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Probabilidad y Estadística Segundo Semestre de 2013 U.N.C
PRÁCTICA 5
DISTRIBUCIÓN CONJUNTA, CONDICIONAL Y MARGINAL
Ejercicio 1. Una urna contiene 4 bolitas blancas y 6 negras. Se extraen 3 bolitas sin reposición y se definen
las siguientes variables aleatorias:
X =
{
1 si el número de bolitas blancas extraídas es par
0 si el número de bolitas blancas extraídas es impar
Y = k si se extraen k bolitas negras
a) Hallar pXY y FXY .
b) Hallar pY y pX . Determinar si X e Y son independientes.
Ejercicio 2. Sean X1,X2,X3 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (v.a.i.i.d.)
Bi(4, 13). Sea Y = X1X2X3. Calcular P(Y = 0).
Ejercicio 3. El 10% de la población fuma cigarrillos negros, el 35% fuma cigarrillos rubios, el 3% fuma
pipa y el resto no fuma. Se realiza una encuesta a 35 personas, siendo
Y1= número de personas que no fuman,.
Y2= número de personas que fuman cigarrillos rubios,
Y3= número de personas que fuman cigarrillos negros,
Y4= número de personas que fuman pipa.
a) Hallar la distribución de (Y1,Y2,Y3,Y4). Cuando se pide la distribución del vector aleatorio se puede
contestar dando la función de frecuencia del vector.
b) Hallar la distribución de (Y1,Y2 +Y3,Y4).
Ejercicio 4.
a) Probar que
F(x,y) =
{
1− e−x−y si x ≥ 0, y ≥ 0
0 en otro caso
no es función de distribución de un vector aleatorio.
b) Probar que
F(x,y) =
{
(1− e−x)(1− e−y) si x ≥, y ≥ 0
0 en otro caso
es una función de distribución de un vector aleatorio (X ,Y ).
Ejercicio 5. Sea (X ,Y ) un vector aleatorio con densidad
fXY (x,y) =
{
c(x+1)y si 0 < y < 1, −y < x < y
0 en otro caso
a) Hallar c.
b) Calcular P(Y ≤ 2X) .
c) Hallar fX (x) .
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Ejercicio 6. Se tira un dado equilibrado. Si el resultado es múltiplo de 2, se sacan con reposición 2 bolitas
de una urna que contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas. Si el resultado del dado no es múltiplo de 2, se sacan
3 bolitas sin reposición de la misma urna. Se define X como el número de bolitas rojas e Y = resultado del
dado. Hallar pX ,pY ,pXY , pX |Y , pY |X .
Ejercicio 7. De una urna que contiene 3 bolitas rojas y 4 blancas se extraen con reposición 2 bolitas. Si
el número de bolitas blancas extraídas es k, se extraen con reposición bolitas hasta obtener k+ 2 bolitas
blancas. Calcular la probabilidad de que no haya sido extraída ninguna bolita blanca en la primera parte del
experimento, sabiendo que en la segunda parte del experimento se tuvieron que sacar 3 bolitas.
Ejercicio 8. Para decidir quién paga la cena, 2 amigos sacan 2 bolitas cada uno de una urna que contiene 3
bolitas blancas y 2 negras. El primero de ellos hace sus extracciones sin reponer. A continuación de la urna
resultante el otro saca sus 2 bolitas con reposición. Si sacan igual número de bolitas blancas cada uno paga
su cuenta. Encontrar la probabilidad de que alguno pague las 2 cuentas.
Ejercicio 9. Se arroja un dado equilibrado 2 veces. Sean Xi = n0 obtenido en la tirada i,(i = 1,2).
a) Sea Y = X1 +X2. Hallar pY .
b) Sea la variable aleatoria Z =
{
1 si Y es par
0 sino . Determinar si X1 y Z son independientes.
Ejercicio 10. Sean X e Y variables aleatorias independientes con densidad conjunta
f (x,y) =
{
λ2e−λy si 0 ≤ x ≤ y
0 en otro caso
a) Halle las densidades marginales de X e Y .
b) Halle la distribución conjunta de (X ,Y ).
Ejercicio 11. Sean X1,X2, . . . ,Xn variables aleatorias independientes Xi ∼ ε(λi) 1 ≤ i ≤ n. Muestre que
Y = min (X1, . . . ,Xn)∼ ε(λ), con λ = λ1 + · · ·+λn.
Ejercicio 12. Se elige aleatoriamente un punto del cuadrado unidad
U = {(x,y)/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
Sean X ,Y las coordenadas del punto elegido.
a) Hallar y graficar la densidad conjunta de X e Y .
b) Hallar y graficar la distribución conjunta de X e Y .
c) Calcular P(|YX −1| ≤
1
2) y P(Y ≥ X |Y ≥
1
2).
