E) 2 
 
14. Si r es el inradio y ra, rb y rc son los exradio 
del triángulo ABC; y rarb + rbrc + rarc = 
2
2
4k
r
, 
halle el área de dicha región triangular (k> 0) 
A) k/4 B) k/2 C) 4k 
D) k E) 2k 
 
15. En un triángulo ABC, (AB = c, AC = b, BC = 
a), ra es el inradio relativo de lado a, determine: 
 
a
B C
F r [Tan( ) Tan( )]
2 2
. 
A) a B) b C) c 
D) 2a E) 2b 
 
16. En un triángulo ABC(BC=a, AC=b, AB=c) 
los exradios relativos a los lados a, b y c son ra, 
rb y rc respectivamente. Si 
a b c
1 1 1 1
r r r 10
   y 
 
Calcule el área de la región triangular ABC, en u2 
A) 600 B) 480 C) 400 
D) 300 E) 240 
 
17. Sean ra, rb y rc los radios de las 
circunferencias exiscritas al triángulo ABC y r el 
inradio del mismo triángulo. Si se cumple que: 
 
2
a b a c b c
kS
r r r r r r
r
 
    
 
. Halle k. 
A) – 1 B) 0 C) 1 
D)  1 E)  2 
 
18. En qué tipo de triángulo ABC se cumple: 
(ra ‒ rb)(ra‒ rc) = 2rbrc, donde: ra + rb y rc son 
los exradios. 
A) Acutángulo B) Obtusángulo 
C) Rectángulo D) Isósceles 
E) Equilátero 
 
19. En un triángulo ABC (AB=c, AC=b, BC=a), 
si b + c =2a, (r) es la longitud del inradio (ra) 
es la longitud del exradio relativo al lado a. 
Entonces, el valor de r/ra, es: 
A) 1/3 B) 1/2 C) 1 
D) 2 E) 3 
 
20. En un triángulo ABC, simplifique la 
expresión 
a b c
b a c
r r r csc(A)
r r r
  
  
, donde ra, rb y rc 
son las longitudes de los radios de las 
circunferencias exinxcritas. 
A) sen(B) B) cot(B) C) csc(B) 
D) sec(B) E) tan(B) 
 
21. En un triángulo ABC de lados BC=a, AC=b y 
AB=c, se tiene que p es el semiperímetro, ra es 
el exradio relativo al lado a y r es el inradio. 
Simplifique 
a a
p r .cot(B) r.cot(A) a.r .cot(B)    
A) c2/4 B) c2/2 C) c2 
D) 2c2 E) 4c2 
 
22. Con los ex radio ra, rb y rc de un triángulo 
ABC, determine la expresión equivalente a: 
4 rarbrc (senA+senB+senC)–1 
En función del área de la región triangular “S” y 
el circunradio “R” 
A) SR B) 2SR C) 3SR 
D) 4SR E) 8SR CEPRE_2013-II 
 
23. En un triángulo ABC, de lados AB = c, AC = 
b, BC = a, p es el semiperimetro y ra es el 
exradio relativo al lado a. simplifique 
a
C
r .(b c a) p.tan (a c b)
2
 
     
 
 en términos del 
área (S) de la región triangular ABC 
A) S/2 B) S C) 3S 
D) 4S E) 2S CEPRE_2014-I 
 
24. Si en la figura mostrada, el triángulo ABC es 
equilátero, calcule la relación entre los perime-
tros de los triángulos MNP y ABC 
 
A) sen(θ) – 3 cos(θ) 
B)sen(θ)+ 3 cos(θ) 
C) 3 sen(θ)– cos(θ) 
D) 3 sen(θ)+cos(θ) 
E) cos(θ) – 3 sen(θ) 
 
A B C
bcos csc cos 60
2 2 2
     
     
     
A 
B 
M 
N 
P 
C 
θ 
θ 
θ 
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LÍNEAS NOTABLES: ALTURA 
25. En un triángulo ABC, las alturas trazadas 
desde cada vértice son ha = 3 u, hb = 4 u y hc = 
5 u. Si ha, hb y hc son las alturas relativas a los 
lados a, b y c respectivamente. Calcule: cos(A) 
A) 0,1202 B) 0 C) –0,0861 
D) –0,1202 E) –0,2200 
 
