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La noción de infinito en George Cantor. Un estudio histórico-
epistemológico en la perspectiva de la educación matemática. 
Mónica Andrea Aponte Marín. 
moniapo68@gmail.com. 
Universidad del Valle- Cali- Colombia. 
 
Tema: Relaciones entre Historia de la Matemática e Investigación en Educación 
Matemática. 
Modalidad: CB. 
Nivel educativo: Terciario Universitario. 
Palabras claves: Infinito, Teoría de Conjuntos, Axioma de Elección, Educación 
Matemática. 
 
Resumen 
En el presente escrito muestra adelantos del trabajo de grado de la Maestría en 
Educación Matemática de la Universidad del Valle, en el cual se intenta caracterizar a 
partir de estudios históricos epistemológicos detallados, los procesos de consolidación 
del infinito matemático en el marco de la construcción de una teoría axiomática de 
conjuntos infinitos. De manera que se pueda establecer una comparación del desarrollo 
axiomático de esta teoría, desde el nacimiento del infinito matemático con el 
surgimiento de propuestas académicas en cursos de teoría de conjuntos de los 
programas de licenciatura de la Universidad del Valle, para intentar aportar 
reflexiones en cuanto a la fundamentación del desarrollo del pensamiento matemático 
avanzado. En este sentido se pretende, propiciar algunas innovaciones curriculares en 
los programas de teoría de Conjuntos, en pos de una mejora de la enseñanza de la 
Teoría de Conjuntos, de futuros Licenciados en Educación Matemática, bajo el análisis 
histórico de la noción de infinito cantoriano. 
 
1 Presentación del Problema 
La exploración de la historia por parte del docente contribuye a descubrir obstáculos y 
dificultades que se han presentado en las matemáticas, en ese sentido existe una 
necesidad de recuperar la historia de los objetos matemáticos, para favorecer una mirada 
distinta del aspecto dogmático, infalible e incuestionable con el que se suele caracterizar 
a las matemáticas, por ende la historia debe concebirse como una perspectiva 
modeladora del quehacer matemático y no sólo como algo anecdótico. (Freudenthal, 
1973), señalaba que aprender matemáticas significa “re-inventarla”. La historia permite 
una profundización de lo que se enseña y aprende, así quien reflexiona sobre el 
desarrollo de la matemática debe necesariamente plantearse el problema de la historia 
de los conceptos, esto lo podemos sustentar desde Kant, quien afirmaba que la filosofía 
sin historia es vacía, y la historia sin filosofía es ciega. En este sentido, es pertinente 
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indagar sobre el origen histórico, controversial y polémico del infinito cantoriano, como 
fruto de un trabajo colectivo y creación humana donde hay intrigas, tensiones y 
distenciones. 
Es pertinente estudiar la manera como Cantor generalizó la teoría de conjuntos, pues 
esta se desarrolla bajo la idea que los conjuntos son colecciones infinitas que pueden ser 
contadas, modificando así nuestras concepciones acerca del infinito, y permitiendo el 
surgimiento de paradojas, que condujeron al desarrollo de varios sistemas formales de 
axiomas, entre los cuales se encuentran los axiomas de elección y de reemplazo, como 
búsqueda de la consistencia de la teoría. Ahora bien, podemos planearnos cuestiones 
sobre si es posible que sean estos axiomas los que permitan comprender el infinito 
cantoriano, y con ello validar el estudio de una teoría de conjuntos, además cómo puede 
afectar el no estudio de estos dentro de un curso de teoría de conjuntos. 
Así, el siguiente trabajo pretende mostrar los adelantos del trabajo de investigación de la 
maestría en Educación Matemática de la Universidad del Valle, el cual se sustenta desde 
el siguiente interrogante: ¿Analizar cómo se aborda la noción de conjuntos infinitos, en 
los cursos de Teoría de Conjuntos del Instituto de Educación y Pedagogía, de la 
Universidad del Valle? Y en este sentido ¿Indagar cuál es la importancia que esta tiene 
en el desarrollo del pensamiento matemático para un futuro licenciado? 
2 Marco Teórico 
A lo largo de la historia el concepto de infinito se presenta como misterioso y 
perturbador dentro de las matemáticas, podemos decir que desde nuestra cotidianidad 
este expresa significados diversos en nuestra consciencia, que en la mayoría de los casos 
suelen diferir de los específicamente matemáticos. Y pese a la falta de sustento empírico 
para la noción de infinito, su existencia no se discute en virtud de que en la actualidad 
ella posee una estructura formal que la respalda, la cual ha sido fruto de un largo 
proceso de evolución histórica y filosófica. 
Parece claro que desde sus orígenes el debate sobre la naturaleza del infinito tomó 
connotaciones teológicas más que matemáticas, al considerarse el infinito como 
propiedad de carácter divino. Se puede decir que solo hasta Bernhard Bolzano en el 
siglo XIX se logran dar las bases para la construcción de la teoría de conjuntos, lo que 
induce a un tratamiento para la formalización de la noción de infinito actual, sin 
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embargo no hay que olvidar a otros filósofos y científicos, anteriores a Bolzano, que en 
sus trabajos encontraron situaciones paradójicas en torno a la noción de infinito, entre 
ellos Galileo en sus discursos y demostraciones matemáticas sobre dos ciencias nuevas. 
Obra en la cual pone en tela de juicio los adjetivos “más grande”, “más pequeño”, o 
“igual”, en relación a las magnitudes infinitas; pues en el diálogo entre Simplício y 
Salvácio, Galileo concluye que al comparar “conjuntos infinitos” (como el de los 
números cuadrados y sus raíces [naturales]), se llega a que “la totalidad de los 
cuadrados no es menor a la totalidad de los números, ni superior a estos”. Aspecto que, 
para Galileo, al igual que en el análisis de Bolzano, resulta paradójico. 
 
