AL-CAP3

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Álgebra Lineal
Departamento de Matemáticas
Universidad de Los Andes
Primer Semestre de 2007
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 1 / 50
Texto gúıa:
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 2 / 50
Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
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6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
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Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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6 Valores y vectores propios
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8 Cambio de base
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
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5 Determinantes
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7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V ,+, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V ,+, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 7 / 50
Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V ,+, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
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Álgebra vectorial en espacios vectoriales abstractos
Definición
Un Espacio Vectorial es una tripla (V ,+, ·) donde V es un conjunto, +
una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de V por
escalares reales, satisfaciendo las siguientescondiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
en R, tenemos además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
en R, tenemos además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
en R, tenemos además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V (llamados vectores) y, si r , s escalares
en R, tenemos además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Ejemplo 1
El Espacio Rn
El conjunto Rn con la suma y el producto escalar definidos, para
~v = (v1, . . . , vn), ~w = (w1, . . . ,wn) en Rn y r ∈ R, según:
~v + ~w = (v1, . . . , vn) + (w1, . . . ,wn) = (v1 + w1, . . . , vn + wn),
y
r · ~v = (rv1, . . . , rvn),
forma un espacio vectorial.
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Ejemplo 2
Espacios de Matrices
El conjunto Mmn(R) de matrices m × n con entradas (o componentes)
reales con suma de matrices
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n
...
. . .
...
am1 · · · amn
 +

b11 · · · b1n
b21 · · · b2n
...
. . .
...
bm1 · · · bmn

=

a11 + b11 · · · a1n + b1n
a21 + b21 · · · a2n + b2n
...
. . .
...
am1 + bm1 · · · amn + bmn

Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 10 / 50
y producto de matrices por escalares
rA =

