MPES_U3_contenido - Gabriel Solís

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Universidad Abierta y a Distancia de México 
 
 
Licenciatura en matemáticas 
 
Procesos estocásticos 
 
 
5° Semestre 
 
 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso 
Poisson 
 
 
Clave: 
050930726 
 
 
 
 
 
 
Procesos estocásticos 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 2 
INDICE 
 
Contenido 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson ......................................................3 
Presentación de la unidad ......................................................................................................................3 
Propósitos de la unidad ..........................................................................................................................3 
Competencia específica ..........................................................................................................................4 
3.1. La distribución exponencial y la definición de un proceso Poisson ..................................4 
3.1.1. La distribución exponencial ............................................................................................................. 7 
3.1.2. Definición del proceso Poisson ............................................................................................. 9 
3.1.3. Distribuciones asociadas ...................................................................................................... 11 
3.2. Dos procesos Poisson independientes y condicionalidad ................................................ 14 
3.2.1. Suma de procesos Poisson independientes .................................................................... 14 
3.2.2. La distribución uniforme y el proceso Poisson condicionado ................................... 15 
3.2.3. La distribución binomial y el proceso Poisson condicionado .................................... 17 
3.2.4. Descomposición de un proceso Poisson en dos procesos independientes .......... 19 
3.3. Generalizaciones del proceso Poisson ................................................................................... 20 
3.3.1. El proceso Poisson compuesto y ejemplos de aplicación .......................................... 20 
3.3.2. El proceso Poisson no-homogéneo y ejemplos de aplicación ................................... 24 
Cierre de la unidad ................................................................................................................................ 27 
Para saber más....................................................................................................................................... 27 
Referencias Bibliográficas .................................................................................................................. 27 
 
 
 
 
Procesos estocásticos 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 3 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 
 
 
Presentación de la unidad 
 
En esta unidad se abordará el estudio de un tipo de procesos a tiempo continuo {N(t)} en los que 
cada variable indica el número de veces que ocurre un evento en un intervalo de tiempo [0, t] 
para cualquier número real positivo t. El evento cuyas ocurrencias se cuentan mediante este tipo 
de procesos, debe tener características que permitan que el comportamiento probabilístico de las 
variables N(t) se describa mediante la distribución Poisson que estudiaste en el curso de 
Probabilidad. 
 
El tiempo que transcurre entre dos ocurrencias consecutivas del evento, es una nueva variable 
aleatoria cuya distribución se conoce como distribución exponencial, de la que se deducirán las 
funciones de densidad y de distribución en esta unidad. 
 
Entre las generalizaciones de este proceso, se encuentra el proceso Poisson compuesto que 
surge cuando a cada ocurrencia del evento que se estudia se le asocia una variable aleatoria Yk, 
formando un proceso {X(t)} en el que cada variable se obtiene sumando las Yk´s de los eventos 
que hayan ocurrido hasta el tiempo t, es decir, 
( )
1
( )
N t
k
k
X t Y

 . 
 
Una aplicación típica del proceso Poisson compuesto es el monto que debe pagar una 
aseguradora por concepto de reclamos de cierto tipo de seguros, en donde N(t) indica el número 
de siniestros ocurridos hasta el tiempo t, y Yk es el monto del reclamo del k-ésimo siniestro. 
 
La otra generalización que abordarás en esta unidad, se conoce como proceso Poisson no-
homogéneo en el tiempo, es decir, en el que la probabilidad de que el evento ocurra n veces en 
un intervalo de tiempo [t1, t2] depende de los valores de t1 y t2. Por ejemplo, la cantidad de clientes 
que arriban a una oficina bancaria puede describirse mediante una distribución Poisson con un 
parámetro entre las 9 y las 10 horas y con otro parámetro diferente entre las 10 y las 12 horas. 
 
 
Propósitos de la unidad 
 
Al finalizar el estudio de esta unidad: 
 
 Identificarás las distribuciones asociadas a un proceso Poisson. 
 Resolverás problemas mediante el análisis de un proceso Poisson. 
 
 
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Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 
 
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 Clasificarás los procesos Poisson en simples, compuestos y no-homogéneos. 
 
Competencia específica 
 
Utilizar los procesos Poisson simples, compuestos y no homogéneos para evaluar situaciones 
de riesgo que pueden presentarse en cualquier instante de tiempo, mediante la identificación de 
las componentes de estos procesos. 
 
 
3.1. La distribución exponencial y la definición de un proceso Poisson 
 
En el curso de Probabilidad 1 estudiaste la distribución Poisson cuya función de densidad es: 
 
 si n 0,1,2,
( ) !
0 en otro caso
n
N
e
f n P N n n
  
   

 
 
La variable aleatoria N de esta distribución, indica el número de veces que ocurre un evento en 
una unidad de tiempo sabiendo que a la larga, ocurre en promedio  veces por unidad de tiempo. 
La distribución Poisson es un buen modelo para eventos como el número de llamadas que llegan 
al conmutador de una oficina durante un día o el número de mensajes electrónicos que llegan a 
un receptor en una hora. También se puede usar cuando el evento ocurre aleatoriamente en el 
espacio, en lugar de en el tiempo, por ejemplo, para el número de defectos a lo largo de una 
milla de cable submarino, o el número de defectos en un rollo de tela seleccionado al azar. 
 
Si en lugar de tomar una unidad de tiempo (o de espacio) se toman t unidades de tiempo, el 
parámetro debe sustituirse por t, donde t puede ser cualquier número real. 
Para que esta distribución de probabilidad sea un buen modelo, el evento que se estudia debe 
tener las siguientes características: 
 
a) Al tiempo t = 0 no ha ocurrido, es decir, el conteo empieza en cero. 
b) El número de veces que sucede el evento en un intervalo I, depende sólo de la longitud 
del intervalo. 
c) El número de veces que ocurre el evento en un intervalo, es independiente del número de 
ocurrencias en intervalos ajenos a él. 
d) Para t pequeño, la probabilidad de que el evento suceda una vez en [0, t] es pequeña, y 
la probabilidad de que suceda más de una vez es despreciable. 
 
