practico-2

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Caṕıtulo 2
Funciones
2.1. Propiedades generales
1. Determine el dominio de las siguientes funciones:
a) g(x) =
2
3x − 5
b) f(x) =
√
1 − x2
c) f(x) = 1 −√x
d)† g(x) =
x4
x2 + x − 6
2. Diga si las funciones son pares o impares e indique su dominio.
a) f(x) = 3x − x3
b) f(x) = x + x2
c)† f(x) = 3
√
(1 − x)2 + 3
√
(1 + x)2
3. Considere un triángulo isósceles cuyos lados iguales valen 10 m.
a) Exprese la superficie del triángulo como función de la base.
b) Identifique el dominio de la función.
4. Un recipiente de almacenamiento en forma de paraleleṕıpedo (sin tapa), tiene 10m3 de
volumen. La longitud de su base es el doble de su ancho x. El material de la base cuesta
$10 por m2, el de los laterales cuesta $6 por m2. Obtenga la función C(x) que da el
costo del recipiente en función de x. Determine su dominio.
5. Tiene la oportunidad de comprar un Ford Escord usado por $3450 o un Volkswagen
Polo por $4375. Su mecánico le aseguró que ambos están en muy buenas condiciones y
que no necesitarán reparaciones por mucho tiempo. El Escord hace 10.5 kilómetros por
litro y el Polo hace 14.2 kilómetros por litro. Asuma que la gasolina cuesta $1.05 por
litro. Considere E(x) = costo de compra más consumo del Escord por x kilómetros y
P (x) = costo de compra más consumo del Polo por x kilómetros.
Grafique E(x) y P (x) en los mismos ejes para 0 ≤ x ≤ 50000 kilómetros. ¿Cuántos
kilómetros deberá manejar antes que el costo de compra y consumo del Escord supere
al costo de compra y consumo del Polo?
9
10 CAPÍTULO 2. FUNCIONES
6. Esboce la gráfica de las siguientes funciones:
a) f(x) =
{
x x ≤ 0
x + 1 x > 0
b)† f(x) =
{
|x| |x| ≤ 1
1 |x| > 1
c) f(x) =





√−x x < 0
x 0 ≤ x ≤ 2√
x − 2 x > 2
d) f(x) =
1
x − 1
e) f(x) =
{
1 − |x − 1| 0 ≤ x ≤ 2
0 x < 0 ó x > 2
7. Determine el dominio, contradominio y traza la gráfica de
a) g(x) =
√
6 − 2x b) h(x) = |2x − 3|
8. Considere las funciones g(x) =
√
3x y f(x) =
√
25 − x2 y determine el dominio de
(a) g(x) + f(x) (b)
g(x)
f(x)
9. Determine f ◦ f , g ◦ g, f ◦ g y g ◦ f si
a) f(x) = x2 g(x) = 2x b) f(x) =
1
x − 1 g(x) =
x − 1
x + 1
10. Determine el dominio de f ◦ g y g ◦ f , para las funciones del ejercicio 9.
11. Esboce el gráfico y calcule la inversa de las siguientes funciones cuando sea posible. De
no existir la inversa, ind́ıquelo.
a) y = x2 −∞ < x < ∞
b) y = x2 x ≤ 0
c)† y =
√
1 − x2 − 1 ≤ x < 0
12. El agua se congela a 32 grados Fahrenheit y a 0 grados Celsius. A nivel del mar el agua
hierve a 212 grados Fahrenheit y a 100 grados Celsius.
a) Encuentre la función lineal que transforma grados Fahrenheit en grados Celsius y
graf́ıquela.
b) Calcule su inversa, graf́ıquela y explique qué representa esa función.
13. Determine f(t) sabiendo que:
a)† f(x + 1) = x2 − 3x + 2 x ∈ IR
b) f
(
1
x
)
= x +
√
1 + x2 x 6= 0
c) f
(
x +
1
x
)
= x2 +
1
x2
x 6= 0
2.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y SUS INVERSAS 11
14. Sea f(x) =
x + 1
x
. Escriba las siguientes funciones en la forma
p(x)
q(x)
, donde p(x) y q(x)
son polinomios:
a) f(x) + 1 b) f ◦ f(x)
2.2. Funciones trigonométricas y sus inversas
1. A partir de los valores conocidos del seno y del coseno de 0, π
6
, π
4
, π
3
y π
2
, calcule en forma
exacta las expresiones que se dan a continuación:
a) sen 2π
3
+cos 4π
3
+tan 5π
3
b) sen 5π
6
+cos 7π
6
+tan 5π
6
c) sen π
24
2. Esboce la gráfica de
a) sen
x
2
b) f(x) = cos 2x
c) f(x) = 3 cos
(
x − π
3
)
d)† f(x) = 1 + sen
(
x +
π
4
)
3.† ¿Cuál es la diferencia entre sen x2, sen2 x y sen(sen x)? Exprese cada una como una
composición de funciones.
4. La Bah́ıa de Fundy en Canadá es conocida por tener la mayor diferencia entre sus mareas
alta y baja, siendo aproximadamente de 15m. Supongamos que en un punto particular
de la bah́ıa la profundidad del agua (y) medida en metros en función del tiempo (t)
medido en horas desde la medianoche del 1 de Enero de 1994, está dada por
y = yo + A sin(B(t − to))
a) ¿Cuál es el significado f́ısico de yo?
b) ¿Cuál es el valor de A?
c) Asumiendo que la marea sube cada 12 horas y media. ¿Cuál es el valor de B?
d) ¿Cuál es el significado f́ısico de to?
e) Esboce el gráfico correspondiente.
5. Encuentre todas las soluciones de las siguientes ecuaciones
a)† 1 + sen x = 2cos2 x
b) cos x sen x = 0
c) 2 cos(2x) + 4 sen x = 3
6. Calcula en forma exacta:
a) arcsin
1
2
b) arc cos(−1)
c) arctan
(
− 1√
3
)
d) arcsin
1
2
+ arcsin
√
3
2
e)† arcsin
(
sen
3π
5
)
f ) arctan
(
tan
7π
5
)