ra11 ra12 · · · ra1n
ra21 ra22 · · · ra2n
...
...
. . .
...
ram1 ram2 · · · ramn
 ,
es un espacio vectorial.
Los ejemplos anteriores, con los que ya hemos trabajado anteriormente, no
son las únicas estructuras de espacio vectorial que podemos definir sobre
vectores y/o matrices, podemos modificar las operaciones para obtener
nuevos espacios vectoriales, o definir nuevos espacios...
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 11 / 50
Ejemplo 3
Espacio de polinomios Pn[x ]
Sea Pn[x ] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una
variable x , con coeficientes reales. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn[x ] es
un polinomio de la forma
p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn,
con a0, . . . , an reales. Si definimos la suma de polinomios p(x) = a0 + a1x
+ · · ·+ anxn, q(x) = b0 + b1x + · · ·+ bnxn ∈ Pn[x ] y su producto por
escalares como
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x
2 + · · ·+ (an + bn)xn
y
r · p(x) = ra0 + ra1x + ra2x2 + · · ·+ ranxn,
tenemos un espacio vectorial.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 12 / 50
Ejemplo 4
Espacio de funciones F (R)
Sea F (R) el conjunto de funciones continuas f : R → R. Definiendo la
suma de dos funciones f , g ∈ F (R) como la función f + g cuyo valor en
x ∈ R está dado por
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
y el producto de una función f por un escalar r ∈ R como la función cuyo
valor en x ∈ R está dado por
(r f )(x) = r(f (x)),
tenemos un espacio vectorial.
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Combinaciones lineales, subespacios y bases
La gran mayoŕıa de los conceptos relativos a la estructura lineal de Rn
pueden definirse de forma completamente análoga sobre espacios
vectoriales abstractos.
Definición
Una combinación lineal de n vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn, en un espacio vectorial
V arbitrario, es un vector que se puede escribir de la forma
~v = r1~v1 + r2~v2 + · · ·+ rn ~vn,
donde r1, r2, . . . , rn son escalares reales.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 14 / 50
Aśı, por ejemplo, el vector (polinomio)
p(x) = 2− x + 3x3 ∈ P3[x ]
es una combinación de los vectores 1 + x y 1 + x3 ya que
2− x + 3x3 = (−1)(1 + x) + (3)(1 + x3).
De igual forma, el vector (matriz)
A =
(
1 2
0 1
)
∈ M2(R)
es una combinación de los vectores
(
1 0
0 1
)
y
(
0 1
0 0
)
ya que
(
1 2
0 1
)
= (1)
(
1 0
0 1
)
+ (2)
(
0 1
0 0
)
.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 15 / 50
Definición
El espacio generado por k vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vk en un espacio vectorial V
es el conjunto
Sp (~v1, ~v2, . . . , ~vk) = {r1~v1 + r2~v2 + · · ·+ rk ~vk | r1, r2, . . . , rk ∈ R},
de todas las combinaciones lineales de tales vectores.
Ejemplo
La matriz
(
1 0
0 1
)
genera todas las matrices diagonales y con
diagonal idéntica en el espacio M2(R).
Dos vectores (no paralelos) generan un plano en R3.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 16 / 50
Definición
Un subconjunto V ⊂ W de un espacio vectorial W es llamado subespacio
de W si es cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, es decir:
1 Si ~v1, ~v2 ∈ V entonces ~v1 + ~v2 ∈ V .
2 Si ~v ∈ V entonces, para cualquier escalar r ∈ R, r~v ∈ V .
Al igual que en Rn, cualquier subespacio de un espacio vectorial debe
contener necesariamente al vector cero ~0:
Si ~v ∈ V entonces, por la propiedad 2, −~v ∈ V y, por la propiedad 1,
~v + (−~v) = ~0 ∈ V .
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 17 / 50
Definición
Un subconjunto V ⊂ W de un espacio vectorial W es llamado subespacio