Esto se recoge en la siguiente proposición 
Proposición. Sea N(t) el número de veces que ocurre un evento en el intervalo [0, t]. Supóngase 
que se cumplen las siguientes condiciones: 
 
 
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i) N(0) = 0. 
ii) Para t y s números reales positivos, 
         0P N t s N t n P N s N n P N s n                 . 
Es decir, el proceso {N(t)} tiene incrementos estacionarios. 
iii) Para 1 20 nt t t    , las variables          1 2 1 1, , , n nN t N t N t N t N t   son 
independientes, es decir, el proceso {N(t)} tiene incrementos independientes. 
iv) 
  
0
1
lim 0
t
P N t
t



  
v) 
 
0
( ) 2
lim 0
t
P N t
t

 
Entonces, N(t) se distribuye como Poisson con parámetro t, es decir: 
  
 
!
n
t
t
P N t n e
n
   para 0.t  
Demostración. 
Llamaremos  N I al número de veces que ocurre el evento en el intervalo I. 
Sea k un entero no negativo y t > 0. Para cada n definimos h = t/n y consideramos los 
intervalos      1 20, , , 2 , 1 ,nI h I h h I n h nh      . La probabilidad que nos interesa calcular 
se puede escribir mediante la intersección con eventos ajenos definidos de acuerdo a lo que 
sucede en cada subintervalo, de la siguiente manera: 
 
     
   
, 1 para toda 1,2,
, 2 para alguna 1,2,
j
j
P N t k P N t k N I j n
P N t k N I j n
         
    
  
 
Para pasar al caso continuo, es necesario aplicar un límite cuando n  o, equivalentemente, 
cuando 0h . Vamos a analizar por separado los límites de cada uno de los sumandos 
anteriores. Para el segundo sumando se tiene 
 
     
       
11
, 2 para alguna 1,2, 2 para alguna 1,2,
2 2 2 2
j j
n n
j j
jj
P N t k N I j n P N I j n
t
P N I P N I nP N h P N h
h
        
   
 
                     
 

 
Así que 
   
 
0
2
lim , 2 para alguna 1,2, , lim 0j
n h
P N h
P N t k N I j n t
h 
       
 
 
 
 
 
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El evento del primer sumando sucede cuando en cada subintervalo ocurre el evento una vez o 
ninguna y el número total de veces que ocurre es k. Es decir, se trata de una distribución binomial 
en la que cuando ocurre una vez en un subintervalo se tiene un éxito, y cuando no ocurre el 
evento se tiene un fracaso. 
         
       
      
 
       
 
, 1 para toda 1,2, , 1 0
1 1 1 2
1 2 1
1 1 1 2
!
1 2
!
k n k
j
k n k
k k
k n k
kk
k
n
P N t k N I j n P N h P N h
k
n
P N h P N h P N h
k
n n n n k t n
P N h P N h P N h
k n t
t n n n k
k n n






 
               
 
 
                 
 
   
               
     
   
  
       
1 1
1 1 1 2
k
k n k
k
n
P N h P N h P N h
n t
   
                  
   
 
Analicemos los límites de los factores que forman la expresión anterior cuando n  . 
  
 
0
0
1 2 1
lim 1 porque lim lim 1 1 para toda constante .
11 1
lim 1 lim 1 por la condición ( ).
lim
n n n
k
k k
k
k k kn h
h
n n n k n c c
c
n n n n n
P N hn
P N h iv
t h

  
  
 

          
         
      
                   
      
        
 
0
/
0
1 1 2 1 porque lim 0 para toda constante c.
1
lim 1 1 2 lim 1 1 2
lim 1 por las condiciones i y 
k
h
h t
n
n h
n
t
n
P N h P N h P N h c
t t
P N h P N h P N t P N h
n h h
t
e v
n


 


                
  
                        
  
 
   
 
 .v
 
 
Por tanto, el límite del primer sumando es 
 
!
k
t
t
e
k
 
. 
Reuniendo los límites de ambos sumandos se obtiene que 
 
 
.
!
k
t
t
P N t k e
k
    
 
 
 
 
 
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3.1.1. La distribución exponencial 
 
En esta sección empezaremos por deducir las funciones de densidad y de distribución de una 
variable aleatoria continua X que indica el tiempo que transcurre desde t = 0 hasta la primera 
ocurrencia de un evento tipo Poisson. 
 
Sea N(t) el número de veces que ocurre un evento tipo Poisson en el intervalo [0, t], y se X el 
tiempo que transcurre desde que inicia la observación hasta que por primera vez ocurre el evento. 
Entonces los eventos [X > t] y [N(t) = 0] son equivalentes. 
 
Por tanto, para t > 0,    
 
0
( ) 0
0!
t t
t
P X t P N t e e 

      . De ahí que: 
     1 1 .tXF t P X t P X t e
       
Así que la función de densidad de X es 
 
 X t
X
dF t
f t e
dt
   para t > 0. 
Definición. Una variable aleatoria X se distribuye como exponencial si su función de densidad es 
 
si 0
0 en otro caso
t
X
e t
f x
  
 

 
Para determinar la esperanza y la varianza de una variable con distribución exponencial, se 
calculará la función generadora de momentos. 
       
0
0
t x t xtXm t E e e dx e
t t
  

 

    
    
 
. 
De ahí que 
 
 
 
 
 
   
     
2 2
0 0
2
2
2 32 2
0 00
2 2
2 2 2
1
2
2
2 1 1
t t
t tt
dm t
E X
dt t
d m t d
E X
dt dx t t
Var X E X E X
 
 
 
 
  
 
 
   

 
    
   
    
 
 
 
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Ejemplo. La duración X de un componente electrónico, es una variable aleatoria exponencial. 
Hay dos procesos para su fabricación. El proceso I brinda una duración esperada de 100 hrs y 
tiene un costo unitario de c pesos. El proceso II brinda una duración esperada de 150 horas y el 
costo unitario es de 2c pesos. Si un componente dura menos de 200 horas, el productor tiene 
una pérdida que estima en k pesos. ¿Qué proceso de producción conviene más? 
 
La función costo para cada proceso es una función de la variable aleatoria X. Se obtiene: 
   
si 200 2 si 200
si 200 2 si 200
I II
c X c X
C X C X
c k X c k X
  
  
     
 
Obsérvese que las funciones costo son variables aleatorias discretas. 
Si se usa el proceso I, entonces  
1
100E X

  , así que  = 1/100 y se tiene el siguiente costo 
esperado. 
        
  
    
200/100 200/100
2 2 2
200 200
1
1 1
IE C X cP X c k P X
ce c k e
ce c k e k e c
 
  
    
   
      
 
Si se usa el proceso II, entonces  
1
150E X

  , así que  = 1/150 y el costo esperado es: 
        
  
    
200/150 200/150
4/3 4/3 4/3
2 200 2 200
2 2 1
2 2 1 1 2
IIE C X cP X c k P X
ce c k e
ce c k e k e c
 
  
    
   
      
 
Para comparar los costos esperados, analicemos el signo de la diferencia: 
           4/3 2 2 4/31 2 1 0.13II IE C X E C X k e c k e c c k e e c k               
 
De manera que si c > 0.13k conviene más el proceso I, si c < 0.13k conviene más el proceso II. 
 
