Números Reais e Operações

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) 22 ~a 9 = 2,444 ... = 2,4 ) 1 ~e -6 = -0,1666 ... = -0,16
El conjunto de los números reales (IR)
Los números racionales son aquellos que pueden ser expresados como el cociente entre dos números enteros.
Existen dos maneras de escribir un mismo número racional: como fracción o en forma decimal; una y otrc
designan exactamente al mismo número. La expresión decimal de un número racional tiene un número finito
de cifras decimales significativas, o es periódica.
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre dos números
enteros, por tener infinitas cifras decimales no periódicas.
Todas las raíces no exactas de base entera son números irracionales.
a) \Í2 = 1,414213 ... b) V7 = 2,645751... ) Jre Y4 = 1,587401... d) m = 1,782602 ...
Hay números irracionales que se determinan a partir de una ley de formación.
a) 4,36 9121S18 ... b) 0,123456789 ... e) -3,1122334455 ... d) 25,102030405060 ...
El conjunto de los números reales (IR) está formado por los números racionales (Q) y los irracionales.
Los números reales se grafican sobre una recta denominada recta real. A un punto de la misma se le asig"
el O, se elige un segmento unidad y se ubican los números restantes. A cada número real le corresponde un
punto de la recta y viceversa.
-1
I
R
_.1
4
1
"4 0,5 1,125
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Algebraicamente se designa un intervalo por sus extremos encerrados entre paréntesis o corchetes:
• paréntesis, si los extremos no están incluidos (intervalo abierto);
• corchetes, si se incluyen los extremos (intervalo cerrado).
A = {x/x E R 1\ -2 <: x <: 3} = [-2;3] M = {xix E R 1\ x > -3,S} = [-3,5;+CO)
-3,5
-1
. ,
°-3 -2 -5 -4 -3 -2 -1
B = {x/x E R 1\-4 < x < O} = (-4;0)
-5 -4 -3 -2 -1
T = {xix E R 1\ x > 2} = (2;+co)
l·
3 -2 -1
F = {x/x E R 1\ x <: 0,5} = (-co;O,S]
0,5
-3 -2 -1
G = {x/x E R 1\ x < -l} = (-co;-l)
1I
4 -4 -3 -2 -1
e = {xix E R 1\ 1 <: x < s} = [1;5)
-2 -1
0= {xix E R 1\-2,S < x <: -0,5} = (-2,5;-0,5]
-2,5 0,5
I I I ]
-4 -3 -2 -1
[TRAMO A e Números reales 1
3 .
a) ¡= 3 : 4 = 0,75 11b)S=11:5=2,2 1e)-g= -1:8 = -0,125
Operaciones con números racionales
Al efectuar la división no exacta de dos números enteros, puede suceder que:
• el resto de la división sea cero: en ese caso el cociente es una expresión decimal con un número finito de
cifras decimales (expresiones decimales finitas).
• el resto nunca se unule; necesariamente se repite y al repetirse también lo hacen las cifras decimales del
cociente, determinando el período (expresiones decimales periódicas).
)1 ~ ) 3 ~a "3= 1:3 = 0,3 b -TI = -3: 11 = -0,27 ) 1 ~e 45 = 1: 45 = 0,02
Para transformar una expresión decimal periódica en fracción, se escribe en el numerador de la misma el
número decimal, sin la coma, menos la parte no periódica y en el denominador, tantos 9 como cifras decimales
periódicas tenga la expresión, seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas contenga.
)2 3 = 23 - 2 = n = La, 9 9 3 b) -15 "2 = _ 152 - 15 = _ 137, 9 9 )4 TI = 412 - 4 = 408 = 136e, 99 99 33
)
~ 5 1
d 0,05 = 90 = 18 ~ 46 - 4 42 7e) -0,46 = - 90 = -90 = -15 f) 3 215 = 3.215-321 = 2.894 = l.447, 900 900 450
Una operación donde aparezca una expresión decimal periódica conviene resolverla en forma fraccionario.