de W si es cerrado bajo suma y multiplicación por escalares, es decir:
1 Si ~v1, ~v2 ∈ V entonces ~v1 + ~v2 ∈ V .
2 Si ~v ∈ V entonces, para cualquier escalar r ∈ R, r~v ∈ V .
Al igual que en Rn, cualquier subespacio de un espacio vectorial debe
contener necesariamente al vector cero ~0:
Si ~v ∈ V entonces, por la propiedad 2, −~v ∈ V y, por la propiedad 1,
~v + (−~v) = ~0 ∈ V .
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 17 / 50
Aśı, por ejemplo,
{p(x) ∈ Pn[x ] | p(0) = 1}
No es un subespacio vectorial de
Pn[x ].
{p(x) ∈ Pn[x ] | p(0) = 0}
Es un subespacio vectorial de
Pn[x ].
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 18 / 50
Bases para espacios vectoriales
Al igual que en los espacios Rn, una base para un espacio es “lo ḿınimo
necesario para generar el espacio”:
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto finito de vectores ~v1, . . . , ~vk
(cuando existe) es llamado base para V si:
1 El conjunto {~v1, . . . , ~vk} es linealmente independiente.
2 Sp(~v1, . . . , ~vk) = V , es decir, cualquier vector de V puede escribirse
como combinación lineal de ~v1, . . . , ~vk .
Ejemplo
{
−3, 1 + x , −1 + x + x2
}
Es una base para P2[x ].
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
No es una base para M2(R).
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 19 / 50
Bases para espacios vectoriales
Al igual que en los espaciosRn, una base para un espacio es “lo ḿınimo
necesario para generar el espacio”:
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto finito de vectores ~v1, . . . , ~vk
(cuando existe) es llamado base para V si:
1 El conjunto {~v1, . . . , ~vk} es linealmente independiente.
2 Sp(~v1, . . . , ~vk) = V , es decir, cualquier vector de V puede escribirse
como combinación lineal de ~v1, . . . , ~vk .
Ejemplo
{
−3, 1 + x , −1 + x + x2
}
Es una base para P2[x ].
{(
1 0
0 0
)
,
(
1 1
1 0
)
,
(
1 1
1 1
)}
No es una base para M2(R).
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 19 / 50
Igual que para Rn, cada espacio vectorial de dimensión finita tiene una
base canónica:
Bnm =


1 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
 ,

0 1 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
 , · · · ,

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 1

 ,
para los espacios de matrices.
BPn[x] =
{
1, x , x2, . . . , xn
}
,
para los espacios de polinomios.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 20 / 50
Bases y Dimensión
Teorema
Sea V un espacio vectorial cualquiera. Un subconjunto {~v1, . . . , ~vk} de V
es una base del espacio si cualquier vector ~v ∈ V se puede escribir en
forma única como combinación lineal de ~v1, . . . , ~vk , es decir si existen
escalares únicos r1, . . . , rk tales que
~v = r1~v1 + · · · rk~vk .
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 21 / 50
Dimensión
El número de elementos de cualquier base para un espacio vectorial es el
mismo cuando es finito, y es llamado la dimensión del espacio vectorial.
Cuando no existe un conjunto finito de vectores linealmente independientes
que generen a V decimos que tal espacio es de dimensión infinita.
Por ejemplo:
1 Rn es un espacio vectorial de dimensión n
2 Mnm(R) es un espacio vectorial de dimensión nm
3 Pn[x ] es un espacio vectorial de dimensión n + 1
4 F (R) es un espacio vectorial de dimensión infinita.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 22 / 50
Por ejemplo, sea Dn = {A ∈ Mn(R) | Aij = 0 si i 6= j} el conjunto de
matrices diagonales n × n. El conjunto Dn es un subespacio vectorial de
Mn(R), y si A ∈ Dn, entonces
A =