La distribución exponencial tiene dos características interesantes que se resumen en las 
siguientes dos proposiciones. La primera de ellas establece que se trata de una distribución 
desmemoriada. 
 
Proposición. Si X es una variable aleatoria que se distribuye como exponencial con parámetro 
> 0, entonces para cualquier par de números reales positivos s y t, 
   P X t s X t P X s     . 
 
 
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Demostración. 
 
    
 
 
 
 
 
t s
s
t
P X t s X t P X t s e
P X t s X t e P X s
P X t P X t e



 

    
        
 
. 
 
La segunda proposición establece que el mínimo de dos variables aleatorias independientes que 
se distribuyen exponencialmente, también tiene distribución exponencial. 
Proposición. Sean T1 y T2 variables aleatorias independientes con distribución exponencial de 
parámetros 1 y 2 respectivamente, y sea  1 2min ,T T T . Entonces T se distribuye como 
exponencial de parámetro 1 + 2. 
 
 
Demostración. 
          1 21 21 2 1 2min ,
tt t
P T t P T T t P T t P T t e e e
     
       
 
 
 
3.1.2. Definición del proceso Poisson 
 
Hay varias maneras de formular la definición de un proceso Poisson, todas ellas equivalentes 
entre sí. Aquí enunciaremos dos de esas definiciones sin detenernos a demostrar la equivalencia. 
En secciones posteriores enunciaremos otra de las definiciones. 
 
Definición. Primera definición de un proceso Poisson. Un proceso Poisson de tasa  > 0 es 
un proceso a tiempo continuo {N(t)} con espacio de estados S = {0, 1, 2, …} que satisface que: 
 
i) N(0) = 0. 
ii) Tiene incrementos estacionarios. 
iii) Tiene incrementos independientes. 
iv)  
0
1
lim 1 0
t
P N t
t


     . 
v)  
0
1
lim 2 0
t
P N t
t
    . 
Observación. Cuando una función f(t) decrece más rápido que t, es decir, 
 
0
lim 0,
t
f t
t
 se suele 
escribir    f t o t . Usando esa notación, las condiciones (iv) y (v) se pueden escribir así: 
       1 y 2P N t t o t P N t o t           . 
 
 
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La proposición que se demostró en la sección anterior garantiza que cada una de las variables 
N(t) que forma un proceso como el descrito en la definición 1, tiene distribución Poisson de 
parámetro t. 
 
Ejemplo. Sea {N(t)} el proceso Poisson que describe el número de defectos que se presentan en 
un cable submarino en las primeras t millas de longitud y supongamos que la tasa es  = 0.1 
defectos por milla. (a) Calcular la probabilidad de que no se presenten defectos en las primeras 
2 millas. (b) Si no se presentan defectos en las primeras 2 millas, calcular la probabilidad de que 
no se registren defectos entre las millas 2 y 3. 
 
(a) N(2) tiene distribución Poisson con parámetro 2(0.1) = 0.2. así que: 
  0.2(2) 0 0.8187.P N e   
(b) Como N(3) – N(2) y N(2) – N(0) = N(2) son independientes y como los incrementos son 
estacionarios, se tiene: 
            0.13 2 0 2 0 3 2 0 1 0 0.9048P N N N P N N P N e                  . 
Ejemplo. El arribo de los clientes a un comercio se describe mediante un proceso Poisson con 
tasa  = 14 por hora. Si el comercio abre a las 9 de la mañana, calcular la probabilidad conjunta 
de que a las 9:30 hayan llegado 5 clientes y a las 11:30 haya llegado un total de 15 clientes. 
 
     
5 10
14 214/2
5
1 5 1 5 1
5, 15 5, 10
2 2 2 2 2
1 5 1
5 10
2 2 2
1
5 2 10
2
14 / 2 14 2
5! 10!
7
5!
P N N P N N N
P N P N N
P N P N
e e

            
                 
            
        
           
        
  
       
  
  
   
  
  


10
7 2828 0.0000072
10!
e e 
  
   
   
 
 
La segunda forma de definir un proceso Poisson, es la siguiente. 
 
Definición. Segunda definición de un proceso Poisson. Un proceso Poisson de tasa  > 0 es 
un proceso a tiempo continuo {N(t)} con espacio de estados S = {0, 1, 2, …} que cumple las 
siguientes condiciones: 
 
a) N(0) = 0. 
 
 
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 11 
b) Tiene incrementos independientes. 
c) N(t + s) – N(s) se distribuye como Poisson con parámetro t para números reales 
0 y 0.s t  
 
En esta definición se sustituyen tres de las cinco condiciones de la definición anterior por el 
requerimiento de que cada incremento se distribuya como Poisson. Obsérvese que la condición 
(c) implica que los incrementos son estacionarios porque el parámetro de su distribución depende 
sólo de la longitud del intervalo. Se puede demostrar que las tres condiciones de esta definición 
implican los límites de las condiciones (iv) y (v) de la primera definición. 
 
 
 
3.1.3. Distribuciones asociadas 
 
Una de las aplicaciones más estudiadas de este tipo de procesos, es la de teoría de colas, en la 
que los eventos que se observan son llegados de nuevos clientes o trabajos a una fila de espera. 
Por ello, con frecuencia se usa la terminología correspondiente a este caso al referirse a varios 
aspectos del proceso Poisson. Usaremos esa terminología porque es la que se encuentra en 
buena parte de la bibliografía disponible. 
 
1. Tiempo entre dos ocurrencias sucesivas o tiempo interllegadas. 
Consideremos un proceso Poisson {N(t)} de tasa λ. Sea T₁ el tiempo en que ocurre la primera 
llegada y Tn el tiempo entre la (n-1)-ésima y la n-ésima llegadas. Es decir, los tiempos entre dos 
llegadas consecutivas son T₁, T₂, T₃,… 
 
En la sección 3.1.1 se demostró que T1 es una variable con distribución exponencial de parámetro 
. La siguiente proposición permite asegurar que las variables T₁, T₂, T₃,… tienen toda 
distribución exponencial y son independientes, puesto que la densidad conjunta de n de esos 
tiempos, es el producto de n densidades exponenciales de parámetro . 
Proposición. Sea {N(t)} un proceso Poisson de tasa . Los tiempos interllegadas T1, T2,…, Tn 
tienen distribución conjunta: 
 
 1 2
1 2, ,..., 1 2
si 0 para toda 
, ,...,
0 en otro caso
n
n
t t tn
j
T T T n
e t j
f t t t


    
 

 
Demostración. 
Haremos la prueba para n = 2; el caso general es similar. Sea  1 2,F t t la función de distribución 
 
 
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 12 
conjunta de T1 y T2, es decir, 
   1 2 1 1 2 2, ,F t t P T t T t   . 
Entonces, 
 