26. En un triángulo ABC (BC = a, AC = b, AB = c), 
las longitudes de las alturas relativas a los lados 
a, b y c miden 4u, 5u y 6u respectivamente. 
Entonces, el valor de 300 cos(B), es: 
A) 181 B) 191 C) 201 
D) 209 E) 211 
 
27. En un triángulo oblicuángulo ABC, las 
alturas relativas a los lados a, b, c son 
ha = 10 u, hb = 
15
2
u, hc = 
20
3
u y el circunradio 
mide 6 u. Calcule el área (en u2) de la región 
triangular ABC 
A) 10 15 B) 5 3 C) 12 3 
D) 8 15 E) 6 15 
 
28. Las medidas de los ángulos de un triángulo 
están en relación 1; 2; 3. La altura 
correspondiente al lado mayor mide 45 cm. 
Calcule (en cm) perímetro del triángulo. 
A) 60 3 B) 90 3 C) 99 3 
D) 90(1 3) E) 60(1 3) 
 
29. En un triángulo ABC la expresión 
2
a b a c b c
p r
E
h h h h h h

 
 es igual a: 
Nota ha, hb, hc : alturas relativas a los lados a, b 
y c; R: circunradio; r: inradio 
A) R B) 
R
2
 C) 
R
3
 
D) 
R
4
 E) 
R
5
 
 
30. En un triángulo ABC, las cevianas AM, BN y 
CP son alturas relativas a los lados a, b y c 
respectivamente. Si además se cumple que: 
cos2(A) +cos2(B)+cos2(C) = 39
50
 
Calcule la relación S MNP
SABC
 
A) 
28
50
 B) 
39
100
 C) 
11
100
 
D) 
11
50
 E) 
39
50
 
MEDIANA 
31. En un triángulo ABC CB = a, AM : es la me-
diana, m∠A = 75° y m∠ = 30°. Calcule cot(β) 
A) 2+ 3 
B) 2 6 
C) 4– 3 
D) 6– 2 
E) 2+ 2 
 
32. En un triángulo ABC, si: BC = 3, AC = 2, 
mA = mB + 30°, además
 
2 2 3sen (B) cos (A)
8
  . Calcule la longitud de 
la mediana relativa al lado C. 
A) 1/7 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
33. En un triángulo rectángulo, la longitud de 
la hipotenusa es 4 cm. Calcule la suma de los 
cuadrados de las longitudes de las medianas 
trazadas a cada cateto, en cm2. 
A) 16 B) 20 C) 24 
D) 25 E) 28 
 
34. En un triángulo ABC, AB = c, BC = a, AC = 
b y BM es la mediana relativa al lado AC, 
además m∡AMB = θ. Calcule el área de la 
región triangular ABC 
A) 
2c .cot( )
4

 B) 
2 2(a c )tan( )
4
 
 
C) 
2 2a c
cot( )
4
 
  
 
 D) 
2 2(a c )sen( )
4
 
 
E) 
2 2(a c )cos( )
4
 
 
 
35. En un triángulo ABC (AB = a, BC = b y AC 
= c), se cumple que: b + c = 2k – 2ma 
dónde: ma es la longitud de la mediana relativa 
al lado “a” 
entonces cos
A
2
 
 
 
 es 
A) 
(k b)(k c)
2bc
 
 B) 
(k b)(k c)
2bc
 
 
C) 
(k b)(k c)
3bc
 
 D) 
(k b)(k c)
bc
 
 
A 
C
A 
M B 
β 
30° 
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E) 
(k b)(k c)
4bc
 
 
 
36. En un triángulo de lados 7 m; 8 m y 9 m se 
traza la mediana relativa al lado de 8 m. 
Determine el coseno del ángulo comprendido 
entre el lado 7 m y la mediana trazada. 
A) 41/49 B) 43/49 C) 45/49 
D) 46/49 E) 47/49 
 
