4 Inductancia - Arturo Lara

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16- 4 Inductancia
Aunque en un principio se obtuvo la ley de Faraday en la forma (17-3), que es apropiada para un sistema considerado globalmente, pronto fue convertida en una expresión que im-
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Figura 17-13 Posiciones de los elementos de corriente de dos circuitos filamentales.
plica los campos. Para muchas aplicaciones resulta conveniente tratar con las propiedades del sistema como un todo, muy a la manera de la capacitancia, que demostró ser un concepto Util; por ello es deseable aquí retomar esa actitud. Para empezar, se considera de nuevo el flujo magnético <I>: de esta manera se llegará a otra importante propiedad geométrica del sistema llamada inductancia.
La figura 17-13 muestra dos circuitos filamentales, C¡ y , con sus corrientes respectivas e Ik. Los elementos lineales ds¡ y dsk se localizan por medio de sus rectores de posición r¡ y rk con respecto a un origen arbitrario 0, siendo r¡k = [r; - rfc]. La corriente Ik producirá una inducción Bfc en cada uno de los puntos de la superficie S; encerrada por C¡ por lo que es posible calcular un flujo <I> k en Q a partir de (16-6). Sin embargo, para los propósitos que aquí se persiguen resulta de mayor utilidad expresar el flujo en función del potencial vectorial por medio de (16-32). Por lo tanto, si Afc(r;.) es el potencial vectorial producido por el circuito Ck en el punto r;- del circuito C;- entonces el flujo a través de Q debido a Ck estará dado por (16-23( y (16-10) como
=	(17.44)
Se puede observar que el flujo a través de C¡ es proporcional a la corriente Ik de Ck. Si a este factor de proporcionalidad se le asigna el símboloM¡k y se le denomina la inductancia mutua de los circuitos j y k, se puede escribir que
— MJkIk
(17-45)
(17-46)
d$j-dsk
Rjk
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De (17-46) se puede observar que la inductancia mutua es un factor puramente geométrico que relaciona los tamaños y orientaciones relativos de los dos circuitos y que, en principio puede ser encontrada evaluando la integral doble sobre los dos circuitos. Dado que /j0 se definió con las unidades henry/metro en (13-2), se observa que la unidad de la inductancia mutua es el henry.
De manera similar, si se calcula el flujo en Ck debido a la corriente Z- de Q se encontrará que
=	(17-47)
"7-48’
Pero dado que dsk ■ ás¡ ~ds¡. dsk, Rkj ~R¡k = [ry- ~ y que el orden de integración no afecta el valor de la integral doble, se tiene
Mkj = M/k	(17-49)
Esto indica que el flujo a través de C¡ por una corriente Zo en Ek es igual al flujo a través de Ck por la misma corriente Zo en C¡ .
De (17-46) se desprende que la inductancia mutua puede ser positiva o negativa dependiendo de las elecciones que se hayan hecho para los sentidos de recorrido por C¡ y Ck, ya que estas elecciones pueden hacerse arbitraria e independientemente, lo que se reflejará, desde luego, en los signos de los flujos.
La fem total inducida que se producirá en uno de los circuitos por una corriente cambiante en el otro puede expresarse convenientemente en función de la inductancia mutua; si se sustituye (17-45) en (1 7-3) se obtiene
ya que se supone que los circuitos se encuentran en reposo, de manera que M¡k es constante. La fem inducida en Ck puede obtenerse a partir de (17-50) al intercambiar los índices j y k.
Si existe más de un circuito produciendo la B resultante a través de Q, de (17-4) ó (16-11) se desprende que el flujo total será una suma de términos como (17-45):
(17-51) k	k
De manera similar, la fem inducida total en C¡ producida por otros circuitos se puede obtener de (17-51) y (17-3), resultando
&	= -	= - V 4/, —Á-	(17-52)
7. mutua	' )k &	\
Aunque (17-46) viene a ser una buena receta para calcular la inductancia mutua, por lo general una aplicación directa de la misma lleva a integrales muy complicadas.
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Ejemplo
Dos anillos coaxiales paralelos. En la figura 17-14 se ilustra un círculo, C¡, de radio a que descansa sobre el plano xy con su centro en el origen. Otro círculo, Ck, de radio b es paralelo al plano xy y su centro está sobre el eje z a una distancia c del origen. Los vectores de posición relevantes son, según se puede observar, ry cos(/}■ x+¿z sen y,^ =¿> cosy^ x + b sen <pk y + c i y por lo tanto,
= drj = ad<pj( —sen<p7x + cos<p7y)
ds>k = í/rA. = úíf<pÁ.(—sentp^x + coscp^y)
RJk = lry ~ r¿| = [ c2 + a2 + ú2 - 2aú cos(<p7 - rpk) ]1/2
dsydSk = ab cos(<p7 — <f>k)dtyjdyk
Cuando se sustituyen éstas en (17-46), el resultado es
^{^j-^k)drpjdrpk	Z1_
M ¡k =— I I 	¡-tt	(17-33)
477 JQ Jo [c2 +a2 +b2-2abcos((pj-<pk)] /
Aunque resultó relativamente fácil escribir (17-53), ésta no puede ser expresada en términos de funciones elementales, sino que requiere del uso de funciones elípticas, por lo que se dejará (17-53) como está.
