Energía magnética - Arturo Lara

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Energía magnética
En el capítulo 7 se evaluó la energía electrostática de un sistema en función del trabajo reversible necesario para establecer una configuración dada de cargas. También se requiere trabajo para producir un conjunto determinado de corrientes en los circuitos, siendo aquí la meta encontrarla y poder así asociar una energía magnética al sistema. Sin embargo, en el caso magnético no se cuenta con un análogo de la carga puntual de la electrostática, por lo que se hace necesario proceder de una manera diferente. Después de que se haya obtenido un resultado en función de los parámetros globales del sistema, se verá que es posible expresar la energía en función de la inducción magnética e interpretarla como distribuida en todo el espacio.
17- 1 Energía de un sistema de corrientes libres
Para comenzar, se considera un sistema de corrientes en un grupo de circuitos, de manera tal que lo que realmente se estará evaluando será la energía de corrientes libres, y más específicamente de corrientes de conducción. Se desea calcular el trabajo reversible que se requiere para comenzar con una situación inicial en la que todas las corrientes son cero y terminar con una situación en la que la corriente del circuito j tenga el valor final I¡, siendo / = 1,2,. . ., N, y N el número total de circuitos. Por lo que ya se aprendió en el capitulo 13, existirán fuerzas de atracción y repulsión entre estos circuitos, que aquí se supondrá que son todos rígidos y fijos en el espacio, de manera que no se haga necesario considerar la energía mecánica de posibles deformaciones o de movimiento de los circuitos. Debido a (12-35), también se sabe que la existencia misma de las corrientes implica la existencia de conversión de energía eléctrica en calor. Aunque esta energía debe ser suministrada por fuentes externas, tales como baterías, no forma en realidad parte del trabajo reversible que se requiere para establecer las corrientes y, por lo tanto, se le puede excluir de la consideración presente.
Supóngase una etapa intermedia del proceso, en la que la corriente de cada Qestá dada por sus z), de modo que las corrientes no hayan alcanzado sus valores finales Cualquier cambio en una de las corrientes en un lapso dt provocará un cambio d fy en el flujo a través de Cj, así como una fem inducida en él, de acuerdo con (17-3). La fuente externa debe suministrar una fem igual a este valor, pero en sentido opuesto, a fin de mantener el
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el sistema. Durante este tiempo pasará por él una carga dq¡ = ijdt, de tal forma que el trabajo realizado por la fuente externa sera dWf^ j = ^xtdqj=—&¡ ináijdt = i¡d(\'¡. Así, en una expresión general, se tiene que
dWmlJ = ijd%	(18-1)
es el trabajo reversible realizado por la fuente externa y, por lo tanto, es la energía magnética. Al sumar las contribuciones de todas las corrientes se encuentra que el trabajo total será
dWM=dUm=Yijd%	(18-2)
7=1
que ya se puede escribir como el incremento, dU m, de la energía magnética.
Dado que los circuitos rígidos son constantes en forma y configuración relativa, de (17-46) se desprende que las inductancias serán constantes por lo que, de acuerdo con (17-58), la única manera de que los flujos puedan cambiar es que haya cambios en las corrientes, así que
S Mjkdik	(18-3)
k= 1
Al combinar (18-2) con (18-3) se obtiene
dU„= 2 2	(18-4)
7=1 k=\
que debe ahora sumarse a medida que las corrientes aumentan desde sus valores iniciales cero hasta sus valores finales/y. Hay varias formas de visualizar la realización de un proceso como éste. Por ejemplo, se podría hacer que las corrientes llegaran a su valor final una por una, se podrían aumentar todas en forma pareja y simultánea, se podrían aumentar unas cuantas primero y otras después, y así sucesivamente. En cualquiera de los casos, el resultado final para la energía debe depender tan sólo del estado final y ser independiente del proceso mediante el cual se alcanza, como se comprende fácilmente después de haber estudiado las funciones de estado en la termodinámica. De acuerdo con esto, se utilizará aquí un esquema muy sencillo para aumentar todas las corrientes simultáneamente y se dejará para los ejercicios demostrar que se obtiene el mismo resultado si se aumentan las comentes de una en una.