   
       
 
1 2
2
1 2 1 2
, 1 2
2 1 2 1
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0
1 1 1 2 2 2
0 0
, ,
,
, , , ,1
lim lim
,
lim lim
T T
k h
k h
F t t F t t
f t t
t t t t
F t h t k F t t k F t h t F t t
k h
P t T t h t T t k
hk
 
 
  
   
    
       
  
 
     

 
La probabilidad del numerador corresponde al siguiente esquema 
 
Es decir, el evento    1 1 1 2 2 2t T t h t T t k       sucede si no ocurren llegadas en los 
intervalos    1 1 1 20, y ,t t h t h t   y ocurre exactamente una llegada en cada uno de los 
intervalos    1 1 1 2 1 2, y ,t t h t h t t h t k      . Por tanto, usando que se tienen incrementos 
independientes y estacionarios, se obtiene, 
 
     
       
   1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 1
1 1 1 2 1 2
1
,
0 01
1
1 1
1 1
t t
P t T t h t T t k
hk
P N t P N t h t N t h
hk P N t h N t P N t h t k N t h t
e e P N h P N k
h k
 
     
              
  
                
   
           
   
 
Aplicando el límite cuando h y k tienden a cero, se llega a: 
   1 2
1 2
2
, 1 2,
t t
T Tf t t e


 
 . 
 
2. Momentos en que ocurre el evento o momentos de las llegadas 
Sea Wn el momento de la n-ésima llegada o el momento en el que ocurre por n-ésima vez el 
evento. Entonces, 
1
n
n j
j
W T

 . 
Obsérvese que el evento [Wn > t] sucede si en el intervalo [0, t] hay menos de n llegadas, es decir, 
 
 
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 13 
    
 1 1
0 0 !
k
n n
t
n
k k
t
P W t P N t k e
k

 

 
     
De ahí que la función de distribución de Wn es: 
   
 1
0
1
!n
k
n
t
W n
k
t
F t P W t e
k




    . 
Para obtener la función de densidad, derivamos la función de distribución. Así obtenemos que, 
para t > 0, 
     
     
   
 
1 1
0 1
1
1 1
1 1
1
1
1 1
( ) 1
! !
! ! !
! 1 !
n
k k
n n
W t t t
X
k k
k k k
n n
t t t t t
k k
k k
n
t t t
k k
dF t t td d
f t e e e
dt dt k dt k
t t td
e e e e k e
dt k k k
t t
e e e
k k
  
    
  
 
  
   
 
  
 
  
 

 
    
 


  
 
   
        
   
   
   
        
   
   
  

 
 

   
 
 
 
1
1 1
1 1
1 2
.
! 1 ! 1 !
n
k k n
n n
t t t
k k
t t t
e e e
k k n
      

 
 
  
 
  
 

 
 
 
La distribución obtenida, recibe el nombre de distribución gama. 
Definición. Una variable aleatoria absolutamente continua X se distribuye como gama con 
parámetros y >0n  , si su función de densidad es 
   
1
si 0
1 !
0 en otro caso
n n
x
X
x
e x
nf x


 
 


 
 
 
Como Wn se puede escribir como 
1 2n nW T T T    , 
donde cada Tj se distribuye como exponencial de parámetro  y las Tj´s son independientes, se 
tiene que 
   
   
1
2
1
.
n
n j
j
n
n j
j
n
E W E T
n
Var W Var T




 
 


 
 
 
 
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Ejemplo. Supongamos que la emigración de una población de personas ocurre de acuerdo a un 
proceso Poisson con tasa  = 2 por día. Calcular el tiempo esperado hasta emigran 10 personas 
y la probabilidad de que después a los 15 días hayan migrado al menos 20 personas. 
Se tiene que el momento esperado de la décima migración es:  10
10
5
2
E W   días. 
Por otro lado, que a los 15 días hayan emigrado al menos 20 personas es equivalente a pedir 
que el momento de la emigración de la 20ª persona ocurra antes del día 15 o en ese día. 
 
20 19
15
2
20
0
2
15 0.97813
19!
ttP W e dt   . 
 
Ahora estamos en condiciones de abordar una tercera formulación de la definición de un proceso 
Poisson. 
 
Definición. Tercera definición de un proceso Poisson. Sea {Tn} una sucesión de variables 
aleatorias independientes, todas con distribución exponencial de parámetro . El proceso Poisson 
de tasa  es un proceso a tiempo continuo {N(t)} dado por 
   2max | i nN t n T T T t    . 
Si el conjunto de esta definición es vacío, entonces N(t) = 0. 
 
Obsérvese que la última oración de la definición anterior garantiza que el proceso empieza en 0, 
y se puede demostrar que el proceso {N(t)} de esta tercera definición tiene incrementos 
independientes y estacionarios y cada una de sus variables aleatorias tiene distribución Poisson 
de parámetro , con lo que se garantiza la equivalencia entre esta definición y las dos que se 
vieron en la sección 3.1.2. 
 
 
3.2. Dos procesos Poisson independientes y condicionalidad 
 
El proceso Poisson se relaciona con distribuciones como la Binomial y la uniforme continua 
cuando se condiciona por ciertos eventos. En esta sección estudiaremos esas relaciones y las 
características de un proceso formado mediante la suma de dos procesos Poisson 
independientes. 
 
 
3.2.1. Suma de procesos Poisson independientes 
 
La siguiente proposición garantiza que la suma de dos procesos Poisson independientes, es un 
nuevo proceso Poisson. 
 
 
 
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 15 
Proposición. Sean {Na(t)} y {Nb(t)} dos proceso Poisson con tasas a y b respectivamente. 
Entonces el proceso {N(t)} dado por N(t) = Na(t) + Nb(t) es un proceso Poisson con tasa a + b. 
Demostración: Como Na(0) = 0 y Nb(0) = 0, es claro que N(0) = 0. Además, el hecho de que 
{Na(t)} y {Nb(t)} tengan incrementos independientes y estacionarios, obliga a que ocurra lo mismo 
con {N(t)}. Por tanto, basta demostrar que cada N(t) tiene distribución Poisson de parámetro 
(a+b)t. 
         