)
7 -1 ~ r::-;:;
a ° 4 . - - 3 - V 0.4 =, 2 '
140·~-t-fi=
7 1 2 2----- -
5 3 3 5
e) (-0,3)2 - 4: 0,25 + t: v'D,25 =
0,09 - 16 + 0,2: 0,5 =
0,09 - 16 + 0,4 = -15,51
b) (- ~r2 - 0,3(1 - 0,4) + \1-0,008 =
9 3¡-"9 ·0,6 + (-0,2) =
9 1 6 2---.---
4 3 10 10
9 1 1 37-----==
4 5 5 20
d) 0,02.:.15+ ~1 - 0,875 =
0,1 2-3
Qd + \Iü,l25 =
1 1- -
9 8
3 9 + 0,5 _
10 . ° 125 -,
2,7 + 4 = 6,7
(TRAMO A e Números reales)
Ecuaciones e inecuaciones de primer grado
Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores posibles de la/s variable/s.
a) m + m = 2m b) x + y = y + x c) bn + an = (a + b)n d) 0,2x + 3 - x + 1,4 = - 0,8x + 4,4
a) x + 2 = °
Una ecuación es una igualdad que se verifica para uno, algunos o ningún valor de la/s variable/s.
b)6-3x=5 c)x+4=x-3 d)x+2y+z=0 e)5-x=3+2/-8
a) -3x> 2
-3x: (-3) < 2: (-3)
2x <--3
s = (_oo;-!)
e) 3x - -ª- < 4 - x
3
8
3x + x < 4 + 3'
4x < .?J!
3
x<.?J!:4
3
x<i
3
e) -7x < 3
-7x: (-7) > 3: (-7)
1x> _l -¡x(-4) <: -1(-4)
7
x :> 20 x <: 4
S = [20;+00) S = (-t;+oo) S = (-00;4]
f) 2,3x + 5,4 - x > (6 - 3x)0,1 g) -ioOx + 5):> (1 - %x): 0,5
2,3x + 5,4 - x > 0,6 - 0,3x -6x - 3 :> 2 - 5x
b)
(2 1) 5b) 2x - 3 + 3 -x - - = x - -(x - 1)3 6 4
1 5 52x - 3 + 2x - - = x - - x + -
2 4 4
1 5 74x + -x = - +-4 4 2
17 19 194x=4~x=U
Resolver una ecuación es encontrar, si exisen, el o los valores de las variables que verifican la igualdad
planteada. Dichos valores determinan el conjunto solución de la ecuación.
En este capítulo se trabajará con ecuaciones con una sola variable o incógnita.
Una ecuación de primer grado o lineal es aquella cuya forma general es: QX + b = 0, siendo a y b números
reales ya*, O.
a)-3(2x - i) = (-~x + 3): 0,5
5 5-6x + - = - -x + 62 2
5 5-6x + -x = 6 - -2 2
7 7--x =-2 2
x = -1
Las desigualdades que contienen variables se llaman inecuaciones.
En este capítulo se trabajará con inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Resolver una inecuación es encontrar todos los valores de la incógnita que la verifican, y el conjunto solu-
ción es un intervalo real o el conjunto vacío.
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a ambos
miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
1- SX <: -4 d)
-6x + 5x :> 2 + 31,3x + 0,3x > 0,6 - 5,4
1,6x> -4,8
x> -4,8: 1,6
!TRAMOA _ Números reales]
-x:> 5
x < -5
x> -3 S = (-00;-5]
El módulo o valor absoluto de un número real es
su distancia al cero sobre la recta real.
Para todo número real x, su módulo se expresa: Ixl. 'Ix E R: Ixl = {.:
si X >- O
si X < O
Módulo de un real. Propiedades
a) 151 = 5
b) 1-71 = -(-7) = 7
-7
I
1-71~7 151~5
Propiedades
1) Ixl :> o
a) 1-6,51 = -(-6,5) = 6,5 c)lol = O
2) Ixl = I-xl
a) lo 021 = 1- 0021 = -(-O 02) = O 02J , J , b) 11321 = 1-1321 = -(-132) = 132
3) Ix + yl < Ixl + Iyl
Q) Is + 4,11 < Isl + 14,11
112,11 < S + 4,1
12,1 < 12,1
b) 11,4 + (-2)1 < 11,41 + 1-21
1-0,61 < 1,4 + 2
0,6 < 3,4
e) 1-5 + (-1,4)1 < 1-51 + 1-1,41
1-6,41 < 5 + 1,4
6,4 < 6,4
4) Ix.yl = Ixl.lyl
u) 16.(-5)1 = 161.1-51
1-301=6.5
30 = 30
b) IS.31 = IsI.131
1241 = S.3
24 = 24
e) 1-0,1.(-9,5)1 = 1-0,11.1-9,51
10,951 = 0,1.9,5
0,95=0,95
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales:
-o o oX ¡ X
x < -Q -Q < X < Q x>o
5) Ixl > a 1\ Q> O ~ x> a v x < -a ~ x E (-ooj-a) U (a,+oo)
-o
hW/IIHHSH/Hllh%'I//:l
o
1~¡/.wh'/::IIWI:/llh'l/¡'i:I/
Ixl > o
a) Ixl >6 =-x > 6 v x < -6 => x E (-00;-6) U (6;+00)
b) Ixl :> 2,5 =>x:> 2,5 v x <-2,5 => x E (-00;-2,5] U [2,5;+(0)
6) Ixl < a 1\ a> O ~ -a < x < a ~ x E (-aja)
-c o o
f.tt1l::IH""''''IIIh'Ih'IIIh':h'I'''''h':I''Ih'h'I:I'''"/1/1I11h'h'~
Ixl < o
a)lxl <S => -S<x<S => XE(-S;S)
9 9 9 ( 9 9)b) Ixl < 2 => - 2 < x < 2 => x E - 2;2
[ TRAMO A e Números reales)
Ecuaciones e inecuaciones lineales con módulo
ara resolver ecuaciones o inecuaciones lineales en las que aparecen módulos que incluyen a la incógnita, se
