Multipolos magnéticos - Arturo Lara (1)

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Multipolos magnéticos
En el capítulo 8 se estudió cómo el potencial escalar en un punto fuera de una distribución finita de cargas podía ser descrito por los diversos multipolares del sistema. Cada momento multipolar dependía de un aspecto particular del detalle de la distribución de las cargas. En este capítulo se hará algo muy similar para una distribución arbitraria de corrientes.
18- 1 Desarrollo multipolar del potencial vectorial
La situación general es aquélla que está ilustrada en la figura 19-1; compárese con la figura
8- 1. Se tiene una distribución de corrientes, J(r'), contenida en algún volumen V*. Se fija un origen 0 de alguna manera arbitraria, pero haciendo que quede cerca o dentro de V*. Se desea encontrar el potencial vectorial A en el punto de campo P cuyo vector de posición es r, es decir, en la dirección r y a una distancia r de 0. Este potencial está dado por (16-12) como
(19-1)
donde
(19-2)
resulta de la ley de los cosenos aplicada a la figura.
Como se hizo antes, se toma P lo suficientemente lejos de V* de manera que r > r para cualquier porción de V'. Se puede entonces utilizar el desarrollo dado en (8-12) para expresar (19-1) en la forma
(19-3)
que viene a ser el desarrollo multipolar del potencial vectorial. Si se escriben los primeros términos con la ayuda de (8-10) y (8-14), se obtiene
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Figura 19-1 Geometría para el cálculo de potencial vectorial en P.
A(r) = AM(r) + Ap(r) + Ag(r) + ...
+^/r>»[3<f-r')I. 2-/2l¿T'+-
(19-4)
donde los términos de la suma son, respectivamente, el término monopolar, el término dipolar y el término cuadripolar. Como en el caso electrostático, su dependencia con la distancia al punto de campo r es, respectivamente, 1 /r, 1/r2 , l/r3, etc., de manera que a medida que se aleja P de la distribución de corrientes, los términos de orden mayor del desarrollo se vuelven cada vez menos importantes. Estos términos todavía involucran al punto de campo P como a los puntos fuente debido al término r'r ~ eos 0', y se desea expresarlos como el producto de algo que depende exclusivamente de la localización del punto de campo, por algo que depende exclusivamente de la distribución de corriente y sus detalles. Resultará conveniente comentar sobre cada término por separado.
I.	El término monopolar
En el caso electrostático, el término monopolar resultó ser proporcional al momento monopolar de la distribución de carga, es decir, a su carga neta. Sin embargo, en el caso magnético no existen cargas magnéticas, como ya se comentó después de ver (16-4), por lo que se podría sospechar que el término monopolar realmente fuera igual a cero. En una distribución de corrientes constantes, éstas siguen trayectorias cerradas, pudiéndose pensar que las cargas se mueven en tubos filamentales de corriente de manera parecida a lo que se
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muestra en la figura 12-6¿z. En este caso, en lo que concierne a la espira; de corriente Ij, del equivalente de (12-10) se observa que su contribución a la primera integral de (19-4) es la suma de todos sus elementos de corriente Ijdsj, es decir, $Ijds¡. Al sumar sobre todas estas corrientes, se obtiene
£j(r)¿T'=	=0	(19-5)
ya que la integral con respecto a ds¡ es simplemente la suma de los desplazamientos sucesivos de un punto y, por lo tanto, su desplazamiento neto; cuando a un punto se le lleva alrededor de una trayectoria cerrada, su desplazamiento neto es igual a cero, de manera que fds¡ = 0; esto quedó demostrado de una manera más formal en el ejercicio 1-25. Por lo tanto, la integral de (19-5) será siempre igual a cero, de manera que
A„(r)-0	(19-6)
ratificando así la suposición hecha y demostrando que el primer término en el desarrollo del potencial vectorial será siempre el término dipolar. [Esto también justifica el uso de (18-20) en lugar de (18-18).]
