AL-2009-I-P2

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Parcial II – Álgebra Lineal
Marzo 18 de 2009
(6 Puntos) I. Responda falso o verdadero, en cuatro de las cinco afirmaciones, justificando
(con un contraejemplo o una prueba, respectivamente) su respuesta.
(i) La dimensión del subespacio Mo =
{
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
| a11 + a22 = 0
}
de M2(R) es 3.
(ii) Si A es una matriz cuadrada entonces det(A + AT ) = 2 detA.
(iii) Si ~x, ~y ∈ R3 entonces ~x y ~y son perpendiculares a ~x× ~y.
(iv) Si A y B son matrices 3× 3, det A = 4 y detB = 2, entonces det(2A−1B) = 1.
(v) La segunda coordenada de la solución al sistema de ecuaciones lineales A~x = ~b dado por
A =
 1 1 01 −1 1
0 2 1
 y ~b =
 01
1
 es x2 = 3.
(10 Puntos) II. Considere la aplicación T : P3[x] → M2(R) dada por
T (p(x)) =
(
p′(1) −p(0)
p(0) p′′(1)
)
,
donde p′(x) y p′′(x) denotan la primera y segunda derivada (con respecto a x) del polinomio
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3, respectivamente.
(i) Demuestre que tal aplicación es una transformación lineal.
(ii) Encuentre el nucleo (espacio nulo) y el rango (espacio imagen) de la transformación.
(iii) Encuentre la matriz MT de la transformación lineal respecto a las bases
BP =
{
1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3
}
para P3[x] y
BM =
{(
1 0
0 0
)
,
(
0 −1
1 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
para M2(R).
(iv) Si p(x) = 3x2 − 2x3, encuentre [p(x)]BP , [T (p(x))]BM y verifique que
[T (p(x))]BM = MT [p(x)]BP .
Solución
I. (i) Verdadero. Si A ∈ Mo entonces A =
(
a11 a12
a21 −a11
)
= a11
(
1 0
0 −1
)
+a21
(
0 1
0 0
)
+
a21
(
0 0
1 0
)
y, dado que las tres matrices que aparecen en esta suma son independientes, estas
forman una base para Mo, luego su dimensión es 3.
(ii) Falso. Es claro que, por ejemplo, con A =
(
0 1
−1 0
)
, tenemos que det(A + AT ) = 0,
mientras que detA = 1.
(iii) Verdadero. Sean ~x =
 x1x2
x3
 , ~y =
 y1y2
y3
 ∈ R3, entonces ~x× ~y =
 x2y3 − x3y2x3y1 − x1y3
x1y2 − x2y1
,
luego
~x · (~x× ~y) = x1(x2y3 − x3y2) + x2(x3y1 − x1y3) + x3(x1y2 − x2y1) = 0,
y de forma similar
~y · (~x× ~y) = y1(x2y3 − x3y2) + y2(x3y1 − x1y3) + y3(x1y2 − x2y1) = 0,
aśı que ~x y ~y son perpendiculares a ~x× ~y.
(iv) Falso. Si det A = 4 entonces detA−1 = 14 y si A y B son matrices 3× 3 entonces A
−1B
es una matriz 3× 3, luego
det(2A−1B) = 23 detA−1 det B = 8 · 1
4
· 2 = 4.
(v) Falso. Usando la regla de Cramer tenemos que
x2 =
det
 1 0 01 1 1
0 1 1