__ e tener presentes tanto la definición de este concepto como sus propiedades.
Eeueeienes
a) x + 31 = 7 ~ Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
x + 3 > O ~ x > -3
x+3=7~x=4
x + 3 < O ~ x < -3
-x - 3 = 7 ~ x = -10
v
v
-10 -3
)
b) 312 - 3xl + 2 = x +5 ~
22 -3x > O ~ x <:"3
3(2 - 3x) + 2 = x + 5
6 - 9x + 2 = x + 5
-10x = -3
3
x = 10
1
Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
2v 2 -3x < O ~ x>"3
v 3(-2 + 3x) + 2 = x + 5
-6 + 9x + 2 = x + 5
8x = 9
9
x=¡
1. 9
3 "8
.l.. 2
10 "3
lnecuucienes
a) 12x+ 11 < 5 ~ Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
2x + 1 > O ~ x > - t v 2x + 1 < O ~ x < - t
2x + 1 < 5 ~ x < 2 v -2x - 1 < 5 ~ x> ·3
1 1 1 1
x> -"2 1\ X < 2 ~ - 2" <: x < 2 x < -"2 1\ x> -3 ~ -3 < x < - 2"
_1.
-3 2 O
li'llI"V~UnfM¡¡m(¡'(¡wt(¡W¡,(I!Ú"/ttNl!J'NNth\'IfiJ,'HlhWl/#¡''hWl/lh\'lh'mH (- 3;-t)o 2'·'"''''''''''''''''''''''~_1M\\\M\~\''\\'''"'''''''''''''''''''''''~''''''''''' [.l..2)o """"""'""'''"'''''1 ."",nlM"MWrnmm dMm", r 2'
la ,al~:ióa es la unión de lo, intervalos: S = (- 3;- t) U [- t;2) = (-3; 2)
-3 o 2
( )
b) 21x - 11 -2 > 5 - x ~ Debe eliminarse el módulo, aplicando la definición.
x-1>O ~x>l
2(x - 1) - 2 > 5 - x
2x - 2 - 2> 5 - x
3x> 9 ~ x> 3
x>1I\x>3~x>3
~ ~"''''".,'''''''''''''''~ (3'+00)i\\rnm\rntn,mrn.rt 1
La solución es la unión de los intervalos: S = (-ooj-S) U (3j+00)
v x-1<O ~x<l
2(-x + 1) - 2 > 5 - x
-2x + 2 - 2 > 5 - x
-x> 5 ~ x < -5
x < 1 1\ X < -5 ~ x < -5
-5 o 1
v
-5
)
3
(
(TRAMO A fa Números reales l
e) x2 + 3 > O
/ > -3 => S = R
Cualquier número elevado al
cuadrado es mayor que -3.
d) i + 1 < O
/ < -1 => S = 0
No existe ningún número que elevado
al cuadrado sea menor que -1.
