5 Sistemas de Ecuaciones - Axel Sánchez Nazario (1)

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SISTEMAS DE ECUACIONES
ELABORÓ: M . I FR ANCISCO BAR R ER A DEL R AYO
Ecuación lineal
Una ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables con las
siguientes características:
a) No existe producto ni cociente entre las variables involucradas.
b) Todas las variables tienen exponente unitario.
Donde:
!" ∈ ℂ → Coeficientes
&" ∈ ℂ → Incógnitas
' ∈ ℂ → Término independiente
!(&( + !*&* + ⋯+ !,&, = '
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Sistema de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones es lineal, si y sólo si, todas las ecuaciones que lo
constituyen son a su vez lineales.
Solución de un sistema: Se entiende como el conjunto de valores que
pueden tomar las variables para satisfacer a todas y cada una de las
ecuaciones del sistema.
Ejemplo: Solución:!
2# − % + ' = 6
# + % − ' = 0
−# + 2% + 3' = −1
# = 2
% = −1
' = 1
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Clasificación de los sistemas de ecuaciones
Esta clasificación se hará con base al tipo de solución que tenga el
sistema de ecuaciones.
Sistemas Compatibles
Sistemas Incompatibles
Sistemas Compatibles Determinados
Sistemas Compatibles Indeterminados
Sí tienen solución
No tienen solución
Una solución
Muchas soluciones
Tiene
grados de libertad
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Método de eliminación de Gauss
Es un procedimiento que nos permite obtener la solución de un sistema de
ecuaciones o identificar cuándo no tiene solución.
El método está basado en la aplicación de las siguientes transformaciones
elementales que no modifican la solución del sistema:
1. Intercambiar de orden dos ecuaciones.
2. Multiplicar alguna de sus ecuaciones por un número distinto de cero.
3. Multiplicar una ecuación por una constante y sumarla a otra ecuación,
reemplazando esta última por el resultado obtenido.
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Método de eliminación de Gauss
La forma en que se obtiene la solución de un sistema surge de efectuar un
escalonamiento sobre el sistema. Este escalonamiento consiste en ir
eliminando términos de las ecuaciones mediante la aplicación reiterada de
las transformaciones elementales hasta llegar a un nuevo sistema
equivalente.
!
" + $ − & = 0
−$ + & = 2
& = 5
!
" + $ − & = 0
2" − $ + & = 6
−" + 2$ + 3& = −1
Sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones equivalente escalonado
~
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Representación matricial de un sistema de ecuaciones
Ya que la resolución de los sistemas de ecuaciones mediante el método
de Gauss está basado en el comportamiento de los coeficientes y
términos independientes, se puede hacer uso de una representación
matricial con dichos elementos.
!""#" + !"%#% + ⋯+ !"'#' = )"
!%"#" + !%%#% + ⋯+ !%'#' = )%
⋮
!+"#" + !+%#% +⋯+ !+'#' = )+
!"" !"% ⋯ !"' )"
!%" !%% ⋯ !%' )%
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
!+" !+% ⋯ !+' )+
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Sistemas Homogéneos
Cuando en un sistema de ecuaciones todos los términos independientes
son iguales a cero, dicho sistema recibe el nombre de sistema
homogéneo. Estos sistemas siempre admiten al menos una solución, la
cual es cuando todas las incógnitas toman el valor de cero, esta solución
se conoce como solución trivial.
Ejemplo:
!
3# − % + 2( = 0
−# + % − 2 ( = 0
2# + % − 4( = 0
# = 0
% = 0
( = 0
Solución trivial:
M.I Francisco Barrera Del Rayo
Aplicación de los sistemas de ecuaciones
Un sistema de ecuaciones se puede utilizar para representar y con ello
poder resolver ciertos problemas prácticos.
Generalmente para la solución de estos problemas se procede de la
siguiente forma:
1. Planteamiento del problema. (Enunciado)
2. Formulación del modelo matemático. (Sistema de ecuaciones)
3. Solución al problema.
M.I Francisco Barrera Del Rayo