Conductores en campos - Arturo Lara (1)

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Conductores en campos
electrostáticos
La ley de Coulomb supone que el espacio entre las cargas es vacío. Es interesante, desde luego, investigar qué es lo que ocurre cuando las cargas eléctricas se encuentran en presencia de materia, de tal manera que por lo menos parte de la región de interés no esté vacía. No se estudia aquí el problema completo en este capítulo sólo se considera el caso en el que una clase particular de materia,llamada conductora, está presente. Debido alas propiedades especiales de los conductores se podrán deducir algunas consecuencias muy interesantes e importantes que surgen en su presencia.
5- 1 Algunos resultados generales
En términos generales, se puede definir un conductor como una región en la que las cargas son libres de moverse bajo la influencia de un campo eléctrico. El ejemplo más común es el de los metales, en los cuales las cargas móviles vienen a ser los electrones “libres”; pero no es el único caso, y no es necesario de ningún modo restringir este estudio a tal ejemplo específico. Sin embargo, sf se asume que se van a tratar situaciones completamente estáticas a escala macroscópica.
Si un campo eléctrico estuviera presente en un conductor, las cargas se moverían y no podría existir el estado estático que se está suponiendo. Por lo tanto, la conclusión es que E debe ser igual a cero en todos los puntos de un conductor. De (5-3) se desprende ahora que 0 es constante dentro del conductor, es decir, que el conductor es un volumen equipotencial. Por ello se tiene que
0 dentro de un conductor	(6-1)
<l>(r) = const.
Considérese ahora la situación en la superficie de un conductor. El campo eléctrico en la región al vacío que lo rodea puede muy bien no ser igual a cero. Supóngase que E forma un ángulo con la superficie tal como se muestra en la figura 6-1 a. Se puede imaginar a E descompuesto en dos componentes, E„ perpendicular (normal) a la superficie, y Ef paralela a la superficie (la componente tangencial). Ahora, si Ef no fuese igual a cero, habría una fuerza tangencial sobre las cargas móviles, por lo que se moverían paralelamente a la
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64	(h)
Figura 6-1 (a) Dirección hipotética de E en la superficie de un conductor, (b) Dirección real de E.
superficie, rompiendo la situación estática que se había asumido. Por lo tanto, Ef = 0, siendo la única posibilidad que En ¥= 0; en otras palabras, en la superficie de un conductor E debe ser normal a la superficie, como se ilustra en la figura 6-\b. Pero, como se apreció en la figura 5-1, la dirección de E es perpendicular a las superficies equipotenciales; por lo tanto, la superficie
E,(rR0
E,(r) = 0 en la superficie de un conductor	(6-2)
<>(r) = const.
(Puede ocurrir, desde luego, que en alguno o algunos puntos en particular de la superficie, la componente normal En también sea igual a cero, pero de cualquier manera es la única componente que puede ser diferente de cero en la superficie).
Apliqúese ahora la ley de Gauss (4-1) a una superficie arbitraria cerrada que se encuentre completamente dentro del conductor, como laS que se muestra en líneas punteadas en la figura 6-2. Dado que E = 0 en todos los puntos del interior del conductor, también será cero en todas las partes de S por lo que, en este caso, (4-1) queda
rf)E-¿a = 0=-^-n	(6-3)
€o
y por tanto, la carga total dentro de S, Qen, debe ser cero. Debido a que la superficie S es completamente arbitraria, puede ser deformada como se desee, aún para hacerla coincidir con la superficie del propio conductor, y Qen seguirá siendo cero. De esta manera se puede concluir que la carga Qen - 0 en todos los puntos en el interior del conductor. En otras palabras, se ha demostrado que la carga neta en el interior del conductor siempre
Figura 6-2 La superficie S se encuentra
completamente dentro de un conductor.
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es igual a cero, de manera que cualquiera que sea la carga neta presente en el conductor esta debe localizarse completamente en su superficie. Faraday fue el primero en demostrar experimentalmente este hecho con su famoso “cubo de hielo” experimento en el que medía la distribución de carga en una simple cubeta de metal. Nótese que este resultado es conclusión directa de la ley de Gaass, la que a su vez no es sino una consecuencia de la
Figura 6-3 Cálculo del campo eléctrico en la superficie de un conductor.
naturaleza del cuadrado inverso de la ley de Coulomb. De hecho, esta conclusión viene a ser la base de las pruebas experimentales más exactas que se han realizado para determinar la exactitud del exponente 2 en la ley de Coulomb, ya que dichos experimentos buscan, esencialmente, desviaciones de lapredicción de que Qen = 0; los resultados han demostrado que el exponente es, en efecto igual a 2 con una tolerancia de unas pocas partes en 1016.