II. El término dipolar
Por conveniencia, asígnese el símbolo a la integral del término dipolar:
<£> = í J(r')(r-r')dr'	(19-7)
J y
El proceso para expresar esto como un producto en el que de alguna manera se separa el punto de campo es bastante laborioso, siendo mucho más fácil trabajar con una cantidad escalar. Si se hace que C sea un vector constante arbitrario, es posible formar el producto escalar C • <3? . Después de esto, se divide el integrando en dos partes iguales, se suma y se resta la cantidad (J’r) (Ci*) bajo la integral y se encuentra que se puede expresar el resultado como la suma de dos integrales:
	donde
	C<=D=Í (C-J)(rr')*' = (C-3))+ + (C- <$)_	(19-8)
?)/■
(C-q>)+ = lf [(C-J)(r-r') + (J-r)(C-r')]rfT'	(19-9)
Jv
(C-«)_ = if [(C-J)(f-r')-(J-r)(C-r')]dT'	(19-10)
que se consideran por separado.
C es constante por definición y fes constante con respecto a las derivadas relativas a los puntos fuente, es decir, con respecto a A1. Por lo tanto, A' (Ct,)=A1 (Cxx' +Cyyr + Xyy + Czi = C, o sea,
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V'(C-r') = C	y V'(r-r')=f	(19-11)
donde la segunda se obtuvo de la misma manera. Si se utilizan estos últimos resultados junto con (1-114), se encuentra que la parte entre corchetes del integrando de (19-9) puede expresarse como
J- [C(r-r')+r(C-i-')] = J- [(r-r')V'(C-r') + (C-r')V'(r-r')] =J-V'[(C-r')(f-r')]	(19-12)
Pero ahora el último término tiene la forma J • A' § , donde ¿ es el escalar (C-r,) (f-r,); así, por medio de (1-117) y (12-15) para corrientes estables, se puede expresar (19-12) como
J-V'S =V'.(SJ) + S(V'.J) = V/-[(C-r')(fT')J]	(19-13)
que es la forma final para el integrando de (19-9). Si ahora se sustituye (19-13) en (19-9), y se utiliza (1-59), se obtiene por fin
(C •^)+-|^(C-r')(fr')(Jda')	(19-14)
donde S' es la superficie limitante de V. Sin embargo, V encierra todas las corrientes de manera que J = 0 en todos los elementos de superficies dz de S' y, por lo tanto,
(C-6D)+=0
Los términos entre corchetes (19-10) puede escribirse como
C- [J(f •r')-r'(J-r)] =C- [rX(JXr')]
(19-15)
(19-16)
por medio de (1-30) y (1-16). Si se sustituye esto en (19-10) y se utiliza (19-15), se encuentra que (19-8) queda
C-[rX(JXr')pT' = C- | f [rX(JXr')]¿Zr'
J yf	1 J y’
(19-17)
Dado que C es un vector completamente arbitrario, es válida siempre que 6$) sea igual a la cantidad entre llaves. Es más, r es constante por lo que toca a la integración con respecto a las variables primas, por lo que puede quitarse de la integral. Al hacerlo, y aplicando (1-23) dos veces seguidas, se encuentra que
^)=rX|f JXr'dT=y f r'XJrZr'jXr
J y'	\ J y'	J
(19-18)
Por último, si se combinan (19-18), (19-7) y (19-4), se encuentra que el término dipolar puede expresarse como
Az,(r)=-^? | f r'XJ(r')dr'
47rr2 Jv
Xr
(19-19)
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Figura 19-2 Relación entre un dipolo magnético y el po-
tencial vectorial que produce.
que posee la forma deseada de un producto de una cantidad relacionada solamente con la posición del punto de campo por algo que sólo depende de las propiedades de la distribución de corrientes.
A la cantidad entre corchetes se le suele asignar el símbolo
m = | í r'XJ(r')dr'
(19-20)
y recibe el nombre de momento dipolar magnético de la distribución de corrientes. [En algunos textos m se define como veces el miembro derecho de (19-20); hoy en día esto es comparativamente raro, pero es algo digno de considerarse.] Esta definición permite expresar el término dipolar como
Mo mXr _ p0 mXr
4tt r2	r3
(19-21)
Como se puede apreciar en la figura 19-2, AD es perpendicular al plano formado por m y r y su magnitud será AD = sen 0/4 vr2 , de acuerdo con (1-22). La aparición de sen ©puede ser un poco sorprendente ya que, por analogía con el caso electrostático en (8-48), se habría esperado encontrar un cos 0 en un potencial que se denomina potencial “dipolar”. Sin embargo, cuando se calcule la inducción en la siguiente sección se encontrará que la analogía es bastante exacta en cuanto a comparar campos.
Por fortuna, es suficiente aquí considerar únicamente el término dipolar, de modo que no se estudiará el término cuadripolar de (19-4).