Ejercicio 13. Sean X e Y v.a. independiente. Probar que si:
a) X ∼ Bi(n, p), Y ∼ Bi(m, p), → X +Y ∼ Bi(m+n, p);
b) X ∼ P (λ), Y ∼ P (µ), → X +Y ∼ P (λ+µ);
c) X ∼ G(p), Y ∼ G(p), → X +Y ∼ BN (2, p).
Ejercicio 14. El número de ballenas macho que aparecen semanalmente en el Golfo Nuevo sigue una
distribución P (2), mientras que el número de hembras sigue una distribución P (2.5). Suponiendo que el
número de machos es independiente del de las hembras:
a) Hallar la probabilidad de que en una semana haya 2 o más ballenas.
b) Si la semana pasada hubo 2 ballenas, encontrar la probabilidad de que hayan sido una pareja.
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Ejercicio 15.
a) Sean X e Y v. a. independientes. Probar que si:
i) X ∼ Bi(n, p), Y ∼ Bi(m, p) entonces X |(X +Y = k)∼ H (m+n,n,k).
ii) X ∼ P (λ), Y ∼ P (µ) entonces X |(X +Y = k)∼ Bi(k,λ/(λ+µ))
b) Probar que si X ∼ P (λ), Y |(X = k)∼ Bi(k, p) entonces Y ∼ P (λp).
Ejercicio 16. Un señor se va a pescar un fin de semana. La cantidad de peces que pican en el lapso de
una hora sigue una distribución P (λ). Además cada pez tiene probabilidad q de zafarse y 1−q = p de ser
atrapado. Sean X = cantidad de peces que pican, e Y = cantidad de peces atrapados.
a) Mostrar que Y tiene distribución P (λp).
b) Mostrar que la distribución de (X −Y )|(Y = y) es P (λ(1− p)).
Ejercicio 17. El número de pasas en un budín inglés sigue la distribución P (60). Una persona compra un
budín, saca todas las pasas una por una y reparte las pasas entre el y un amigo de la siguiente forma: despues
de extraer cada pasa tira una moneda equilibrada dando una pasa al amigo si sale cara, o comiéndosela el si
sale ceca.
a) ¿Cuál es la distribución de número de pasas que el amigo recibe ?
b) Calcular la probabilidad de que reciban 30 pasas cada uno.
c) Calcular la probabilidad de que el budín tenga más de 60 pasas de uva, dado que el amigo recibió 30.
Ejercicio 18. Supongamos que el tiempo que un estudiante tarda en resolver un problema tiene distribución
exponencial de parámetro λ > 0. Si tenemos dos estudiantes, sean X e Y sus respectivos tiempos de demora
y podemos suponer que X e Y son independientes, ( si los estudiantes no se copian). Halle la probabilidad
de que el primer estudiante demore al menos el doble que el segundo en resolver el problema.
Ejercicio 19. Sean X e Y variables aleatorias independientes, X ∼P (5) e Y ∼U[0,1]. Hallar la distribución
y la densidad de Z = X +Y .
Ejercicio 20. Sean X e Y v. a. continuas tales que Y ∼ Γ(2,λ), X |Y = y ∼ U(0,y).
a) Hallar fXY , fX .
b) Calcular P(Y ≥ 2|X ≤ 1) si λ = 1.
Ejercicio 21. Sean X e Y v. a. tales que Y ∼ U[2,3], y X |Y = y es una v. a. discreta que satisface
pX |Y (x|y) =

3−y
2 si x =−1
y−2 si x = 0
3−y
2 si x = 1
a) Hallar pX .
b) Calcular la función de distribución FY |X=x(y) y P(32 ≤ Y ≤
9
4 |X = x).
Ejercicio 22. Sea (X ,Y ) un vector aleatorio con densidad
fXY (x,y) = 2(x+2y) I(0,1−x) (y) I(0,1) (x)
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a) Hallar fZW (z,w) si
Z = X +Y
W = X −Y
b) Hallar fZ
(1
2
)
y fW
(1
2
)
Ejercicio 23. Sean X e Y variables aleatorias independientes , X ∼ N (0,1), e Y ∼ N (0,1). Sean U = X+Y√
2
y V = X−Y√
2
. Pruebe que U y V son variables aleatorias independientes N (0,1).
Ejercicio 24. Sean X e Y variables aleatorias independientes con distribución exponencial de parámetro λ.
a) Pruebe que Z = XX+Y ∼ U[0,1].
b)Muestre que la función densidad conjunta de U = X/Y y V = X +Y es
f (u,v) =

λ2v
eλv(1+u)2
si u ≥ 0, v ≥ 0
0 en otro caso
.