La figura 6-3 muestra la situación que existe en la superficie de separación entre una región conductora (1) y la región de vacío (2), en la que ñ es la normal exterior del conductor. Se dibuja un pequeño cilindro de sección A¿z cuyo lado curvo es paralelo a ñ de manera que su forma exterior ñc, sea paralela a la superficie de separación. La cara superior del cilindro se encuentra completamente en la región de vacío, en la que E ¥= 0, mientras que su cara inferior se encuentra completamente dentro del conductor, donde E = 0; se toma A¿? lo suficientemente pequeña para que E sea prácticamente constante sobre toda la cara superior. Se aplica ahora la ley de Gauss a este pequeño cilindro, notando que Qen = aña en este caso;por lo tanto,
(f)E-da = f E-ñda + f E-ñcda + (	E-da = ELa=
Js	Aapa	Aado	•''fondo	€0
dado que En = E = const. en la primera integral, E-ñ,.. = 0 en la segunda y E = 0 en la tercera. Así, el valor de E en la superficie de un conductor es igual a a/e0, y, si se combina éste con (5-3) y (6-2) se llega a
E^n la superficie	(6~4)
e0
Si o es positiva, E se dirige hacia afuera de la superficie, mientras que si o es negativa E se dirige hacia la superficie conductora; estos signos son consistentes con la dirección de la fuerza que sería ejercida sobre la carga de prueba positiva que se colocase cerca de la superficie. Nótese que el E de (6-4) es exactamente el doble del valor de E debido a un plano cargado con lamismao, según se encontró en(4-12)pormediodeuncálculosimilar. Una manera poco ortodoxa de explicar esta diferencia es que el flujo total de E por unidad
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de área que puede ser producido por una densidad superficial de carga dada es a/e0 ; en el caso del plano cargado se puede decir que este flujo total se dirige igualmente hacia afuera a través de sus dos caras, mientras que en el conductor, dado que el campo eléctrico en el interior debe ser igual a cero, sólo hay una dirección posible para este flujo total. Como se verá en los ejemplos que siguen, o no necesariamente debe ser constante, sino que puede variar con la posición en la superficie; cuando esto ocurra, E también variará con su posición en la superficie (pero siempre será normal a ella). Por ejemplo, supóngase que el conductor es originalmente neutro, es decir, que no posee carga neta. En ese caso, cuando se produce un campo en sus alrededores al mover otras cargas externas desde el infinito, las cargas móviles del conductor ya no están en equilibrio, generalmente, con respecto a la nueva situación y habrá que reajustar sus posiciones. Así, por un período de tiempo corto existirá un flujo de cargas alrededor del conductor, pero el equilibrio volverá a establecerse y entonces (6-1), (6-2) y (6-4) quedarán satisfechas. Pero dado que el conductor originalmente no tenía carga neta, no puede tener carga neta en su nueva situación, es decir, fso da = 0, demostrando así que o no puede ser del mismo signo en todos lados y, por tanto, no puede ser constante. Por otro lado, un agente externo podría transferir una cantidad neta de carga al conductor, es decir, lo podría “cargar”. La densidad superficial de carga en este caso podría ser del mismosigno en todas partes, y hasta podría ser constante si hubiera la suficiente simetría.
Ejemplo
Conductor esférico aislado. Supóngase que existe una carga neta, Q, en una esfera conductora de radio a. Si está aislada, no existe razón para preferir una dirección sobre otra, de manera que existe simetría esférica. Como resultado, la carga Q se distribuirá uniformemente sobre la superficie con una densidad constante o = Q/4ira2, y el campo eléctrico en la superficie estará dado por (6-4) como E - Q/Attcqo2 . Más aún, dado que el campo E en la superficie se encuentra en la dirección normal, será radial.