37. En un triángulo ABC, BC=a, AC=b, AB=c, si 
mb es la longitud de la mediana relativa al lado 
b, simplifique 
2
b
2
m ac.cos(B)
M
2b

 
A) 1/8 B)1/4 C) 1/3 
D) 1 E) 2 
 
BISECTRIZ 
38. En un triángulo ABC si: 
iA = bisectriz interior del ángulo A 
eA = bisectriz exterior del ángulo A 
Halle el valor de n para que se cumpla 
A A
B C
i n(e ) tan( )
2

 
A)  1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
 
39. En un triángulo ABC BC= a, AC= b, AB=c. 
Las bisectrices interior y exterior del ángulo A 
miden p y q respectivamente. Halle C si: 
1 A 1 A 1
cos( ) sen( )
p 2 q 2 6
  . 
A) 6 B) 5 C) 4 
D) 3 E) 2 
 
40. Se tiene un triángulo ABC cuya área es 
igual a 24 3m y la mA = 60°. Si la longitud 
de la bisectriz interior del ángulo A, mide 
8 3
5
, mB > mC. Calcule
 
B C
tan( )
2

.
 
A) 3 3
5
 B) 3 3
4
 C) 5 3
3
 
D) 2 3 E) 3 3 
 
41. Calcule la longitud de la bisectriz exterior 
del ángulo A en un triángulo ABC, si 
b – c = 10 y bc (p – b) (p – c) = 100. 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 2 E) 3 
 
42. El área de una región triangular ABC es 20 
u2, a = BC, b = AC, c = AB. Si a = 2b y 
m∠ACB=53° calcule la longitud de la bisectriz 
interior relativa al vértice C, en u. 
A) 3 B) 4 C) 
8 5
3
 
D) 8 E) 10 
 
43. En un triángulo ABC de área S; la bisectriz 
interior del ángulo A es VA. Si se cumple que 
A
S
k(b c)
A
V sen
2
 
 
 
 
. Calcule “k” 
A) 1/4 B) 1/2 C) 1 
D) 2 E) 4 
 
44. En un triángulo ABC; VA, VB y VC son las 
longitudes de las bisectrices interiores de sus 
respectivos ángulos y se verifica que: 
A B C
A B C
csc csc csc
2 2 2 k
V V V r
     
     
     
   ; 
Siendo “r” el inradio del triángulo, calcule “k” 
A) 0,25 B) 0,5 C) 1 
D) 2 E) 4 
 
45. En un triángulo ABC de lados BC =a, AC =b 
y BC =a; la longitud de la bisectriz exterior 
relativa al ángulo A es 14 u, m∠B–m∠C = 16°. 
Calcule aproximadamente la longitud (en u) 
de la bisectriz interior relativa al ángulo A. 
A) 1/2 B) 1 C) 2 
D) 3 E) 4 
 
46. Un triángulo tiene un ángulo interior que 
tiene por medida 120°, si la suma de los lados 
adyacentes a este ángulo es de 36 m y la 
bisectriz interior de dicho ángulo mide 5 m; 
entonces la media (en m) del radio de la 
circunferencia circunscrita al triangulo es: 
A) 91 B) 2 91 C) 93 
D) 2 93 E) 5 19 
 
47. En un triángulo ABC se cumple (m∡ABC) – 
(m∡ACB) = 120° y el circunradio es 8 veces el 
inradio. Calcule cos(A) 
A) 1/8 B) 1/4 C) 3/8 
D) 5/8 E) 7/8 
 
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48. Sea el triángulo ABC cuya área de su región 
triangular es de 12 cm2, si a = 6 cm, entonces 
calcule: 
tan(B) tan(C)
tan(B).tan(C)

 
A) 1/2 B) 1 C) 3/2 
D) 2 E) 5/2 
 
49. En la figura: AB = 2 u, BC = 3 u y CD = 6 u. 
Calcule 16 cos2(θ) 
A) 11 
B) 12 
C) 13 
D) 14 
E) 15 
CEPRE_ 2012-I 
PROF: FELIPE GALLEGOS DE TOMÁS