Potencial vectorial - Arturo Lara

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Potencial vectorial
La ecuación diferencial fuente que falta por calcular para la inducción es V • B. Es mucho más fácil obtener ésta que lo que resultó el caso de V X B. Después de haberla encontrado, se verá que es posible expresar mucho de la misma información que antes en función de un nuevo campo vectorial que se introducirá más adelante.
15- 1 Divergencia de B
El método directo resulta bastante sencillo en este caso. Si se utiliza la definición de B en función de una corriente filamental, (14-2), se encuentra que
V-B = V-
477 ^	^2	4^
ds'XR
R2
(16-1)
ya que aquí también los límites de integración dependen sólo de r', mientras que V opera sobre las componentes de r Se puede utilizar (1-118) para escribir el integrando como
•(V Xds') — ds' ■
vxí A
\ R2
(16-2)
Aquí ds’ es función solamente de las componentes de r', por lo que se puede considerar como constante en lo que respecta a V; así, V X ds 0. Al utilizar (1-143) y (1-48) se puede ver que v X (R/j?2) = - vX V (1/7?) = 0. Por lo tanto, (16-2) es idéntico a cero con lo que (16-1) queda exactamente como
V-B = 0
(16-3)
Resulta evidente que esto también es verdad en el caso de más de una fuente filamental, siendo B dada por (14-4); el caso de corrientes distribuidas queda como ejercicio.
Ya que se tiene (16-3), se puede inmediatamente obtener la condición de frontera que las componentes normales de B deben satisfacer en una superficie de discontinuidad, encontrándose por medio de (9-6) y (9-7) que
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ñ-(B2-B,) = B2„-B,„ = 0	(16-4)
de modo que las componentes normales de B son siempre continuas.
Este importante resultado, V • B = 0, es una de las ecuaciones de Maxwell. Ya se verá más adelante que no existe situación en donde se deba cambiar, ni siquiera cuando se estudien campos no estáticos, por lo que (16-4) será también generalmente correcta. Se puede obtener una interpretación de (16-3) si ésta se compara con la ecuación análoga para el caso del campo eléctrico, (4-10), o sea, V • E = ple0. Aquí p es la densidad de carga neta y aparece porque la carga eléctrica existe en unidades individuales de signo opuesto, de manera que es posible tenerp 0 cuando haya exceso de un signo o del otro. Pero (16-3) implica que una situación tal no puede darse en el caso magnético y por lo tanto no pueden existir unidades individuales de carga magnética análogas a las de carga eléctrica. A dichas cargas magnéticas se les da el nombre de monopolos magnéticos. Aun cuando se ha demostrado que su existencia es compatible con los requerimientos de la mecánica cuántica, toda búsqueda experimental para comprobar su existencia ha fracasado. En consecuencia, hasta que no se llegue a demostrar sin lugar a duda que tales monopolos magnéticos existen en realidad, se deberá seguir escribiendo V • B = 0, recordando que las fuentes de B son siempre corrientes.
Si se combina (16-3) con el teorema de la divergencia (1-59), se encuentra que
(^)B-¿a = 0	(16-5)
lo que significa en el flujo de B a través de cualquier superficie cerrada es siempre igual a cero. Al expresar lo anterior en función de las líneas de B, (16-5) indica que no existen líneas netas de B que atraviesen cualquier superficie cerrada, osea, que el número de líneas que entran a ella será igual al qué salen de ella; por lo tanto, la figura 16-1 ilustra la situación general de lo que ocurre. Esto contrasta con el caso eléctrico pues para éste las líneas de E pueden iniciarse o terminar en una carga, como se muestra, por ejemplo, en la figura 8-7.
Sin embargo, resulta de gran utilidad considerar la integral de superficie de B con respecto a una superficie que no es cerrada. Si <T> es el flujo magnético que atraviesa una superficie S, por definición se tiene que
0= f Bí/a	(16-6)
¿s
que puede muy bien ser diferente de cero. Dado que B se mide en weber/metro2, la unidad del flujo es el weber.
Figura 16-1 El flujo neto de B a través de la
superficie cerrada S es cero.