Se puede llegar a estas mismas conclusiones de otra manera. Se ha visto en repetidas ocasiones que, debido a la simetría esférica, la carga Q puede ser tratada como si fuera una carga puntal en el centro de la esfera, en lo que respecta a los efectos fuera de la esfera. El potencial afuera es exactamente el dado por (5-22), es decir, 0/47reor, mientras que el potencial es constante e igual al potencial en la superficie (r — a), de acuerdo con (6-1) y (6-2); de esta forma se obtiene
Q
477€0r
Q
4moa
(r>tf)
(r<a)
(6-5)
El campo eléctrico afuera estará dado por (5-24) y es E = Qr/47retía2 cuando se evalúan en la superficie, esto concuerda exactamente con el resultado obtenido en el párrafo anterior a partir de (6-4). Dentro de la esfera, E = 0, debido al valor constante del potencial dado por (6-5) para r
No se han agotado todavía las posibilidades de aplicación de la ley de Gauss. Considérese ahora un conductor que contiene una cavidad en su interior, tal como se muestra en la figura 6-4. La superficie total del conductor tiene ahora dos partes: una superficie exterior, 50, y una superficie interior S¡. Considérese otra vez una superficie arbitraria, S, que quede completamente dentro del cuerpo conductor, de manera que E = 0 en todo
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punto de ó. En este caso también se aplica (6-3), de tal forma que Qen - 0, es decir, que no puede existir carga neta dentro de la superficie S.
Supóngase ahora que existe una carga dentro de la cavidad, que se indica como Qcav. Para que Qen sea igual a cero para S, debe existir una carga igual y opuesta en algún lugar
Figura 6-4 Cargas en un conductor con una
cavidad en su interior.
dentro de S, o sea, sobre el conductor. Pero antes se encontró que cualquier carga de un conductor debe localizarse enteramente sobre su superficie; por tanto, esta carga, Q¡, debe encontrarse sobre la superficie interior S¡. Así, se tiene que Qen = 0 = Qcav + <2Z-, o sea,
Q¡=Q
superficie interior
0cav
(6-6)
que es un resultado siempre verdadero.
Si el conductor era neutro antes de que se insertara Qcav, debe permanecer neutro después; por lo tanto, una carga Qq = - Q¡ = + Qcav deberá aparecer en el resto de la superficie, es decir, sobre la superficie exterior 50, como se indica en la figura. De esta manera, una carga dentro de la cavidad puede hacer sentir su presencia para alguien que se encuentre fuera del conductor, por medio de la carga inducida Qq que se produce sobre la superficie exterior y el campo eléctrico debido a ésta.
Figura 6-5 La superficie Sz se encuentra
completamente dentro de la cavidad.
Considérese el caso Qcav = 0, entonces siempre la carga en la superficie interior será igual a cero, de acuerdo con (6-6). (Qo, por otro lado, será cero solamente si el conductor era neutro originalmente y si se mantuvo así). Considérese ahora una superficie cerrada, S', que se encuentra totalmente dentro de la cavidad, como se muestra en la figura
4- 5. Dado que no existe carga en ningún lugar de la cavidad, S' nunca podrá encerrar carga alguna y
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(p E-t/a = 0
de acuerdo a (4-1). Pero S' es completamente arbitraria y, por tanto, puede agrandarse, achicarse o deformarse de cualquier otra manera; así el resultado obtenido siempre será verdadero si E - 0 en todo punto de la cavidad, lo que significa que el potencial es constante dentro de la cavidad. En otras palabras, si no existe carga dentro de una cavidad
Figura 6-6 El conductor C’ se encuentra en una
cavidad del conductor C.
contenida por un conductor, el campo eléctrico siempre será cero en la cavidad, y la cavidad será un volumen equipotencial. De hecho, el potencial en la actividad siempre será el mismo que el del propio conductor, debido a (5-11).
Estas conclusiones generales son válidas, desde luego, aún en el caso de que exista otro conductor dentro de la cavidad como se ilustra en la figura 6-6. Mientras que el conductor C' no posea carga, no habrá campo eléctrico dentro de la cavidad, y C' siempre tendrá el mismo potencial que C, el conductor envolvente. Por tanto, sin importar qué carga se coloque en o fuera de C, o de qué signo o distribución sea, no existirá ningún campo eléctrico en C' y sus cargas móviles no serán afectadas. En la terminología usual, el conductor interno estará completamente blindado-, este principio del blindaje electrostático tiene aplicaciones prácticas tales como el blindaje de los componentes electrónicos en circuitos, al encerrarlos en recipientes metálicos.