Se tiene entonces que Bolzano en su obra las paradojas del infinito, defendió la 
existencia de un infinito actual y enfatizó que el concepto de equivalencia entre dos 
conjuntos era aplicable tanto a conjuntos finitos como infinitos. Él aceptó como algo 
normal que los conjuntos infinitos fueran equivalentes a una parte de ellos mismos. Esta 
definición de conjuntos infinitos: Un conjunto es infinito si se puede poner en 
correspondencia biunívoca con un subconjunto propio, fue utilizada posteriormente por 
Cantor y Dedekind, cabe resaltar que la autoría de la definición también es un hecho 
históricamente controversial. Fue enunciada explícitamente por Dedekind, pero Cantor 
se reclama el hecho por cuanto considera que ya aparece de manera implícita en sus 
artículos (Recalde ,2005, p. 1). 
Hacia la segunda mitad del siglo XIX, Georg Cantor, se apoya en los trabajos de 
Bolzano, para buscar aclaraciones acerca del infinito actual, sobre la manera en que se 
constituye el universo de los conjuntos infinitos, aclaraciones acerca de lo que es el 
continuo; pues uno de los objetivos de su obra era demostrar que no había ninguna 
razón para aceptar las viejas ideas en contra del infinito actual, dado que si los conjuntos 
infinitos se comportaban de manera diferente a los conjuntos finitos no significa que 
estos sean inconsistentes, sino que obedecen a una aritmética diferente; además pensaba 
que sin ellos era imposible entender una realidad física, surgiendo así la necesidad de 
sustentar matemáticamente la noción de infinito. 
A partir de los estudios realizados por Cantor, podríamos inferir que el acta de 
nacimiento de la teoría de conjuntos transfinitos lleva la fecha del 7 de diciembre de 
1873 [Fer06, p. 12], cuando él logra demostrar, en una carta a Dedekind, uno de los 
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resultados más importantes de su trabajo: que el conjunto R de los números reales no 
puede ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto N de los naturales, R es 
un conjunto no-numerable. Poco después Cantor
logra la demostración de este teorema, 
dada una sucesión cualquiera de números reales del intervalo (0,1), demuestra la 
existencia de números reales no contenidos en dicha sucesión, pues si R fuera 
numerable, existiría una sucesión que contuviera a todos los números de [0,1], lo cual 
negaría el resultado anterior Ferreirós (1991, p. 211). 
También se debe tener en cuenta que uno de los problemas centrales de la teoría de 
Cantor era demostrar que la potencia de cualquier conjunto tenía que ser un aleph. Para 
ello no era suficiente la definición incorporada en primera instancia por él. Así pues, en 
el desarrollo inicial de la teoría de conjuntos, Cantor no trabajó explícitamente a partir 
de axiomas, a pesar que el análisis de sus demostraciones indica que casi todos los 
teoremas demostrados por él pueden derivarse de tres axiomas: (i) el axioma de 
extensionalidad (ii) el axioma de abstracción; (iii) el axioma de escogencia. 
3 Metodología 
En el aspecto metodológico que se llevará a cabo en este trabajo se tienen en cuenta las 
metodologías trabajadas en la Historia de la Matemática, en este sentido se propone un 
análisis histórico- epistemológico con la finalidad de dar cuenta sobre la manera como 
se constituye el concepto de infinito matemático en Cantor, buscando aclarar algunos 
procesos que condujeron a que el infinito se convirtiera en un objeto matemático y en 
este sentido como este se puede volver en un objeto de enseñanza a través de cursos de 
matemática superior, como los cursos de Teoría de Conjuntos. De esta manera, se 
realizará un recorrido teórico tomando como referente especial las obras de Dauben, 
Ferreirós y Cantor, para determinar los fundamentos matemáticos necesarios en el 
surgimiento del concepto, a partir de los resultados de estos análisis se estudiaran 
algunos de los programas de Teoría de Conjuntos, propuestos en el Instituto de 
Educación y Pedagogía de la Universidad del Valle, para los estudiantes de Licenciatura 
en Matemáticas, esto con el fin de poder caracterizar si existe una estructura formal de 
acuerdo a la Teoría de Conjuntos cantoriana para abordar o intentar desarrollar procesos 
de pensamiento matemático avanzado a partir de este concepto. 
 