En muchos casos, el problema de encontrar la inductancia mutua puede manejarse más fácilmente si se utiliza su definición como flujo por unidad de corriente, tal como lo expresa (17-45). Por tanto, este método requiere que se calcule primero <i> a partir del conocimiento previo de B y que después se use la ecuación determinativa (16-6).
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Figura 17-15 Bobina corta enrollada sobre un solenoide largo.
Ejemplo
Bobina corta enrollada sobre un solenoide largo. Supóngase que se tiene un solenoide infinitamente largo con ns vueltas por unidad de longitud. Supóngase ahora que se enrolla otra bobina apretadamente sobre el solenoide de tal manera que tenga un total de Nc vueltas ocupando una longitud total lc, como se muestra en la figura 17-15. El número de vueltas por unidad de longitud de la bobina es nc = Ne¡lc. En este caso ya se sabe cómo calcular B cuando hay una corriente Is en las vueltas del solenoide; el valor uniforme en el interior está dado por (15-26) y es Bs = q0 nsIst. Si la bobina se enrolló apretadamente sobre la superficie del solenoide, se puede suponer que su sección sea aproximadamente la misma que la del solenoide, ó. Y entonces, dado que Bs. es normal al plano de S, el flujo por vuelta de la bobina será vuelta ~BsS = p.onsSISy de manera que el flujo total a través de las Nc vueltas serád^ = Nc d> vuelta = P-onsNcSIs_ Al sustituir esto en (17-45) se encuentra que la inductancia mutua de este sistema es
^=-¡r= lLonsNcS = i¿onsnclcS	(17-54)
Dado que, de acuerdo con (17-49), Msc — Mcs, se puede utilizar este resultado para encontrar el flujo (I>S. producido en el solenoide cuando se hace pasar una corriente Ic por la bobina. El resultado será-MSCIC = lionsnclcSIc.
Es desde luego posible que el circuito C¡ produzca un flujo que pase a través de sí mismo. El coeficiente de proporcionalidad que surge en este caso recibe el nombre de autoinductanda, que a menudo también suele llamarse simplemente inductancia. Si se utiliza la figura 17-16 y se procede de la misma manera que para obtener (17-44) a (17-46), se encuentra que
=	(17-55)
'	'	'	07-56)
Aquí la integral doble se toma dos veces sobre el mismo circuito, y ds¡ y <7s’y son dos elementos lineales diferentes pertenecientes a C¡. Como se indica en (17-56),algunas veces se suprime uno o más de los índices de la autoinductancia siempre que esto no cause ninguna confusión. Si se comparan las figuras (17-16) y (14-2), se puede observar que debido a la convención de signos que se está utilizando, siempre será positivo,de manera que la autoinductancia L¡¡ dada en (17-55) siempre será una cantidad positiva.
Si la corriente I¡ está cambiando, entonces, de acuerdo con (17-3), existirá una fem
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Figura 17-16 Cálculo de la autoinductancia.
inducida en el circuito debida a su propio flujo cambiante. A esto generalmente se le denomina fem autoinducida o contra fem y está dada por
¿7/,	dl¡
g .	=-£..-/ = -£-/	(17-57)
©y, misma JJ dt	dt
Por último, si existen otros circuitos en las cercanías, el flujo total en C¡ será la suma de (17-51) y (17-55), y la fem inducida total será la suma de su fem autoinducida y mutuamente inducida. Así, se puede escribir
%=^MJklk	(17-58)
k
(17-59)
donde el índice k toma el valor j, así como los valores usados para designarlos demás circuitos, tomando en cuenta que cuando los índices son iguales se utiliza la notación
M^L^Lj	(17-60)
Aunque (17-56) tiene una apariencia llamativa y es útil en cálculos formales, no funciona para corrientes filamentales reales de grosor cero, por la razón de que siempre daría un valor infinito para la autoinductancia. Esto ocurre porque en la doble integral, cuando ds¡ y dsf coinciden, R¡¡ = 0 y la integral se vuelve divergente. La razón física para ello es que cerca de un filamento tal, |B|l/p y se vuelve infinita a medida que p->0, haciendo que el flujo también sea infinito. Para circuitos más realistas, en los que en realidad se manejan distribuciones de corriente, en lugar de tratar de desarrollar una generalización de (17-56), generalmente resulta mejor regresar a (17-55) para encontrarla autoinductancia como la relación de flujo a corriente, o se utilizan los métodos de la energía que se estudiarán en el siguiente capítulo. En consecuencia, se considera aquí solamente un ejemplo sencillo de la aplicación de (17-55).
Ejemplo
Solenoide ideal. Como en el caso del ejemplo anterior, la inducción está dada por B = poní y es uniforme en toda la sección de área S. Por lo tanto, el flujo por vuelta seráBS - nSI.
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Si se considera una longitud l del solenoide habrá ni vueltas y el flujo total será Mü//2 SIL Al sustituir esto en (17-55) se obtiene L = <b//, o sea,
L = Wi2lS	(17-61)
Nótese que L IS, que viene a ser el volumen de esta porción del solenoide. Se observa también que L n2; esto resulta porque B n y el número de vueltas es también n.