Supóngase que en un instante dado, t, cada una de las corrientes se encuentra a la misma fracción f de su valor final, de tal forma que i¡(t) -f(t)Ij, donde f (t) es independiente de / y varía desde el valor inicial cero a su valor final unidad. Entonces dik =Ikdf, por lo que (18-4) queda como
dUm='Zy¡MlkIJIJdf	(18-5)
7 k
Al sumar estos cambios desde el valor inicial hasta el final, y habiendo escogido como cero de energía el punto donde Um = 0, para el estado inicial en el que no hay corrientes, se encuentra que la energía magnética está dada por
Energía de un sistema de corrientes libres
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V„ = S S	| s S	(is-6)
j k	Z 7=1 k=\
Se puede observar que (18-6) es independiente de la manera precisa en que cambia/durante el tiempo del proceso y, en ese sentido, es independiente del proceso mismo; desde luego que todo esto queda condicionado a que los cambios sean lentos, de manera que se pueda considerar el proceso reversible.
Se puede escribir (18-6) en función de las corrientes y flujos, utilizando nuevamente (17-58), para tener
(18-7)
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siendo 0- el flujo total a través de C;- proveniente de todas las fuentes, inclusive ella misma.
Ejemplo
Dos circuitos. Cuando N = 2, se puede escribir (18-6) por medio de (17-66 y (17-49) como
Um = '-I (M, 7i2 + Mnldi + MuI2h + M22722)
-|£,/,2+M,2/|/2 + íL2/22	(18-8)
El primer término únicamente depende del circuito 1 y representa el trabajo necesario para establecer la corriente en contra de su propia autoinductancia, por lo que se le puede dar el apropiado nombre de “autoenergía” de ¿i; en lo que toca al tercer término se pueden hacer observaciones similares. De esta manera, para una sola inductancia aislada, L, con una corriente /, se puede expresar la energía como
Um = k2LI2	(18-9)
El término central de (18-8) abarca ambas corrientes y surge del hecho de que un flujo cambiante en un circuito produce una fem inducida en el otro; se puede pensar que este término representa la “energía de interacción” de los dos circuitos. [Resulta interesante comparar (18-6), (18-7) y (18-8) con los resultados (7-16), (7-17) y (7-18) que se lograron para el caso de conductores en un campo electrostático].
Los resultados obtenidos hasta aquí son apropiados para corrientes filamentales, y ahora se procederá a expresarlos de manera tal que se pueden aplicar al caso importante de corrientes distribuidas. Si se escribe nuevamente 0 usando (16-23) en (18-7), se obtiene
l/m=fS0A(r>/,<fc,	(18-10)
donde A(ry) es el potencial vectorial total en la posición ¿y del elemento de corriente Ijdsj de C¡. Así, la integral sobre C¡ da la contribución a Um de todos los elementos de corriente de Cj, y entonces la suma sobre / da la suma de las contribuciones de todos los elementos de corriente de todo el sistema bajo consideración. Por lo tanto, si se utiliza la primera de las equivalencias de (12-10), se debe recordar que se están manejando corrientes
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libres y en consecuencia se debe integrar con respecto a todas las regiones que contienen corrientes. (18-10) se puede volver a escribir como
Um= | J\j/r)-A(r)	(18-11)
En realidad, se puede extender la región de integración para cubrir todo el espacio, ya en las regiones en las que no hay comentes , J/= 0 por lo que su contribución a (18-11) será nula; por lo tanto, se puede expresar la energía magnética final en la forma
í/m=|f Jf(r)-A(r)¿T	(18-12)
¿ -'todo el espacio
Si se compara este resultado con (7-10), se puede observar que el potencial vectorial tiene una función muy similar en la determinación de la energía de un sistema de corrientes a la del potencial escalar para un sistema de cargas. El resultado (18-12), así como el (18-7), tiene una forma acorde con la actitud adoptada aquí de que la energía está estrechamente relacionadacon las corrientes y que está “localizada” en sus posiciones.
Si existen corrientes superficiales se puede utilizar el otro equivalente de (12-10) para expresar sus contribuciones a la energía, resultando
U„ = \f IL^^da	(18-13)
*'todo el espacio
Ejemplo
Solenoide ideal infinitamente largo. En (15-22) se encontró que este sistema puede describirse en función de una corriente superficial K - ni que circula por su superficie exterior, de manera que, de acuerdo con la figura 16-5, se puede escribir Ky= ni <p. De manera similar, en (16-46) y después de (16-50) se encontró que el potencial vectorial en la superficie (donde Ky 0) es A = 1/2 ¡J.onltafi, donde se ha escrito el radio como a. Si se introducen estos resultados en (18-13) para obtener la energía de un trozo de longitud l del solenoide, de manera que la superficie de integración es 2 ir a, se encuentra que el integrando es constante, por lo que
Í/'”=I(18-14)
Al comparar esto con (18-9) se puede observar que el área de la sección es S = ira'2, y que entonces la inductancia viene a ser L=¡j.0n2 SI, que es exactamente lo que se encontró en (17-61) calculando el flujo.