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4 Consideraciones Finales 
Considerando que la enseñanza de un objeto matemático es más significativa, si se 
tienen en cuenta los procesos y dificultades en la construcción y formalización de un 
conocimiento en torno a este objeto, y no solamente sus productos o resultados, se 
evidencia que es posible a través de los procesos de caracterización histórica-
epistemológica de la noción de infinito matemático, realizar análisis que generan 
reflexiones educativas y cognitivas dentro de los procesos socio-culturales en los que se 
encuentran tanto docente como estudiantes. 
 
No debemos olvidar que la Teoría de Conjuntos en realidad es teoría en la medida que se 
consideran los conjuntos infinitos. Así pues, pasar por alto una reflexión sobre el infinito 
en este curso constituiría un despropósito con el mismo espíritu de la teoría. Se justifica 
que el análisis de este objeto en los programas de Teoría de Conjuntos del IEP, puede 
propender en una reforma de los mismos, en pos de una mejora de enseñanza de estos 
cursos para los futuros licenciados. 
Finalmente, la importancia de este tipo de estudios en historia de la matemática 
contribuye en la práctica educativa, en la medida que proporciona reflexiones hacia la 
exploración de un desarrollo adecuado del pensamiento matemático, dentro de cursos de 
educación superior, buscado favorecer en cierta medida la adquisición de conceptos 
matemáticos abstractos como el infinito y que suele generalmente ser en muchas 
ocasiones, mal interpretado y trabajado en el aula de clase. De este modo, este trabajo 
pretende ser el punto de partida, para un estudio adecuado de las temáticas abordadas en 
cursos fundamentales dentro del proceso de formación profesional de un Licenciado en 
Matemáticas, constituyéndose así en un punto de reflexión para el campo de la Historia 
y la Educación Matemática en nuestro país. Pues no se debe ignorar, que la Educación 
Matemática es un proceso sistémico, una actividad científica e intelectual de carácter 
explicativo, que conecta la teoría, su desarrollo y la práctica, conduciendo así a la 
clarificación de algunos aspectos fundamentales para nuestra reflexión como el 
aprendizaje de las cantidades infinitamente grandes de Cantor. 
 
 
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5 Referencias Bibliográficas 
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investigación matemático filosófica en la teoría del infinito. Traducción y 
comentarios: Bares J y Climent J, 1983. 
Cantor, G. (1895): Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. pp. 207-246. 
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Press. 
D´amore B, (1996): El infinito: historia de conflictos y sorpresas. En. Épsilon (España), 
36, pp. 341-366 
Ferreiros, J. (1991): El nacimiento de la teoría de Conjuntos, 1854-1908. En: Ediciones 
de la Universidad Autónoma de Madrid. 
Ferreiros, J. (2006): Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y 
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Montoro, V. & Scheuer, N. (2003): Pensando el infinito. Concepciones de estudiantes 
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Argentina. 
Recalde, L. (2005): Notas del curso de historia de las matemáticas. Universidad del 
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