   
 
   
 
   
 
   
 
0
0 0
0
,
!
! ! ! ! !
!
a ba b
a b
n
a b a b
k
k n k n k n k
n n
tt ta b a b a b
n
k k a b
k n kn
n
ta b a b
k a b a b
a b
P N t n P N t N t n P N t k N t n k
t t t t t tn
e e e
k n k n k n k t t
nt t
e
kn
t t
  
 
     
 
   
   
 

 
  
 

 

                 

 
  
     
     
     



 

     
! !
a b a b
nn n
t ta ba b
a b a b
t t
e e
n n
     
   
    
  
  
 
 
 
3.2.2. La distribución uniforme y el proceso Poisson condicionado 
 
Si se sabe que el número de llegadas ocurridas hasta un tiempo t es un número fijo n, entonces 
algunas distribuciones de variables relacionadas con un proceso Poisson toman la forma de 
distribuciones sencillas y conocidas. 
Antes de ver lo anterior, recordemos que si se tienen n variables aleatorias X₁, X₂,…, Xn 
independientes e idénticamente distribuidas, sus estadísticos de orden son las variables 
aleatorias X₍₁₎, X₍₂₎,…, X(n) definidas por: 
   
      
   
1 21
1 22 1
1 2
min , , ,
min , , ,
max , , ,
n
n
nn
X X X X
X X X X X
X X X X

 

 
Es decir, X₍₁₎ es la variable que toma el valor mínimo, X₍₂₎ es la variable que toma el siguiente 
valor, y así sucesivamente hasta que X(n) es la que toma el valor máximo. Si la función de 
densidad común de las variables X₁, X₂,…, Xn es f, entonces la densidad conjunta de sus 
estadísticos de orden es 
     
 
     
1 2
1 2 1 2
1 2
! si 
, ,
0 en otro cason
n n
X X X n
n f x f x f x x x x
f x x x
   
 

 
En particular, si la distribución común es uniforme continua en el intervalo [0, t], se tiene que 
 
 
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 16 
     
 
1 2
1 2
1 2
!
si 
, ,
0 en otro caso
n
nn
X X X n
n
x x x
f x x x t

  
 


 
Proposición. Sea {N(t)} un proceso Poisson de tasa λ. Si se sabe que N(t) = n, entonces los 
momentos de los arribos W₁,W₂,…, Wn tienen la misma densidad conjunta que los estadísticos 
de orden de n variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,t]. 
 
Demostración 
Sean w₁, w₂,…, wn números reales tales que 0 < w₁ < w₂ < ⋯ < wn < t. Como Wn es el momento 
de la n-ésima llegada y N(t) es el número de llegadas en el intervalo [0, t] es claro que los eventos 
[Wn ≤ t] y [N(t) ≥ n] son equivalentes. Entonces 
     
       
             
 
1 2
1 2 1 1 2 2, , , |
1 2
1 2
1 2
1 2 1 1
1 2
1
1 2
, , , | , , |
1, 2, , |
1, 1, , 1, 0
n
n
n n nW W W N t
n
n
n
n
n
n n n
n
n
n
f w w w n P W w W w W w N t n
w w w
P N w N w N w n N t n
w w w
P N w N w N w N w N w N t N w
w w w P N t n
w e
w w w




        

        
            
       


  
         
 
   
12 11
2 1 1
1 2 1 1
1 2
!
! !
.
n n nw w t ww ww
n n
n
t
n
n n
n n
n
w w e w w e e
t
e
n
n w w w w w n
w w w t t
 

 

    



 
  
 
 
 
 
  
  
     
 
Así que las variables W₁, W₂,…, Wn tienen la misma distribución que los estadísticosde orden de 
n variables independientes con distribución uniforme en el intervalo [0, t]. 
 
La proposición anterior brinda un mecanismo para simular trayectorias muestrales de un proceso 
Possin. El procedimiento es el siguiente: se eligen dos reales positivos t y . Se genera un valor 
aleatorio para la variable N(t) simulando una distribución Poisson de parámetro t. Si se obtiene 
por ejemplo N(t) = 4, entonces se generan 4 números aleatorios en el intervalo [0, t] (los números 
aleatorios son realizaciones de una distribución uniforme continua). Luego se ordenan los 
números generados de menor a mayor y se identifica cada uno de ellos con los valores de las 
variables W1, W2, W3 y W4. Así se obtiene una trayectoria del siguiente tipo: 
 
 
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 17 
 
 
 
3.2.3. La distribución binomial y el proceso Poisson condicionado 
 
Supongamos que durante el intervalo de tiempo [0, t] se han observado n llegadas, es decir, se 
sabe que ha ocurrido el evento [N(t) = n]. ¿Cuántas de ellas ocurrieron en el intervalo [0, s] con s 
< t? La respuesta está dada por una variable aleatoria que se distribuye como binomial. 
 
Proposición. Sean s y t números reales positivos con s < t, y sean k y n enteros que cumplen 
que 0 ≤ k ≤ n. Entonces 
   | 1
k n k
n s s
P N s k N t n
k t t

    
          
    
. 
Demostración. 
La probabilidad de que una llegada que ocurre en [0 ,t] haya ocurrido en [0, s], es 
 
 
 
   
 
 
1 1
1
, 1 0
| 1
1 1
.
s ts
t
P T s N t P T s P N t s
P T s N t
P N t P N t
se e s
te t




 

                       
 
 
El número de arribos en el intervalo [0, s] es el número de eventos [Wi < s] que ocurren. Estos 
eventos son independientes y cada uno tiene probabilidad s/t. Así que la probabilidad del evento 
   |N s k N t n    es 1
k n k
n s s
k t t

    
    
    
. 
 
El siguiente resultado muestra que se puede obtener otra distribución binomial cuando lo que se 
sabe es que la suma de dos procesos Poisson independientes toma un valor fijo. 
 
Proposición. Sean {N₁(t)} y {N₂(t)} dos procesos Poisson independientes de parámetros λ₁ y λ₂ 
 
 
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respectivamente, y sean k y n enteros tales que 0 ≤ k < n. Entonces 
      1 21 1 2
1 2 1 2
|
k n k
n
P N t k N t N t n
k
 
   

    
                
 
Demostración: 
Usando que los incrementos son estacionarios e independientes y que la suma de dos procesos 
Poisson independientes es un nuevo proceso Poisson, tenemos: 
     
     
   
   
   
   
 
 
       
1 2
1 2
1 1 2
1 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
,
|
! ! !
! !
!
k n k
t
k n k
n nn
t
k n k
P N t k N t N t n
P N t k N t N t n
P N t N t n
P N t k P N t n k
P N t N t n
t t
e
k n k n
k n kt
e
n
n
k
 
 
 
 
   
 
   

 

 

             
        
   

 
 
    
     
     
 
 
La relación de otras distribuciones de probabilidad con la distribución binomial, permite la 
aplicación de esas otras distribuciones en el cálculo de ciertas probabilidades relacionadas con 
procesos Poisson. Una situación de este tipo se presenta en el siguiente ejemplo. 
 
Ejemplo. Dado un proceso Poisson de arribos tipo a con tasa a, y otro proceso Poisson 
independiente de llegadas tipo b con tasa b, calcular la probabilidad de que el momento del 6° 
arribo tipo a sea menor al momento del 4° arribo tipo b. 
 
