La energía dipolar - Arturo Lara

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I. La energía dipolar
Si se le escribe simplemente como UD, la energía de un dipolo p en un campo externo Eo es
UD — — p • Eo = —pEQ cos 0
(8-73)
donde 0 es el ángulo entre ellos, como se muestra en la figura 8-10. Esta sería una forma apropiada para utilizarse con relación a un dipolo puntual tal como se definió anteriormente. En la figura 8-11 se muestra esta energía en función de 0. Se puede observar que el rango de variación de la energía es finito y que la energía tiene un mínimo en 0 = 0
Figura 8-10 Un dipolo que forma un ángulo con un
campo eléctrico externo.
Figura 8-11 La energía de un dipolo en un campo externo en función del ángulo que forman el dipolo y el campo.
cuando los dos vectores son paralelos. Esto indica que la tendencia del sistema es hacia la alineación del momento del dipolo con el campo externo. Se puede evaluar este efecto de la siguiente manera. Dado que la energía es una función de 0, es decir, = Ud (0),se sabe (de la mecánica) que existirá un momento de torsión sobre p, y que su componente en la dirección en que 0 aumenta, í, estará dada por
Wp
T 00
= -^£osen0= - |pXE0|
(8-74)
Dado que t es negativa, significa que el sentido del momento de torsión sobre p es tal que tiende a hacer girar a p en la dirección de Eo; así, si se utiliza la definición de la dirección
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Multipolos eléctricos
del producto cruz que se dio en la figura 1-14, se puede observar que el momento de torsión vectorial T se encuentra en la dirección de p X Eo, tal como se muestra en la figura 8-12. Al combinar esto con (8-74), el momento de torsión sobre p estará dado correctamente en magnitud y dirección por
T = pXB20
(8-75)
Nótese que 7=0 cuando 0 = 0 y tt. de manera que estos dos valores del ángulo corresponden respectivamente a un valor mínimo y a un valor máximo de la energía UD, tal como se muestra en la figura 8-11; 0 = 0 es una posición de equilibrio estable, mientrasque 0=7T es de equilibrio inestable. Para lograr el equilibrio en un ángulo intermedio, es necesario que un agente externo aplique un momento de torsión mecánico, Tni. igual y opuesto al valor de Tdado en (8-75), de modo que el momento de torsión neto sobre p es igual a cero
t + t„ = 0	(8-76)
Si se vuelve a mirar (8-73), se puede observar que si Eo no fuese constante sino una función de la posición r, entonces sería posible que un dipolo disminuyera su energía al moverse a otra posición diferente; en otras palabras, se tiene la posibilidad de una fuerza traslacional, Fy, no nula sobre el dipolo, debida al campo externo. De la mecánica, otra vez, ésta está dada por
Fp = - V ¿//( = V(p-E0)
(8-77)
El hecho de que p sea constante permite poner esto en en una forma más útil. Si se utiliza (1-115), se puede escribir (8-77) como
Fn = E0X(VXp) + pX(V XE0) + (F2()- V)p + (p- V)E0
(8-78)
El primero y tercer términos desaparecen porque p es constante, de modo que todas sus derivadas espaciales son iguales a cero; el segundo término también desaparece porque Eo es conservativo y VXE() = 0, de acuerdo con (5-4). Así, (8-78) se reduce a
Fp = (p-V)E0
(8-79)
Por ejemplo, si con la avuda de (1-123) se escribe la componente x de dicha fuerza se obtiene
Energía de una distribución de carga en un campo externo
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9EOv 9EOx dEOx
(8'80)
Existen expresiones similares para las otras dos componentes restangulares. El resultado (8-79) verifica así la expectativa de que existirá una fuerza traslacional sobre un dipolo
Figura 8-13 Las fuerzas sobre las cargas de un dipolo prototipo.
cuando el campo externo varíe con la posición. [El torque dado por (8-75) se encuentra presente aun en un campo externo uniforme.]
Todos estos resultados para el momento dipolar han sido obtenidos de una manera completamente general y, por lo tanto, son aplicables al momento dipolar de cualquier tipo de distribución de carga que sea de interés. Sin embargo, resulta de utilidad ver que también es posible obtenerlos de una forma muy directa y sencilla para el caso simple de dos cargas iguales y opuestas, como las que se muestran el figura 8-3, que pueden ser tomadas como el prototipo del dipolo puntual si se hace que 1 ->0 y q ~>°°, de tal manera que p = q\ se mantengan constante. Para resaltar este aspecto, escríbase la separación entre ellas como dr, como se ilustra en la figura 8-13, de modo que se tenga r+ = r + dr. También se muestran el campo externo Eo y las fuerzas sobre las cargas, que se calculan a partir de (3-1).
De nuevo, si 0o(O es el potencial externo, la energía se obtiene de (8-60) y resulta
¿4o = £</>o(r+) - ^o(r-) = Q = qdr • V</>0 = - p- Eo
con la ayuda de (1-38), (5-3) y (8-44). Así, este resultado que se ha obtenido para una situación especial, concuerda exactamente con el que se halló de manera más general en (8-64). La fuerza neta sobre el sistema será
Fnet = F+ +F_ = ^[E0(r+)-E0(r_)] = qdEQ
Se puede encontrar la componente x de ésta mediante (1-38) y (8-44), resultando
F’net x = qdEOx = qdr-^EOx = (p-V)EOx
lo que concuerda con (8-80), de tal forma que una vez más se llega a (8-79). De manera similar, el momento de torsión resultante en un campo uniforme estará dado por.
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Multipolos eléctricos
r=r+XF++r_ XF_ = <y(r+ — r_)xE0 = pXE0
y concuerda exactamente con (8-75)