PARADA TEÓRICA
7 Inecuaciones de segundo grado
1) Inecuaciones de la forma: QX2 + e :> O v QX2 + e < O.
a) / - 9 :> O
/:> 9
Ixl :> 3
x :> 3 v x < -3
S = (-OOj-3] U [3j+(0)
b) / - 4 < O
/ <4
Ixl :s 2
-2 < x < 2
S= [-2j2]
v x < -3 o -8 < x < 2
2) Inecuaciones de la forma: QX2 + bx :> O v ai + bx < O.
m.n :> O => (m :> O 1\ n :> O) v (m < O 1\ n < O) m.n < O => (m :> O 1\ n < O) v (m < O 1\ n :> O)
a) 3/ - 2x :> O => x(3x -2) :> O b) / + 2x < O => x(x + 2) < O
(x :> O 1\ 3x - 2 :> O) v (x < O 1\ 3x - 2 < O)
(x :> O 1\ X :> t) v (x < O 1\ X < t)
x:>t v x<O
S = (-oojO] U [~j+OO)
3) Inecuaciones de la forma: QX2 + bx + e :> O v QX2 + bx + e < O.
(x :> O 1\ X + 2 < O) v (x < O 1\ X + 2 :> O)
(x :> O 1\ X < -2) v (x < O 1\ x:> -2)
o -2 < x < O
s =[ -2jO]
a) x2 + x - 6 :> O
QX2 + bx + e = a(x - x¡)(x - X2)
b) x2 + 6x - 16 < O
_ -1 ± Y12 - 4.1.(-6)
X¡;X2 - 2.1
-1 ± VI + 24 -1 ± V25-=--=----'-:-=----'----=-.:.. =
2 2
-6 ± V36 + 64
2
-6 ± v'1OO. 2
-1 ± 5
2 => x¡ = 2 1\ X2 = -3
x2 + x - 6 :> O => (x - 2) (x + 3) :> O
-6 ± 10
= 2 => x¡ = 2 1\ X2 = -8
/ + 6x - 16 < O => (x - 2)(x + 8) < O
(x - 2 :> O 1\ X + 3 :> O) v (x - 2 < O 1\ X + 3 <O) (x - 2 > O 1\ X + 8 < O) v (x - 2 < O 1\ X + 8
(x :> 2 1\ x:> -3) v (x < 2 1\ X < -3) (x > 2 1\ X < -8) v (x < 2 1\ X > -8)
s = (-8;2)
[TRAMOA G Números reales]
Aproximación. Error
Aproximación
Cuando se trabaja con números que tienen muchas o infinitas cifras decimales, se realizan nproximccienes.
No se opera con el valor exacto; se comete un pequeño error que es aceptado por razones de orden práctico.
Para calcular el promedio final de las calificaciones de un alumno en una asignatura determinada, se
suman las notas obtenidas en los tres trimestres y se las divide por 3.
Los promedios finales se aproximnn por redondeo a dos decimales.
Asignatura
5 7 7 6,33
1.o trimestre 2. o trimestre 3. o trimestre Promedio final
Matemática
Idioma extranjero 8 8 10 8,67
Q) V2 = 1,4142135 - 1,414 (s < 0,001)
b) v5 = 2,2360679 - 2,2361 (e < 0,0001)
C) 7T = 3,1415926 = 3,142 (s < 0,001)
d) + = 0,142857 - 0,14 (e < 0,01)
Para aproximar por redondeo se considera la cifra siguiente a la última que se va a dejar; si es mayor o
igual que 5, se suma uno a dicha última cifra y si es menor, se deja igual.
5 + ~ + 7 = 1; = 6,3333 ... - 6,33 (s < 0,01) 8 +83+ 10 = 23
6= 8,6666 ... - 8,67 (s < 0,01)
Otra manera de aproximar es por truncamiento, que consiste en eliminar directamente las cifras que no
desean considerarse.
Q) \Í7 =2,6457513 ... ::: 2,64 (s < 0,01) b) 7T = 3,1415926 ... - 3,141 (e < 0,001)
Error
Se denomina error absolutc (ea) al módulo de la diferencia entre el valor de cada medición (Xi) y el valor
más probable (x).
ea = IXi - il
El valor más probable es el promedio de los valores obtenidos.
- Xl + X2 + ... + Xnx=
n
El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor más probable.
eae=-r -
X
El error porcentual es el error relativo multiplicado por IDO .
. e% = Sr .100
[TRAMOA G Números reales)
Propiedades de la potenciación y radicación en IR
Propiedades de la potenciación
- Potencia de exponente cero. aO = 1 ~ a *0
-n 1 .,J.. O
a = n ~a rt:
a
( "I" _ n.ma - a
- Potencia de exponente negativo.
- Potencia de otra potencia.