Lo que se pide es equivalente a tener al menos 6 arribos tipo a en los primeros 9 arribos del 
proceso general. Si esto pasa, entonces se tendrán a lo más 3 arribos tipo b antes del 6º tipo a. 
El cuarto arribo tipo b puede ser el 10° o el 11° o cualquiera posterior. 
 
Calculemos la probabilidad de que ocurra una llegada tipo a antes que una tipo b: 
 
 
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 19 
 
 
1 1 1 1 1 1 1
0
1
0 0
0 0
|
1
1
b
b a b
a bb
xa b a b a b b
b
x x xa
b b
xx b a
b b
a b a b
P W W P T T P T T T x e dx
P T x e dx e e dx
e dx e dx

  
 

 
 
 
   


 
  
   
               
     
    
 

 
 
 
 Ahora consideremos el evento consistente en 2 llegadas tipo a antes de la primera tipo b, es 
decir 2 1
a bP W W   . Para que ocurra este evento, es necesario que la primera y la segunda 
llegadas sean tipo a. Dada la independencia de los tiempos interllegadas, el primer evento es tipo 
a con probabilidad λa/(λa+λb) y el segundo es tipo a con la misma probabilidad, de manera que: 
 
2
2 1
a b a
a b
P W W

 
 
   
 
. 
El evento que nos interesa analizar se puede ver como la probabilidad de que haya cuando menos 
6 éxitos en 9 pruebas donde la probabilidad de éxito es p =λa/(λa+λb), es decir, 
   
9
9
6 4
6
9
1
ka b k
k
P W W p p
k


 
   
 
 . 
La fórmula general para calcular la probabilidad de que el tiempo del m-ésimo arribo tipo a sea 
menor que el del n-ésimo tipo b es: 
   
1
11
1
m n
m n ka b k
m n
k m
m n
P W W p p
k
 
  

  
   
 
 
 
 
3.2.4. Descomposición de un proceso Poisson en dos procesos 
independientes 
 
Sea {N(t)} un proceso Poisson con tasa λ, y supongamos que cada evento que ocurre puede ser 
de tipo 1 con probabilidad p o bien de tipo 2 con probabilidad 1-p. Por ejemplo, sea {N(t)} el 
proceso Poisson que indica el número de clientes que llegan a un comercio desde que abre hasta 
el tiempo t. Los clientes pueden ser hombres o mujeres con probabilidad p o 1-p respectivamente. 
Entonces {N(t)} se puede descomponer en dos procesos Poisson que indican el número de 
hombres y el número de mujeres que llegan de 0 a t. 
Sea N₁(t) el número de eventos tipo 1 y N₂(t) el número de eventos tipo 2. Entonces N(t) = N₁(t) 
+ N₂(t) 
Calculemos la siguiente probabilidad conjunta 
 
 
Procesos estocásticos 
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 20 
              
 
 
 
 
    
 
      
1 2 1 2
1
, , |
1
!
!
1
! ! !
1
! !
n m
mn t
t
mn
mn
t ptp
P N t n N t m P N t n N t m N t n m P N t n m
tn m
p p e
n n m
n m e
tp t p
n m n m
t ptp
e e
n m




 



 
        
 
  
 

 



 
Como esta probabilidad es el producto de dos distribuciones Poisson con parámetros λpt y λ(1-
p)t, se desprende que {N₁(t)}, {N₂(t)} son procesos Poisson independientes con tasas λp y λ(1-p). 
Ejemplo. En cierta región, llegan inmigrantes a una tasa de 10 por semana y cada inmigrante 
puede ser latino con probabilidad 1/2. ¿Cuál es la probabilidad de que durante el mes de febrero 
no llegue ningún latino? 
 
Solución. Es claro que se trata de un proceso Poisson con tasa 4(10)(1/2) = 20 y la probabilidad 
deseada es e⁻²⁰=2.0612×10⁻⁹. El resultado sería igual en cualquier periodo de 4 semanas a lo 
largo del tiempo en el que la tasa se mantiene constante. 
 
 
3.3. Generalizaciones del proceso Poisson 
 
Hay varias generalizaciones del proceso Poisson que permiten aplicaciones en las que no es 
posible usar el proceso Poisson simple que hemos estudiado hasta aquí.Veremos dos de estas 
extensiones. El proceso Poisson compuesto en el que a cada evento que ocurre se le asigna una 
variable aleatoria nueva, y el proceso Poisson no-homogéneo en el que la tasa de ocurrencia  
no es constante. 
 
 
3.3.1. El proceso Poisson compuesto y ejemplos de aplicación 
 
Supongamos que se tiene un proceso Poisson {N(t)} y que se asigna una variable aleatoria Yi al 
i-ésimo evento que ocurre, donde las Yi´s son variables aleatorias independientes e idénticamente 
distribuidas, que además son independientes del número de ocurrencias N(t). Por ejemplo, si N(t) 
cuenta llegadas de vehículos a un estacionamiento, Yi puede ser el número de personas en el i-
ésimo vehículo. Si N(t) es el número de mensajes que llegan a un centro de transmisión vía 
internet, Yi puede ser el tamaño del i-ésimo mensaje en bytes. Las variables aleatorias X(t) = Y₁ 
+ Y₂ + ⋯ + YN(t), forman lo que conocemos como un Proceso Poisson compuesto. 
 
 
 
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 21 
Definición. Sea {Yi} una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente 
distribuidas con función de distribución común F. Sea {N(t)} un proceso Poisson . El proceso 
{X(t)} dado por 
 
 
1
(0) 0
para 0,
N t
k
k
X
X t Y t


 
 
se llama proceso Poisson Compuesto. 
 
El proceso Poisson compuesto se emplea para modelar situaciones como las siguientes: 
a) N(t): número de reclamaciones que una aseguradora recibe hasta el tiempo t y Yi el monto de 
la i-ésima reclamación. 
b) N(t): número de transacciones de un tipo de acciones bursátiles hasta el tiempo t y Yi el 
número de acciones negociadas en la i-ésima transacción. 
c) N(t): número de transacciones en el mercado accionario hasta el tiempo t y Yk cambio en el 
precio de mercado de un tipo de acciones entre las transacciones k-1 y k. 
En los siguientes párrafos, se abordarán las principales características de un proceso Poisson 
compuesto. 
 
1. Media y varianza de las variables X(t) 
Recordemos la siguiente proposición acerca de la esperanza y la varianza de una suma de un 
número aleatorio de variables aleatorias. 
 