det
 1 1 01 −1 1
0 2 1
 =
0
−4
= 0.
II. Considere la aplicación T : P3[x] → M2(R) dada por
T (p(x)) =
(
p′(1) −p(0)
p(0) p′′(1)
)
,
donde p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ P3[x].
(i) Para demostrar que tal aplicación es una transformación lineal debemos verificar que que
(a) T (p(x) + q(x)) = T (p(x)) + T (q(x)) y
(b) T (αp(x)) = αT (p(x)).
2
Primero, si p(x), q(x) ∈ P3[x] entonces
T (p(x)) =
(
p′(1) −p(0)
p(0) p′′(1)
)
, T (q(x)) =
(
q′(1) −q(0)
q(0) q′′(1)
)
,
luego
T (p(x)) + T (q(x)) =
(
p′(1) + q′(1) −p(0)− q(0)
p(0) + q(0) p′′(1) + q′′(1)
)
. (1)
Por otra parte, ya que la derivada de una suma es la suma de las correspondientes derivadas,
T (p(x) + q(x)) =
(
(p + q)′(1) −(p + q)(0)
(p + q)(0) (p + q)′′(1)
)
=
(
p′(1) + q′(1) −(p(0) + q(0))
p(0) + q(0) p′′(1) + q′′(1)
)
, (2)
y comparando las ecuaciones (1) y (2) vemos que la primera condición se satisface. Ahora,
si α ∈ R,
T (αp(x)) =
(
(αp)′(1) −(αp)(0)
(αp)(0) (αp)′′(1)
)
= α
(
α(p′(1)) −α(p(0))
α(p(0)) α(p′′(1))
)
= αT (p(x)),
luego T es una transformación lineal.
(ii) El nucleo (espacio nulo) de una transformación lineal T : P3[x] → M2(R) es, por definición,
N(T ) =
{
p(x) ∈ P3[x] | T (p(x)) =
(
0 0
0 0
)}
.
Para calcular el núcleo, dado p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ P3[x], podemos calcular la
fórmula expĺıcita de la transformación: p′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 y p′′(x) = 2a2 + 6a3x,
luego p(0) = a0, p′(1) = a1 + 2a2 + 3a3 y p′′(1) = 2a2 + 6a3, es decir que
T (p(x)) =
(
a1 + 2a2 + 3a3 −a0
a0 2a2 + 6a3
)
Aśı, si p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ N(T ), entonces
T (p(x)) =
(
a1 + 2a2 + 3a3 −a0
a0 2a2 + 6a3
)
=
(
0 0
0 0
)
,
es decir que
a1 + 2a2 + 3a3 = 0
a0 = 0
2a2 + 6a3 = 0,
luego a0 = 0, a1 = 3a3 y a2 = −3a3, por lo tanto un polinomio en el núcleo de T es de la
forma p(x) = 3a3x− 3a3x2 + a3x3 = a3(3x− 3x2 + x3), luego
N(T ) = Sp{3x− 3x2 + x3}.
Por otra parte, el rango (espacio imagen) de la transformación lineal T : P3[x] → M2(R) es,
por definición,
R(T ) = {M ∈ M2(R) | M = T (p(x)) para algún p(x) ∈ P3[x]} .
3
Aśı, si M ∈ R(T ), entonces
M =
(
a1 + 2a2 + 3a3 −a0
a0 2a2 + 6a3
)
= a0
(
0 −1
1 0
)
+a1
(
1 0
0 0
)
+a2
(
2 0
0 2
)
+a3
(
3 0
0 6
)
y, dado que la última matriz a la derecha no es independiente de las dos anteriores, solo
las tres matrices lineales independientes generan el espacio imagen de la transformación. Es
decir que
R(T ) = Sp
{(
0 −1
1 0
)
,
(
1 0
0 0
)
,
(
2 0
0 2
)}
.
[Nótese que, usando la ecuación del rango dim P3[x] = dim N(T ) + dim R(T ), dado que
dim P3[x] = 4 y dim N(T ) = 1, tenemos que dim R(T ) = 3, lo cual concuerda con el resultado
obtenido anteriormente.]
(iii) La matriz de la transformación lineal respecto a las bases BP y BM es, por definición, la
dada por  | | | |[T (p1(x))]BM [T (p2(x))]BM [T (p3(x))]BM [T (p4(x))]BM
| | | |
 (3)
donde p1(x) = 1, p2(x) = 1 + x, p3(x) = 1 + x + x2 y p4(x) = 1 + x + x2 + x3 son los cuatro
polinomios de la base BP de P3[x]. Usando la definición de la transformación tenemos que
T (1) =
(
0 −1
1 0
)
= (0)
(
1 0
0 0
)
+ (1)
(
0 −1
1 0
)
+ (0)
(
1 1
1 0
)
+ (0)
(
0 0
0 1
)
,
T (1 + x) =
(
1 −1
1 0
)
= (1)
(
1 0
0 0
)
+ (1)
(
0 −1
1 0
)
+ (0)
(
1 1
1 0
)
+ (0)
(
0 0
0 1
)
,
T (1+x+x2) =
(
3 −1
1 2
)
= (3)
(
1 0
0 0
)
+(1)
(
0 −1
1 0
)
+(0)
(
1 1
1 0
)
+(2)
(
0 0
0 1
)
y
T (1+x+x2+x3) =
(
6 −1
1 8
)
= (6)
(
1 0
0 0
)
+(1)
(
0 −1
1 0
)
+(0)
(
1 1
1 0
)
+(8)
(
0 0
0 1
)
,
luego
[T (1)]BM =

0
1
0
0
 , [T (1 + x)]BM =

1
1
0
0
 , [T (1 + x + x2)]BM =

3
1
0
2
 y
[
T (1 + x + x2 + x3)
]
BM
=

6
1
0
8
 ,
lo cual, puesto en las columnas de la matriz (3), nos da como matriz para la transformación
lineal T:
MT =

0 1 3 6
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 2 8
 .
4
(iv) Si p(x) = 3x2 − 2x3, entonces
p(x) = 3x2 − 2x3 = (0)(1) + (−3)(1 + x) + (5)(1 + x + x2) + (−2)(1 + x + x2 + x3),
luego
[p(x)]BP =

0
−3
5
−2
 .
Por otra parte,
T (p(x)) =
(
0 0
0 −6
)
= (0)
(
1 0
0 0
)
+(0)
(
0 −1
1 0
)
+(0)
(
1 1
1 0
)
+(−6)
(
0 0
0 1
)
,
luego [T (p(x))]BM =

0
0
0
−6
 . Finalmente

0 1 3 6
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 2 8


0
−3
5
−2
 =

0
0
0
−6
 ,
aśı que
MT [p(x)]BP = [T (p(x))]BM .
5