- Producto de potencias de igual base. n m _ n+ma.a - a
"a n > m-=a
am
(a.b]" = a".b"
- Cociente de potencias de igual base.
- Distributividad respecto de la multiplicación.
- Distributividad respecto de la división.
Propiedades de la radicación
»r: 1
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: va = a"
1
a) v'5 = 52 ,3/z 2e) V x· = x3 )tsl -~d 5' = X 4
X
,3r::; 1b) v7 = 73
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
- Raíz de raíz. ( l)! 1 m.nWa = aiñ"= a"·m = Va
- Distributividad respecto de la multiplicación.
»r=: 1 1 1 »r: »r;
va.b = (a.b)ñ = añ .bñ = va. vb
- Distributividad respecto de la división.
- Simplificación de índices. ....n¡-;;; _ W _ ~.:; _ "n:r¡-;;;;: .,....:....:o..y n" - a - a· - ya ....· ...•......
a)W =\ÍS
-Eliminacián del radical. ~ = a ~ nesimpar
~ = lal ~ nespar
r * O
a)V2s = W = 151= 5 b)Vl6 = W = 121= 2 e) \127 = \0 = 3 d)V-32 = V(-2)5 =-2
- Amplificación de índices.
a) V6 = V'(;U = \f62 = V36 ) ,513 .,54f3.4 ,20fl2e y x" = Y x" = y x "b) \!4 = \f'22.3 = V? = V64
[TRAMOA G Númerosreolesj
Cada número irracional tiene asociado un punto sobre la recta real.
Para representar ese punto sobre la recta numérica, si el irracional es
de la forma Va, se debe recurrir al teorema de Pitágoras: A2 = 82 + (2
~a Números irracionales. Radicales
Los números irracionales son aquellos que no pueden ser expresados como el cociente entre dos números
enteros y tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Como ya se vio, las raíces no exactas de números racionales son números irracionales.
Se denomina radical a la raíz indicada de un número o de una expresión, siempre que esta tenga solución real.
Representación gráfica
a) Representación de V2.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo isósceles
cuyos catetos midan l.
El valor de la hipotenusa es: Y 12 + 12 = V2
b) Representación de V3.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo
cuyos catetos midan 1 y V2, respectivamente.
El valor de la hipotenusa es: Y (V2)2 + 12 = V3
e) Representación de Ys.
Se determina sobre la recta un triángulo rectángulo
cuyos cateto s midan 1 y 2, respectivamente.
El valor de la hipotenusa es: Y12 + 22 = Ys
//1
1/ 1~-+-I---+----<-
o 1 2 \ 5
De este modo se puede representar cualquier raíz cuadrada de un número natural, siempre que se elijan
convenientemente los catetos del triángulo rectángulo.
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es mayor o
a lo sumo igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y radicación.
) ,31.":"7 ,3r:¡-¡- V 3 6 ,31::3N;; ,3!(, ,3¡ »r: 2 ,3¡ 2 »r:a V Iéx' = V2'f.x = 2 .2x.x =v2- v2 v « vx = 2v2 x .vx = 2x. v2x
(TRAMOA G Números reales]
PARADA TEÓRICA
11 Adición y sustracción de radicales
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índicey el mismo radicando.
Términos con radicales semejantes: \/3 y 5\13; -2"V2y 4\12; 3W y -8W.
Términos con radicales no semejantes: -V7 y 2V7; 5\13Y 7\Í2; -4\13 Y 9\14.
Adición y sustracción de radicales
Solo es posible sumar o restar términos que contienen radicales semejantes.
a) 3\Í2 + 5\Í2 - \Í2 = \Í2(3 + 5 - 1) = 7\Í2
b) 5\13 - 2Ys + 3\13 + 7Ys = \13(5 + 3) + Ys(-2 + 7) = 8\13 + 5Ys
Existen casos en los cuales ciertos radicales son semejantes luego de IIevar!os a su mínima expresión.
a) 3\Í2 - 5\132 + r/8 - 9Y50 = 3\Í2 - 5# + rVt - 9W2
. = 3\Í2 - 5W \Í2 + 7W \Í2 - 9W \Í2
= 3\Í2 - 5.22 \12 + 7.2\Í2 - 9.5\Í2
= \Í2(3 - 20 + 14 - 45) = -48\Í2
b)4\13 - 6\m - 8W + \Í2Ü = 4\13 - 6~ - 8#3 + ~
= 4\13 - 6Vs - 8.3\13 + 2Ys
= \13(4 - 24) + Vs( -6 + 2) = -20\13 - 4Ys
Multiplicación de radicalesde igual índice
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades .
• Propiedad distributivo de la multiplicación y división respecto de la suma y resta:
a(b ± e) = (b ± e)a = ab ± ae A (b ± e) : a = b: a ± e : a
• Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 A (a + b)(a - b) = a2 - b2
a) 1/2(\12 + V8) = \Í2 \Í2 + \Í2 V8 = \Í4 + Vl6 = 2 + 4 = 6
b) (m - w) :\/3 = \Í7S: \13 - W: \13 = V2s - V9 = 5 - 3 = 2
e) (\13 - Vs)2 = (\13)2 - 2\13 Vs + (Ys)2 = 3 - 2m + 5 = 8 - 2m
d) (V8 + \13)(V8 - \13) = (V8)2 - (\13)2 = 8 - 3 = 5
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PARADA TEÓRICA
12 Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales se debe calcular el MCM de los índices de los radi-
cales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
Reducir a mínimo común índice los siguientes radicales:
a) Vs y V7 --.. MCM(2;3) = 6; ambos radicales deben tener índice 6.
Vs = \J'5U = \/125 y V7 = {[7U = V49
b) \Q y Vx --.. MCM(4;8) = 8; ambos radicales deben tener índice 8.
~'f3 \•.?f3:2 ~8n 8,v c: = la"'c = v c y Vx
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y luego
aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división.
w N~ »r: »r: _ ni v!Q _ ~
Va vb ve ... vd - \ abe ... d 1\ \lb - Y b
a) Y2 V2 = V2U \J'2l.2 = W W = \fFi2 = -ifiS
)
,312 ~'n _ .¡.4f2.4 ~.V3.3 _ ,12/g ,11/9 _ ,111"8"9 _ ,11m _ Pf!25 _ ,121sb Vx· Vx· - Vx··· vc· - Vx- Vx' - VX-.x' - v v." - VX··.x· - xVx·
~'13 ~'5f35 ,10flS fJ5V m" V rn" V rn" 20 m Píl
d] ,5n = V = .,2018 = -8 = V m'
V rn" m2.4 V m- m
Operaciones combinadas
Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben aplicar los mismos procedimientos y
propiedades que para un cálculo numérico.
)Vxb Vx
VxYx_._-
\rxW
1 1
x
~r-:r: ,3¡ , r ~r:r- ,3¡ , r sr ,3¡ ,11((, pn ,11r¡ Pfl3 ~12r¡z- !2¡e) VxVx vx = vx VVx vx = vx vx vx = v v: v x: v « = v «: = VX··.x = xvx
[TRAMO A El) Números reales l
'/
PARADA TEÓRICA
13 Racionalización de denominadores
Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto, siem-
pre que en el mismo aparezcan radicales irracionales se debe hallar una fracción equivalente a la dada con
denominador racional.
Primer caso: en el denominador hay un único radical.
a) Racionalizar ~ b) Racionalizar Js
c) Racionalizar 1~ 2
\ x .y
.'12 .'12 .'12 .'122 2 V xy' _ 2V xy' _ 2V xy' _ 2 V xy'
'V 3 2 = 1 3 2 •• '12 - ,4/ 3 2 2 - V 4 4 - ---;y-
X.y X.y Vxy' vX.y.xy X.y
Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos por su
diferencia: (a + b)(a - b) = a2 - b2
a) Racionalizar: VS 4 '13
5 - 3
4 4 \Í5 + v'3
VS-V3·VS+V3
4(VS + '13) 4(VS + '13)
(VS)2 - ('13)2VS-V3 (VS - '13) (VS + '13)
= 4(\Í5 + v'3) = 4(\Í5 + v'3) = 2(VS + '13) = 2VS + 2'13
5 - 3 2
b) Racionalizar: \Í2 - 1
4 - \16
V2 - 1 _ V2 - 1 4 + v6 _ (\Í2 - 1) (4 + \16)
4 - \16 - 4 - v6 . 4 + v6 (4 - \16) (4 + \(6)
4\Í2 + \Í2 v6 - 4 - \16
42 - (\16)2
4\Í2 + Vi2 - 4 - v6
16 - 6
4\Í2 + 2'13 - 4 - \16 2 1 2 1= -\Í2 + -'13 - - - -v6
10 5 5 5 10
(TRAMO A G Números reales l