Proposición Sean Y₁, Y₂,… variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. 
Sea N una variable aleatoria con valores enteros no-negativos y S = Y₁ + Y₂ + ⋯ + YN con S = 0 
cuando N = 0. Se tiene que: 
i) Si E(N) < ∞, entonces E(S) = E(N) E(Yi) 
ii) Si E(N²) < ∞, entonces Var(S) = E(N)Var(Yi) + Var(N)(E(Yi)² 
 
Por tanto, en el proceso Poisson compuesto, tenemos: 
         
                  
2 2 2 .
i i
i i i i i
E X t E N t E Y tE Y
Var X t E N t Var Y E Y Var N t tVar Y t E Y tE Y

  
 
           
 
Ejemplo. Suponga que la llegada de familias de migrantes a una región se puede modelar 
mediante un proceso Poisson con tasa λ = 2 por semana. Si el número de personas en cada 
familia es independiente del tamaño de las otras familias y toma los valores 1, 2, 3, 4 con 
probabilidades 1/6, 1/3, 1/3 y 1/6 respectivamente, entonces para obtener el número esperado 
de individuos que migran a esa región durante un periodo de 5 semanas, calculamos: 
 
 
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 22 
 
    
1 1 1 1 5
1 2 3 4
6 3 3 6 2
5
5 2 5 25 personas
2
iE Y
E X
       
           
       
 
  
  
 
La varianza del número de individuos que migran en 5 semanas requiere los siguientes cálculos: 
 
    
2 2 2 2 21 1 1 1 431 2 3 4
6 3 3 6 6
43 215
5 2 5
6 3
iE Y
Var X
       
           
       
 
  
 
 
 
2. Incrementos estacionarios e independientes 
Para t > 0 y h > 0, N(t + h) - N(t) tiene la misma distribución que N(h). Además, como las Yk´s son 
independientes e idénticamente distribuidas, Y₁, Y₂, …, YN(h) tienen la misma distribución que 
YN(t)+1, YN(t)+2,…, YN(t+h). Pero X(t+h) - X(t) = YN(t)+1, YN(t)+2, …, YN(t+h) y X(h) = Y₁, Y₂, …, YN(h), por 
tanto {X(t)} es un proceso de incrementos estacionarios. 
Además, la independencia de las Yi´s respecto a N(t) nos permite asegurar que números enteros 
0 ≤ t₀ < t₁< ⋯ < tn, los vectores 
    
          
          
0
10 0
1
1 2 0
1 01 2
11 2
, , , , ,
, , , ,
, , , , ,
k k k
N t
N tN t N t
k kN t N t N t
Y Y Y N t
Y Y Y N t N t
Y Y Y N t N t

 
 


 
son independientes. 
 
3. La función de distribución de X(t) 
Supongamos que la distribución común de las Yi´s es F. Entonces, 
 
   
 
 
 
 
1 0 1
1 2
0
!
!
nN t N t
t
k k
k n k
n
t
n
n
t
P X t x P Y x P Y x N t n e
n
t
e P Y Y Y x
n






  



  
          
    
    
  

 
 
Ejemplo. Sea N(t) el proceso Poisson que indica el número de impactos que recibe un sistema 
hasta el tiempo t y sea Yi el daño provocado por el i-ésimo impacto. Supongamos que el daño es 
positivo y que el sistema continúa operando mientras el daño total (acumulado) no rebase un 
valor crítico a. Sea T el tiempo de vida del sistema. Vamos a calcular la E(T). Usaremos que, para 
 
 
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 23 
una variable aleatoria continua y no negativa, la esperanza se puede calcular integrando respecto 
a x, la probabilidad de que la variable rebase a x. Es decir: 
 
         
0 0 0 0 0
.
y
X X X
x
P X x dx f y dydx f y dxdy yf y dy E X
    
          
 
Los eventos [T > t] y [X(t) < a] son equivalentes, donde X(t) es el daño acumulado hasta el 
tiempo t. Por tanto, 
   
 
 1 2
0
.
!
n
t
n
n
t
P T t P X t a e P Y Y Y a
n




           . 
 
El tiempo esperado de vida toma la forma 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
0 0
0
1
* *
0 0
0 0
*
0
!
! 1 !
1
.
n
t
n
n
n n
t n t n
n n
n
n
t
E T P T t dt e P Y Y Y a dt
n
t t
e dt F a e dtF a
n n
F a

 

 

 



  
 
 


      
 
   
  
 

 
  

 
donde 
           * 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2
n
n n n nF a P Y Y Y a f x f x f x f a x x x dx dx dx
 
 
 
          
se conoce como la convolución de F consigo misma n veces. 
 
Supongamos por ejemplo que las Yi´s tienen distribución exponencial de parámetro , es decir 
P(Yi ≤ a) = 1 - e- μa, entonces Y₁ + ⋯ + Yn se distribuye como gama, es decir, 
 
   1*
0
1
! !
k k
n
n a a
k k n
a a
F a e e
k k
 
  
 
 
    
y 
 
   
 
 *
0 0 0 0 0
1 1 .
! ! !
k k k
k
n a a a
n n k n k n k
a a a
F a e e k e a
k k k
  
  

    
  
     
         
Por tanto, en este caso E(T)=(1+μa)/λ. 
 
 
 
 
 
 
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 24 
3.3.2. El proceso Poisson no-homogéneo y ejemplos de aplicación 
 
Ahora consideremos que la tasa λ de un proceso Poisson no es una constante sino una función 
del tiempo t. Aunque se trata de un modelo más realista, se pierde una propiedad importantísima: 
la estacionariedad. 
 
Definición. Un proceso Poisson no-homogéneo es un proceso a tiempo continuo {Y(t)} con 
espacio de estados S = {0, 1, 2, …} y cuyo parámetro es una función positiva localmente 
integrable λ(t), y que cumple las siguientes propiedades: 
 
1. Y(0) = 0 
2. Tiene incrementos independientes 
3. Para cualquiert ≥ 0, 
    
 
    
0
0
1
lim
2
lim 0
h
h
P Y t h Y t
t
h
P Y t h Y t
h





  

  

 
Este proceso no tiene incrementos estacionarios debido a que la variable Y(t+h) - Y(t) tiene una 
distribución de probabilidad que depende de los valores de la función λ(t) en el intervalo de tiempo 
(t, t + h). Sin embargo, algo que sí sucede es que cada variable Y(t) sigue teniendo distribución 
Poisson. 
 