a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · ann
 ,
luego

1 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
 ,

0 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 0
 , · · · ,

0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · 1


es una base para Dn, y
dim Dn = n.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 23 / 50
Cómo darle coordenadas a vectores ...
Sea V un espacio vectorial de dimensión n arbitrario (matrices,
polinomios, ...), podemos dar una representación de los vectores de V
como vectores de Rn con respecto a una base ordenada de V .
Si, por ejemplo, consideramos la base canónica para P2[x ],
Bo =
{
1, x , x2
}
y el polinomio p(x) = 1 + 2x + 3x2, tenemos que
p(x) = (1)(1) + (2)(x) + (3)(x2).
Si tomamos en lugar de la base anterior la base
B =
{
−3, 1 + x , −1 + x + x2
}
para P2[x ], existen tres escalares únicos
que nos permiten escribir a p(x) en términos de tal base:
p(x) = (−5
3
)(−3) + (−1)(1 + x) + (3)(−1 + x + x2).
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 24 / 50
Tenemos entonces dos representaciones diferentes para el polinomio
p(x) = 1 + 2x + 3x2 ∈ P2[x ]:
[p(x)]Bo =
 12
3

respecto a la base canónica Bo .
[p(x)]Bo =
 −53−1
3

respecto a la base B.
Definición
Dado un vector ~v ∈ V en un espacio vectorial de dimensión finita y una
base BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de tal forma que ~v = α1~v1 + α2~v2 + · · ·αn~vn,
para α1, α2, . . . αn ∈ R únicos. Entonces decimos que el vector ~v en
coordenadas respecto a BV es el vector de Rn dado por:
[~v ]BV =

α1
α2
...
αn
 .
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 25 / 50
Cómo calcular los coeficientes cuando V = Rn
Si ~x ∈ Rn y tenemos cualquier base Bn = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de Rn, para
encontrar [~x ]Bn podemos proceder en dos pasos:
1 Escribir los vectores de la base ordenada en una matriz aumentada(
~v1 ~v2 · · · ~vn ~x
)
.
2 Usar reducción de Gauss-Jordan hasta obtener la la izquierda la matriz
identidad, entonces a la derecha quedará el vector que buscamos:(
I [~x ]Bn
)
.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 26 / 50
Transformaciones Lineales entre espacios vectoriales
Dados dos espacios vectoriales (V ,+, ·) y (W ,⊕,�), cada uno con sus
operaciones lineales, una transformación lineal permite transferir la
estructura lineal de uno en el otro:
Definición
Una aplicación
T : V → W
entre espacios vectoriales (V ,+, ·) y (W ,⊕,�) es llamada transformación
lineal si preserva la estructura lineal (suma y producto por escalar):
1 Si ~x , ~y ∈ V , entonces T (~x + ~y) = T (~x)⊕ T (~y).
2 Si ~x ∈ V y α ∈ R, entonces T (α · ~x) = α� T (~x).
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 27 / 50
Igual que en el caso de Rn, una transformación lineal toma combinaciones
lineales α1 · ~x1 + α2 · ~x2 + · · · +αk · ~xk de vectores en V y las lleva a
transformaciones lineales de vectores en W :
T (α1 ·~x1+α2 ·~x2+· · ·+αk ·~xk) = α1�T (~x1)⊕α2�T (~x2)⊕· · ·⊕αk�T (~xk).
En particular, la imagen del cero ~0V ∈ V bajo la transformación lineal
debe ser el cero ~0W ∈ W :
T (~0V ) = ~0W .
De ahora en adelante, cuando no indiquemos expĺıcitamente la operación
en un espacio vectorial (de vectores columna, matrices, polinomios o
funciones) asumiremos que las operaciones son las usuales, i.e. las
definidas por componentes.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 28 / 50
Ejemplo
La aplicación T : R3 → M2(R) definida por
T
 xy
z
 = ( x + y −y−z y + z
)
,
es una transformación lineal.
La aplicación T : P2[x ] → R2 definida por
T
(
a0 + a1x + a2x
2
)
=
(
a0 + a1 + 1
a0 − a2
)
,
no es una transformación lineal.
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 29 / 50
La matriz asociada a una transformación
En el caṕıtulo anterior vimos como podemos asociar a una transformación
lineal T : Rn → Rk una matriz k × n. Ahora, si tenemos una
transformación entre dos espacios vectoriales abstractos de dimensión
finita (dim V = n y dim W = k)
T : V → W
podemos hacer la misma operación con respecto a un par de bases fijas
BV y BW , para V y W respectivamente, de la forma siguiente:
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1 Tomamos la base BV = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} de V y aplicamos la
transformación a cada uno de sus vectores, obteniendo
{T (~v1),T (~v2), . . . ,T (~vn)} ⊂ W .
2 Escribimos cada vector en {T (~v1),T (~v2), . . . ,T (~vn)} como vector de
coordenadas respecto a la base BW :
{[T (~v1)]BW , [T (~v2)]BW , . . . , [T (~vn)]BW } ⊂ R
k .
3 Usamos cada uno de estos vectores como vector columna de la matriz
de transformación (respecto a BV y BW ):
AT =
 | | |[T (~v1)]BW [T (~v2)]BW · · · [T (~vn)]BW
| | |
 ,
obteniendo una matriz k × n.
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Teorema
Sea T : V → W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales
abstractos de dimensión finita (dim V = n y dim W = k) y sean BV y BW
bases para V y W , respectivamente. Entonces, si AT es la matriz de
transformación (respecto a BV y BW ) y ~x ∈ V entonces
[T (~x)]BW = AT [~x ]BV .
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Ejemplo
Tomemos la transformación lineal T : P2[x ] → M2(R) definida por
T
(
a0 + a1x + a2x
2
)
=
(
a0 + a1 a2
a0 − a1 a2
)
.
Entonces, si tomamos como base para P2[x ]
BP =
{
−3, 1 + x , −1 + x + x2
}
tal base se transforma como
T (−3)=
(
−3 0
−3 0
)
,T (1 + x) =
(
2 0
0 0
)
,
T
(
−1 + x + x2
)
=
(
0 1
−2 1
)
.
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Ejemplo (continuación)
Si tomamos ahora como base para M2(R) la base canónica Bo , en
términos de tal base:
[T (−3)]Bo =

