1998-08-algebra

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EXAMEN DE MATEMATICA BASICA
ALGEBRA
28 de Agosto de 1998
1. Diga si es verdadero o falso y justifique su respuesta.
a. Sea G un grupo abeliano finito. Probar que Aut(G) es abeliano śı y sólo śı G es
ćıclico.
b. Sn no tiene subgrupos ćıclicos de orden mayor que n.
c. Si R es un dominio de integridad tal que toda cadena de ideales de la forma
I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . .
satisface que para algún n, In = Ij para todo j ≥ n, entonces R es un cuerpo.
2. Sea R un anillo y sea M un R-módulo irreducible. Si x es un elemento de M tal que
x + x 6= 0. Probar que existe un elemento y de M tal que y + y = x.
3. Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo de G cuyo ı́ndice es 12. Si G contiene
un elemento de orden 18, probar que G no es simple.
4. Sea R un anillo conmutativo con unidad, y sean M1, ..., Mn ideales maximales de R
distintos. Probar que:
R/(M1 ∩ ... ∩ Mn) = R/M1 × ... × R/Mn
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