Observación. Las dos condiciones en la parte 3 de la definición anterior, se pueden escribir como 
       
     
1
2
P Y t h Y t t h o h
P Y t h Y t o h
      
     
 cuando 0h  
 
Proposición. Las variables Y(t) de un proceso Poisson no-homogéneo con tasa λ(t) tienen 
distribución Poisson con parámetro Λ(t) dado por 
   
0
t
t s ds   , 
es decir, para n = 0, 1, 2, … 
 
    
!
n
t
t
P Y t n e
n


    
 
Demostración 
Sea pn(t) = P[Y(t) = n] y pn(t, t + h) = P[Y(t + h) - Y(t) = n] para cualquier h > 0. Por la independencia 
de los incrementos se tiene que 
 
 
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 25 
           0 0 0 0, 1p t h p t p t t h p t t h o h        . 
Usando lo anterior, se tiene que la derivada de p₀(t) es 
 
         
 
 
 
   
   
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
0
, , 1
´ lim lim lim
1 1
lim .
h h h
h
p t h p t p t p t t h p t p t t h
p t p t
h h h
t h o h
p t t p t
h


  

     
  
  
  
 
La ecuación diferencial p₀′(t) = -λ(t)p₀(t) con la condición inicial p₀(0) = 1 tiene como única solución 
 
   0
0 .
t
s ds t
p t e e
   
Ahora, para n ≥ 1, tenemos que: 
           
           
0 1 1
0 1
, ,
, .
n n n
n n
p t h p t p t t h p t p t t h o h
p t p t t h p t t h o h o h


     
      
 
De donde se obtiene 
 
                 
           
       
0 1
0 0
0 1
1
0
,
´ lim lim
, 1
lim .
n n nn n
n
h h
n n
n n
h
p t p t t h p t t h o h o h p tp t h p t
p t
h h
p t p t t h p t t h o h o h
t p t t p t
h


 

 



        
 
          
   
 
Tenemos entonces la ecuación diferencial 
 
         1´n n np t t p t t p t     
con la condición inicial pn(0)=0. Multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por 
 t
e

 y 
reacomodando los términos, obtenemos: 
               1´
t t t
n n np t e t p t e t p t e 
  
  
 Si definimos      tn nq t e p t

 , la ecuación anterior se transforma en 
   1(́ )n nq t t q t  
con las condiciones frontera qn(0)=0 y q₀(t)=1, cuya solución iterativa es 
 
  
.
!
n
n
t
q t
n

 
Así que hemos obtenido la igualdad: 
   
  
 
    
!
.
!
n
t
n
n
t
n
t
e p t
n
t
p t e
n






 
 
 
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 26 
 
Como Y(t) tiene distribución Poisson con parámetro Λ(t) a esta última función se le llama la función 
del valor medio del proceso. Obsérvese que en caso de que λ(t)=λ constante, estaríamos frente 
a un proceso Poisson simple y tendríamos que 
 
0
,
t
t ds t    
como habíamos visto antes. 
 
Ejemplo. Una sucursal bancaria en un día de pago a los empleados del gobierno, recibe clientes 
que llegan, en promedio, a un ritmo que crece a una razón constante de 5 clientes por hora 
empezando con 5 clientes a las 8 a.m, y llegando a 20 clientes por hora a las 11 de la mañana. 
De las 11 a.m. a la 1 p.m., llegan 20 clientes por hora. Posteriormente, la tasa de arribo decrece 
a razón constante de la 1 p.m. a las 5 p.m., teniendo en la última hora un arribo de 12 clientes. Si 
suponemos que la llegada de clientes es independiente en intervalos de tiempo ajenos, ¿cuál es 
un buen modelo probabilístico para el proceso descrito? ¿Cuál es la probabilidad de que no 
lleguen clientes entre las 8:30 y las 9:30 de la mañana el próximo día de pago? ¿Cuál es el 
número esperado de llegadas en el turno de las 8 a.m. a las 5 p.m.? 
 
Solución. 
Un buen modelo para el proceso descrito consiste en un proceso Poisson no-homogéneo {Y(t)}, 
donde Y(t) representa el número de clientes que han llegado a la sucursal bancaria durante las 
primeras t horas de servicio. La descripción de la función de intensidad se puede representar 
mediante la expresión lineal 5 + 5t para 0 < t < 3, la constante 20 para 3 < t < 5 y una recta de 
pendiente negativa para t entre 5 y 9, que empieza en 20 y acaba en 12. Esta última toma la 
forma 20-2(t – 5). 
Así obtenemos la función intensidad: 
 
 
5 5 si 0 3
20 si 3 5
20 2 5 si 5 9
t t
t t
t t

  

  
     
 
El número de llegadas entre las 8:30 y las 9:30 es un proceso Poisson con media 
3 1
2 2
   
    
   
, así que la probabilidad de que no haya llegadas es 
 
 
3/2
1/2
3/2
3/25 5
10 2
1/2
1/2
5
0.000045, ya que 5 5 5 10
2
t dt
e e t t t
 
         
 

 
 
El número esperado de llegadas en todo el turno es 
   
3 5 9
0 3 5
5 5 20 30 2 141.5t dt dt t dt       , 
 
 
Procesos estocásticos 
Unidad 3. La distribución exponencial y el proceso Poisson 
 
Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 
 27 
 
Es decir, en promedio, la sucursal bancaria atiende a más de 141 clientes diarios durante los días 
de pago. 
 
 
 
Cierre de la unidad 
 
En esta unidad estudiaste un proceso de conteo de eventos tipo Poisson desde el inicio de la 
observación hasta cualquier instante de tiempo t. Las características de este proceso hacen muy 
sencillo el cálculo de diversas probabilidades vinculadas a las variables que los compone y, al 
mismo tiempo, estas variables están relacionadas con distribuciones como la binomial o la 
uniforme continua. 
 
Las dos generalizaciones vistas en esta unidad, el proceso Poisson compuesto y el no-
homogéneo, amplían el campo de aplicaciones de este tipo de procesos permitiendo mayor 
flexibilidad en las condiciones necesarias para que el modelo sea adecuado. 
 
 
Para saber más 
En la siguiente liga encontrarás unas notas de J Ortega Sánchez, investigador del Centro de 
Investigación en Matemáticas (cimat), acerca del proceso Poisson: 
http://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/modestoI10/Poisson2.pdf 
 
 
Referencias Bibliográficas 
 Brzezniak Z. y Zastawniak T. (2002). Basic Stochastic Processes. A Course Through 
Exercises, Springer, London. 
 
 Durret, R. (1999). Essential of Stochastic Processes. Springer-Verlag, New York. 
 
 Rincon L. (2008). Introducción a los Procesos Estocásticos. Departamento de 
Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM, Cd. México. 
 
 Ross, S.M. (1996). Stochastic processes. John Wiley & Sons, New York. 
 
 Karling S. and Taylor H.M. (1975). A firts Course in Stochastic Porcesses, Academic 
Press Inc, London. 
http://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/modestoI10/Poisson2.pdf