−3
0
−3
0
 , [T (1 + x)]Bo =

2
0
0
0
 ,
[T
(
−1 + x + x2
)
]Bo =

0
1
−2
1
 .
Aśı, la matriz de la transformación respecto a BP y Bo es
AT =

−3 2 0
0 0 1
−3 0 −2
0 0 1
 .
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Contenidos
1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 35 / 50
Números complejos
La ecuación
x2 + 1 = 0
no tiene solución en los números reales R. Es decir, no existe un número
real r tal que r2 = −1. Sin embargo, hay conjuntos en los que la ecuación
anterior si tiene solución. Por ejemplo, si multiplicamos la matriz
i =
(
0 −1
1 0
)
por ella misma obtenemos
i2 =
(
0 −1
1 0
) (
0 −1
1 0
)
=
(
−1 0
0 −1
)
= −I ,
luego la ecuación M2 + I = O si tiene solución en M2(R).
Vamos a definir un conjunto de números, llamados “complejos”, que es
(en algún sentido) el conjunto “más pequeño” en el que todas las
ecuaciones polinomiales tienen solución.
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El plano complejo
Definición
Un número complejo es una expresión de la forma
a + i b
donde a, b ∈ R y el śımbolo i denota una solución a la ecuación
x2 + 1 = 0. Es costumbre escribir i =
√
−1.
Denotaremos por C el conjunto de
números complejos y los representaremos
en um plano de la siguiente forma: Si
z = a + i b ∈ C, llamaremos a a la parte
real de z , Re(z), y a b su parte imaginaria,
Im(z). Poniendo Re(z) en el eje de las x e
Im(z) en el eje de las y podemos
representar a z como un vector en el plano.
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Operaciones con números complejos
El conjunto de números complejos es un campo algebraico, es decir que
sabemos no solamente sumar y restar números complejos, sino que
también tenemos una forma de multiplicarlos y dividirlos, con propiedades
similares a las de los números reales:
1 Suma: Sean z = a + ib,w = c + id ∈ C, entonces
z + w = (a + c) + i(b + d).
2 Multiplicación: Sean z = a + ib,w = c + id ∈ C, entonces
zw = (ac − bd) + i(cb + ad).
3 Conjugación: Si z = a + ib ∈ C, su conjugado es el número complejo
z̄ = a− ib.
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Graficamente podemos ver el efecto de las operaciones en el plano
complejo de la forma siguiente:
Suma (y resta) Conjugación
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Para entender gráficamente la multiplicación de números complejos vamos
a introducir una nueva representación de z ∈ C llamada representación
polar.
Definición
Dado z = a + ib ∈ C, la norma o magnitud de z es el tamaño del vector z
en el plano complejo:
| z |=
√
a2 + b2.
El argumento de z es el ángulo
θ que hace el vector z con el
eje real en el plano complejo.
Si tomamos tal ángulo en el
intervalo −π ≤ θ ≤ π lo
llamamos argumento principal.
Aśı,
z = r(cosθ + i senθ).
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Ejemplo
Tomemos el número z = −1 + i
√
3 ∈ C, entonces su norma y su
argumento principal son
| z |=
√
1 + 3 = 2 y Arg(z) = −5π
6
.
Ahora observemos que z2 = −2− i2
√
3, luego | z2 |= 4 y
Arg(z2) = −25π6 =
π
3 , luego el efecto de la multiplicación es el de rotar y
alargar el vector:
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Lo anterior resulta mucho más claro si escribimos z = r(cosθ + i senθ) y
observamos que
zn = rn(cos(nθ) + i sen(nθ)).
De forma similar, el efecto de la división puede representarse graficamente
de la siguiente forma:
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V ,+, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
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Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V ,+, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 43 / 50
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V ,+, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 43 / 50
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
Definición
Un Espacio Vectorial sobre C es una tripla (V ,+, ·) donde V es un
conjunto, + una forma de sumar y · una forma de multiplicar elementos de
V por escalares complejos, satisfaciendo las siguientes condiciones:
1 Asociatividad:
(~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w)
2 Conmutatividad:
~u + ~v = ~v + ~u
3 Existencia de identidad aditiva:
~u +~0 = ~u
4 Existencia de inverso aditivo:
~u + (−~u) = ~0
y...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
Universidad de Los Andes () Álgebra Lineal Primer Semestre de 2007 44 / 50
Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r · ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Definición (continuación)
donde ~u, ~v y ~w son elementos de V y, si r , s escalares en C, tenemos
además
1 Distribitividad:
r · (~v + ~w) = r· ~v + r · ~w
2 Distributividad:
(r + s) · ~v = r · ~v + s · ~v
3 Asociatividad:
r · (s · ~v) = (rs) · ~v
4 Existencia de unidad multiplicativa:
1 · ~v = ~v
Tenemos por ejemplo...
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Ejemplos
El Espacio Cn
El conjunto Cn = {~z = (z1, . . . , zn) | z1, . . . , zn ∈ C} con la suma y el
producto escalar definidos, para ~z = (z1, . . . , zn), ~w = (w1, . . . ,wn) en Cn
y r ∈ C, según:
~z + ~w = (z1, . . . , zn) + (w1, . . . ,wn) = (z1 + w1, . . . , zn + wn),
y
r · ~z = (rz1, . . . , rzn),
forma un espacio vectorial.
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Ejemplos
Espacios de Matrices
El conjunto Mmn(C) de matrices m × n con entradas (o componentes)
reales con suma de matrices y multiplicación por escalares usuales es un
espacio vectorial sobre C.
Espacio de polinomios Pn[x ]
Sea Pn[x ] el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, en una
variable x , con coeficientes complejos. Es decir, un elemento p(x) ∈ Pn[x ]
es un polinomio de la forma p(x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ anxn, con
a0, . . . , an ∈ C. Si definimos la suma de polinomios y su producto por
escalares de la forma usual tenemos un espacio vectorial sobre C.
Todos los conceptos anteriormente definidos para espacios vectoriales
sobre R (subespacios, bases, etc.) se definen de forma idéntica para
espacios vectoriales sobre C.
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1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
2 Dimensión, rango y transformaciones lineales
3 Espacios vectoriales
Espacios Vectoriales
Conceptos bsicos en espacios vectoriales
Vectores en coordenadas
Transformaciones lineales
4 Números complejos y espacios vectoriales complejos
El campo complejo
Espacios vectoriales sobre el campo complejo
5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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3 Espacios vectoriales
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El campo complejo
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5 Determinantes
6 Valores y vectores propios
7 Ortogonalidad
8 Cambio de base
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1 Geometŕıa en Rn, matrices y sistemas de ecuaciones lineales
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7 Ortogonalidad
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